INDIVIDUARE STRATEGIE E APPLICARE METODI PER RISOLVERE PROBLEMI Scrivi l equazione della circonferenza in figura che risulta tangente nel punto AA = (0, ), alla retta r e ha il centro sulla retta s di equazione yy = xx + 3. I strategia (scolastica) Argomentazione: L equazione canonica della circonferenza, xx + yy + aaaa + bbbb + cc = 0, ha il centro di coordinate CC = aa, bb. Dato che il centro è un punto della retta di equazione yy = xx + 3, possiamo ricavare l ordinata del centro dalla condizione di appartenenza di un punto a una retta. A questo primo step segue l appartenenza del punto AA = (0, ) alla circonferenza, mentre, una terza condizione è fornita dalla tangenza della retta alla circonferenza, condizione che prevede il sistema tra l equazione della retta e l equazione parametrica della circonferenza; all equazione risultante si applica la condizione per la tangenza, imponendo il delta uguale a zero (soluzione doppia). Percorso risolutivo: l ascissa del centro della circonferenza è aa, e dato che il centro si trova sulla retta yy = xx + 3, le coordinate di C ne soddisfano l equazione. Quindi l ordinata bb del centro si può ottenere nel modo seguente bb = aa + 3 bb = aa + 3, Ne consegue che bb = aa 6. Le nuove coordinate del centro C saranno: CC = aa, aa + 3 e l equazione della circonferenza, sostituendo b, assume la forma seguente: xx + yy + aaaa + ( aa 6)yy + cc = 0, Passaggio per il punto AA = (0, ) + ( aa 6) + cc = 0 cc = aa + 8 L equazione della circonferenza, nel solo parametro a assume la forma: xx + yy + aaaa + ( aa 6)yy + aa + 8 = 0,
Detto BB = 8, 0, il punto in cui la retta tangente incontra l asse delle ascisse, la retta r per AB 3 ha equazione: yy = 3 xx + Confrontiamo le circonferenze con la retta attraverso il sistema: xx + yy + aaaa + ( aa 6)yy + aa + 8 = 0 yy = 3 xx + Dalla sostituzione si ottiene l equazione letterale di secondo grado 5 16 xx 1 aa + 3 xx = 0 Imponendo la condizione di tangenza, ovvero = 0, si ottiene il valore di a 1 aa + 3 = 0 aa = 3 Ricostruendo le relazioni tra i coefficienti (in colore azzurro) aa = 3 bb = aa 6 cc = aa + 8 Si ottiene l equazione della circonferenza xx + yy 3xx = 0. II strategia (logico-geometrica) Argomentazione: Nel grafico a destra sono presenti due nuove rette: la retta s, a cui appartiene il centro della circonferenza (in colore nero), e la retta t (in colore verde), passante per il punto AA = (0, ) e perpendicolare alla retta r tangente alla circonferenza;. Ne consegue che la retta t è asse della circonferenza e passa per il centro di quest ultima, ergo le due rette s e t si incontrano nel centro C della circonferenza. t s C
Conoscendo il centro e il punto A sulla circonferenza si può giungere facilmente all equazione della circonferenza. Percorso risolutivo: sapendo che due rette perpendicolari hanno i coefficienti angolari antireciproci, ovvero inverso ed opposto uno dell altro, dal fascio per AA = (0, ), si estrae l equazione della perpendicolare t alla retta r di equazione yy = 3 xx +, avente coefficiente angolare mm = 3, yy = 3 (xx 0) yy = 3 xx + Il centro è il punto di incontro tra t ed s: yy = xx + 3 yy = 3 xx + Dal confronto si ha CC = 3, 0 Da cui aa = 3 bb = 0 + bb + cc = 0 AA è pppppppppp dddddddddd cccccccccccccccccccccccccc aa = 3 bb = 0 cc = Si ottiene l equazione della circonferenza xx + yy 3xx = 0. III strategia (deduttiva) Argomentazione: si giunge più rapidamente all equazione della circonferenza sfruttando la formula di sdoppiamento. Ricordiamo che si ricorre alla formula di sdoppiamento quando sono note l equazione della circonferenza e le coordinate di un suo punto e si intende conoscere l equazione della retta tangente alla circonferenza nel punto dato. In questo problema si scambiano i ruoli, ovvero si conoscono il punto di tangenza AA = (0, ) e l equazione della
tangente yy = 3 xx +, mentre si vuole conoscere l equazione della circonferenza. In tale circostanza si userà l equazione canonica della circonferenza, a coefficienti letterali, per risalire alla formula di sdoppiamento. Per ottenere l equazione della circonferenza basterà uguagliare i coefficienti noti della retta tangente alla circonferenza, a quelli letterali della formula di sdoppiamento. Percorso risolutivo: data l equazione canonica della circonferenza xx + yy + aaaa + bbbb + cc = 0, scriviamo la formula di sdoppiamento per determinare l equazione della tangente ad essa in un suo punto PP = (xx 0, yy 0 ), ricordando che dalle infinite circonferenze rappresentate dall equazione generale vanno estratte quelle passanti per P, ovvero va imposta la condizione di appartenenza di P alle circonferenze, xx 0 xx + yy 0 yy + aa xx + xx 0 + bb yy + yy 0 + cc = 0 Fatto ciò, dato che conosciamo sia il punto AA = (0, ) della circonferenza che l equazione yy = 3 xx + della retta tangente ad essa nl punto A, operiamo le sostituzioni e, successivamente, uguagliamo il coefficiente angolare della generica tangente alla circonferenza al coefficiente angolare mm = 3, della retta assegnata. 0 xx + yy + aa xx + 0 yy + + bb + cc = 0 yy + aa xx + bb yy + bb + cc = 0 (1) Ricordiamo che dalle circonferenze ottenute va estratto il sottoinsieme delle circonferenze passanti per il punto A: 0 + + aa 0 + bb + cc = 0 cc = bb Sostituendo opportunamente nella (1) si ottiene yy + aa xx + bb yy + bb bb = 0 da cui aaaa + ( + bb)yy bb 8 = 0 (). Ricordiamo che il centro è vincolato alla retta di equazione yy = xx + 3, pertanto bb = aa + 3 bb = aa + 3 bb = aa 6,
operando le opportune sostituzioni nella (), si ha aaaa + ( aa )yy + aa + = 0 uguagliando i coefficienti angolari delle due equazioni aa aa + = 3 si ottiene aa = 3 aa = 3aa + 3 cccccc aa 1 Procedendo a ritroso ricavo i valori di b e di c. Si ottiene, così, l equazione della circonferenza xx + yy 3xx = 0.