Prove d'esame aa 008009 Andrea Corli settembre 0 Sono qui raccolti i testi delle prove d'esame assegnati nell'aa 00809, relativi al Corso di Analisi Matematica I (trimestrale, 6 crediti), Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale, tenuto da me presso l'università degli Studi di Ferrara /0/008 - Prima prova parziale Calcolare i limiti: lim n e n ( e n + e n ), lim n ( Studiare la convergenza delle serie n= ( ) log n, log(n + ) + ) n n n (n)! n Calcolare i seguenti limiti e vericare il risultato tramite la denizione: lim n n +, lim n( n n ) ( ) 4 Calcolare il dominio delle funzioni: arcsin, 5 Se una serie a n è convergente, è vero o falso che la successione {a n } deve essere decrescente? 6 Dire se la funzione f() = e + è invertibile e, in caso aermativo, calcolarne l'inversa Specicare in caso dominio e immagine di entrambe e disegnarne i graci 7 Esistono funzioni pari non costanti e monotòne? 8 Disegnare un graco approssimativo delle seguenti funzioni, e specicare se sono pari, dispari o nessuna delle due: 4, arctg, tg(4) /0/008 - Prima prova parziale ( ( ) ( )) Studiare la convergenza delle serie tg tg, n n + Esistono serie indeterminate che convergono assolutamente? log( ( ) ) Calcolare il dominio delle funzioni:, arccos n n (n + ) n 4 Dire se la funzione f() = log( ) è invertibile e, in caso aermativo, calcolarne l'inversa Specicare in caso dominio e immagine di entrambe e disegnarne i graci 5 Calcolare i seguenti limiti e vericare il risultato tramite la denizione: lim n log( + n ), lim n n(n + ) Dipartimento di Matematica, Università di Ferrara
6 Esistono funzioni dispari non costanti e positive? 7 Calcolare i limiti: lim n n(log(n + ) log n), lim n n ( n + n n n ) 8 Disegnare un graco approssimativo ( delle seguenti funzioni, e specicare se sono pari, dispari ) o nessuna delle due: cotg, arcsin, 8//008 - Seconda prova Parziale Calcolare (a): lim 0+ e log e (b): lim 0+ log( ) Applicare il Teorema di Lagrange alla funzione f() = sin nell'intervallo [0, π ], trovando un punto c [0, π ] Applicare il Teorema della media integrale alla stessa funzione, nello stesso intervallo, trovando un punto c [0, π ] E' più grande c o c? e Calcolare d ( ) g() 4 Calcolare D Quali sono le ipotesi su f e g che garantiscono che si può eseguire f() tale derivata? 5 Nell'intervallo [0, ] si considerino per α > le funzioni f() = α e g() = α Disegnarne in maniera approssimativa i graci Si calcoli α in modo che l'area compresa tra i due graci valga / 6 Si calcoli + d 7 Si consideri la funzione f() = Disegnarne un graco approssimativo Dire se nel punto 0 la funzione f è derivabile; in caso aermativo, calcolarne la derivata in tale punto e discutere l'esistenza della derivata seconda 8 Studiare la funzione f() = cos, specicandone la convessità + sin Si calcoli + 0 d 8//008 - Seconda prova Parziale Applicare il Teorema di Lagrange alla funzione f() = cos nell'intervallo [0, π ], trovando un punto c [0, π ] Applicare il Teorema della media integrale alla stessa funzione, nello stesso intervallo, trovando un punto c [0, π ] E' più grande c o c? Si consideri la funzione f() = 4 Disegnarne un graco approssimativo Dire se nel punto 0 la funzione f è derivabile; in caso aermativo, calcolarne la derivata in tale punto e discutere l'esistenza della derivata seconda e 4 Calcolare d 5 Nell'intervallo [0, ] si considerino per α > le funzioni f() = α e g() = α Disegnarne in maniera approssimativa i graci Si calcoli α in modo che l'area compresa tra i due graci valga / ) 6 Calcolare D (f() g() Quali sono le ipotesi su f e g che garantiscono che si può eseguire tale derivata?
e 7 Calcolare (a): lim 0+ log log( ) e (b): lim 0+ () 8 Studiare la funzione f() = sin, specicandone la convessità + cos Studiare la convergenza delle serie (a): //008 A ( n ) n, (b): + n! n n Si consideri la funzione f() = sin ( + ) Determinare un intervallo contenente 0 in cui f è invertibile e calcolare in tale intervallo la funzione inversa Disegnare i graci di f e f ( Calcolare il lim + α log + ), dove α [0, + ) 4 Determinare l'area della regione di piano compresa tra i graci delle funzioni sin e cos per [0, π] Disegnare inoltre la regione di piano in questione 5 Calcolare + + d (( a ) ) n 6 Dire per quali a > 0 esiste nito il lim + a n n { a 7 Dire per quali valori dei parametri reali a, b, c, d la funzione f() = 4 + b se 0 c + d se > 0 è, rispettivamente, continua, derivabile una volta, derivabile due volte 8 Studiare la funzione f() = ( )e //008 B ( ) Calcolare il lim + α sin, dove α [0, + ) ( Studiare la convergenza delle serie (a): n ), (b): n + Calcolare + + d 5 Dire per quali a > 0 esiste nito il lim n n! (n) n 4 Determinare l'area della regione di piano compresa tra i graci delle funzioni sin e cos nell'intervallo [0, π] Disegnare inoltre la regione di piano in questione ( (a) n + a n/) { a 6 Dire per quali valori dei parametri reali a, b, c, d la funzione f() = + b se 0 c + d se > 0 è, rispettivamente, continua, derivabile una volta, derivabile due volte 7 Si consideri la funzione f() = sin ( ) Determinare un intervallo contenente 0 in cui f è invertibile e calcolare in tale intervallo la funzione inversa Disegnare i graci di f e f 8 Studiare la funzione f() = ( )e 8//008 A
{ + a se < 0 Dire per quali valori dei numeri reali a e b la funzione f() = log( + b) se 0 continua e derivabile Calcolare ( ) d è Studiare la convergenza semplice della serie ( ) n n 4 Si considerino le parabole di equazione y = e y = ( ) Esse dividono il semipiano y > 0 in quattro regioni, una illimitata e le altre tre limitate; rappresentare con un disegno Calcolare le aree delle regioni limitate 5 Sia a R Calcolare il lim 0 sin(a) a 6 Trovare un polinomio (funzione polinomiale) di grado tale che: il graco passa per il punto P = (0, ), la retta tangente al graco in P ha coeciente angolare, il punto 0 è un punto di esso 7 Studiare la funzione f() =, disegnandone il graco senza studiare la derivata seconda + Calcolare e d e Studiare la convergenza semplice della serie 8//008 B ( ) n Si considerino le parabole di equazione y = e y = (+) Esse dividono il semipiano y > 0 in quattro regioni, una illimitata e le altre tre limitate; rappresentare con un disegno Calcolare le aree delle regioni limitate 4 Sia a R Calcolare il lim 0 e a a n 5 Dire per quali valori dei numeri reali a e b la funzione f() = e derivabile { sin(a) se < 0 b se 0 è continua 6 Trovare un polinomio (funzione polinomiale) di grado tale che: il graco passa per il punto P = (0, ), la retta tangente al graco in P ha coeciente angolare, il punto 0 è un punto di esso 7 Studiare la funzione f() = +, disegnandone il graco senza studiare la derivata seconda 7//009 Studiare la convergenza semplice della serie assolutamente ( ) n Provare che la serie non converge log n Si consideri la funzione f() = tg nell'intervallo [0, π/) Fissato un punto o [0, π/) scrivere l'equazione della retta tangente r al graco di f nel punto ( o, f( o )) Fissato quindi o = π 4, calcolare l'area della regione di piano compresa tra il graco di f, quello di r e l'asse 4
Calcolare lim (tg ) log(sin ) e lim log(cos ) 0+ π tg n 4 Provare che lim = usando la denizione di limite n n + 5 Provare che la funzione f() = + non è invertibile in R, ma che lo è in (, 0] e in [0, + ) In ognuno di questi intervalli calcolare la funzione inversa, specicando dove f è derivabile Disegnare i graci delle tre funzioni 6 Provare che + e d = Trovare due punti a e b, con 0 < a < b, tali che a 0 0 e d = b a e d = Rappresentare con un disegno 7 Sia a R; studiare la funzione f() = concavità e asintoti obliqui ( + a), specicandone in particolare massimi, minimi, a 6//009 Si consideri la serie n! (n)! Scriverne i primi 4 termini, semplicando le frazioni ai minimi termini; studiare la convergenza della serie Trovare degli asintotici semplici delle seguenti funzioni, per 0: tg ( log( + ) ), +, sin ( cos ) (a) Calcolare la derivata della funzione f() = + ( tg e ) poi esprimerla tramite soli seni (b) Determinare il dominio della funzione g() = log + log e quindi calcolarne la derivata 4 Disegnare i graci delle funzioni e in [0, + ) Si calcoli a > tale che 0 ( ) d = a ( ) d Rappresentare su un disegno le aree relative agli integrali q n 5 Calcolare per q R, q, il lim n + q n 6 Scrivere l'espressione analitica della funzione continua e dispari f : R R, il cui graco, in [0, + ), è così costituito: è il segmento che congiunge i punti (0, 0) e (, ), quindi, per >, la semiretta di coeciente angolare Calcolare la funzione inversa di f 7 Studiare la funzione f() = ( Calcolare il lim log n log n) n /6/009 Studiare la convergenza delle seguenti tre serie: Calcolare i limiti lim 0+ sin(), lim + sin Provare che non esiste il lim + tan ( n n, ) cos + n, n n 4 Si consideri l'ellisse E di equazione a + y b = Si determini il punto P = (, y) E giacente nel semipiano y > 0 tale che la retta tangente ad E nel punto P abbia coeciente angolare 5 Calcolare d 5
6 Calcolare l'area della regione di piano, giacente nel semipiano y > 0, compresa tra la circonferenza + y = e la parabola y = 7 Studiare la funzione (dominio, asinototi, concavità, massimi e minimi) f() = + 4/7/009 Sia k N; calcolare insieme di convergenza e somma della serie numerica n=k qn E' vero che la somma della serie e' sempre minore di? Disegnare in modo approssimativo i graci delle funzioni arcsin e arccos( ) Calcolare, arcsin usando la regola di de l'hospital, il lim 0+ arccos( ), giusticando l'applicabilità di tale regola Si consideri la funzione f denita da f() = se 0 e f() = se < 0 Disegnarne un graco Dire se f è continua in 0, se ha derivata prima in 0, se ha derivata seconda in 0 4 Provare, usando la denizione di limite, che lim n (n4 n ) = + 5 Dire se l'integrale π/ tg d è convergente o divergente Dire per quali α > 0 l'integrale 0 d è convergente, e in tali casi calcolarne il valore π/ 0 sin cos α 6 Dire se le funzioni f() = +sin e g() = log sono pari o dispari Dire se hanno asintoti per + 7 Studiare la funzione (dominio, asinototi, concavità, massimi e minimi) f() = e e 5/9/009 Si considerino le funzioni f() = e, g() = log, h() = + Dire, per ognuna di essa, quanti zeri ha Si consideri la successione n = an + n bn, per a, b R Dire, al variare dei parametri a e b, quali limiti può avere la successione Si consideri la serie ( ) n, per c R Stabilire per quali c la serie converge Dire se ( c) n esiste, e in tal caso calcolarlo, un valore di c per cui la somma della serie valga 4 Calcolare ( + ) d 5 Per 0 si considerino le funzioni f() = e, g() = e Disegnarne approssimativamente i graci Calcolare l'area della regione compresa tra i loro graci e l'asse y 6 Dare un esempio di una funzione f con tre asintoti verticali e di una funzione g con due asintoti orizzontali y = 0 e y = 7 Studiare la funzione f() = sin + sin, omettendo la studio della concavità/convessità 4//009 (a) Dare un esempio di una successione non monotona che tende a (b) Può una successione monotona non essere limitata nè inferiormente che superiormente? (c) Può una successione monotona assumere innite volte lo stesso valore? 6
Trovare un asintotico per 0 di + + 4 Calcolare il lim ( ) log ( ) 4 Stabilire la convergenza della serie nn calcolarne la somma (n!) Provare che la serie n converge e 5 Si consideri la funzione f() = n nell'intervallo [a, b] Applicare il teorema di Lagrange, trovando un punto c n [a, b] tale che la retta tangente al graco di f nel punto (c n, f(c n )) sia parallela alla corda che congiunge i punti (a, f(a)) e (b, f(b)) Si rappresenti con un disegno la situazione nel caso a = 0, b =, al variare di n; qual è il lim n c n in questo caso? 6 Per 0 si considerino le funzioni f () =, f () =, f () = Se ne disegnino i graci in un unico sistema di riferimento Calcolare l'area A della regione compresa tra f e f per Dire se è possibile determinare un punto a (0, ) tale che l'area della regione compresa tra i graci di f e f, per [c, ], sia uguale a A 7 Studiare il graco della funzione f() = log 7