Esempi di funzione...

Funzioni Dati due insiemi non vuoti A e B, si chiama applicazione o funzione da A a B una relazione tra i due insiemi che a ogni elemento di A fa corrispondere uno e un solo elemento di B. A B

Esempi di funzione... Sia A l insieme formato da quattro ragazzi: A= Paolo; Bruno; Carlo; Mario, e B l insieme costituito da sei signore tra le quali vi siano le mamme dei ragazzi dell insieme A: Carlo. Paolo. B= Anna; Maria; Valentina; Pina; Luisa; Franca. Bruno. Consideriamo tra gli insiemi A e B la relazione Mario. definita da ha per madre e supponiamo che sia: Paolo Franca Bruno Maria Carlo Anna Mario Franca (Paolo ha per madre Franca) (Bruno ha per madre Maria) (Carlo ha per madre Anna) (Mario ha per madre Franca) Questa relazione stabilisce tra i due insiemi A e B una corrispondenza e, ad ogni elemento del primo insieme corrisponde uno, ed uno solo, elemento del secondo insieme, perciò, la relazione determina un applicazione o funzione da A verso B. Anna. Pina. Maria. A Luisa. Franca. Valentina. B

...Esempi di funzione Sia A l insieme dei numeri naturali pari A= 0,2,4,6,8,10,12,14,16... e B l insieme dei numeri naturali B= 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13.... La relazione è il doppio di determina una corrispondenza fra gli insiemi A e B; ad ogni elemento di A corrisponde uno, ed uno solo, elemento di B, perciò, la relazione è un applicazione o funzione da A a B.

Relazioni che non sono funzioni Perché queste relazioni non sono funzioni? 1 A B L esempio 1 non è una funzione perché, un elemento di A non ha il corrispondente in B. L esempio 2 non è una funzione perché, ad un elemento di A corrispondono due elementi di B. 2 A B

Immagine e Controimmagine Per indicare che f è una funzione tra A e B scriviamo: f:a B Se x è un elemento di A, il suo corrispondente y di B si indica con f(x) y=f(x) y è l immagine di x. x è controimmagine di y. A B x f controimmagine f:x f(x) x A, f(x) B y=f(x) immagine

Dominio e Codominio Una funzione è una corrispondenza univoca tra l insieme A e l insieme B cioè, è una legge che ad ogni x A fa corrispondere un unico y B. L insieme A è detto dominio della funzione. L insieme degli elementi di B che hanno almeno una controimmagine in A è detto insieme delle immagini o codominio della funzione. Il codominio si indica con f(a) Dominio x A f Codominio B f(a) y=f(x)

Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche... Funzione iniettiva Sia f una funzione definita da un insieme A a un insieme B. Si dice che f è una funzione iniettiva se, comunque si scelgano due elementi x 1,x 2 A, si ha x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) Se ad ogni elemento di B arriva al più (al massimo) una freccia A B

...Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche... Funzione suriettiva Sia f una funzione definita da un insieme A a un insieme B. Si dice che f è una funzione suriettiva se il codominio di f coincide con B, cioè se f(a)=b. Se a ogni elemento di B arriva almeno una freccia A B

Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche Funzione biunivoca Se una funzione f:a B è sia iniettiva che suriettiva si dice che la funzione è biiettiva o una funzione biunivoca. Perciò, la funzione è biunivoca se sono verificate le condizioni: x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) A B f(a)=b A ogni elemento di B arriva una e una sola freccia

ESEMPI. DEFINIZIONE Funzione iniettiva, funzione suriettiva, funzione biunivoca (o biiettiva) Una funzione da A a B si dice: - iniettiva se ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A; - suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A; - biiettiva (o biunivoca) se è sia iniettiva sia suriettiva. ESEMPIO ESEMPIO Questi elementi y non sono immagini di nessun x y = 2x -1 - Suriettiva - Iniettiva - Biunivoca y = x 2 + 4 - Non è suriettiva - Non è iniettiva: Es. +1, -1 hanno la stessa immagine 3

Funzione costante Una funzione f:a B si dice costante quando tutti gli elementi del dominio hanno la stessa immagine A B Funzione costante

Funzioni numeriche Se gli insiemi A e B sono numerici, si parla di funzioni numeriche. Generalmente, gli insiemi numerici A e B sono sottoinsiemi dell insieme R dei numeri reali A R, B R e i loro elementi vengono chiamati variabili. x A, y B

Classificazione delle funzioni numeriche Funzioni numeriche Funzioni algebriche Funzioni trascendenti Goniometriche Razionali Irrazionali Intere Fratte Intere Fratte Logaritmiche Esponenziali

Campo di esistenza o Dominio Quando si considera una funzione, è essenziale specificarne il dominio. Nel caso di funzioni matematiche, il dominio D, se non è indicato, è l insieme dei valori reali che possono attribuirsi alla variabile indipendente x affinché esista il corrispondente valore reale y. In questo caso, il dominio prende il nome di campo di esistenza della funzione. Il campo di esistenza è il sottoinsieme più vasto di R che può essere preso come dominio della funzione.

Grafico di una funzione Data una funzione matematica di equazione y=f(x), si dice grafico della funzione l insieme di tutti e soli i punti del piano cartesiano aventi per ascissa i valori della variabile indipendente x appartenenti al dominio e per ordinata i valori corrispondenti della variabile dipendente y. Un punto appartiene al grafico di una funzione se e solo se le sue coordinate soddisfano l equazione della funzione.

Funzioni uguali Due funzioni reali f e g si dicono uguali in un dominio comune D quando f(x)=g(x) x D Le funzioni x fx () ; D -R x 2 sono uguali. 0 1 g(x ) ; D x -R 0 Le funzioni 2 x fx () ; x D -R 0 g(x ) x ; D R non sono uguali perché non hanno lo stesso dominio.

Funzioni pari e funzioni dispari Funzione pari: Una funzione f di equazione y=f(x) e di dominio D si dice pari se, x D, f(-x)=f(x). Se una funzione y=f(x) è pari, appartengono al suo grafico le coppie di punti di coordinate (x;f(x)) e (-x;f(x)) perciò, il suo grafico risulta simmetrico rispetto all asse delle ordinate (asse delle y)

Esempio di funzione pari y= 0,5 x 2 x Y -10 50-9 40,5-8 32-7 24,5-6 18-5 12,5-4 8-3 4,5-2 2-1 0,5 0 0 1 0,5 2 2 3 4,5 4 8 5 12,5 6 18 7 24,5 8 32 9 40,5 10 50 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0-10 -9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1-1 -2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-3 -4-5 -6-7 -8-9 -10 Y

Funzioni pari e funzioni dispari Funzione dispari: Una funzione f di equazione y=f(x) e di dominio D si dice dispari se, x D, f(-x)=-f(x). Se una funzione è dispari, appartengono al suo grafico le coppie di punti di coordinate (x;f(x)) e (-x;-f(x)) perciò, il suo grafico risulta simmetrico rispetto all origine degli assi cartesiani.

y= 2,0 x 3 Esempio di funzione dispari x Y -10-2000 -9-1458 -8-1024 -7-686 -6-432 -5-250 -4-128 -3-54 -2-16 -1-2 0 0 1 2 2 16 3 54 4 128 5 250 6 432 7 686 8 1024 9 1458 10 2000 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0-10 -9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1-1 -2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-3 -4-5 -6-7 -8-9 -10 Y

Funzioni pari e funzioni dispari Consideriamo una funzione del tipo y=p(x) dove P(x) è un polinomio. La funzione y=p(x) è pari, se e solo se, nel polinomio compaiono solo potenze di x di grado pari. La funzione y=p(x) è dispari, se e solo se, nel polinomio compaiono solo potenze di x di grado dispari.

Esempio: Funzione né pari né dispari Y= 1,0 x 2 + 2,0 x -3,0 x Y -10 77-9 60-8 45-7 32-6 21-5 12-4 5-3 0-2 -3-1 -4 0-3 1 0 2 5 3 12 4 21 5 32 6 45 7 60 8 77 9 96 10 117-1 0 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0-9 -8-7 -6-5 -4-3 -2-1 -1 0-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Y -3-4 -5-6 -7-8 -9-10

Una funzione razionale intera è definita per qualsiasi valore della x. Esempio. La funzione: 3 y x 3 x FUNZIONE RAZIONALE INTERA è definita per qualsiasi valore attribuito all incognita. Pertanto il suo grafico si troverà in tutto il piano cartesiano.

Una funzione razionale fratta non è definita per i valori della x che annullano il denominatore. Esempio. La funzione: FUNZIONE RAZIONALE FRATTA y x x 2 1 1 è definita per tutti i valori della x diversi da 1. Pertanto il suo grafico si troverà in tutto il piano cartesiano escluso x=1.

FUNZIONE IRRAZIONALE CON INDICE PARI Una funzione irrazionale con indice di radice pari è definita per i valori della x che rendono il radicando non negativo. Esempio. La funzione: y x 2 è definita per valori della x esterni 2x all intervallo (0;2) e pertanto non ci sarà grafico in tale intervallo. Infatti 2 x 2x 0 x x 2 0 x 0 x 2

LE FUNZIONI CRESCENTI DEFINIZIONE Funzione crescente Una funzione y = f (x) di dominio si dice crescente in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se, comunque scelti x 1 e x 2 appartenenti a I, con x 1 < x 2, risulta f (x 1 ) < f (x 2 ). ESEMPIO y = x 2 4 D R I f ( x 0; ) f ( 1 x 2 ) Crescente in Funzione non decrescente (crescente in senso lato) se:

LE FUNZIONI DECRESCENTI DEFINIZIONE Funzione decrescente Una funzione y = f (x) di dominio si dice decrescente in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se, comunque scelti x 1 e x 2 appartenenti a I, con x 1 < x 2, risulta f (x 1 ) > f (x 2 ). D R I f ( x 1 ESEMPIO 0; ; 1 ) f ( x 2 ) Funzione non crescente Se, invece di f (x 1 ) > f (x 2 ), vale la funzione è decrescente in senso lato o non crescente. Decrescente in Non crescente in R

LE FUNZIONI MONOTÒNE DEFINIZIONE Funzione monotona Una funzione di dominio si dice monotòna in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se, in quell intervallo è sempre crescente o sempre decrescente in senso stretto. Funzione monotòna crescente in I Funzione monotòna decrescente in I

LE FUNZIONI PERIODICHE DEFINIZIONE Funzione periodica Una funzione y = f (x) si dice periodica di periodo T, con T > 0, se, per qualsiasi numero k intero, si ha: f(x) = f(x + kt). ESEMPIO y = sen (x) è periodica di periodo 2p perché sen (x) = sen (x + 2kp). y = tg (x) è periodica di periodo p perché tg (x) = tg (x + kp).

LA FUNZIONE INVERSA DEFINIZIONE Funzione inversa Data la funzione biunivoca f da A a B, la funzione inversa di f è la funzione biunivoca f 1 da B ad A che associa a ogni y di B il valore x di A tale che y = f (x). Data una funzione biiettiva reale di variabile reale y = f(x), disegnare il grafico di f 1 equivale a partire dalle ordinate di f e ricavare le ascisse. Ordinate e ascisse si scambiano i ruoli. Il grafici di f e di f 1 sono simmetrici rispetto alla bisettrice del I e III quadrante.

LE FUNZIONI COMPOSTE Le funzioni composte Date le due funzioni e, con o y = g (f (x)) indichiamo la funzione, detta funzione composta, da A a C che si ottiene associando a ogni x di A l immagine mediante g dell immagine di x mediante f. ESEMPIO Consideriamo: f (x) = x 2, g(x) = x + 1. f : A B g : B C f g Otteniamo: La composizione NON è commutativa.