Iegrali idefiii Geeralià Si è viso come, daa ua fuzioe di equazioe y = f(), si possa rovare la sua derivaa prima f (). Si è ache osservao che esise ua codizioe ecessaria, ma o sufficiee, affiché ua fuzioe sia derivabile: la fuzioe deve essere coiua.[ i ] I ogi caso la fuzioe derivaa è uica e l operazioe di derivazioe può essere iesa come u operaore D che ad ogi fuzioe derivabile f() associa, i modo uico, la sua derivaa f (). Dae f() e g(), due fuzioi derivabili, e α e β, due umeri reali, è oo che: D[αf() βg()] = αd[f()] βd[g()], cioè la derivaa di ua combiazioe lieare di fuzioi derivabili è uguale alla combiazioe lieare delle derivae delle fuzioi. Per ale moivo si dice che la derivaa è u operaore lieare. Come si sa dalla meccaica, daa ua fuzioe = ( ) che esprime la posizioe di u puo i fuzioe del empo, la velocià isaaea del puo è daa da v = v( ) = ' ( ) ; la velocià è la derivaa della posizioe faa rispeo al empo. Iolre si ha ache che l accelerazioe isaaea è a = a = v' = '', la derivaa prima della velocià e quidi la derivaa secoda della posizio- e[ ii ]. Cosideriamo il seguee problema: daa ua forza F = F(), variabile el empo, applicaa ad u puo maeriale di massa m, si vuol sapere qual è la velocià co cui si muove queso puo. Dal secodo pricipio della diamica si sa che F = m a = m dv, quidi la risoluzioe del osro proble- d ma cosise el deermiare ua fuzioe (la velocià v) la cui derivaa è oa (è daa dal rapporo F/m). I moli seori della maemaica applicaa queso è u problema molo imporae. Nel seguio queso problema verrà raao i geerale; esso cosise el deermiare ue le fuzioi la cui derivaa sia uguale ad ua fuzioe assegaa f(). Si dà la seguee defiizioe: DEFINIZIONE Si dicoo primiive di ua fuzioe assegaa f() ue le fuzioi la cui derivaa è f(). [ i ] Ua fuzioe derivabile è coiua, mere ua fuzioe coiua o è ecessariamee derivabile (per esempio y = ) [ ii ] I fisica per idicare la derivaa prima si usa meere u puo sopra la leera che idica la fuzioe, ovviamee per la derivaa secoda si meoo due pui; così la velocià può essere idicaa co ɺ e l accelerazioe co ɺɺ. U alro modo per esprimere l operaore derivaa di ua fuzioe ella variabile è d. Più i geerale l operaore di derivaa di ordie superiore può essere scrio ella forma d d.
Sia F() ua primiiva di f(), cioè F ' = f ( ). È facile osservare che ache F() c, dove c è ua cosae arbiraria, è ua primiiva di f() [ iii ]. D alra pare se F() e di G() soo due primiive della sessa fuzioe f(), si ha: e quidi = G' ( ) F ' G = F c. Da ciò segue che se F() è ua primiiva di f(), F() c è la primiiva più geerale, cioè rappresea ue le fuzioi la cui derivaa è f(). Si dà la seguee defiizioe: DEFINIZIONE Si chiama iegrale idefiio di f() e si rappresea co il simbolo f ( ), che si legge iegrale di effe di i di, la primiiva geerale F() c. La fuzioe f() si chiama fuzioe iegrada. Per defiizioe si poe duque: f = F c se e solo se = F ' f. La defiizioe daa mee i evideza che: ) L iegrale idefiio di f() è l isieme di ue le primiive di f(), cioè l isieme di ue e sole le fuzioi la cui derivaa è f(). ) L iegrale idefiio può essere viso come operaore iverso della derivaa (i alcui casi si idica ache co D oppure I) perché associa ad ua fuzioe (iegrada) f() la famiglia di ue e sole le fuzioi la cui derivaa è la f() sessa: I[f()] = F() c. Dalla defiizioe seguoo alcue relazioi oevoli ra iegrale idefiio, derivaa e differeziale: a) D f = D F c = F ' = f ( ) d = = = f d F c F' f df = f ' = f b) c) Mere la derivaa di ua fuzioe coiua può o esisere i qualche puo, si può ivece dimosrare che di ogi fuzioe coiua i u isieme esisoo sempre le primiive; o è deo però che si sia sempre i grado di deermiarle. [ iii ] Basa ricordare che la derivaa di ua cosae è zero. 4
Iegrazioe per decomposizioe L iegrale idefiio è u operaore lieare, ifai si può dimosrare che se f() e g() soo due fuzioi coiue e α e β due umeri reali, allora: α f β g = α f β g. Per iegrazioe di ua fuzioe si iede ue quelle eciche di calcolo che permeoo di deermiare le primiive della fuzioe daa. La liearià dell iegrale è ua di quese eciche; daa ifai ua fuzioe f() decompoibile ella somma di più fuzioi di cui si sappia calcolare la primiiva, sia cioè allora si ha: f f f... f, = = f f f... f. I queso caso si parla di iegrazioe per decomposizioe. Iegrazioe immediaa Si parla di iegrazioe immediaa quado la fuzioe iegrada è la derivaa di ua fuzioe oa. La abella ripora alcue regole di iegrazioe immediaa. c cos α α α c co α l c se cos c cos s e c Tabella Iegrali immediai ESEMPIO Calcolare Per decomposizioe si ha: da cui segue. g c arcg c e e c a a l a = arcse c arccos c c 5
4 = = c c 4 4 ESEMPIO Calcolare 4. 4 4 4 4 = = = c = c 4 4 4 4 9 ESEMPIO Calcolare. = = = l c Allo scopo di geeralizzare le regole dae ella abella ricordiamo la regola di derivazioe di ua h = f g si ha: fuzioe composa: sia D h = D f ( g ) = D f ( g ) D g ( ) Per ciò si ha, per esempio che se α, α α α f f ' = f c. Ifai: α α = = α α α α α D f c D f c ( α ) = I modo aalogo si verificao le regole della abella f f ' f f '. α f ( ) f ' ( ) α f ' f co α l f c sef f ' cosf f ' f ' cos f Tabella Iegrali immediai α f c f ' f f cos f c e f ' f f f ' s ef c a f ' gf c arcgf c arcsef c arccos f c f e c f a l a c 6
ESEMPIO 4 Calcolare I queso caso f = se, = ESEMPIO 5 Calcolare se cos. f ' cos e α =, per cui, dalla prima della abella si oiee: 4 se cos = se c. 4 se. Osservado che ( ) se = se se = cos se = se cos se si oiee: se = cos cos c. Geeralizzado, si può calcolare l iegrale di qualuque poeza dispari di se: =,,,. Basa osservare che ( ) k = k = 0 k cos k se, quidi essedo se = se se = cos se = k = 0 se k k cos se = cos c, si ha k k k k se = ( ) cos c. k Aalogamee, per le poeze dispari di cos, si oiee: k k k cos = ( ) se c k ESEMPIO 6 Calcolare. I queso caso f =, f ' ESEMPIO 7 Calcolare. k = 0 = per cui, dalla secoda della abella si oiee: = l c ( ) co = = c = c. Noare che si è moliplicao per / l iegrale e per la fuzioe iegrada (operazioi che o modificao l espressioe), al fie di oeere la derivaa di. ESEMPIO 8 Iegrare la fuzioe f = se cos. 7
se cos = se ( cos ) = ( cos ) ( se) = ( cos ) c ESEMPIO 9 Calcolare g. se se g = = = l cos c. cos cos ESEMPIO 0 Calcolare. = = = = l c. cos ESEMPIO Calcolare. se cos = arcg ( se) c. se ESEMPIO Calcolare. = = = arcg c ESEMPIO Calcolare. m = = m = arcg c. m m m m m m m. Queso risulao è susceibile di u uile geeralizzazioe: ESEMPIO 4 Calcolare k = arcg c. m k m m e. e = ( 6) e = e c. 6 6 8
4 Iegrazioe delle fuzioi razioali frae Si cosideri ua fuzioe razioale fraa y = N D, rapporo fra due poliomi i e sia N() di grado m e D() di grado. Si suppoga dapprima che sia m. I al caso, eseguedo la divisioe ra il poliomio N() e il poliomio D(), si oiee come quoziee u poliomio Q() di grado (m ) e come reso u poliomio R() di grado iferiore ad ; la fuzioe y = N può scriversi ella forma: D e sarà quidi y = Q R D N = D R Q. D Essedo u poliomio, Q() si iegra facilmee; ci si ricoduce quidi a calcolare l iegrale R, di ua fuzioe razioale fraa il cui umeraore è u poliomio di grado iferiore rispeo al deomiaore. D 4 5 ESEMPIO 5 Calcolare. Eseguedo la divisioe: 4 5 4 6 9/ / 6 5 si ha: 6 9 / 9 5 9 7/ / 7/ 7 4 5 9 9 7 = = L iegrale rimaso è facilmee ricoducibile al ipo f ' ; si ha: f = = l c Si ha quidi: 4 5 9 7 = l c. 9
Ci si ripropoe ora di calcolare iegrali di fuzioi razioali frae il cui poliomio al deomiaore sia di secodo grado; ciò sigifica che al umeraore il poliomio è di grado zero o uo. Si raa cioè di iegrali del ipo: q (I) a b c p q e (II) a b c Come prima osservazioe si oi che il (II) ipo di iegrale può essere ricodoo sempre al (I); ifai q aq aq a a b b p q p p p p p = p = = = a b c a b c a a b c a a b c aq aq b b p a b p p p p = = l a b c a a b c a b c a a a b c ESEMPIO 6 Calcolare. = ( ) 4 4 ( 4 ) = = = 4 = = l Dao quidi u iegrale del ipo (I) si preseao re casi: = b 4ac > 0, = 0, < 0. I caso > 0 Dee e le radici reali dell equazioe a b c = 0 si ha: a b c = a e la fuzioe iegrada può essere decomposa ella somma di due frazioi elemeari: A B. Le cosai A e B possoo essere deermiae applicado il pricipio di ideià dei poliomi[ iv ] e il calcolo dell iegrale si ricoduce ad iegrali immediai. ESEMPIO 7 Si complei il calcolo dell iegrale dell esempio 6. Resa da calcolare. Risolvedo l equazioe = 0 è possibile scrivere [ iv ] Due poliomi soo uguali se soo uguali i coefficiei dei ermii dello sesso grado. 0
Si ha quidi: = = A B A B A B A B = = = Deve quidi essere: A B A B = e, per il pricipio di ideià dei poliomi si ha: Si ha quidi Perao: A B = 0 A B = da cui segue A = 5 B = 5 = = ( ) ( ) 5 5 5 l 5 l c. = l l l c = 5 5 = l ( )( ) l l c = 0 0 = l ( ) l ( ) l l c = 0 0 = l ( ) l ( ) c 5 5 I queso caso si poeva eviare la pare dei calcoli svola ell ESEMPIO 6 e procedere direamee ella scomposizioe del riomio ella forma: A B A( ) B ( ) ( A B) A B = = = ( )( ) ( )( ) da cui si ricava A B A B = e, per il pricipio di ideià dei poliomi: A B = A B = Si ha quidi da cui segue A = B = 4 5 5
= = l ( ) l ( ) c. 5 5 5 5 ESEMPIO 8 Calcolare. A B A( ) B( ) ( A B) A B Si poe = = = = ( )( ) ( )( ) ( )( ) si ha A B = 0 da cui A B = A =. B = = = l l c = l c. II caso = 0 Dea = la radice doppia dell equazioe e quidi si deve calcolare a b c = 0 si ha: a b c = a q q q q q = = ( ) = ( ) c = c. a b c a( ) a a a ( ) ESEMPIO 9 Calcolare. 9 6 9 6 = = = c = c 9 9 ( ) 9 5 ESEMPIO 0 Calcolare. 6 9 5 0 6 6 0 6 6 = = = = 6 9 6 9 6 9 6 9 6 9 8 8 = l( 6 9) 8 ( ) = l( ) c = l c III caso < 0
Le radici dell equazioe a b c = 0 o soo reali e per il calcolo dell iegrale (I) occorre procedere i modo diverso. Si ricordi che: b c b b b c b 4ac b a b c = a = a = a = a a a 4a 4a a a 4a b = a a 4a Ed essedo < 0 l espressioe dero la pareesi quadraa può essere cosideraa come la somma b di due quadrai. Se si poe k = e m = = ci si ricoduce all iegrale dao a 4a a ell ESEMPIO q q q k = = arcg c a b c a m k am m. ESEMPIO Calcolare. 6 Si verifica facilmee che < 0 e che si può scrivere 6 ( ) ( ) cui = =, da = = arcg c 6 5 ESEMPIO Calcolare. 4 Si verifica facilmee che < 0 e che si può scrivere 6 ( ) ( ) = =, da cui 5 5 5 5 = = = l ( 4) arcg c 4 4 4 4 4 5 Iegrazioe per sosiuzioe I alcui casi può essere uile irodurre ua variabile ausiliaria per semplificare il calcolo. Vediamo co u esempio. cos ESEMPIO 4 Si vuol calcolare. Poedo = si ha =, da cui segue che = d. Sosiuedo si ricava: cos cos = d = cos d = se c = se c.
I geerale, se f() è la fuzioe da iegrare, si poe g ( ) opporuo iervallo: sia g Differeziado si ha g' ( ) d = la fuzioe iversa. = e perao se F è ua primiiva di f: ( ) =, co g derivabile ed iveribile i u f = f g g' d = F c = F g c ESEMPIO 5 Calcolare. se Si poe g = [v ] da cui = arcg e = d. Sosiuedo si ha: = d = se = c = c g d = d = 6 Iegrazioe per pari Si cosideri il prodoo di due fuzioi f ( ) e g ( ) erambe derivabili y f g =. Differeziado il prodoo si ha: dy = f ' g f g' = f ' g f g' = g df f dg ( ) da cui segue: Iegrado i due membri si ha: cioè f dg = dy g df = f dg dy g df f ( ) viee deo faore fiio e dg iegrazioe per pari: = f g' f g f ' g = g' faore differeziale. Si ha la seguee regola di REGOLA DI INTEGRAZIONE PER PARTI L iegrale del prodoo di u faore fiio f ( ) per u faore differeziale g' uguale al prodoo del faore fiio f ( ) per l iegrale g ( ) [ v ] I queso modo, si dimosra, se = e cos = 4
del faore differeziale, meo l iegrale del prodoo dell iegrale rovao g ( ) per il differeziale f ' del faore fiio. ESEMPIO 6 Calcolare se. Si poe f = e g' = se da cui segue: f ' ( ) = e uilizzado la regola, si avrà: se = cos cos = cos se c. g = se = cos e quidi ESEMPIO 7 Calcolare se. Si poe f = e g' = se da cui segue: f ' = e g = se = cos e quidi uilizzado la regola, si avrà: se = cos cos. Per il calcolo dell iegrale rimaso, si può di uovo uilizzare l iegrazioe per pari: Si poe f = e g' = cos da cui segue: f ' ( ) = e g = cos = s e e quidi si avrà: se = cos cos = cos se s e = = cos se cos c = cos se c Più i geerale, se si vuol calcolare P se o P cos, dove P () è u poliomio di grado, si può applicare la regola dell iegrazioe per pari vole, scegliedo come faore fiio il poliomio (e le sue derivae) e come faore differeziale se o cos. ESEMPIO 8 Calcolare Si poe f = e g' e. = e da cui segue: f ' = e la regola, si avrà: e quidi uilizzado g = e = e e e e e e c e = = = c. Ache i queso caso, è possibile geeralizzare: se si vuol calcolare P e, dove P () è u poliomio di grado, si può applicare la regola dell iegrazioe per pari vole, scegliedo come 5
faore fiio il poliomio (e le sue derivae) e come faore differeziale l iegrale è sempre e ) ESEMPIO 9 Calcolare arcg. Si poe f = arcg e g' ( ) = da cui segue: f ' = e (eedo coo che. e g = = e quidi ui- arcg = arcg = arcg l c lizzado la regola, si avrà: ESEMPIO 0 Calcolare l. = e g = = e quidi uilizzado la regola, si avrà: l = l = l c = l c. ESEMPIO Calcolare se. Si poe f = l e g' ( ) = da cui segue: f ' Per prima cosa si scrive da cui segue: f ' se = se se, quidi si poe = cos e g = se = cos e quidi si avrà: ( ) f se = e g' = se cos se = se se = se cos cos = se cos se = se cos se = Da quesa espressioe segue che I modo aalogo si dimosra che ESEMPIO Calcolare Per prima cosa si scrive = e quidi: se cos se = c. se se cos 4 se. ha ( ) se cos cos = c 4 se = se se, quidi, ricordado che 4 se = cos, si se = se cos = se se cos. Per il primo iegrale vedi e- 6
sempio precedee, il secodo può essere iegrao per pari poedo f = cos e g' = se cos e quidi f ' = se e g = se cos = se ; e cosegue che: 4 4 se = se se cos se, quidi 4 4 4 se = se se cos, ovvero: se = se se cos. 4 4 Co u procedimeo aalogo si può calcolare l iegrale di ua qualuque poeza pari di se. Per calcolare ifai se = se se quidi, poedo se se = cos, si ha si procede come segue: se = se se cos. Il secodo ie- grale si iegra per pari poedo f = cos e g' = se cos e quidi f ' = se e g = se cos = se ; e cosegue che: = se se se cos se, quidi = se se se cos. L iegrale rimaso a secodo membro è acora l iegrale di ua poeza pari di se, ma di grado più basso. Ierado il procedimeo si arriverà alla soluzioe. Per esempio: 8 7 6 7 7 5 4 5 7 se = se se cos = se se cos se cos = 8 8 8 6 6 8 7 5 5 7 = se se cos se cos se cos = 8 6 4 4 6 8 7 5 se cos = 8 se cos se cos 6 4 4 6 se 8 5 5 5 7 5 7 = cos se se se se c 8 8 9 48 8 I modo aalogo si dimosra che 7 Iegrazioe di paricolari fuzioi irrazioali Sia da calcolare 5 7 cos = cos = cos cos se f, a b c co f uzioe razioale di e a b c. Co semplici sosiuzioi ci si può ricodurre al calcolo di iegrali di fuzioi razioali. Si procederà diversamee a secoda che sia a > 0 o a < 0. 7
I caso a > 0 Poedo a b c = a la fuzioe iegrado divea ua fuzioe razioale i. ESEMPIO Calcolare Il coefficiee di oiee: k = k k è quidi maggiore di zero, si poe = d. Si ha quidi:. = k k k ESEMPIO 4 Calcolare Si poe =, si ha: ESEMPIO 5 Calcolare Si poe k =. Elevado al quadrao si. Sosiuedo si ha: k k d = = = l c = l k c. ( ) = = = = d l c 4 4 8 = l c 8. 4 4 =, si ha: 4 = = = 4 = 4 4 4 d l c ESEMPIO 6 Calcolare Si poe 4 =, si ha: 4. = l 4 4 c = k e 8
( 4) 4 4 4 = = 8 d = d. 4 ( ) 4 ( ) 8 ( ) Teedo coo che ell iegrale rimaso si può scrivere: e che per l ideià dei poliomi si ricava 4 = A B C ( ) ( ) ( ) A = B = 0, si ha: C = 4 ( ) ( ) ( ) d = d d = l c da cui segue: 4 = 4 4 8 4 l 4 c 5 ESEMPIO 7 Calcolare. 4 5 6 4 6 4 = = = 4 4 4 4 4 4 Per calcolare l ulimo iegrale si poe Quidi 4 =, si ha: = d = l c 4 5 = 4 l 4 c 4 9 9
II caso a < 0 Se a < 0, le radici del riomio a b c devoo essere sez alro reali, perché, i caso corario, a b c o sa- il riomi avrebbe, per qualsiasi valore di, il sego di a e quidi egaivo, e rebbe ua fuzioe reale. Siao quidi α e β le radici del riomio, si ha: a b c = a α β. la deermiazioe dell iegrale f, a b c si può ridurre al calcolo dell iegrale di fuzioi razioali di co la sosiuzioe a b c = ( α ) ESEMPIO 8 Calcolare. Si ha: = ( ) ; poiamo = = ( ) o ache ( ) ( ) d e = =, cioè =. Da qui si ricava:. Si ha quidi: ( ) ( ) 4 = = d = d = arcg c = = arcg c = arcse c ESEMPIO 9 Come è oo dagli iegrali immediai procedimeo illusrao el precedee esempio, si può verificare ale ideià. ( ),. Uilizzado il Si poe = ( ). Sosiuedo si oiee:, da qui si ricava: = e = 4 ( ) d e = 4 = d = d = arcg c = arcg c. ( ) 0
Si raa ora di far vedere che arcse e facilmee che = cos α e arcse α = β. e cosegue che π = = g β, si ha che arcg arccos, poiamo quidi α = arccos e arccos = arcg α cosα g = = = gβ cos α, da cui: differiscoo per ua cosae. Si verifica β = arcg e quidi, quidi α = β ovvero π arcse = arcg