Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Lezione n. 12 21.11.2018 Espansione Multipolare Campo elettrico generato dalla materia polarizzata Densità di carica di polarizzazione Anno Accademico 2018/2019
Espansione multipolare Vale la pena a questo punto fare una piccola digressione per introdurre l'espansione multipolare del potenziale elettrico (o del campo elettrico) Il dipolo che abbiamo studiato è il multipolo di ordine 1 Abbiamo visto che il potenziale elettrico di una distribuzione arbitraria di carica si scrive come (vedi diapositiva 63 348 ) L'approssimazione di questa formula per distanze r molto maggiori delle dimensioni della distribuzione di carica ci ha portato all'introduzione del dipolo Esaminiamo il denominatore Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 273
Espansione multipolare Utilizziamo adesso l'espansione in serie di (1+δ) 1/2 Utilizzando questa espansione otteniamo Introducendo l'espressione per δ e raccogliendo le stesse potenze di r'/r Sorprendentemente (in realtà non tanto ) i polinomi in cosθ che compaiono sono i polinomi di Legendre che abbiamo incontrato Introduciamo la formula trovata nel potenziale Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 274
Espansione multipolare Pertanto otteniamo il seguente sviluppo del potenziale Le quantità K n sono gli integrali della densità di carica L'espansione scritta si chiama espansione multipolare del potenziale I coefficienti K n sono i momenti di multipolo della distribuzione di carica Il momento K 0 è detto momento di monopolo Il momento K 1 è detto momento di dipolo Il momento K 2 è detto momento di quadrupolo ottupolo. NB: le espressioni trovate presuppongono che il punto r sia sull'asse z Per r arbitrario le formule utilizzano le armoniche sferiche Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 275
Espansione multipolare L'utilità di questa espansione sta nel fatto che a grandi distanze il potenziale è completamente determinato dal primo momento non nullo dello sviluppo I termini successivi vanno a zero più rapidamente con potenze di 1/r maggiori Se K 0 0 il potenziale ha un andamento di monopolo Il potenziale di una carica puntiforme nell'origine Se K 0 = 0 allora il prossimo termine importante è K 1 Il sistema è neutro Il termine importante è K 1, il dipolo che abbiamo studiato Se anche K 1 = 0 allora si va ai termini superiori, ad esempio il quadrupolo I momenti di multipolo dipendono dalle simmetrie (o asimmetrie) della distribuzione di carica Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 276
Campo elettrico della materia polarizzata Calcoliamo adesso il campo elettrico prodotto dalla materia polarizzata Supponiamo di avere un blocco di materia polarizzata Per il momento non chiediamoci come sia stata polarizzata Immaginiamo che i dipoli siano allineati in una certa direzione, supponiamo lungo l'asse z Supponiamo che ci siano N dipoli per unità di volume Supponiamo che ogni dipolo abbia valore p Introduciamo il vettore densità di polarizzazione P Le sue dimensioni sono (momento di dipolo)/m 3 C-m/m 3 = C/m 2 : Coulomb per m 2 N (e quindi P) possono essere funzioni della posizione Supponiamo che N sia tanto grande che in un volume dv (infinitesimo per la geometria del problema ma macroscopico su scala atomica) ci sia un enorme numero di dipoli Diciamo allora che un elemento di volume dv del blocco di materia ha un momento di dipolo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 277
Campo elettrico della materia polarizzata Per calcolare il campo elettrico generato all'esterno del materiale suddividiamo il blocco in tante "colonne" verticali Calcoliamo il campo elettrico generato da una "colonna" Consideriamo un elemento della colonna Il potenziale generato da questo dipolo è dato da (vedi diapositiva 251 539 ) Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 278
Campo elettrico della materia polarizzata Per calcolare l'integrale osserviamo la relazione fra dr e dz Osserviamo che quando z varia da z 1 a z 2 r varia da r 1 a r 2 e diminuisce Abbiamo pertanto Inseriamo nella formula del potenziale Questa formula è identica a quella del potenziale generato da una carica +Pda posta a z 2 e una carica Pda posta a z 1 Il calcolo viene concluso integrando sulla superficie del blocco di dielettrico Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 279
Campo elettrico della materia polarizzata Pertanto il risultato del calcolo è che il blocco di materiale polarizzato genera un potenziale elettrico identico a quello di due densità di carica superficiale poste sulle superfici esterne del blocco La densità superficiale di carica è data dal modulo del vettore densità di polarizzazione Sottolineiamo che abbiamo fatto molte assunzioni Polarizzazione uniforme Diretta lungo l'asse z Attenzione Per calcolare il campo elettrico all'esterno si usano SOLAMENTE i due piani di carica FRA I PIANI C'È IL VUOTO Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 280
Campo elettrico della materia polarizzata Abbiamo visto che una colonna di materiale polarizzato genera un campo equivalente a quello di due piccoli strati di carica +Pda e Pda posti sulle facce superiore e inferiore del cilindro Possiamo convincerci del risultato precedente in un modo meno matematico e più fisico, più intuitivo Suddividiamo la colonna in tanti cilindretti infinitesimi Il singolo cilindretto ha un volume dv = da dz Il suo momento di dipolo è p = Pdv Ai fini del campo generato all'esterno del cilindretto possiamo sostituirlo con due strati circolari di carica positiva e negativa dq ± =±Pda Il cilindretto e i due strati hanno lo stesso momento di dipolo Generano lo stesso campo all'esterno Se facciamo lo stesso con tutti i cilindretti otteniamo la condizione in figura Tutti gli strati di carica intermedi si cancellano Rimangono solo i due strati sulla faccia superiore e quello sulla faccia inferiore Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 281
Campo elettrico della materia polarizzata La sostituzione del blocco di dielettrico con due strati di carica è adeguato per il calcolo del campo all'esterno del materiale In particolare permette di calcolare l'integrale fra due punti qualunque purché esterni al blocco di dielettrico È sufficiente infatti calcolare l'integrale utilizzando il campo generato dai due strati di carica Abbiamo dimostrato che i due sistemi sono equivalenti per il campo esterno Questa semplice e banale osservazione ci permette di farne un'altra, per nulla banale Anche se il campo all'interno del materiale è molto complicato sappiamo calcolare il suo integrale fra due punti sulla superficie Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 282
Campo all'interno del dielettrico Supponiamo adesso che lo spessore del blocco che stiamo studiando sia sottile Stiamo inoltre supponendo che la polarizzazione sia uniforme: P costante Rimaniamo comunque lontani dai bordi In queste condizioni il campo fra i due strati è La differenza di potenziale All'interno del dielettrico il campo è estremamente complicato Vicino ad un atomo il campo elettrico raggiunge valori dell'ordine di E = 10 11 V/m Vicino ad una molecola polare (diciamo a 10 Å di distanza) il campo raggiunge valori dell'ordine di 10 7 10 8 V/m Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 283
Campo all'interno del dielettrico Tuttavia, nonostante la complessità del campo elettrico all'interno del materiale abbiamo visto una sua proprietà sorprendente L'integrale di linea fra due punti A e B è uguale a quello del campo prodotto da due strati di carica σ = ±P Ovviamente è anche indipendente dal particolare cammino Infatti, per quanto si tratti di un campo molto complesso si tratta comunque di un campo elettrostatico che obbedisce alle leggi dell'elettrostatica In particolare la circuitazione di E è nulla Lungo una linea si incontrano campi di enorme intensità con grandi variazioni In un millesimo di millimetro ( 1μm = 10 6 m) si incontrano circa 10 4 dipoli Gran parte dei contributi all'integrale si elidono Se il materiale non fosse polarizzato il risultato sarebbe nullo È naturale supporre che queste cancellazioni avvengano anche se si sommano i campi presenti in moltissimi punti adiacenti Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 284
Campo all'interno del dielettrico Significa che se consideriamo un volumetto infinitesimo Δv Grande a livello microscopico Che contiene tanti atomi o dipoli Se sommiamo il campo misurato in punti diversi all'interno del volumetto molti contributi si elidono Questo risultato induce a pensare che si possa definire un valor medio di E La media è calcolata in volumi infinitesimi su scala macroscopica ma grandi abbastanza da contenere un grande numero di dipoli In questo modo si eliminano le variazioni dovute a possibili fluttuazioni nelle cancellazioni dei campi microscopici Nel sistema che stiamo analizzando (il blocco di dielettrico polarizzato) il valore di questa media è molto semplice È un sistema molto semplice La polarizzazione è uniforme Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 285
Campo all'interno del dielettrico Allo stesso modo si possono calcolare le medie di altre grandezze finora definite solo a livello microscopico Queste definizioni risulteranno utili solo se le leggi dell'elettrostatica valgono anche per le quantità mediate Si verifica che valgono! A questo punto possiamo anche osservare che una volta verificato che le cose funzionano possiamo abbandonare questa notazione "pesante" In presenza di dielettrici si lavora sempre ad una scala macroscopica Le grandezze fisiche sono sempre medie di grandezze microscopiche Si elimina il simbolo di media <X> che viene sottinteso Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 286
Campo all'interno del dielettrico Nelle considerazioni fin qui svolte abbiamo considerato noto il vettore densità di polarizzazione P Tuttavia abbiamo visto che la polarizzazione compare in seguito all'applicazione di un campo elettrico al dielettrico La relazione fra P ed E può essere molto complessa Nei casi più semplici la relazione è lineare P = χ e ε 0 E La costante χ e (adimensionale) si chiama suscettività elettrica I dielettrici per cui vale questa relazione sono detti lineari e isotropi Nei dielettrici non lineari la suscettività dipende da E: P = χ e (E)ε 0 E Nei dielettrici non isotropi P ed E non sono paralleli La suscettività è una matrice (è un tensore) Ci limiteremo ai dielettrici lineari e isotropi La suscettività elettrica e la costante dielettrica non sono indipendenti Sottolineiamo che il campo elettrico che determina la polarizzazione è il campo elettrico totale esistente nel dielettrico Sia il campo esterno che il campo generato dalla materia stessa Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 287
Condensatore con dielettrico Ritorniamo al condensatore con dielettrico che abbiamo utilizzato per introdurre l'argomento del campo elettrico nella materia Un dispositivo esterno (una batteria) mantiene una differenza di potenziale φ 2 φ 1 fra le armature del condensatore Sappiamo che nel vuoto A è la superficie delle armature Possiamo adesso utilizzare le grandezze macroscopiche che abbiamo definito In particolare il campo macroscopico E presente nel dielettrico Naturalmente l'integrale di linea del campo macroscopico deve essere Deve essere lo stesso che nel vuoto Questo significa che la carica TOTALE nella regione dell'armatura superiore deve essere la stessa (Q 0 ) che si aveva nel caso del condensatore nel vuoto Questa affermazione può essere dimostrata utilizzando la legge di Gauss L'integrale sulla superficie è sempre E A = Q 0 /ε 0 Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 288
Condensatore con dielettrico Il campo elettrico E polarizza il dielettrico Il dielettrico acquista una polarizzazione uniforme data dal vettore densità di polarizzazione P Sulle superfici del dielettrico compare una carica superficiale σ La carica Q 0 dovrà pertanto risultare dalla somma Della carica sull'armatura del condensatore: Q Della carica superficiale di polarizzazione: Q' Nel discorso introduttivo avevamo introdotto la costante dielettrica κ Possiamo interpretare il condensatore con dielettrico come Un condensatore nel vuoto con carica κq 0 Un blocco di dielettrico con polarizzazione P Entrambi generano un campo elettrico La somma dei due campi elettrici dà il campo elettrico E Il campo elettrico E è meno intenso di quello generato da κq 0 nel vuoto Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 289
Condensatore con dielettrico Il condensatore nel vuoto (con carica κq 0 ) genera un campo Nel dielettrico con polarizzazione P c'è un campo elettrico Il campo elettrico nel sistema completo composto è Abbiamo definito la suscettività elettrica come P = χ e ε 0 E Otteniamo Sottolineiamo infine che il campo elettrico nel condensatore è determinato dalla differenza di potenziale Dato φ 12 campo elettrico è pertanto lo stesso con o senza dielettrico Cambia la quantità di carica che fluisce sulle armature dall'esterno Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 290
Polarizzazione e carica superficiale Nell'esempio del condensatore bbiamo visto che sulle superfici del dielettrico all'interno del conduttore compare una carica superficiale Vogliamo approfondire questo fenomeno Nella materia polarizzata appaiono dipoli allineati La polarizzazione è descritta dal vettore P Densità di polarizzazione P = Np N dà il numero di dipoli per unità di volume Il singolo dipolo è schematizzato come una coppia di cariche di segno opposto poste ad una distanza h Consideriamo un'area da sulla superficie del dielettrico Il numero di dipoli presenti in un volume hda è dn = Nhda La carica presente nel volume è Osservazioni La carica negativa dei dipoli nel volume hda è cancellata dalla carica positiva dello strato inferiore Lo stesso argomento vale per la superficie inferiore Nell'esempio P è perpendicolare alle superfici Si possono unificare le due formule Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 291
Polarizzazione e carica superficiale Vediamo cosa succede se il vettore P non è perpendicolare alla superficie Supponiamo sia parallelo alla superficie Consideriamo un'area da sulla superficie del dielettrico Come nel caso precedente, il numero di dipoli presenti in un volume hda è dn = Nhda La carica presente nel volume è nulla Tutti i dipoli si neutralizzano a vicenda Osserviamo che la regola trovata in precedenza è ancora valida Per finire il caso di un angolo arbitrario θ fra P e la normale alla superficie Non è difficile convincersi che la stessa superficie da individua un numero inferiore di dipoli non neutralizzati Una frazione proporzionale a cosθ Pertanto anche in questo caso generale Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 292
Polarizzazione e carica di volume Fino ad ora abbiamo supposto che il vettore densità di polarizzazione P fosse uniforme in tutto il volume del dielettrico Nel caso generale può variare Supponiamo per semplicità che vari solo lungo l'asse z Facendo riferimento alla figura è facile convincersi che dentro una scatola posta all'interno del dielettrico non si ha la completa neutralizzazione dei dipoli Possiamo calcolare la carica non neutralizzata all'interno come differenza fra le cariche presente sulle due superfici In realtà la differenza cambiata di segno Definiamo la densità volumetrica della carica di polarizzazione ρ P Se P varia in tutte le direzioni Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 293
Densità di carica σ P e ρ P I risultati precedenti possono essere ottenuti in modo più formale Ricordiamo la formula per il potenziale di un dipolo Se il dipolo non è nell'origine ma in r' Supponiamo di avere un blocco di dielettrico polarizzato L'elemento di volume dv' ha un momento di dipolo Genera un potenziale Il potenziale generato dal corpo polarizzato è L'integrale è esteso a tutto il volume del corpo Se P è noto la formula precedente risolve il problema Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 294
Densità di carica σ P e ρ P La formula precedente può essere elaborata e messa in una forma molto interessante Si parte dalla seguente, importante relazione Utilizzando questa relazione possiamo riscrivere il potenziale Il passo successivo è utilizzare la relazione Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 295
Densità di carica σ P e ρ P Verifichiamo la relazione Ritorniamo al potenziale poniamo Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 296
Densità di carica σ P e ρ P Possiamo adesso trasformare il primo integrale utilizzando il teorema della divergenza A questo punto introduciamo La densità superficiale di carica di polarizzazione La densità di volume di carica di polarizzazione Sostituiamo nella formula del potenziale Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 297
Densità di carica σ P e ρ P Esaminiamo il risultato ottenuto Ai fini del calcolo del potenziale il blocco di materiale polarizzato è equivalente a Una distribuzione volumetrica di carica nel volume del dielettrico La densità di carica è data dalla divergenza del vettore densità di polarizzazione Una distribuzione di carica superficiale sulle superfici del dielettrico La densità di carica è data dalla componente normale alla superficie del vettore densità di polarizzazione Naturalmente, una volta scelta questa modalità di calcolo, non si considera più l'integrale di partenza O l'uno o l'altro! Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 298
Densità di carica σ P e ρ P Qualche osservazione per concludere questo punto La derivazione è stata puramente matematica Tuttavia concorda con le considerazioni fisiche fatte in precedenza L'integrale di superficie è esteso a tutte le superfici del dielettrico Anche eventuali superfici interne che delimitano cavità Anche sulle superfici delle cavità compare una carica superficiale Non bisogna dimenticare che si tratta di un dielettrico Le cariche non sono libere di muoversi In particolare non si possono disporre arbitrariamente come nei conduttori per annullare il campo elettrico all'intero o rendere equipotenziali le superfici Il campo elettrico non è sempre perpendicolare alle superfici del dielettrico Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa 299