1 Introduzione alla geometria analitica

1.1 Il piano cartesiano 1 Introduzione alla geometria analitica Se R è l'insieme di tutti i numeri reali (rappresentabile su una retta), allora R R = R rappresenta il piano euclideo; infatti ciascun punto di un piano può essere visto come una coppia ordinata (a, b) formata da due elementi dei quali uno è la prima coordinata e l'altro la seconda coordinata. Se disponiamo i valori di R lungo due rette perpendicolari che si intersecano in un punto (detto origine) coincidente con il valore zero, otteniamo un piano cartesiano chiamando asse delle ascisse la retta x e asse delle ordinate la retta y. 1.1.1 Distanza tra due punti Dati due punti A (x 1, y 1 ) e B (x, y ), la loro distanza (pari alla lunghezza del segmento AB ) può essere calcolata come l ipotenusa del triangolo rettangolo che ha per cateti x x 1 e y y 1 : AB = (x x 1 ) + (y y 1 ) 1.1. Punto medio di un segmento (baricentro) Dato un segmento di estremi A (x 1, y 1 ) e B (x, y ), il suo punto medio M (x M, y M ) avrà coordinate: x M = x 1 + x x 1 = x 1 + x x 1 1 = x + x 1 y M = y 1 + y y 1 = y 1 + y y 1 = y + y 1 In pratica le coordinate del punto medio (o baricentro) del segmento sono la media delle coordinate degli estremi; questo vale per il baricentro di ogni altro poligono. Ad esempio, per il triangolo di vertici A (x 1, y 1 ), B (x, y ) e C (x 3, y 3 ) le coordinate del baricentro (punto d incontro delle mediane) sono: 1. La retta x M = x 1 + x + x 3 3 y M = y 1 + y + y 3 3 Abbiamo già visto che se il rapporto tra il valore di una funzione f(x) = y e la sua variabile è costante per ogni valore del dominio A si dice che sono legate da una proporzionalità diretta: f(x) x = y = m x A, x 0 x Ciò ovviamente significa: y = f(x) = mx x A Il grafico che si ottiene da questa relazione è quello di una retta passante per l'origine degli assi cartesiani. L'inclinazione della retta dipende dal numero m, che si chiama coefficiente angolare. Se confrontiamo il grafico della funzione f(x) = mx con quello della funzione lineare (di cui la precedente è un caso particolare): f(x) = mx + q

si vede che è identico salvo essere spostato verso l'alto o verso il basso (in dipendenza dal segno di q); essa rappresenta una retta che non passa per l'origine tranne nel caso q = 0. Il valore del termine noto q rappresenta infatti il valore assunto dalla funzione per x = 0: f(0) = q La relazione che esprime la funzione lineare può essere espressa anche in quella che viene chiamata forma implicita: ax + by + c = 0 dalla quale si passa alla forma esplicita così: ax + by + c = 0 y = a b x c b Si noti che la forma esplicita (in quanto funzione) non permette di descrivere rette in cui b = 0, cioè parallele all asse delle ordinate, del tipo: x = costante Si ponga infine attenzione al fatto che abbiamo scritto l equazione della retta in due forme, esplicita ed implicita, che contengono apparentemente un numero diverso di parametri: nella forma esplicita i parametri m e q; nella forma implicita i parametri a, b e c. In realtà i parametri della forma esplicita (che è univoca) sono indipendenti ed hanno un preciso significato geometrico, rappresentando i gradi di libertà della retta su un piano (che ha possibilità di compiere due tipi di spostamenti rigidi: rotazione e traslazione); i parametri della forma esplicita invece non danno luogo ad una espressione univoca: basti notare che moltiplicando entrambi i membri per un valore non nullo si ottiene un equazione della retta del tutto equivalente ed ancora in forma implicita. 1..1 Fascio proprio di rette Sappiamo che esistono infinite rette passanti per un dato punto A (x 1, y 1 ); questo insieme di rette (che coprono l intero piano) viene definito fascio proprio di rette, in cui il termine noto può essere esplicitato: y 1 = mx 1 + q q = y 1 mx 1 Quindi il fascio proprio di rette passanti per A (x 1, y 1 ) sarà: y = mx + y 1 mx 1 y y 1 = m(x x 1 ) 1.. Retta passante per due punti e significato geometrico del coefficiente angolare Sappiamo che solo una retta passa per due punti A (x 1, y 1 ) e B (x, y ); per individuarla imponiamo alle rette del fascio passante per A di passare anche per B in modo da determinare il coefficiente angolare: y y 1 = m(x x 1 ) m = y y 1 x x 1 Sostituendo tale coefficiente angolare nell equazione del fascio passante per A si ottiene l equazione della retta passante per A e B: y y 1 = y y 1 x x 1 (x x 1 ) Ora possiamo fare alcune valutazioni sul coefficiente angolare di una retta y = mx + q qualsiasi: presi a caso su di essa due punti A (x 1, y 1 ) e B (x, y ) si ha che il rapporto fra le differenze delle loro coordinate deve coincidere con il suo coefficiente angolare:

m = y y 1 x x 1 Questo fatto indica che il valore del coefficiente angolare è in relazione con l angolo di incidenza della retta rispetto all asse delle ascisse (o a qualunque sua parallela). 1..3 Parallelismo e fascio improprio di rette La condizione per cui due rette siano parallele può essere vista nel fatto che abbiano uguale angolo di incidenza rispetto all asse delle ascisse; in definitiva, per quanto visto precedentemente, si ha che una condizione necessaria e sufficiente perché due rette siano parallele è che abbiamo lo stesso coefficiente angolare. Nel caso che anche il termine noto sia identico, allora le due rette si dicono coincidenti. L insieme di tutte le rette del piano parallele ad una retta data (cioè tutte le rette che hanno coefficiente angolare uguale a quello della retta data) formano un fascio improprio di rette. Se l equazione della retta r data è: y = m r x + q r allora l equazione del fascio improprio è semplicemente: y = m r x + q 1..4 Perpendicolarità Siano r una generica retta e s una retta ad essa perpendicolare; senza perdere generalità, possiamo individuare un riferimento cartesiano con origine O nel punto d intersezione tra le due rette. In questo sistema l equazione della retta r sarà y = m r x e quella della retta s sarà y = m s x. Vogliamo scoprire qual è la relazione tra i coefficienti angolari di due rette parallele; a tal fine possiamo individuare su r il punto A (x r, y r ) e su s il punto B (x s, y s ) tali che sia uguale la loro distanza dall origine. Chiamati C (x r, 0) e D (x s, 0) le proiezioni di A e B sull asse delle ascisse, si ha che: m r = AC OC m s = BD OD Inoltre i triangoli AOC e BOD sono congruenti per il secondo criterio di congruenza dei triangoli; in particolare AC = OD e BD = OC. Quindi: m s = BD OD = OC AC = 1 m r che rappresenta il criterio di perpendicolarità tra due rette: due rette sono perpendicolari se e solo se il coefficiente angolare di una è l opposto del reciproco del coefficiente angolare dell altra. 1..5 Ricerca dell equazione di determinate rette Poiché una retta su un piano ha due gradi di libertà rappresentati da coefficiente angolare e termine noto, la ricerca dell equazione di una certa retta si riduce a tentare di determinare il valore di questi due parametri. E ovvio che per tale ricerca sono necessarie e sufficienti due informazioni indipendenti sulla retta da individuare, ad esempio due suoi punti interni, oppure un punto interno ed una retta ad essa parallela o perpendicolare: Retta passante per due punti A (x 1, y 1 ) e B (x, y ): 3

y y 1 = y y 1 x x 1 (x x 1 ) Retta passante per un punto A (x 1, y 1 ) e parallela alla retta y = m r x + q r : y y 1 = m r (x x 1 ) Retta passante per un punto A (x 1, y 1 ) e perpendicolare alla retta y = m r x + q r : y y 1 = 1 m r (x x 1 ) 1..6 Posizione reciproca di due rette Due rette complanari con lo stesso coefficiente angolare possono essere semplicemente parallele, se non hanno punti comuni; oppure coincidenti se hanno tutti i punti in comune. In entrambi i casi è immediatamente evidente quali siano i punti comuni. Se invece i coefficienti angolari sono diversi, le due rette sono incidenti, vale a dire hanno un unico punto comune detto intersezione. Come abbiamo già visto nel capitolo dedicato ai sistemi lineari, per trovare il punto d intersezione di due rette incidenti si deve risolvere il sistema (sicuramente determinato!) formato dalle equazioni delle due rette, trovando così l unico punto le cui coordinate soddisfano contemporaneamente entrambe le equazioni. 1..7 Distanza di un punto da una retta Ricavare la distanza di un punto P da una retta r (ovviamente, con P r) è un esercizio facilmente risolubile scrivendo l equazione della retta s perpendicolare a r e passante per P; si calcola poi la distanza tra P e l intersezione di r e s. In alternativa si può dimostrare che la distanza d(r, P) del punto P (x 0, y 0 ) dalla retta r di equazione ax + by + c = 0 è data da: d(r, P) = ax 0 + by 0 + c a + b 1.3 La parabola Una parabola può essere definita come il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da una retta detta direttrice y = d e da un punto detto fuoco (esterno alla retta) F (x 0, y 0 ). Cerchiamo di dimostrare che, scegliendo un sistema di riferimento con asse delle ascisse parallelo alla direttrice, l equazione della parabola è del tipo: y = ax + bx + c. Facendo riferimento alla figura 14.1, si deve avere: FP = PA (x x 0 ) + (y y 0 ) = y d Elevando tutto al quadrato e sviluppando i calcoli: x x 0 x + x 0 + y y 0 y + y 0 = y dy + d y (y 0 d) = x x 0 x + x 0 + y 0 d 1 y = [ (y 0 d) ] x + [ x 0 y 0 d ] x + [x 0 + y 0 d (y 0 d) ] = ax + bx + c 4

Figura 14.1 1.3.1 Vertice, fuoco e direttrice della parabola Per evidenziare le relazioni tra i coefficienti a, b e c della parabola e le coordinate di vertice e fuoco si nota in primo luogo che l ascissa di questi ultimi è evidentemente la stessa, cioè x o. E immediato verificare che: x b [ 0 a = y 0 d ] x 0 y = 0 d = x 0 1 [ (y 0 d) ] 1 y 0 d y 0 d = x 1 0 y 0 d Avendo l ascissa del vertice, l ordinata si trova mediante sostituzione nell equazione della parabola: y = a ( b a ) + b ( b b ) + c = a 4a b b + c = a 4a + c = 1 4a (b 4ac) y = 4a Per quanto riguarda il fuoco F ( b, y a 0) e la retta direttrice y = d, si ha che: 4a = y 0 + d y 0 + d = a e contemporaneamente: Quindi: a = y 0 + d = a y 0 d = 1 a In definitiva per vertice, fuoco e direttrice si ha che: 1 (y 0 d) y 0 d = 1 a y 0 = 1 a a d = 1 a a y 0 = 1 4a 4a d = 1 4a 4a 5

V ( b a, 4a ) F ( b a, 1 4a 4a ) y = 1 4a 4a 1.4 Retta e parabola Se si vogliono conoscere eventuali punti comuni (intersezioni) tra una retta ed una parabola, è sufficiente risolvere il sistema tra le equazioni di retta e parabola ottenendo in generale una equazione al massimo di secondo grado che, a seconda del valore del suo discriminante, potrà avere due soluzioni (nel caso di retta secante, cioè positivo), oppure una soluzione (nel caso di retta tangente, cioè nullo), oppure nessuna soluzione (nel caso di retta esterna, cioè negativo). E possibile trovare l equazione di rette tangenti ad una parabola e passanti per un dato punto, che può appartenere alla parabola (allora si trova una sola soluzione) oppure essere esterno alla parabola (allora si trovano due soluzioni) oppure essere interno alla parabola (allora non si trova nessuna soluzione). Si scrive l equazione del fascio di rette passante per il punto dato e poi si inizia a risolvere il sistema composto dall equazione del fascio e dall equazione della parabola; appena si ottiene l equazione risolutiva di secondo grado in x, si impone che il discriminante sia nullo e si ricava il corrispondente valore del coefficiente angolare. In generale, la ricerca delle equazioni di una retta e di una parabola tangenti si imposta (dopo aver sfruttato tutte le informazioni per diminuire al massimo il numero di parametri) mediante la condizione per cui il sistema tra retta e parabola abbia una sola soluzione reale: y = mx + q y = ax + bx + c ax + (b m)x + (c q) = 0 Tale condizione è che il discriminante dell equazione di secondo grado ricavata sia nullo: = 0 (b m) 4a(c q) = 0 1.5 La Circonferenza Una circonferenza può essere definita come il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto detto centro C (x C, y C ). Cerchiamo di dimostrare che, in un sistema di riferimento cartesiano, l equazione della circonferenza è del tipo: x + y + ax + by + c = 0. La distanza dei punti della circonferenza dal centro, chiamata raggio, sia pari a R; allora per ogni generico punto P (x, y) appartenente alla circonferenza si deve avere: PC = (x x C ) + (y y C ) = x x C x + x C + y y C y + y C = R x + y + ( x C )x + ( y C )y + (x C + y C R ) = 0 x + y + ax + by + c = 0 L equazione quindi si ottiene ponendo a = x C, b = y C e c = x C + y C R. 1.5.1 Centro e raggio della circonferenza Per evidenziare le relazioni dei coefficienti a, b e c della circonferenza con il raggio e le coordinate del centro si nota in primo luogo che queste ultime hanno valore: 6

Allo stesso modo si ricava il valore del raggio: x c = a ; y c = b R = x C + y C c R = xc + y C c = a 4 + b 4 c A questo punto è evidente che non tutte le equazioni del tipo x + y + ax + by + c = 0 rappresentano una circonferenza; perché questo accada è necessario che il raggio abbia valore positivo, per cui occorre porre la condizione: a 4 + b 4 c > 0 1.6 Retta e circonferenza Se si vogliono conoscere eventuali punti comuni (intersezioni) tra una retta ed una circonferenza, è sufficiente risolvere il sistema tra le equazioni di retta e circonferenza ottenendo in generale una equazione al massimo di secondo grado che, a seconda del valore del suo discriminante, potrà avere due soluzioni (nel caso di retta secante, cioè positivo), oppure una soluzione (nel caso di retta tangente, cioè nullo), oppure nessuna soluzione (nel caso di retta esterna, cioè negativo). E possibile trovare l equazione di rette tangenti ad una circonferenza e passanti per un dato punto, che può appartenere alla circonferenza (allora si trova una sola soluzione) oppure essere esterno alla circonferenza (allora si trovano due soluzioni) oppure essere interno alla circonferenza (allora non si trova nessuna soluzione). Si possono seguire diversi metodi per trovare una retta tangente alla circonferenza: si può scrivere l equazione del fascio di rette passante per il punto dato e poi si inizia a risolvere il sistema composto dall equazione del fascio e dall equazione della parabola; appena si ottiene l equazione risolutiva di secondo grado in x, si impone che il discriminante sia nullo e si ricava il corrispondente valore del coefficiente angolare. In pratica, la ricerca delle equazioni di una retta e di una circonferenza tangenti si imposta (dopo aver sfruttato tutte le informazioni per diminuire al massimo il numero di parametri) mediante la condizione per cui il sistema tra retta e circonferenza abbia una sola soluzione reale: y = mx + q x + y + ax + by + c = 0 x + (mx + q) + ax + b(mx + q) + c = 0 Tale condizione è che il discriminante dell equazione di secondo grado ricavata sia nullo. In alternativa, si può procedere imponendo alla retta ed alla circonferenza che la distanza tra il centro e la retta sia uguale al raggio (infatti il raggio che unisce un punto di tangenza al centro è sempre perpendicolare alla retta tangente). Infine, se il problema è trovare una retta tangente in un particolare punto della circonferenza, si può ricavare il coefficiente angolare del segmento che ha per estremi il centro e il punto di tangenza e poi cercare l equazione della retta ad esso perpendicolare passante per il punto di tangenza. 1.7 L ellisse Un ellisse può essere definita come il luogo geometrico dei punti del piano tali che sia costante la somma delle loro distanze da due punti (detti fuochi) F 1 (x 1, y 1 ) e F (x, y ). Cerchiamo di dimostrare che, scegliendo un sistema di riferimento con asse delle ascisse parallelo alla direzione di F 1 F punto medio dello stesso segmento (detto centro dell ellisse), l equazione dell ellisse è del tipo: x a + y b = 1 7 e origine nel

Nel sistema di riferimento scelto, posta la distanza tra i due fuochi uguale a c e la somma delle distanze di ciascun punto dell ellisse dai fuochi uguale a a, si avrà che: F 1 ( c, 0) e F (c, 0). Calcoliamo la somma delle distanze del generico punto P (x, y) appartenente all ellisse: PF 1 + PF = (x + c) + y + (x c) + y = a (x + c) + y = a (x c) + y (x + c) + y = 4a + (x c) + y 4a (x c) + y x + cx + c + y = 4a + x cx + c + y 4a (x c) + y 4cx = 4a 4a (x c) + y cx = a a (x c) + y a cx = a x cx + c + y a 4 a cx + c x = a (x cx + c + y ) a 4 a cx + c x = a x a cx + a c + a y a 4 + c x = a x + a c + a y a 4 a c = a x c x + a y a (a c ) = x (a c ) + a y Poniamo a c = b ; l equazione allora diventa: a b = x b + a y x a + y b = 1 Questa è l equazione dell ellisse in forma normale. Poiché abbiamo posto a c = b, e visto che c rappresenta la distanza tra i fuochi, si avrà necessariamente a > b ; nel caso limite in cui i fuochi coincidano, quindi con c = 0 e a = b, e facile vedere che l ellisse si riduce ad una circonferenza. E intuitivo notare che, nella nostra configurazione, gli assi cartesiano sono assi di simmetria dell ellisse. Inoltre, poiché è immediato vedere che le intersezioni dell ellisse con gli assi sono (±a, 0) e (0, ±b), l asse minore dell ellisse (verticale) misura b e l asse maggiore (orizzontale) misura a. Poiché c = a b, si ha immediatamente che F 1 ( a b, 0) e F ( a b, 0). Per ogni considerazione relativa alla posizione reciproca tra un ellisse ed una retta si può fare riferimento a quanto scritto precedentemente riguardo alle altre curve studiate. 1.7.1 Eccentricità dell ellisse Il rapporto tra la distanza focale (c) e l asse maggiore (a) si chiama eccentricità: e = c a = a b a Poiché 0 < c < a, si avrà che 0 < e < 1. Tra i due casi limite abbiamo già valutato quello di eccentricità nulla (fuochi coincidenti) che porta ad una circonferenza con centro coincidente con i fuochi; quando l eccentricità si avvicina all unità invece significa che i fuochi hanno distanza che aumenta indefinitamente: al limite l ellisse degenererà su una retta (l asse delle ascisse). 8