Esercitazione del 0/06/05 Probabilità e Statistica Foglio David Barbato Esercizio. Ci sono 0 monetine di cui 5 con due teste, con due croci e regolari una moneta regolare ha una faccia testa e una faccia croce e la probabilità che esca testa è uguale a quella che esca croce). a) Se vengono lanciate tutte e dieci le monete, qual è la probabilità che ci siano più teste che croci. b) Scelta una moneta a caso ed effettuato un lancio, qual è la probabilità che dia croce. c) Scelta una moneta a caso ed effettuato un lancio, qual è la probabilità che sia una moneta regolare sapendo che il risultato del lancio è croce. d) Scelgo una moneta a caso ed effettuo 00 lanci, stimare la probabilità che si realizzino più di 60 teste. Lancio sempre la stessa moneta.) Esercizio. In uno dei suoi celebri esperimenti, Mendel esaminò il colore di 580 piante di piselli. Supponiamo che ciascuna pianta di piselli abbia una probabilità p = di avere i frutti gialli, e che tali probabilità siano indipendenti. a) Calcolare la media e la varianza del numero totale di piante di piselli gialle. b) Stimare, utilizzando l approssimazione normale, la probabilità che il numero totale di piante dai frutti gialli sia strettamente) compreso tra 0 e 80. c) Mendel osservò 5 piante dai frutti gialli. Calcolare la probabilità che il numero totale di piante dai piselli gialli sia 5. Dapprima utilizzare la distribuzione binomiale scrivere solo la formula) e poi stimare tale probabilità utilizzando l approssimazione normale. d) Supponendo che la probabilità di avere frutti gialli fosse stata invece p = quale sarebbe stata la probabilità di osservare un numero di piante dai frutti gialli compreso tra 0 e 80? Esercizio. Nel 008, in Veneto, sono stati celebrati 0000 matrimoni. Assumiamo che ciascun coniuge sia nato in un giorno a caso tra i 65 dell anno stiamo supponendo che nessuno sia nato il 9 febbraio). E supponiamo inoltre che tali eventi siano indipendenti. a) Calcolare il numero medio di coppie in cui entrambi i coniugi sono nati il 5 dicembre.
b) Calcolare il numero medie di coppie che festeggiano il compleanno lo stesso giorno. c) Stimare la probabilità che il numero di coppie che festeggia il compleanno lo stesso giorno sia superiore a 00. Esercizio. Sia X una variabile aleatoria binomiale di parametri p = e n = : a) Calcolare E[X + ]. b) Calcolare V AR[X + ]. c) Stimare P X >= 7).Utilizzare l approssimazione gaussiana con la correzione di continuità) Esercizio 5. Sia X una v.a. uniforme sull intervallo 0, ), sia g la funzione definita da { x 0 gx) = x 0 x = 0 Calcolare E[gX)]. Esercizio 6. Una macchina per il confezionamento del latte riempe i cartoni con una quantità di latte casuale, rappresentata da una v.a. X Nµ, σ ). Il valore di riempimento ideale sarebbe 000 ml, ma vi è una certa tolleranza: una confezione è considerata accettabile se contiene tra 975 e 05 ml di latte, e difettosa altrimenti. a) Se µ = 000 e σ = 0. Qualè la probabilità che una confezione sia difettosa. b) Supponiamo ancora che µ = 000, per quali valori di σ la probabilità che una confezione sia difettosa è minore del 5%? Esercizio 7. Calcolo delle Probabilità 8//00 Sia X una variabile aleatoria normale con distribuzion e X N0, 9). Sia Y = max{x, 0}. a) Dimostrare che Y ha funzione di ripartizione: { 0 t < 0 b) Calcolare E[Y ]. F Y t) = φ t ) t 0 Esercizio 8. Siano X, X e X tre variabili aleatorie indipendenti. Supponiamo inoltre che X abbia una distribuzione binomiale Bn, p) di parametri p = e n = che X abbia una distribuzione normale N µ, σ ) di parametri µ = e σ = e che X abbia invece una distribuzione di Poisson Pλ) di
parametro λ =. Siano infine T = X + X + X, Z = X X X e W = maxx, X, X ). a) Calcolare il valore atteso e varianza di T. b) Calcolare il valore atteso e varianza di Z utilizzare la formula VARZ) = E[Z ] E[Z]) ). c) Calcolare P W < ). d) Calcolare E[X + X ) X + X )]. Esercizio 9. Siano X, X e X tre variabili aleatorie indipendenti. Supponiamo inoltre che X abbia una distribuzione bernoulliana di parametro p = che X abbia una distribuzione binomiale Bn, p) di parametri p = e n = che X abbia una distribuzione normale N µ, σ ) di parametri µ = e σ =. Siano infine T = X + X + X, Z = maxx, X, X ). a) Calcolare il valore atteso e la varianza di T. b) Calcolare P X < X ). c) Calcolare P Z > ). d) Calcolare E[ +X ]. Esercizio 0. Siano X, X e X tre variabili aleatorie indipendenti. Sia X v.a. con distribuzione bernoulliana di parametro p =. Sia X v.a. con distribuzione normale N µ, σ ) di parametri µ = 5 e σ =. Sia X una variabile aleatoria discreta a valori in {, 7} con P X = ) = e P X = 7) =. Siano infine T = X X X e Z = maxx, X, X ). a) Calcolare media, varianza e momento del secondo ordine di X. b) Calcolare media e varianza di T. c) Calcolare P Z > 6). d) Calcolare E[X X ) X + X )]. Esercizio. Sia X, X e X tre variabili aleatorie indipendenti. Sia X v.a. con distribuzione uniforme su 0, ). Sia X v.a. normale di media µ = e varianza σ =. Sia X v.a. con distribuzione bernoulliana di parametro p =. Siano infine Z = X + X + 7 X e W = maxx, X ). a) Calcolare media e varianza di Z. b) Calcolare E[X ], E[X ]. E[X ]. c) Calcolare E[X X + ) X + X )]. d) Calcolare P X > X ). e) Calcolare F W. Esercizio. Siano X, Y e Z tre variabili aleatorie indipendenti. Supponiamo che X sia Poissoniana di parametro λ =, Y sia Binomiale di parametri n = e p =, mentre Z ha distribuzione normale di media µ = 0
e varianza σ =. a) Calcolare E[X + Y Z]. b) Calcolare E[XY Z]. c) Calcolare E[X + Y + Z ]. d) Calcolare E[X + Y ) ]. e) Calcolare P X + Y = 0). f) Calcolare P X Y = 0). g) Calcolare P Y Z = 0). h) Calcolare P Y Z > 0). i) Calcolare E[Y 6 ]. l) Calcolare P [X = Y ]. m) Calcolare P Z > Y ). Utilizzare φ0) = 0.5, φ) = 0.8 e φ) = 0.9775) Esercizio. Sia X una v.a. aleatoria assolutamente continua con densità f X data da 0 x < 0 α x f X x) = 0 x < α 0 α x con α > 0. a) Determinare α. b) Determinare la funzione di ripartizione F X. c) Calcolare E[X]. d) Sia Y una v.a. uniforme sull intervallo 0, ), trovare una funzione g da 0, ) in R non decrescente tale che posto Z = gy ) si abbia Z X. e) Calcolare E[gY )], utilizzando la formula per il calcolo del valore medio di una funzione di variabile aleatoria assolutamente continua. Verificare che E[gY )] = E[X]) Soluzioni Esercizio a) 7, b) 7, c), d) + Φ.)) 0.5056 8 0 7 0 Esercizio a) 5, 08.75 b) φ.) φ.5) = 0.990 c) ) 580 5 )5 )8, φ0.7) φ0.6) = 0.087 d) φ 9.8) φ.08) 0
Esercizio 5 E[gX)] = Esercizio 8 E[X ] = np = VARX ) = np p) = E[X ] = np p) + n p = E[X ] = µ = VARX ) = σ = E[X ] = σ + µ = E[X ] = λ = VARX ) = λ = E[X ] = λ + λ = Dove E[X i ] può essere ottenuto anche come E[X i ] = E[X i ]) + VARX i ). a) E[T ] = E[X + X + X ] = E[X ] + E[X ] + E[X ] = + + = VART ) = VARX + X + X ) = VARX ) + VARX ) + VAR X ) = = + + = 5 =.5 b) E[Z] = E[X X X ] = E[X ] E[X ] E[X ] = = E[Z ] = E[X X X ] = E[X ] E[X ] E[X ] = = 6 c) P W < ) = P = P VARZ) = E[Z ] E[Z]) = 6 = 5 maxx, X, X ) < ) = P X <, X <, X < ) = X < ) P X < ) P X < ) = P X = 0) P X < ) P X = 0) Utilizzando le definizioni di densità discreta per variabili binomiali e di Poisson si ha : P X = 0) = p) n = P X = 0) = e λ = e Per calcolare P X < ) bisogna ricondursi ad una normale standard: P X < ) X µ = P σ < µ ) X µ = P < ) σ σ 5
P X < ) = φ ) = 0.085 dunque P W < ) = 0.085 e = 0.08 d) Prima di tutto osserviamo che le variabili X + X ) e X + X ) non sono indipendenti perché hanno entrambe X come addendo). Sviluppando il prodotto si ha: Esercizio 9 a) E[X + X ) X + X )] = E[X X + X X + X + X X ] = = E[X X ] + E[X X ] + E[X ] + E[X X ] = = E[X ] E[X ] + E[X ] E[X ] + E[X ] + E[X ] E[X ] = = + + + = 5 E[X ] = VARX ) = = 9 E[X ] = = VARX ) = = E[X ] = µ = VARX ) = σ = E[T ] = E[X + X + X ] = E[X ] + E[X ] + E[X ] = = + + = + + = 9 VART ) = VARX +X +X ) = VARX )+ VARX )+9 VARX ) = b) = 9 + + 6 = 5 9 P X < X ) = P X < X X = 0)P X = 0)+P X < X X = )P X = ) = = P X < 0 X = 0)P X = 0) + P X < X = )P X = ) = < ) + P X = P X < 0) +P X < ) = P X < ) = 6
= Φ ) + Φ 0) = )) Φ + Φ 0) 0.085) + = 0.76 c) P Z > ) = P Z ) = P X ) P X ) P X ) = X P X = 0) P X = 0) P ) = = ) Φ ) = )) Φ = 0.9666 d) [ ] E = + X k=0 + k P X = k) = 8 + 8 + 8 + 8 = = + 8 + + 8 = 5 96 = 5 Esercizio 0 E[X ] = p = VARX ) = p p) = 6 E[X ] = p = E[X ] = µ = 5 VARX ) = σ = 9 E[X ] = σ + µ = E[X ] = 6 VARX ) = E[X ] = 8 a) Dove E[X ], E[X ] e VarX ) sono state ottenute tramite calcolo esplicito: E[X ] = k k P X = k) = + 7 = 6 E[X ] = k k P X = k) = 6 + 9 = 8 VarX ) = E[X ] E[X ] = 8 6 = 7
b) Per l indipendenza delle variabili aleatorie si ha che la speranza del prodotto è uguale al prodotto delle speranze E[T ] = E[ X X X ] = E[X ] E[X ] E[X ] = = 5 6 = 5 VarT ) = E[T ] E[T ]) E[T ] = E[ X X X ) ] = E[ X X X ] = = E[X] E[X] E[X] = 8 = 9 VarT ) = 9 5 = 067 c) P Z > 6) = P max{x, X, X } > 6) = P max{x, X, X } 6) = = P X 6, X 6, X 6) = P X 6) P X 6) P X 6) = d) F X 6) = φ 6 µ σ ) = φ ) 0.79 E[X X ) X +X )] = E[X X)] = E[X] E[X ] = =.75 Esercizio a) 7, b),, c) d) 8 e) F W w) = 0 w < 0 w 0 w < 8 w w < w 8
Esercizio a) α = b) 0 x < 0 F X x) = x x 0 x < x c) E[x] = d) gy) = y per ogni y 0, ) 9