L3 Comortamento dinamico dei sistemi Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3
Dinamica lineare e non lineare dei sistemi Per conoscere il comortamento dinamico di un sistema occorre integrare le equazioni differenziali che descrivono la sua evoluzione nel temo. La ratica totalità delle equazioni differenziali, che descrivono la dinamica di un rocesso chimico/industriale, è non lineare. Sfortunatamente, non esiste una teoria matematica er la soluzione analitica di ODE non lineari. Solo le ODE lineari disongono di soluzioni analitiche in forma chiusa. N.B.: in mathematics, an equation or system of equations is said to have a closed-form solution if, and only if, at least one solution can be exressed analytically in terms of a bounded number of certain well-known functions. Tyically, these well-known functions are defined to be elementary functions; so infinite series, limits, and continued fractions are not ermitted. htt://dictionary.babylon.com/analytic%20solution Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 2
Dinamica lineare e non lineare dei sistemi Per effettuare un analisi dinamica di un sistema non lineare è ossibile: 1. calcolare la soluzione numerica del sistema non lineare; 2. trasformare il sistema non lineare in un sistema lineare tramite un oortuna trasformazione di variabili; 3. sviluare un modello lineare del sistema non lineare in un intorno della sua condizione oerativa. L alternativa 1, un temo esante, onerosa e quindi anche temuta e ossibilmente evitata, oggi è viceversa fattibile e accessibile sia come sforzo imlementativo che come eso calcolistico. Esistono ottimi metodi matematici, algoritmi e routine er la soluzione di sistemi: ODE (ordinary differential equations) stiff e non stiff DAE (differential and algebraic equations) N.B.: un sistema DAE è semre stiff Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 3
Dinamica lineare e non lineare dei sistemi L alternativa 2 è raramente utilizzabile e quindi non è di interesse. L alternativa 3 è in linea di rinciio semre imlementabile anche se evidentemente introduce uno scollamento (i.e. arossimazione) tra il sistema originale non lineare e quello linearizzato. È oortuno sottolineare che in assato tutta la teoria della rogettazione di sistemi di controllo si basava su sistemi lineari e che ben ochi rogressi sono stati comiuti nello sviluo di una teoria del controllo er sistemi non lineari. Cenni a sistemi non lineari ed alla loro risoluzione/integrazione: Algebrici Differenziali Algebrico differenziali Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 4
Linearizzazione di equazioni differenziali Un sistema differenziale non lineare uò essere arossimato da un sistema lineare tramite l oerazione di linearizzazione. Iniziamo a considerare un equazione differenziale in una variabile: dy f y dt esandendo in serie di Taylor la f(y) intorno al unto y 0 si ottiene: trascurando i termini di ordine sueriore al rimo si ottiene la seguente arossimazione: 2 n y y y y 2 df d f 0 d f 0 0 0 2 n dy dy 2! dy n! y y y f y f y y y 0 0 0 df f y f y y y dy 0 0 N.B.: l arossimazione lineare è soddisfacente soltanto quando y è rossimo a y 0. y 0 n Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 5
Linearizzazione di equazioni differenziali Conseguentemente l equazione differenziale originale y = f(y) viene arossimata dalla linearizzazione: dy dt df f y y y dy 0 0 y 0 Si consideri a titolo di esemio l equazione differenziale descrivente il bilancio massivo comlessivo di un serbatoio: F i A h F o Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 6
Linearizzazione di equazioni differenziali dh Abbiamo: A Fi Fo dt La ortata uscente è funzione del battente di liquido secondo la diendenza funzionale: Fo h L equazione differenziale non lineare del sistema risulta quindi ari a: dh A h Fi dt che vede un unico termine non lineare in: h Esandendo in serie di Taylor l unico termine non lineare e troncandolo al rimo termine si ha: h h h h 2 h 0 0 ove h 0 è un oortuno unto scelto dall utente risetto cui avviene la linearizzazione. 0 Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 7
Linearizzazione di equazioni differenziali L equazione differenziale linearizzata risetto al unto h 0 risulta essere: dh A h F h dt 2 h i 2 0 0 7 Confronto modello lineare e non lineare 6 livello nel serbatoio 5 4 3 2 Modello non lineare 1 Modello lineare 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 temo h 0 = 7 e F in = 0 Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 8
Linearizzazione di equazioni differenziali Si noti come anche il modello linearizzato non roduca una risosta lineare. Si noti altresì come in rossimità di h 0 (cioè in rossimità del unto di linearizzazione della variabile diendente h) i due modelli (lineare e non lineare) siano raticamente identici. Al contrario iù il modello si discosta da h 0 con il assare del temo iù i due modelli risultano distinti. Il modello linearizzato non è adeguato a descrivere il sistema reale (non lineare) er temi sufficientemente elevati corrisondenti all allontanamento del sistema dal unto originale di linearizzazione. Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 9
Linearizzazione di equazioni differenziali Nel caso di modelli con iù variabili l arossimazione di un sistema dinamico non lineare segue una strada analoga a quella di un sistema con una sola variabile. A titolo d esemio si consideri il sistema non lineare costituito da 2 ODE: dy dt dy dt 1 2 f f 1 1 2 y, y y, y 2 1 2 Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 10
Linearizzazione di equazioni differenziali Si rocede con lo sviluo in serie di Taylor delle funzioni non lineari: f1 f1 f1 y1, y2 f1 y1,0, y2,0 y1 y1,0 y2 y2,0 y1 y y 2 1,0, y2,0 y1,0, y2,0 2 2 2 2 2 f y1 y1,0 2 2,0 1 f y y 1 f1 2 2 y1 y1,0 y2 y2,0 y1 2! y2 2! y y 1y2 1,0, y2,0 y1,0, y2,0 y1,0, y2,0 f2 f2 f2 y1, y2 f2 y1,0, y2,0 y1 y1,0 y2 y2,0 y1 y2 y1,0, y2,0 y1,0, y2,0 2 2 2 2 2 f y1 y1,0 2 2,0 2 f y y 2 f2 2 2 y1 y1,0 y2 y2,0 y1 2! y2 2! y y 1y2 1,0, y2,0 y1,0, y2,0 y1,0, y2,0 Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 11
Linearizzazione di equazioni differenziali Trascurando i termini dello sviluo in serie sueriori al rimo si ottiene l arossimazione lineare: f f f y y f y y y y y y 1,0 2,0 1,0 2,0 f f f y y f y y y y y y 1,0 2,0 1,0 2,0 1 1,, 1 1 2 1 1,0 2,0 1 1,0 2 2,0 y1 y y, y 2 y, y 2 2,, 2 1 2 2 1,0 2,0 1 1,0 2 2,0 y1 y y, y 2 y, y Il sistema dinamico linearizzato risulta essere: dy f f f y y y y y y dt y y 1,0 2,0 1,0 2,0 dy f f f y y y y y y dt y y 1,0 2,0 1,0 2,0, 1 1 1 1 1,0 2,0 1 1,0 2 2,0 1 y, y 2 y, y, 2 2 2 2 1,0 2,0 1 1,0 2 2,0 1 y, y 2 y, y Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 12
Linearizzazione di equazioni differenziali Anche in questo caso valgono le seguenti considerazioni: l arossimazione lineare eggiora man mano che il unto (y 1,y 2 ) si allontana dal unto iniziale (y 1,0,y 2,0 ) risetto cui il sistema è stato linearizzato; la bontà dell arossimazione lineare diende dal unto (y 1,0,y 2,0 ) intorno al quale è stato svolto lo sviluo in serie di Taylor. N.B.: er semlicità sia l esemio basato su di una variabile di integrazione sia quello basato su due variabili hanno visto la linearizzazione delle equazioni risetto alle variabili di stato y i. In realtà la linearizzazione uò essere effettuata anche nel caso di resenza di variabili di inut quali quelle maniolate o i disturbi. Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 13
Linearizzazione di equazioni differenziali Per maggior chiarezza, si consideri il sistema non lineare: dy dt dy dt Il sistema linearizzato risulta essere: 1 2 f y, y, m, m, d 1 1 2 1 2 1 f y, y, m, m, d 2 1 2 1 2 2 dy1 f1 f1 f1 y1,0, y2,0, m1,0, m2,0, d1,0 y1 y1,0 y2 y2,0 dt y1 y 0 2 0 f1 f1 f1 m1 m1,0 m2 m2,0 d1 d1,0 m1 m 0 2 d 0 1 0 dy f f f y, y, m, m, d y y y y dt y y 2 2 2 2 1,0 2,0 1,0 2,0 2,0 1 1,0 2 2,0 1 0 2 0 f f f m 2 2 2 m1 m1,0 m2 m2,0 d2 d2,0 1 m 0 2 d 0 1 0 Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 14
Linearizzazione di un CSTR non isotermo Si considerino le equazioni costitutive di un CSTR non isotermo (reazione esotermica) caratterizzato da un volume di reazione V costante nel temo: dca 1 E RT ca c i A k0e ca dt dt 1 UA dt E RT exc T T Jk e c T T i 0 A c cv dove: J H c r V ; F i A exc è l area di scambio del CSTR incamiciato e T c è la temeratura del refrigerante che scorre nella camicia. L unico termine non lineare di tutto il modello è quello cinetico: E RT e c A Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 15
Linearizzazione di un CSTR non isotermo Linearizzando tale termine risetto ad un unto oerativo (T 0, c A,0 ) si ottiene: Il sistema linearizzato risulta quindi: E RT E RT e ca e ca E RT E RT 0 E RT 0 e c e c T T e c c c A A,0 0 A,0 A A,0 T ca T, c T, c 0 A,0 0 A,0 E E RT 0 E RT 0 E RT 0 e c e c T T e c c A,0 2 A,0 0 A A,0 RT0 dc 1 A E RT E 0 E RT 0 E RT 0 ca c 0,0 2,0 0,0 i A k e ca e ca T T e ca ca dt RT 0 dt 1 E UA dt RT c V E RT 0 E RT 0 E RT 0 exc T T Jk e c e c T T e c c T T i 0 A,0 2 A,0 0 A A,0 c 0 Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 16
Sistemi del rimo ordine Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 17
Sistemi del rimo ordine Un sistema del rimo ordine è caratterizzato da un equazione differenziale del rimo ordine descrivente la dinamica della variabile di outut y(t). Nel caso di un sistema lineare o linearizzato si ha l equazione differenziale: a a y b f t dt dove f(t) è l inut al sistema ed è anche definito funzione forzante o iù brevemente forzante del sistema. Se a 0 0 allora è ossibile scrivere: dy 1 0 a1 dy a dt y b a 0 0 f t che diviene: dy y K f t dt avendo osto: a b 1 K a0 a0 Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 18
Sistemi del rimo ordine Rirendendo l equazione del rimo ordine: Si hanno le seguenti definizioni: dy y K f t dt costante di temo del rocesso; K guadagno statico (o semlicemente guadagno) del rocesso. Se viceversa a 0 = 0 allora: dy b f t K f t dt a1 ed il sistema è detto uramente caacitivo (o integratore uro). Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 19
Processi del rimo ordine Processi del rimo ordine sono caratterizzati dal fatto che: sono in grado di immagazzinare materia, energia e/o quantità di moto; resentano una resistenza associata al flusso di massa, energia o quantità di moto nel raggiungimento della caacità di stoccaggio. Conseguentemente la risosta dinamica di serbatoi che hanno la caacità di stoccare liquidi o gas uò essere modellata da sistemi del rimo ordine. La resistenza di tali sistemi è legata alle: ome, valvole, stramazzi o condotti associati alle correnti liquide o gassose entranti o uscenti. Analogamente, la risosta in termini di temeratura di sistemi solidi, liquidi o gassosi in grado di stoccare energia (i.e. caacità termica, c ) viene modellata da sistemi del rimo ordine. Per questi sistemi la resistenza allo scambio di energia è raresentata dal trasferimento di calore attraverso areti, liquidi o gas. Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 20
Processi del rimo ordine Un rocesso che abbia la caacità di immagazzinare massa o energia ed oeri da olmone tra le correnti entranti ed uscenti è modellabile come un sistema del rimo ordine. Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 21
Esemio: rocesso rimo ordine caacitivo Si consideri il seguente serbatoio: F i A h R F o La ortata volumetrica entrante è F i mentre quella uscente è F o. La resistenza R relativa alla ortata uscente descrive una resistenza al flusso e fisicamente è costituita da un condotto o da una valvola o da uno stramazzo. Assumiamo che la ortata uscente F o dienda linearmente dal battente idrostatico (h) attraverso la resistenza R: F o h R agevolazione al flusso resistenza al flusso Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 22
Esemio: rocesso rimo ordine caacitivo Il bilancio massivo totale è ari a: ovvero: dh A Fi Fo Fi dt dh AR h RFi dt h R La costante di temo del sistema risulta ari a: AR Il guadagno (statico) del sistema è ari a: K R N.B.: la sezione A del serbatoio è una misura della caacità del sistema di stoccare (immagazzinare) massa. Più A è grande, maggiore è la caacità di stoccaggio del serbatoio. N.B.: dato che AR è ossibile affermare che: costante di temo = (caacità di stoccaggio) (resistenza al flusso) Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 23
Esemio: sistema uramente caacitivo Si consideri nuovamente lo stesso serbatoio caratterizzato erò da una ortata uscente F o determinata da una oma a ortata costante (quindi F o non diende dal battente di liquido nel serbatoio). Il modello dinamico del serbatoio risulta essere: In condizioni stazionarie: 0 Fi, s Fo dh A Fi F dt o Rammentando che un sistema uramente caacitivo è caratterizzato dalla seguente equazione: dy K f t dt se si imone alla forzante del sistema f(t) un cambiamento a gradino: 1 er t 0 f t Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 24
Esemio: sistema uramente caacitivo si ottiene: y t Kt È ossibile notare che: y t er t Questa è la tiica risosta di un sistema uramente caacitivo. Di qui la motivazione er chiamare i sistemi uramente caacitivi con il termine di integratori uri. y(t) N.B.: un sistema uramente caacitivo dà grossi roblemi a livello di controllo in quanto non è in grado di auto-bilanciarsi. K t Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 25
Esemio: sistema uramente caacitivo N.B.: con riferimento secifico al serbatoio uramente caacitivo, caratterizzato dalla oma di estrazione a ortata variabile, una volta regolata la ortata liquida uscente dal serbatoio (F o ) e ostala ari a quella in ingresso (F i ), una minima variazione della ortata in ingresso condurrà alternativamente il serbatoio ad una condizione di flooding (tracimazione, F i > F o ) o di svuotamento comleto (F i < F o ). Questa caratteristica è anche nota con il termine di sistema non in grado di autoregolarsi. Tiiche aarecchiature chimiche contraddistinte da una ura azione integrale sono: serbatoi di liquidi, reciienti di gas, sistemi di stoccaggio materie rime, rodotti finali, intermedi di rocesso. Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 26
Dinamica di un sistema del I ordine con ritardo La dinamica di sistemi del rimo ordine con ritardo è raresentata da: Se la forzante del sistema f(t) cambia secondo un gradino di amiezza A allora la risosta del sistema è: 1 t y t K e 1 t y t AK e Risosta adimensionale di sistemi del rimo ordine con ritardo 1 0.8 y(t) / (A * K) 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 t / taup Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 27
Dinamica di un sistema del I ordine con ritardo Si noti come il diagramma di risosta del sistema del rimo ordine con ritardo sia indiendente dai valori di A, K e e sia quindi caratteristico di un generico rocesso del rimo ordine. Un sistema del rimo ordine con ritardo è caratterizzato dalle seguenti eculiarità: è autoregolante; contrariamente ad un sistema uramente caacitivo, raggiunge un nuovo stato stazionario; nel caso del serbatoio, se la ortata entrante F i aumenta allora cresce il livello del liquido ma con esso il battente idrostatico che incrementa la ortata uscente F o e regola nuovamente il livello del serbatoio (se fisicamente resta nei limiti costruttivi). Comlessivamente il serbatoio raggiunge un nuovo stazionario (ove F i = F o ); Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 28
Dinamica di un sistema del I ordine con ritardo la endenza della risosta adimensionalizzata del sistema al temo iniziale (i.e. t = 0) è ari ad 1: il unto recedente mette in evidenza che iù la costante di temo è iccola iù riida è la risosta del sistema; d y t AK t e 1 d t il sistema raggiunge il 63% (i.e. 1 1/e) del valore finale di fine transitorio doo un temo ari alla costante di temo ; 0 t doo 3 e 4 il sistema raggiunge risettivamente il 95% e 98% del valore finale di fine transitorio. Ciò vuol dire che doo tre/quattro costanti di temo il sistema ha raticamente raggiunto (95%-98%) il nuovo stazionario; la risosta finale del sistema vale K er un cambiamento a gradino unitario della variabile di inut mentre vale A K er un cambiamento a gradino di amiezza A; Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 29
Dinamica di un sistema del I ordine con ritardo conseguentemente er un generico cambiamento a gradino della variabile di inut si ha: outut inut K er questo motivo il arametro K è detto guadagno statico del sistema; sistemi altamente resonsivi sono caratterizzati da K elevati; sistemi oco resonsivi sono caratterizzati da K ridotti. Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 30
Esemio: rocesso rimo ordine caacitivo Consideriamo nuovamente il serbatoio descritto da un sistema del rimo ordine caacitivo: F i A h R F o Assumendo costante la resistenza R e variabile l area A del serbatoio, dato che: AR se A 1 > A 2 segue che: 1 > 2. Ciò sta a significare che un serbatoio contraddistinto da una sezione maggiore (caacità maggiore) ha anche una costante di temo maggiore. Al contrario il guadagno statico resta costante, infatti: K R Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 31
Esemio: rocesso rimo ordine caacitivo La risosta di un serbatoio ad un medesimo disturbo a gradino nella ortata entrante è differente a seconda della sua sezione e quindi della caacità di contenimento. h A 2 A 1 A A 1 2 t Se la ortata entrante viene disturbata a gradino, il serbatoio avente area inferiore reagisce iù velocemente risetto a quello avente area maggiore ma alla fine entrambi raggiungono lo stesso stazionario (livello finale). Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 32
Esemio: rocesso rimo ordine caacitivo Si suonga ora che due serbatoi abbiano sia sezioni (A) che resistenze (R) differenti, tali che: A A R R 1 2 2 1 ciò significa che: A R A R 1 1 2 2 1 2 Ma se A 1 > A 2 allora deve anche essere: R 2 > R 1 e quindi: K K 2 1 che si traduce nel seguente andamento: h K R 2 2 K R 1 1 1 2 t Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 33
Esemio: rocesso rimo ordine caacitivo Dato che entrambi i serbatoi hanno la stessa costante di temo ne consegue che hanno la stessa velocità di risosta iniziale. Col rocedere del temo erò il serbatoio con la resistenza idraulica maggiore (R 2 ) fa fluire una minor ortata uscente. Cosicché il livello nel serbatoio 2 cresce maggiormente risetto al livello nel serbatoio 1. È ossibile concludere che maggiore è il guadagno statico di un sistema, maggiore risulta la sua risosta (outut) a transitorio esaurito a arità di modifica delle condizioni di ingresso (inut). Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 34
Sistemi con costante di temo e guadagno variabili Riconsideriamo il modello linearizzato del serbatoio, avente ortata di efflusso diendente dal battente di liquido, scritto in termini di variabili di scostamento: dh A hf i dt 2 h ove il edice s indica la condizione di stazionarietà. In termini di costante di temo e guadagno statico ciò equivale a scrivere: dh hk F i dt s da cui segue che: 2A h K 2 h s s Si nota che sia che K diendono da h s e quindi dalla condizione di stazionarietà raggiunta dal serbatoio che a sua volta diende dal valore stazionario della ortata entrante: F i,s. In questo caso e K non sono costanti bensì variabili. Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 35
Sistemi del secondo ordine Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 36
Sistemi del secondo ordine Un sistema del secondo ordine è caratterizzato da un equazione differenziale del secondo ordine descrivente la dinamica della variabile di outut y(t): Se a 0 0 allora si ottiene: ove: dt a 2z a K b a a a 2 2 1 0 0 0 2 d y dy 2 2 1 0 a a a y b f t dt dt 2 2 d y dy 2z 2 dt y K f t Si definiscono: = eriodo naturale di oscillazione del sistema z = fattore di smorzamento K = guadagno statico (o stazionario) del sistema Stesso significato fisico dei sistemi del rimo ordine Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 37
Sistemi del secondo ordine Sistemi del secondo ordine o sueriore ossono nascere da situazioni fisiche disarate. È ossibile classificarli secondo tre categorie distinte: 1. Processi multicaacitivi: sono costituiti da due o iù sistemi caacitivi (i.e. sistemi del rimo ordine) in serie attraverso i quali si ha flusso materiale o energetico; 2. Sistemi intrinseci del secondo ordine: sono i fluidi o gli elementi meccanici di un rocesso dotati di inerzia e sottoosti ad accelerazione. Questi sistemi sono rari nell ingegneria chimica; 3. Un rocesso con il suo controllore uò mostrare un comortamento di sistema del secondo ordine o sueriore. Il controllore, interagendo con il sistema, aggiunge un ulteriore dinamica che si eslica in un ordine sueriore del sistema comlessivo. In un rocesso chimico la maggior arte dei sistemi del secondo ordine o sueriori è raresentata da rocessi multicaacitivi o dall accoiamento con il controllore. Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 38
Risosta dinamica di sistemi del secondo ordine L integrazione analitica dell equazione differenziale del secondo ordine descrivente la dinamica del sistema di ari ordine diende significativamente dal arametro z : a1 a1 a1 z 2 a a 2 a a 2 a 0 2 0 2 0 a0 N.B.: il assaggio recedente uò essere condotto soltanto se a 0 è ositivo. N.B.: er come è stato definito, occorre che a 0 e a 2 siano di ugual segno. È ossibile distinguere tre dinamiche distinte in funzione del valore di z : z 1 sistemi sovrasmorzati z 1 sistemi a smorzamento critico z < 1 sistemi sottosmorzati Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 39
Sistemi sovrasmorzati La soluzione analitica dell equazione differenziale di secondo ordine a fronte di un gradino unitario sull inut f(t) er z 1 è: t 2 t 2 t y t K 1 e z z cosh z 1 sinh z 1 2 z 1 dove: sinh x e e e e cosh x 2 2 x x x x Sistema secondo ordine sovrasmorzato 1 0.9 0.8 z 1 z 1 0.7 0.6 z 2 y(t)/k 0.5 0.4 0.3 0.2 z 2 z 1 1 0.1 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 temo Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 40
Sistemi sovrasmorzati La risosta di un sistema del secondo ordine sovrasmorzato assomiglia a quella di un sistema del rimo ordine con gradino unitario sull inut. In realtà il sistema del secondo ordine resenta un ritardo nella risosta iniziale ed inoltre la sua risosta comlessiva è relativamente lenta. La risosta diviene rogressivamente iù lenta con l aumentare di z. Come avveniva er il sistema del rimo ordine, anche nel caso del secondo ordine il rocesso tende asintoticamente al guadagno statico K : K N.B.: sistemi in serie del rimo ordine resentano una risosta comlessiva sovrasmorzata. outut inut Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 41
Sistemi a smorzamento critico Nel caso di z 1 la risosta del sistema del secondo ordine ad un gradino unitario dell inut è ari a: 1 1 t t y t K e N.B.: come già mostrato in recedenza, un sistema a smorzamento critico raggiunge la nuova condizione stazionaria asintotica in un temo inferiore risetto ai sistemi sovrasmorzati. Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 42
Sistemi sottosmorzati La soluzione analitica dell equazione differenziale di secondo ordine a fronte di un gradino unitario sull inut f(t) er z < 1 è: 1 zt y t K 1 e sin t 2 1z 2 2 1z 1z con: atan z 1.8 Sistema secondo ordine sottosmorzato 1.6 1.4 1.2 z 2 z 3 y(t)/k 1 0.8 0.6 z 1 0.4 0.2 z 1 < z 2 < z 3 < 1 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 temo Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 43
Confronto tra sistemi sovra e sottosmorzati 1.8 Sistemi secondo ordine sovra- e sottosmorzati 1.6 1.4 sottosmorzati 1.2 y(t)/k 1 0.8 z 0.6 0.4 0.2 sovrasmorzati 0 0 2 4 6 8 10 12 t/ Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 44
Confronto tra sistemi sovra e sottosmorzati È ossibile evidenziare le seguenti differenze tra sistemi sovra e sottosmorzati: la risosta dei sistemi sottosmorzati (z < 1) è inizialmente iù veloce dei sistemi sovrasmorzati (z 1) che sono intrinsecamente iù lenti; sebbene la risosta sottosmorzata sia inizialmente iù veloce e raggiunga rima (er la rima volta) il guadagno statico, in seguito oscilla con un andamento rogressivamente smorzato; le oscillazioni risultano rogressivamente maggiori col decrescere di z. N.B.: nei rocessi chimici quasi tutte le risoste dei sistemi sottosmorzati sono dovute all interazione con controllori. Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 45
Caratteristiche sistemi sottosmorzati y t K 1.6 1.4 1.2 A 1 C 5% 0.8 0.6 T 0.4 B 0.2 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 t rise t resonse temo Si definiscono: Overshoot = A B ex z 1z 2 Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 46
Caratteristiche sistemi sottosmorzati C Decay ratio = ex A Periodo di oscillazione: T rammentando che: 2 e che: 2 f T 2z 1z 1z 2 2 segue che: T 1z 2 2 2 overshoot 2 y t K 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 A C 5% T B 0.2 0 0 t 20 40 60 80 100 120t 140 rise resonse 160 180 200 temo Si noti che se un sistema del secondo ordine sottosmorzato è caratterizzato da z 0 allora è libero da qualsiasi smorzamento (quindi oscilla continuamente senza alcun smorzamento) con un eriodo ari a: T 2 Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 47
Caratteristiche sistemi sottosmorzati Altre due grandezze caratteristiche di un sistema sottosmorzato sono: Rise time Resonse time ovvero il temo imiegato dal sistema er smorzare le oscillazioni sotto il 5% risetto al guadagno statico raggiunto a transitorio esaurito y t K 1.6 1.4 1.2 1 A C 5% 0.8 0.6 T 0.4 B 0.2 0 0 t 20 40 60 80 100 120t 140 rise resonse 160 180 200 temo Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 48
Processi multicaacitivi del secondo ordine Quando della materia o dell energia fluiscono attraverso un singolo elemento caacitivo il sistema è del rimo ordine. Nel caso invece di flusso (di materia e/o energia) attraverso due elementi caacitivi in serie (e.g., due serbatoi) il sistema comlessivo risulta del secondo ordine. Con riferimento a due serbatoi in serie è ossibile distinguere i seguenti casi: F i h 1 R 1 F 1 Serbatoi non interagenti h 2 R 2 F 2 Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 49
Processi multicaacitivi del secondo ordine F i h 1 h 2 R 1 F 1 R 2 F 2 Serbatoi interagenti Nel rimo caso i serbatoi non interagiscono, la ortata uscente dal rimo viene immessa nel secondo. Quindi ci asettiamo che la ortata uscente dal secondo dienda da quella uscente dal rimo ma non viceversa. Al contrario nel caso di serbatoi interagenti la ortata uscente dal secondo diende dalla differenza di battente liquido esistente tra i due. Quindi anche il livello del rimo serbatoio diende dalla dinamica evolutiva del secondo serbatoio. Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 50
Elementi caacitivi non interagenti Si consideri il caso dei due elementi caacitivi non interagenti. Qualitativamente si ha il seguente sistema ODE: è ossibile notare come la forzante della seconda equazione differenziale, che descrive la dinamica del secondo elemento caacitivo, sia funzione dell outut del rimo elemento caacitivo. La risosta comlessiva del sistema è del secondo ordine ed è ossibile dimostrare che il sistema risultante è semre sovrasmorzato o al limite a smorzamento critico. La risosta del sistema è: dy1 dt dy dt 1 1 1 1 2 2 1 2 2 y K f t y K y t y t K K e e 2 1 1 t t 1 2 1 1 2 1 2 rimo elemento caacitivo secondo elemento caacitivo Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 51
Due serbatoi in serie non interagenti Nel caso secifico di due serbatoi non interagenti si ha: 1 t t 1 2 h2 t K 1 e e sse 2 1 2 1 2 1 2 La risosta di questo sistema dinamico del secondo ordine è a sigmoide. È iù lenta di quella di un singolo serbatoio e la lentezza della risosta è caratterizzata da un ritardo tiico dei rocessi multicaacitivi. N.B.: iù aumenta il numero degli elementi caacitivi in serie, maggiore è il ritardo (e quindi la lentezza di risosta) del sistema risultante. Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 52
Serbatoi in serie non interagenti h 1.2 un serbatoio (rimo ordine) due serbatoi non interagenti 1 0.8 h 0.6 0.4 due serbatoi interagenti 0.2 quattro serbatoi non interagenti 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 temo t Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 53
Due serbatoi in serie interagenti Due serbatoi in serie ed interagenti sono caratterizzati dal seguente sistema ODE: dh1 A1 Fi F1 dt dh A F F dt 2 2 1 2 Se si assumono resistenze lineari è ossibile scrivere: bil. mat. rimo serbatoio bil. mat. secondo serbatoio F h h h F 1 2 2 1 2 R1 R2 ove è già ossibile notare come la ortata uscente dal rimo serbatoio dienda anche dal battente del secondo. Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 54
Due serbatoi in serie interagenti Il sistema ODE assume la forma: dh1 A1 R1 h1 h2 R1 Fi dt dh 2 R 2 R2 A2 R2 1 h2 h1 0 dt R1 R1 entrambe le equazioni differenziali debbono essere risolte simultaneamente. Questa è una caratteristica degli elementi caacitivi interagenti. Un analisi matematica del sistema ermette di evidenziare i seguenti unti: le costanti di temo dei due serbatoi sono risettivamente 1 = A 1 R 1 e 2 = A 2 R 2. Le risoste dei due serbatoi sono entrambe del secondo ordine; esiste un termine che descrive il grado di interazione dei serbatoi e vale: A 1 R 2. Più A 1 R 2 è grande, maggiore è l interazione dei due serbatoi; la risosta dinamica dei due serbatoi è semre sovrasmorzata. Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 55
Sistemi del II ordine er azione del controllore L azione di un sistema di controllo in un rocesso chimico uò modificare la risosta dinamica e quindi l ordine del sistema controllato. A titolo esemlificativo si consideri un rocesso del rimo ordine quale un singolo serbatoio. A livello rocessistico si desidera controllare il suo livello (i.e. si assegna un setoint) quando la ortata entrante F i subisce un cambiamento a gradino. F i Controllore PI A h F o V Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 56
Sistemi del II ordine er azione del controllore Si introduce un sistema di controllo in retroazione che misura il livello del serbatoio e lo confronta con il valore desiderato (i.e. setoint). Se il livello suera il setoint il controllore incrementa la ortata uscente F o mentre in caso contrario la decrementa. La ortata uscente F o viene incrementata arendo la valvola V osta sul condotto di uscita. Il sistema dinamico in termini di variabili di scostamento è: dh A F i F o dt dove le variabili di scostamento sono: h h h F F F F F F s i i i, s o o o, s Quando il liquido non è al valore desiderato (h s ) allora h 0. Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 57
Sistemi del II ordine er azione del controllore La deviazione esistente h dal valore di setoint viene utilizzata dal sistema di controllo er variare la ortata uscente F o secondo la seguente legge: dove K c e I sono due oortune costanti ositive del sistema di controllo. Si noti che nel caso di h = 0 costante nel temo allora F o = F o,s. L azione del controllore è detta roorzionale-integrale. Sostituendo F o nell equazione di bilancio materiale del serbatoio si ottiene: K t c Fo Fo, s Kch h t dt 0 I dh K t c A Kch h dt F 0 i dt I Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 58
Sistemi del II ordine er azione del controllore È ossibile dimostrare analiticamente che il sistema costituito dal serbatoio e dal controllore è del secondo ordine ove il eriodo naturale di oscillazione, il guadagno statico K e il fattore di smorzamento z valgono risettivamente: AI I 1 Kc I K z K K 2 A c c In funzione dei valori dei arametri di controllo K c e I si hanno i seguenti casi: K se c I < 2 z < 1 A allora il sistema è sottosmorzato; K se c I A 2 z 1 allora il sistema ha smorzamento critico; K se c I A 2 z 1 allora il sistema è sovrasmorzato. Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 59
Sistemi di ordine sueriore Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 60
Sistemi dinamici di ordine sueriore al secondo Non è raro avere sistemi dell industria di rocesso la cui risosta dinamica sia sueriore al secondo ordine. Sono date tre classi di sistemi di ordine sueriore al secondo: rocessi caratterizzati da N elementi del rimo ordine in serie (rocessi multicaacitivi) rocessi con temo morto (dead time) rocessi con risosta inversa Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 61
N elementi caacitivi in serie Nel caso di rocessi caratterizzati da N elementi caacitivi del rimo ordine in serie la dinamica comlessiva è di ordine N. Ciò indiendentemente dal fatto che gli N sistemi siano interagenti o meno. Nel caso di elementi non interagenti la risosta è sovrasmorzata con il tiico andamento a sigmoide. La lentezza del sistema risultante aumenta con il numero di elementi in serie. Nel caso di elementi interagenti la lentezza di risosta del sistema è sueriore risetto al caso degli elementi non interagenti. N.B.: nel caso di N elementi caacitivi in serie il sistema di controllo dovrà esletare anche il comito di incrementare la resonsività del rocesso. Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 62
N elementi caacitivi in serie Si consideri un reattore riscaldato tramite fluido caldo in camicia: È ossibile osservare che si hanno i seguenti elementi caacitivi interagenti: caacità materiale totale del reattore caacità termica del reattore (nel senso del serbatoio) caacità termica delle areti del reattore caacità termica dell acqua calda di riscaldamento nella camicia laterale N.B.: in totale si hanno 4 elementi caacitivi interagenti (sistema del IV ordine) Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 63
N elementi caacitivi in serie Più in generale sistemi di searazione G-L come le colonne di distillazione, gli assorbitori o gli striers sono caratterizzati da N stadi. Ogni stadio è caratterizzato da due elementi caacitivi costituiti dalle caacità massive e termiche. Dati N stadi si hanno 2N elementi caacitivi in serie interagenti. Conseguentemente, un cambiamento a gradino sul raorto di riflusso di una colonna di distillazione avrà un effetto molto veloce sulla comosizione di testa mentre si eslicherà con una dinamica molto iù lenta sulla comosizione di coda (ritardo e lentezza della risosta). Analogamente, un disturbo a gradino sulla ortata di olio caldo al ribollitore ha un effetto raticamente immediato sulla comosizione della ortata vaorizzata in coda alla colonna mentre ha un effetto ritardato sul rodotto di testa (ritardo e lentezza della risosta). Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 64
Sistemi con temo morto (dead time) Praticamente tutti i sistemi dinamici sono caratterizzati da un temo di ritardo tra l inut e la risosta in outut del rocesso. Ciò è dovuto all inerzia (materiale e termica) del sistema. y sistema con temo di ritardo t Sistemi caratterizzati da un temo morto significativo risultano iù difficili da controllare (sorattutto in un ottica di controllo in retroazione) in quanto l outut non contiene alcuna informazione riguardo gli eventi attuali (i.e. variabili di inut e disturbi). Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 65
Sistemi con risosta inversa Ci sono dei sistemi la cui risosta iniziale ad un disturbo di una variabile di inut ha direzione oosta risetto al valore finale raggiunto a fine transitorio. y risosta inversa t Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 66
Risosta inversa del livello in una caldaia Si consideri una caldaia che roduce vaore. Se si incrementa la ortata di acqua fredda alla caldaia con una variazione a gradino, all inizio (e er un breve eriodo) il livello di liquido nella caldaia diminuisce. Successivamente il livello di liquido nella caldaia aumenta. Comlessivamente è ossibile evidenziare due effetti oosti sulla dinamica del sistema comlessivo: la ortata di acqua fredda roduce una diminuzione della temeratura che induce una diminuzione del volume delle bolle di vaore che si liberano dalla massa liquida. Si ha quindi una diminuzione del livello dell acqua all ebollizione; l aorto costante di calore orta ad una roduzione costante di vaore e di conseguenza il livello di liquido dell acqua all ebollizione doo un certo eriodo inizia ad aumentare (con un contributo integrale uramente caacitivo). Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 67
Risosta inversa della temeratura in un forno Si consideri un forno di incenerimento rifiuti che brucia RSU con un otere calorifico ositivo (i.e. il rifiuto bruciando cede calore al sistema). Se si incrementa la ortata di rifiuto alimentata, inizialmente la temeratura all interno del forno diminuisce mentre su un orizzonte temorale iù amio aumenta. Comlessivamente è ossibile evidenziare due effetti oosti sulla dinamica del sistema comlessivo: inizialmente il rifiuto alimentato si trova alla temeratura resente nella fossa di raccolta (i.e. ambiente). Questi assorbe calore dal forno er riscaldarsi e far evaorare la frazione di umidità in esso contenuta. La temeratura del forno si abbassa; doo l iniziale transitorio, il rifiuto inizia a bruciare liberando comlessivamente un calore ositivo (i.e. combustione, reazione esotermica) ed innalzando la temeratura del forno grazie all incremento di ortata alimentata. Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 68
Risosta inversa dei sistemi La risosta inversa di un sistema uò essere vista come la somma (i.e. contributo) di due sottorisoste aventi direzione oosta: y termine diretto risosta comlessiva t termine inverso Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 69
Aendice: trasformazione di ODE di ordine n Un equazione differenziale di ordine m che sia della forma: m m1 y f y, y,, y, t con le condizioni iniziali: m y t y y t y y t y 1 m1 0 0 0 0 0 0 uò essere trasformata in un sistema di equazioni differenziali del rimo ordine tramite l introduzione di nuove variabili diendenti ausiliarie. Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 70
Aendice: trasformazione di ODE di ordine n Esemio È data l equazione differenziale: con le condizioni iniziali: Tale equazione uò essere trasformata agevolmente in un sistema di equazioni differenziali di rimo grado mediante sostituzione di variabili: con le nuove condizioni iniziali (equivalenti alle recedenti): Le variabili y, y, y 1 2 3 2 1 sin y t y y t y t y 0 1 y 0 2 y 0 3 y y1 y y1 y2 y y2 y 3 y y 3 t y3 y2 t y1 t 2 1 sin y 0 1 y 0 2 y 0 3 3 2 1 sono le variabili diendenti ausiliarie. Davide Manca Strumentazione e Controllo di Imianti Chimici Politecnico di Milano L3 71