PROVA D ESAME SESSIONE ORDINARIA 8 Liceo scietifico, opzioe scieze pplicte e idirizzo sportivo Il cdidto risolv uo dei due problemi e rispod quesiti del questiorio Durt mssim dell prov: 6 ore È cosetito l uso di clcoltrici scietifiche e/o grfiche purché o sio dotte di cpcità di clcolo simbolico (DM Art 8 comm 8) PROBLEMA Devi progrmmre il fuziometo di u mcchi che viee dopert ell produzioe idustrile di mttoelle per pvimeti Le mttoelle soo di form qudrt di lto (i u opportu uità di misur) e le fsi di lvoro soo le segueti: si sceglie u fuzioe f f^h b f( ) c f^h per L mcchi trcci il grfico C dell fuzioe f ^ h defiit e cotiu ell itervllo [ ], che soddisfi le codizioi: ^ h e i grfici simmetrici di C rispettoll sse, ll sse e ll origie O, otteedo i questo modo u curv chius K, psste per i puti ( ), ( ), ( ), ( ), simmetric rispetto gli ssi crtesii e ll origie, coteut el qudrto Q di vertici ( ), ( ), ( ), ( ) L mcchi costruisce l mttoell colordo di grigio l itero dell curv chius K e lscido bic l prte restte del qudrto Q vegoo quidi mostrte sul displ lcue mttoelle fficte, per dre u ide dell spetto del pvimeto Il mule d uso riport u esempio del processo relizztivo di u mttoell semplice: O O Grfico Γ Curv Λ Mttoell L pvimetzioe risultte è riportt di seguito: Figur O Figur Co riferimeto ll esempio, determi l espressioe dell fuzioe f^h e l equzioe dell curv Zichelli Editore,
K, così d poter effetture u prov e verificre il fuziometo dell mcchi Ti viee richiesto di costruire u mttoell co u disego più elborto che, oltre rispettre le codizioi ), b) e c) descritte i precedez, bbi f l^h e l re dell prte colort pri l % dell re dell iter mttoell A tle scopo, predi i cosiderzioe fuzioi poliomili di secodo grdo e di terzo grdo Dopo ver verificto che o è possibile relizzre quto richiesto doperdo u fuzioe poliomile di secodo grdo, determi i coefficieti, b, c, d! R dell fuzioe f^h poliomile di terzo grdo che soddisf le codizioi poste Rppreset ifie i u pio crtesio l mttoell risultte Vegoo proposti u cliete due tipi diversi di disego, derivti rispettivmete dlle fuzioi ^h e b^h ^ h, cosiderte per! [ ], co itero positivo Verific che l vrire di tutte queste fuzioi rispetto le codizioi ), b) e c) Dette A() e B() le ree delle prti colorte delle mttoelle otteute prtire d tli fuzioi e b, clcol lim A ^ h e " + lim B^h ed iterpret i risultti i termii geometrici " + Il cliete decide di ordire mttoelle co il disego derivto d () e co quello derivto d b () L vericitur viee effettut d u brccio meccico che, dopo ver depositto il colore, tor ll posizioe iizile sorvoldo l mttoell lugo l digole A cus di u mlfuziometo, durte l produzioe delle mttoelle si verific co u probbilità del % che il brccio meccico lsci cdere u gocci di colore i u puto cso lugo l digole, mcchido così l mttoell ppe prodott Forisci u stim motivt del umero di mttoelle che, vedo u mcchi ell prte o colort, risultero deggite l termie del ciclo di produzioe PROBLEMA Cosiderimo l fuzioe fk : R " R così defiit: f ^h + k+ k co k! Z Detto C k il grfico dell fuzioe, verific che per qulsisi vlore del prmetro k l rett r k, tgete C k el puto di sciss e l rett s k, tgete C k el puto di sciss, si icotro i u puto M di sciss Dopo ver verificto che k è il mssimo itero positivo per cui l ordit del puto M è miore di, studi l dmeto dell fuzioe f^h, determidoe i puti stziori e di flesso e trccidoe il grfico Detto T il trigolo delimitto dlle rette r, s e dll sse delle scisse, determi l probbilità che, preso cso u puto P( P P ) ll itero di T, questo si trovi l di sopr di C (cioè che si bbi P f ^h per tle puto P) Nell figur è evidezito u puto N! C e u trtto del grfico C L rett Γ ormle C i N (vle dire l perpedicolre ll rett tgete C i quel puto) pss per l origie degli ssi O Il grfico C possiede tre puti co quest proprietà Dimostr, più i geerle, che N il grfico di u qulsisi poliomio di grdo o può possedere più di O puti ei quli l rett ormle l grfico pss per l origie Figur Zichelli Editore,
QUESTIONARIO Dimostrre che il volume di u cilidro iscritto i u coo è miore dell metà del volume del coo Si dispoe di due ddi uguli o bilciti form di tetredro regolre co le fcce umerte d Lcido ciscuo dei due ddi, l probbilità che esc è il doppio dell probbilità che esc, che su volt è il doppio dell probbilità che esc, che su volt è il doppio dell probbilità che esc Se si lcio i due ddi cotemporemete, qul è l probbilità che esco due umeri uguli tr loro? Determire i vlori di k tli che l rett di equzioe + k si tgete ll curv di equzioe + si e Cosidert l fuzioe f^h +, determire, se esistoo, i vlori di lim f^h, e cos " + lim f^h, giustificdo degutmete le risposte forite " Co u stcciot lug metri si vuole recitre u superficie vete l form di u rettgolo sormotto d u semicircoferez, come i figur: Figur Determire le dimesioi dei lti del rettgolo che cosetoo di recitre l superficie di re mssim 6 7 8 Determire l equzioe dell superficie sferic S, co cetro sull rett t r: * t t! R z t tgete l pio r: z+ el puto T( ) Determire i modo che + ^ + h d si ugule I u gioco due gioctori, ogi prtit vit frutt puto e vice chi per primo rggiuge puti Due gioctori che i ciscu prtit ho l stess probbilità di vicere si sfido Qul è l probbilità che uo dei due gioctori vic i u umero di prtite miore o ugule? Soo dti, ello spzio tridimesiole, i puti A( ), B( ), C( ) Dopo ver verificto che ABC è u trigolo equiltero e che è coteuto el pio di equzioe + + z, stbilire quli soo i puti P tli che ABCP si u tetredro regolre Determire quli soo i vlori del prmetro k! R per cui l fuzioe e k + ^ h è soluzioe dell equzioe differezile m l Zichelli Editore,
SOLUZIONE SESSIONE ORDINARIA 8 Liceo scietifico, opzioe scieze pplicte e idirizzo sportivo I questo svolgimeto usimo u clcoltrice grfic Csio Nel sito suzichelliit/clcoltrice_esme trovi che l versioe co u clcoltrice grfic Tes Istrumets PROBLEMA Prte L fuzioe f^h h per grfico il segmeto C i figur che gice sull rett di equzioe +, co! [ ] Verifichimo che l fuzioe f^h + soddisf le codizioi dte: f^h + b f^h + c " " + " " f^h L curv K i figur si ottiee trccido i ordie: il grfico C dell fuzioe +, co! [ ] il grfico simmetrico C rispetto ll sse, che corrispode ll fuzioe di equzioe +, co! [ ] il grfico simmetrico C rispetto ll sse, l cui fuzioe ssocit h equzioe, co! [ ] il grfico simmetrico C rispetto ll origie O, l cui fuzioe ssocit h equzioe, co! [ ] Quidi trovimo: +, co! 6 @ e $ K: *, co! 6 @ e che i modo più sitetico si può esprimere come + I form implicit, l equzioe dell curv K è llor: + + O + Figur Prte Suppoimo che f^h si u fuzioe poliomile di secodo grdo cotiu e derivbile su R Duque il grfico è u prbol di equzioe + b+ c, co, b, c! R,! Zichelli Editore,
Impoimo che verifichi le codizioi ) e b): f^h $ + b$ + c " c b f^h $ + b$ + c " + b+ c e l ulteriore uov codizioe f l^h : fl^h + b " fl^ h $ + b " b Mettimo sistem: c c * + b+ c " * bc " * b b b c I coclusioe, f^h + L prbol otteut è simmetric rispetto ll sse, h vertice i ( ), cocvità verso il bsso e f^h, quidi che l codizioe c) è verifict Pssimo or ll lisi dell prte colort L re dell iter mttoell Q è pri e il % di è, $ Vedimo se l re grigi delimitt dl grfico dell fuzioe + per # # e dlle curve simmetriche è pri Sfruttdo le simmetrie dell curv chius, l re grigi si può otteere clcoldo l itegrle: 8 ^ + hd 8 + B 8 + B $! Quidi o è possibile relizzre quto richiesto doperdo u fuzioe poliomile di secodo grdo Suppoimo or che f^h si u fuzioe poliomile di terzo grdo, quidi dell form + b + c+ d, co bcd,,,! R,!, cotiu e derivbile su R Impoimo che l fuzioe verifichi le codizioi di costruzioe ) e b): f^h $ + b$ + c$ + d " d b f^h $ + b$ + c$ + d " + b+ c+ d e l ulteriore codizioe f l^h : fl^h + b + c " fl^ h $ + b $ + c " c Quidi: d * + b+ c+ d " d * + b " b * c c c d Scrivimo l equzioe dell cubic i fuzioe del prmetro : ^+ h + Per determire impoimo che l re grigi defiit dll poliomile di terzo grdo prmetric si pri : d 6 ^ + h + @ " 8 + + B " 7 8 + + B " Zichelli Editore,
Sostituedo il vlore di trovto otteimo il seguete poliomio di terzo grdo: 7 f^h + Vedimo se quest fuzioe poliomile di terzo grdo verific l codizioe c): f^h per Osservimo che fl^h e studimoe il sego: fl^h " 7 8 " 7 8 Ne segue che f^h, ell itervllo [ ], è strettmete decrescete Ioltre, poiché f^h e f^h, possimo cocludere che f^h per ogi! ] [ I coclusioe, l fuzioe poliomile di terzo grdo trovt soddisf tutte le codizioi richieste Per disegre l mttoell risultte, usimo le simmetrie rispetto gli ssi e ll origie, logmete quto ftto ell prte O Figur 6 Co l clcoltrice grfic 7 Possimo disegre il grfico dell fuzioe f^h + ell itervllo [ ] e rpportrlo l grfico di f^h + ello stesso itervllo Prte Verifichimo che l fmigli di fuzioi ^h, co! N ",,! [ ], rispett le codizioi ), b) e c) ^h b ^h c " " " + " " ^h 6 Zichelli Editore,
Verifichimo che che l fmigli di fuzioi b^h ^ h, co! N ",,! [ ], rispett le codizioi ), b) e c) b^h ^ h b b^h ^ h c " " + " " ^ h " b^h Si or A d + ^ h ^ h : + D ` + j + Allor: lim A ^ h lim + " + " + I termii geometrici, questo vuol dire che l re A ^ h, qudo tede ll ifiito, tede ll re del qudrto Q Quidi l mttoell limite risult completmete grigi O Si ivece Figur 7 B ^ h ^h d Poedo t " d dt, bbimo: B tdt tdt t + ^ h : D + + Allor: lim B ^ h lim + " + " + I termii geometrici, questo vuol dire che l re B^h, qudo tede ll ifiito, tede d ullrsi Quidi l mttoell limite risult completmete bic b b b b O Figur 8 7 Zichelli Editore,
Co l clcoltrice grfic Nell mbiete grfico, dopo ver iserito l vribile N, ttrverso il comdo Modif possimo visulizzre i sequez i grfici delle fuzioi,,,, L visulizzzioe è log per le fuzioi b Sempre ttrverso il comdo Modif possimo verificre che, l crescere di, l itegrle A() si vvici l vlore Prte Cosiderimo le fuzioi ^h e b^h ^ h Le mttoelle corrispodeti A e B soo rppresette ell pgi lto, isieme ll digole lugo cui l mcchi sorvol per torre ll posizioe iizile dopo ver depositto il colore S S R R b O O Mttoell A Figur Mttoell B Figur Nel cso i cui u gocci di colore cd i u puto dell digole d di u mttoell A, l probbilità 8 Zichelli Editore,
RS che cd sull prte bic è P $, dove d e S^ d h Visto che Z ]! R: * " * + " [,, ] \ si h R k Otteimo llor che P Alogmete P b dove R : b RS b $, d k + k k * ^ h " * + " * + Vle: + "!,!, quidi Rb k Quidi: P b k + k k Se idichimo co E, E b gli eveti E «cde u gocci su u mttoell di tipo A», E b «cde u gocci su u mttoell di tipo B», le rispettive probbilità soo: p^eh p^ebh % Quidi P$ p^eh $ 76, % è l probbilità che u mttoell di tipo A risulti deggit, metre Pb$ p^ebh $, 6% è l probbilità che u mttoell di tipo B risulti deggit Pertto il umero di mttoelle deggite è circ $ 7, 6% + $, 6% $ % Zichelli Editore,
PROBLEMA Prte Clcolimo le equzioi delle rette r k e s k L rett r k pss per il puto ^ fk ^hh e h come coefficiete golre fkl^ h Si h: fk ^h fkl^h + k fk l^ h k Ne segue che l equzioe di r k è k+ L rett s k pss per il puto ^ fk ^hh e h come coefficiete golre fkl^ h fk ^h + k+ k+ 8, fk l^h + k Duque s k h equzioe ^k h + Il puto M di itersezioe tr r k e s k si trov risolvedo il sistem: k+ ( k + " k + ^k h + ^ h D quest ultim equzioe ricvimo l sciss del puto M che vle M Prte Dll risoluzioe del precedete sistem trovimo l ordit del puto M: M k+ Studimo per quli vlori di k si h M : k+ " k Duque il più grde k itero positivo che soddisf l disequzioe è proprio k I corrispodez di tle vlore, l fuzioe h equzioe: f ^h + + che, essedo u poliomio, è cotiu e derivbile per ogi vlore rele Osservimo che: lim ^ + + h + lim ^ + + h " " + Quidi o ci soo é mssimi é miimi ssoluti L derivt prim per k è fl^h + Studimoe il sego: + " Il sego è rissuto ello schem f () f () + mi m Figur Pertto i puti stziori soo: P + k, che è u puto di miimo reltivo P + k, che è u puto di mssimo reltivo Zichelli Editore,
Studimo or l derivt secod f m^h 6 Duque il puto F^ h è u puto di flesso Osservimo che esiste u uico puto di itersezioe tr il grfico di f e l sse Iftti, dllo studio dell derivt prim e dl clcolo dei limiti si può cocludere che l curv o può itersecre l sse i essu puto di sciss miore di, perché le ordite dei puti di mssimo e miimo soo positive Sicurmete, ivece, l curv itersecherà l sse i u uico puto di sciss mggiore di è l soluzioe rele dell equzioe + + e o è rziole Possimo trovre u vlore pprossimto utilizzdo il teorem degli zeri Izitutto osservimo che: f ^h f ^h " Alogmete trovimo che: f ^, h f ^, h ",, Essedo f ^, h, possimo cocludere che, Rppresetimo il grfico C di f Co l clcoltrice grfic f () Possimo disegre ell mbiete grfico l fuzioe f^h + + e l su derivt prim fl^h + f () Figur 8 7 6 f P 8 7 6 + F O P flesso Figur α 6 7 Attrverso gli strumeti del meu GSolv possimo trovre mssimi, miimi e itersezioi co gli ssi dell fuzioe e dell su derivt Zichelli Editore,
Prte L rett r h equzioe +, itersec l sse el puto A( ) e l curv C i ( ) L rett s h equzioe +, itersec l sse el puto B ` j, l rett r el puto M` ed è tgete C el puto Q( ) f 8 7 6 r s F M ( ) Q ( ) A O α B 8 7 6 6 7 A A Figur L probbilità richiest p è il rpporto tr l somm delle ree A e A delle regioi pie evidezite i figur e l re del trigolo ABM L re del trigolo ABM è: AB $ M A ABM 8 $ ` + j $ Clcolimo A come somm di due itegrli: A 6 + ^ + + h@ d+ 6 + ^ + + h@ d d d 8 + ^ + h : D + : + D + Ache per il clcolo di A dobbimo sommre due itegrli defiiti: A d d 6 + ^ + + h@ + ^ + h : + D + 6 + @ + k + ` + j + Sostituimo co il suo vlore pprossimto otteimo così A, L re dell regioe del trigolo ABM che cotiee i puti che si trovo l di sopr di C è: A + A, I coclusioe, l probbilità p richiest è: AA A, p + A A 8, " p % A ABM j Zichelli Editore,
Co l clcoltrice grfic Attrverso il meu Sketch possimo disegre le rette tgeti l grfico ei puti desiderti Nell mbiete di clcolo possimo eseguire il clcolo degli itegrli per verificre di ver svolto correttmete i coti Prte Cosiderimo u geeric fuzioe poliomile di grdo, p^h, l cui derivt l pl^ h h grdo Preso sull curv u geerico puto Ap ^ ^hh, il coefficiete golre dell perpedicolre ll tgete ll curv i A è, co pl p l ^ h ^ h! Quidi l equzioe dell rett ormle cosidert è: p^h $ ^ pl h ^h Impoedo il pssggio per l origie, si ottiee l equzioe: p^h $ ^h " p^h$ pl^h pl ^h L equzioe otteut è u equzioe poliomile che h per grdo l somm dei grdi di p e pl, ovvero +, cioè Quidi, per il teorem fodmetle dell lgebr, tle equzioe o può vere più di soluzioi reli Osservimo che, el procedimeto seguito, bbimo posto pl ^h!, così che le rette ormli cercte ho coefficiete golre defiito d e o soo prllele ll sse Potremmo duque ipotizzre che ci poss essere u ulteriore soluzioe, d ggiugere l vlore mssimo Verifichimo che p l ^ h o è così, iftti el cso i cui pl ^h, l rett tgete el puto A è prllel ll sse, metre l ormle è prllel ll sse Tle ormle pss per l origie solo se coicide co l sse ovvero se Se pl ^h e è comuque verifict l equzioe p^h$ pl^h trovt i precedez Cocludimo quidi che le sue soluzioi soo l più i quto tle soluzioe prticolre, se c è, è comuque iclus elle precedeti Zichelli Editore,
QUESTIONARIO Il testo del quesito o specific se si trtt di coi e cilidri retti o obliqui Osservimo che, per il pricipio di Cvlieri, le formule del volume di coi e cilidri di dt ltezz e rggio di bse o cmbio dl cso retto l cso obliquo Possimo quidi lizzre l situzioe el cso retto i risultti otteuti sro vlidi che per il cso obliquo Cosiderimo duque u coo retto di ltezz H e rggio di bse R, co iscritto B u cilidro retto di ltezz h e rggio di bse r Deve essere r R I figur è descritt u sezioe del coo e del cilidro otteut co u pio psste per l sse comue Possimo determire h sfruttdo l similitudie dei trigoli OAB e CAD Otteimo: D OB OA CD CA " H R h R r " h H R ^ R r h H ` R r j I ltertiv, per ricvre h, potevmo iserire l figur precedete i u sistem di ssi crtesii, come mostrto di seguito bbimo idicto sugli ssi le scisse e le ordite dei puti corrispodeti Il lto obliquo AB, corrispodete ll potem del coo, pprtiee llor ll rett di equzioe: O Figur C A H H R Per r otteimo, come prim, l ltezz h del cilidro: H H h H R r H ` R r j Il volume del cilidro è dto d: V A ltezz r h r H R r cilidro bse $ $ r$ r ` j h Il volume del coo è dto d: Vcoo $ Abse $ ltezz $ R $ r $ H r HR Il rpporto fr i due volumi è: O r R Figur 6 V V cilidro coo rrh` R r j r r HR R R r ` j r ^R rh R R Rr r ^ h Vlutimo qul è il mssimo ssuto d questo rpporto, studido il sego dell derivt prim dell fuzioe f r R Rr r ^ h ^ h: f r R R Rr l^ h ^ r h R f (r) + fl^rh " Rrr " r^rrh f (r) Poiché r, si h: Figur 7 r R Zichelli Editore,
Il rpporto è mssimo per r R e i questo cso vle: V V cilidro coo Poiché R R R R R R 7 8 8 : ` j ` jd k $ 7, il volume del cilidro iscritto è sempre miore dell metà del volume del coo Idichimo co p l probbilità che esc el lcio di uo dei ddi tetredrici Per quto detto el testo del quesito si h: p^ h p, p^h p, p^h p, p^h 8p L somm delle quttro probbilità deve essere pri, quidi: p+ p+ p+ 8p " p " p Le probbilità di uscit di ciscu fcci risulto pertto: p^h, p^h, p^h, p^h 8 Clcolimo l probbilità richiest P, ovvero l probbilità di uscit di due umeri uguli el lcio cotemporeo di due ddi, come somm di eveti icomptibili: P p^d / D h+ p^d / D h+ p^d / D h+ p^d / D h, dove D idic l esito del primo ddo e D quello del secodo ddo Gli esiti dei due ddi rppreseto eveti idipedeti, quidi: P p^hp^h+ p^hp^h+ p^hp^h+ p^hp^h 8 6 + 6 + + 8 ` j + ` j + ` j + ` j 7 8, I coclusioe, l probbilità richiest è circ ugule l 8% Ache se o richiesto dl quesito, osservimo che el cso di due ddi tetredrici regolri, ei quli l uscit di ogi fcci h probbilità, l probbilità di uscit di due umeri uguli el lcio dei due ddi è : P p^hp^h+ p^hp^h+ p^hp^h+ p^hp^h ` j + ` j + ` j + ` j $ 6, " % Per lo svolgimeto di questo quesito propoimo due metodi Metodo Per determire le scisse degli evetuli puti di tgez tr l rett di equzioe + k e il grfico dell fuzioe f^h +, poimo l derivt di f^h ugule l coefficiete golre dell rett: fl^h " 8 " 8+ " Poiché f ` j ` j ` j + 7, f^h 8 $ +, i puti di tgez devoo vere coordite T` 7 j e T ^ h Zichelli Editore,
Sostituedo ell equzioe dell rett, trovimo i corrispodeti vlori di k T: 7 $ + k " 67 k 7 T : $ + k " k I vlori di k richiesti soo duque: 67 k 7 k Metodo I geerle, due curve di equzioe f^h e g^h soo tgeti i u puto se le due fuzioi ssumoo lo stesso vlore i quel puto e se, i tle puto, i grfici ho l stess tgete Queste codizioi porto risolvere il sistem: f^h g^h ( fl^ h gl^ h Nel cso i esme: f^h + k g^h + Risolvimo il sistem corrispodete elle icogite e k: + k + + + k ' " ' 8 8+ Risolvimo le secod equzioe: 8+ "! 6! " Se sostituimo ell prim equzioe otteimo: 7 8 $ + $ + k " k 7 8 6 + 8 + " 67 k 7 Se sostituimo ivece ell prim equzioe otteimo: 8 $ + $ + k " k 8 6+ 8+ " k Rissumedo: per k 67 7 l rett e l curv soo tgeti el puto di sciss per k l rett e l curv soo tgeti el puto di sciss Co l clcoltrice grfic Possimo iserire le due fuzioi ell mbiete grfico, lscido liber l vribile K Attrverso il comdo Modif possimo visulizzre le posizioi reciproche tr i due grfici Poedo K possimo trovre il puto di itersezioe tr i due grfici ttrverso il meu GSolve 6 Zichelli Editore,
L fuzioe si e f^h + e cos è trscedete frtt Il deomitore è sempre diverso d per ogi vlore di poiché + e cos $ + e + e Ache il umertore è defiito per ogi rele Il domiio dell fuzioe è quidi R ed è possibile clcolre i limiti per " + e " Determiimo lim f^h " si e lim " + e cos risult u form idetermit perché e lim ^ si e h " lim " ^ + e cos h + L fuzioe f^h verific le codizioi del teorem di De l Hospitl e quidi si si e cos e lim lim " e cos + " e + si Il umertore è u fuzioe limitt ovuque o ull poiché vle si e # cos e # + e Ioltre il deomitore diverge egtivmete: lim ^ e + si h " Quidi il limite del rpporto esiste ed è ullo: si cos e lim " e + si Determiimo lim f^h " + Il umertore diverge positivmete i quto lim ^ si e h +, " + metre il deomitore è u fuzioe limitt superiormete per " + : + e cos # + + 7 per $ Pertto si si e e f^h $ + e cos 7 per $ e lim 7 e si + " + Per il teorem del cofroto vle llor: lim f^h + " + 7 Zichelli Editore,
Co l clcoltrice grfic Possimo disegre il grfico dell fuzioe per ituire i limiti cui tede per "! Cosiderimo l figur ABCD mistilie formt dl rettgolo ABCD e dl semicerchio di cetro O D O C A B Figur 8 Idichimo co l misur del rggio OC e co quell del segmeto BC Clcolimo il perimetro p dell suddett figur: p OC+ BC+ roc + + r Impoimo che tle perimetro si ugule (omettimo per il mometo l uità di misur) e ricvimo l vribile : r + + r " + Poiché e soo misure di segmeti, deve essere e, d cui: r, + " + r Clcolimo l re dell figur mistilie, che dipede d : roc r Are^h AB $ BC + + Sostituedo l espressioe i fuzioe di trovimo: r r r r Are^h ` + j + ^+ r h + `+ j + L fuzioe Are() è u poliomio di secodo grdo il cui grfico corrispode u prbol co coc 8 Zichelli Editore,
vità rivolt verso il bsso Il suo vlore mssimo è ssuto i corrispodez del vertice V di sciss b V : V r + r $ 8 `+ jb Questo vlore di cosete di recitre l superficie di re mssim le corrispodeti dimesioi del rettgolo ABCD soo: AB V $ + r + r 6, r r BC V + V + $ + r + + r r + r 8, Le dimesioi del rettgolo soo duque pprossimtivmete,6 m e,8 m Co l clcoltrice grfic r I mbiete grfico possimo disegre l prbol f^h ` + j + e ttrverso il meu GSolv possimo determire il mssimo 6 Per l risoluzioe del quesito propoimo due metodi Metodo Trovimo l equzioe dell rett s perpedicolre l pio r e psste per il puto T^ h Poiché il vettore ormle l pio r è ^ h, si h: + k * * + k s: k k! R " s: k k! R z k z k Il cetro C dell superficie sferic S pprtiee ll rett r, quidi h coordite del tipo C^ h co! R, e pprtiee ll rett s, quidi deve essere: + k + k k k k * k " * k " * k " ( " k k k Il rggio R dell superficie sferic è CT, quidi: R ^ + h + ^+ h + ^+ h ^ h + + L equzioe dell superficie sferic S è: ^+ h + ^+ h + ^z+ h " + + z + + + z C^ h Zichelli Editore,
Metodo Il geerico puto C(t t t) dell rett r, co t! R, costituisce il cetro dell superficie sferic S se il segmeto CT risult perpedicolre l pio r, ovvero se il vettore CT è proporziole l vettore ormle ^ h del pio r Impoimo duque l codizioe: CT k$ " ^t+ t t h k^ h, co t, k! R Otteimo: t+ k t k t k t k " t+ t " t * * ( t k Per t bbimo C^ h e R CT ^ + h + ^+ h + ^+ h L equzioe dell superficie sferic S è: ^+ h + ^+ h + ^z+ h " + + z + + + z 7 Osservimo izitutto che + per ogi vlore rele di Gli estremi di itegrzioe soo quidi orditi e o dobbimo distiguere fr più csi Clcolimo l itegrle i fuzioe del prmetro : + + + ^ + hd ^ + hd ^ + hd + ^ + h : + D + ^ + h E ^+ h + ^+ h + + Impoimo che il vlore dell itegrle si ugule : + + " + 6 " +! Le soluzioi dell equzioe soo: " Etrmbe le soluzioi soo ccettbili poiché l fuzioe itegrd è u poliomio defiito su tutto l sse rele Co l clcoltrice grfic I mbiete di clcolo possimo ssegre u vlore ll vribile A e poi clcolre il reltivo itegrle Svolgedo le operzioi i quest ordie, se modifichimo il vlore ssegto d A tordo co il cursore ell prim lie, il risultto dell itegrle dell rig sottostte viee riclcolto i bse l uovo vlore di A 8 Suppoimo che o si possibile preggire ell sigol prtit Chimimo A e B i due gioctori Poiché ho l stess probbilità di vicere ogi prtit, quest probbilità è Zichelli Editore,
Clcolimo l probbilità che A vic il gioco i l più prtite I possibili risultti soo: (A vice prtite, B vice prtite), e Idichimo questi tre eveti co A, A e A Il gioco si può modellizzre co lo schem delle prove ripetute, dove l probbilità di successo è ed è ugule ll probbilità di isuccesso Affiché si verifichi A, il gioctore A deve vicere prtite di seguito, quidi: p A ^ h k $ ` j $ ` j Affiché si verifichi A, A deve perdere u sol prtit tr le prime e vicere l udicesim L probbilità è quidi: p^ah k $ ` j $ ` j $ $ Affiché si verifichi A, A deve perdere due prtite tr le prime e vicere l dodicesim Quidi: $ p^ah k $ ` j $ ` j $ $ $ Poiché gli eveti A, A e A soo icomptibili, l probbilità che vic A i l più prtite è: 7 p^a, A, Ah p^ah+ p^ah+ p^ah + $ + $ + + Per simmetri, l probbilità che B vic il gioco i l più prtite è l stess di A L probbilità che uo dei due gioctori vic il gioco i l più prtite è: 7 7 $, " circ,% Per verificre che il trigolo è equiltero, clcolimo le misure dei lti AB ^ h + ^ h + ^z z h B A B A B A ^ h + ^ h + ^ h + + 8 BC ^C Bh + ^C Bh + ^zc zbh ^ h + ^+ h + ^ h + + 8 CA ^A Ch + ^A Ch + ^za zch ^h + ^h + ^ h + + 8 Poiché AB BC CA, il trigolo ABC è equiltero Per tre puti o llieti pss u solo pio dello spzio, duque il trigolo ABC pprtiee l pio se e solo se i suoi vertici soo puti del pio Verifichimolo?? Puto A: A+ A+ za " + + " vero?? Puto B: B+ B+ zb " + " vero?? Puto C: C+ C+ zc " + + " vero Il vertice P del tetredro pprtiee ll rett r psste per il bricetro G del trigolo ABC e perpedico Zichelli Editore,
lre l pio Le coordite del bricetro soo: G A+ B+ C A+ B+ C A+ z B+ z C k " + + + G` + + j " 7 G` j Poiché h equzioe + + z, l direzioe di r è dt dl vettore (l m ) ( ), formto di coefficieti di, e z L rett r h equzioi prmetriche: Z 7 Z ] lt + t G + ] ] [ G + mt " [ + t ] z zg + t ] \ ] z + t \ co t! R Il puto P pprtiee r, quidi le sue coordite soo del tipo: 7 P` + t + t + tj Possimo procedere i quttro modi Metodo Poimo PA AB, che equivle PA AB 7 PA ` + t j + ` + t j + ` + t j, AB 8 t t " + j + + j + + tj 8 Risolvimo l equzioe ell icogit t 6 8 + t t+ + t t+ + t + t 8 " 6 t + 8 " t " t,! Se t 7 8, P` + + + j " P` j 7 Se t, P` j " P^ h Metodo Clcolimo PG co il teorem di Pitgor: PG AP AG ABCP è u tetredro regolre, quidi deve essere AP AB Determiimo AG : 7 AG ` j + ` j + ` j 6 + + 8 Duque: PG AP AG 8 6 8 L distz di P dl pio è: 7 + t+ + t+ + t t + + Zichelli Editore,
Quest distz deve essere ugule PG, cioè: t " t " t! " t t Le coordite dei puti P e P si determio come el metodo Metodo Cosiderimo il geerico puto P( z) Affiché il tetredro si regolre, deve essere AP BP CP AB, ovvero AP BP CP AB Ciò si trduce el sistem: Z ^ h + ^ h + ^z h 8 ] [ ^ h + ^+ h + ^z h 8 ] \ ^ h + ^ h + ^z h 8 Risolvedo il sistem si ottegoo due soluzioi, che corrispodoo lle coordite dei puti P e P trovti ei metodi precedeti z α C ( ) B ( ) O P ( ) Figur A ( ) 8 P ( ) r 7 G ( ) Metodo Cosiderimo il geerico puto P( z) I u tetredro regolre, l ltezz del trigolo di bse deve essere cogruete lle ltezze delle fcce lterli Poiché le fcce soo trigoli equilteri, le ltezze coicidoo co le medie Chimimo M, N, Q i puti medi di AB, BC, CA Le loro coordite soo, rispettivmete: M( ), N( ) e Q( ) Clcolimo CM : CM ^ h + ^ h + ^ h + + 6 Deve essere PM PN PQ CM, ovvero PM PN PQ CM Dl sistem Z ^ h + ^ h + ^z h 6 ] [ ^ h + ^ h + ^z h 6 ] \ ^ h + ^ h + ^z h 6 si ottegoo le stesse coordite dei puti P e P trovti ei metodi precedeti Cosiderimo l fuzioe e k + ^ h, co k! R, e impoimo che si soluzioe dell equzioe differezile: m l Clcolimo le derivte prim e secod dell fuzioe: l ke k + m k k + e Sostituimo, l e m ell equzioe differezile: ke k + ke k 6e k e k + + " + ^ kk h k + Poiché e per ogi k e per ogi reli, deve essere: k k " k! " k k Pertto i vlori del prmetro k che soddisfo l richiest soo k e k Zichelli Editore,