Geometria affine e proiettiva Laura Facchini 7 aprile 20 Esercizio. Sia E 4 il 4-spazio euclideo numerico dotato del riferimento cartesiano standard di coordinate (x, y, z, w. Siano P (0, 0,,, P (, 2,,, P 2 (2, 4,, 3 e P 3 (, 2,, 3 punti di E 4 e sia S il sottospazio affine di E 4 generato da P, P 2, P 3 e P. Siano poi Q(0,,,, Q (, 2, 0, 4 e Q 2 (,,, punti di E 4 e sia S 2 il sottospazio affine di E 4 generato da Q, Q 2 e Q. Si risponda ai seguenti quesiti: ( Si dimostri che i punti P, P 2, P 3, P sono allineati e si calcoli un sistema di equazioni cartesiane per S. (2 Si calcoli la dimensione di S 2 e si trovi un sistema di equazioni cartesiane per S 2. (3 Si mostri che S ed S 2 sono paralleli. (4 Si calcoli la distanza tra S ed S 2. Svolgimento.. Denotiamo con M M(3 4; R la matrice che ha per righe i vettori P P i per i {, 2, 3}: M : 0 2 0 ( ( 2 0 4 0 ( 3 ( 0 2 0 ( 3 ( 2 0 2 2 4 0 4 2 0 2 Si vede subito che tale matrice ha rango, ovvero i quattro punti sono allineati e quindi S è una retta affine di E 4 Per trovare delle equazioni cartesiane per S, basta imporre che ( P X rk, P P
ove X è il punto generico di coordinate (x, y, z. In altre parole, si ha ( x 0 y 0 z ( w ( rk, 0 2 0 ( ( ovvero ( x y z + w + rk 2 0 2. Grazie al principio dei minori orlati, ciò è equivalente a porre: ( x y 0 det 2x y 2 ( x z + 0 det 0 ( x w + 0 det 2 z 2x w Dunque, si ha: S : 2x + y 0 z + 0 2x w 0 2. Denotiamo con M 2 M(2 4; R la matrice che ha per righe i vettori QQ i per i {, 2}: M 2 : ( 0 2 0 4 ( 0 ( ( 3 3 2 0 2 Si vede subito che tale matrice ha rango 2, ovvero dim S 2 2 e quindi S 2 è un 2-piano affine di E 4. Per trovare delle equazioni cartesiane per S 2, basta imporre che x 0 y z w ( QX rk 0 2 0 4 ( rk QQ 2. 0 ( QQ 2 Osserviamo che la sottomatrice M 2 (2, 3, 3 di M 2 è uguale a ( 0 2
ed il suo determinante è uguale a 0. Portiamo in testa tale sottomatrice di M 2 scambiando tra di loro la seconda e la terza colonna di M 2 stessa. Otteniamo la sequente matrice x z y w + M 2 : - 3 3 0 2 2 Dal principio dei minori orlati segue che 0 det x z y 3 2x + y z 0 2 rkm 2 rkm 2 2 0 det x z w + 3 2x 5z + w + 6 0 2 Dunque, si ha: S 2 : { 2x + y z 0 2x 5z + w + 6 0 3. Un vettore direzione di S è dato da P P (, 2, 0, 2 t. La giacitura G(S 2 di S 2 ha equazioni cartesiane { 2x + y z 0 G(S 2 : 2x 5z + w 0 Sostituendo le componenti di P P in queste ultime equazioni, si verifica immediatamente che P P G(S 2 : { 2 2 0 0 2 0 + 2 0 Segue che S è parallelo a S 2. 4. Ricordiamo che P (0, 0,, S e Q(0,,, S 2. Calcoliamo la giacitura G(S 2 del 2-piano S 2 : { 2x + y z 0 2x + 5y w 0 { z 2x + y w 2x + 5y Sol {(x, y, 2x + y, 2x + 5y t R 4 y, w R} (, 0, 2, 2 t, (0,,, 5 t. 3
Poniamo v : (, 0, 2, 2 t e v 2 : (0,,, 5 t. Segue che (v, v 2 è una base di G(S 2. Se denotiamo con X la proiezione ortogonale di P su S 2, vale: { e P X, v 0 P X, v 2 0, P X QX QP QP (0, 0,, (0,,, (0,, 2, 0. Poiché X S 2, esistono (unici λ, µ R tali che QX λv + µv 2. Vale: { { QX QP, v 0 QX QP, v 2 0 λv + µv 2, v QP, v λv + µv 2, v 2 QP, v 2 D altra parte, si ha { { QX, v QP, v QX, v 2 QP, v 2 λ v, v + µ v 2, v QP, v λ v, v 2 + µ v 2, v 2 QP, v 2 v, v + 4 + 4 9 v, v 2 v 2, v 2 0 8 v 2, v 2 + + 25 27 QP, v 4 QP, v 2 3 Dunque, vale: { 9λ 8µ 4 8λ + 27µ 3 λ 32 79 µ 59 79 Segue che QX λv +µv 2 32 59 (, 0, 2, 2 (0,,, 5 (32, 59, 323, 3 79 79 79 4
e la distanza tra S ed S 2 è uguale a P X QX QP (32, 59, 323, 3 (0,, 2, 0 79 ( 32, 20, 35, 3 79 ( 322 + 20 2 + 35 2 + ( 3 2 79 2 90 79 poiché S ed S 2 sono paralleli. Esercizio 2. Sia P 3 (R il 3-spazio proiettivo reale numerico dotato del riferimento proiettivo standard di coordinate omogenee [x 0, x, x 2, x 3 ]. Per ogni k R, definiamo i seguenti punti di P 3 (R: A(k : [, k, 0, 2], B(k : [k,, 2, 0] e C(k : [0, k +,, ]. Si determinino i valori del parametro k R in modo che i punti A(k, B(k e C(k siano allineati. Nel caso in cui essi siano allineati, si calcoli un sistema di equazioni cartesiane per la retta proiettiva r(k di P 3 (R passante per tali punti. Svolgimento. Definiamo la matrice M(k M(3 4; R ponendo k 0 2 M(k : k 2 0 0 k + Dobbiamo trovare per quali valori di k, tale matrice ha rango 2. Osserviamo che la sottomatrice M(k(, 2 3, 4 di M(k è uguale a ( 0 2 2 0 ed il suo determinante è uguale a 4 0. Portiamo in testa tale sottomatrice di M(k scambiando tra di loro le prime due colonne con le ultime due di M(k stessa. Otteniamo la sequente matrice M (k : 0 2 k 2 0 k 0 k + 5
Dal principio dei minori orlati segue che rk(m(k rk(m (k 2 0 det 0 det 0 2 2 0 k 0 0 2 k 2 0 k + 2(k + 2(k + Dunque A(k, B(k e C(k sono allineati se e soltanto se k. Calcoliamo un sistema di equazioni cartesiane per la retta r( passante da A( e B( (e quindi da C( : x 0 x x 2 x 3 rk 0 2 2 2 0 se e soltanto se 0 det 0 det x 0 x 2 x 3 0 2 2 0 x x 2 x 3 0 2 2 0 2(2x 0 + x 2 x 3 2(2x x 2 + x 3 Dunque, si ha: r( : { 2x0 + x 2 x 3 0 2x x 2 + x 3 0 Esercizio 3. Sia P 3 (R il 3-spazio proiettivo reale numerico dotato del riferimento proiettivo standard di coordinate omogenee [x 0, x, x 2, x 3 ]. Per ogni k R, definiamo la retta proiettiva r(k di P 3 (R ponendo { x0 + 2kx r(k : 2x 2 + x 3 0 x + kx 2 + (k + x 3 0 Si determinino i valori del parametro k R in modo che la retta r(k sia contenuta nel piano proiettivo π di P 3 (R di equazione cartesiana x 0 +x 3 0. 6
Svolgimento. Sia k R, definiamo la matrice A(k M(3 4; R ponendo 2k 2 A(k : 0 - k k +, 0 0 corrispondente al sistema omogeneo x 0 + 2kx 2x 2 + x 3 0 x + kx 2 + (k + x 3 0 x 0 + x 3 0 Allora r(k π : {x 0 +x 3 0} se e soltanto se rk(a(k 2. Dal principio dei minori orlati segue che 2k 2 0 det 0 k 2(k 2 2(k (k + 0 0 rk(a(k 2 2k 0 det 0 k + 2k(k + 0 Dunque r(k π se e soltanto se k. Esercizio 4. Sia E 4 il piano euclideo numerico dotato del riferimento cartesiano standard di coordinate (x, y. Per ogni t R, definiamo la conica C(t di E 2 ponendo Si risponda ai seguenti quesiti: C(t : tx 2 + 2xy + (t + 2y 2 2y 0. ( Si stabilisca se esistono valori di t per cui la conica C(t è degenere. (2 Si determini il tipo (parabola, ellisse, iperbole della conica C(t al variare del parametro t in R. (3 Si scriva la forma canonica D di C(. Svolgimento. La matrice A(t associata alla conica è 0 0 A(t : 0 t t + 2 7
. La conica C(t è degenere se e soltanto se det A(t 0. Osserviamo che nel nostro caso det A(t t, quindi la conica è degenere per t 0. 2. Per determinare il tipo di conica, occorre considerare il determinante della sottomatrice A 0 (t : A(t(2, 3 2, 3 di A(t, ovvero di ( t A 0 (t : t + 2 Notiamo che quindi: det A 0 (t t 2 + 2t, det A 0 (t 0 se t ± 2 parabola det A 0 (t > 0 se t < 2 o t > + 2 ellisse det A 0 (t < 0 se 2 < t < + 2 con t 0 iperbole se t 0, allora C(t è un iperbole degenere C(0 : 2xy + 2y 2 2y 0, che si decompone nella seguente coppia di rette reali distinte: y 0 e x + y 0. 3. Calcoliamo gli autovalori di A 0 (t per t : ( λ p A0 (t(λ det λ 2 2 λ Quindi gli autovalori di A 0 (t sono λ ± 2 e sono discordi (infatti si tratta di un iperbole. La conica ha quindi un equazione del tipo 2x 2 2y 2 + k 0 per un certo k R. La matrice C associata alla conica è quindi k 0 0 C : 0 2 0 0 0 2 Imponendo la condizione det C det A(t t, otteniamo 2k, quindi l equazione di C( è C( : 2x 2 2y 2 2 0 2 2x 2 2 2y 2 0. 8
Dunque, la forma canonica di C( è D : x 2 2 2 y2 2 2. Esercizio 5. Sia E 4 il piano euclideo numerico dotato del riferimento cartesiano standard di coordinate (x, y. Definiamo la conica C di E 2 ponendo C : 5x 2 + 5y 2 6xy + 6 2x + 38 0 Si risponda ai seguenti quesiti: ( Si determini il tipo (parabola, ellisse, iperbole della conica C. (2 Si scriva la forma canonica D di C. Svolgimento. La matrice A associata a tale equazione è 38 8 2 0 A : 8 ( 2 5 3 5 3 con A 0 : 3 5 0 3 5. Di conseguenza, poiché det A 8 2( 40 2 + 38(25 9 640 + 608 32 0, si tratta di una conica non degenere. Calcoliamo gli autovalori di A 0 : p A0 (λ det(a 0 λi 2 (5 λ 2 9 λ 2 0λ+6 (λ 8 (λ 2, quindi gli autovalori sono λ 8 e λ 2 2. Poiché essi sono concordi, si tratta di un ellisse. 2. Sappiamo dunque che la forma canonica sarà del tipo 2x 2 + 8y 2 + t 0 per un certo t R, a cui è associata la matrice diagonale t 0 0 D : 0 2 0 0 0 8 9
Sappiamo inoltre che det A è un invariante, quindi det A det D. Risolviamo quindi l equazione: 32 6t t 2 ricavando la forma canonica della nostra conica 2x 2 + 8y 2 2 0 x 2 + 4y 2 0. Dunque, la forma canonica di C è D : x 2 + y2 4. Esercizio 6. Sia E 4 il piano euclideo numerico dotato del riferimento cartesiano standard di coordinate (x, y. Definiamo la conica C di E 2 ponendo Si risponda ai seguenti quesiti: C : x 2 + 4xy + 4y 2 6x + 0 ( Si determini il tipo (parabola, ellisse, iperbole della conica C. (2 Si scriva la forma canonica D di C. Svolgimento. La matrice A associata a tale equazione è 3 0 ( A : 3 2 2 con A 0 : 2 4 0 2 4. Di conseguenza, poiché det A 3 2 36 0, si tratta di una conica non degenere. Calcoliamo gli autovalori di A 0 : p A0 (λ det(a 0 λi 2 ( λ (4 λ 4 λ(λ 5, quindi gli autovalori sono λ 0 e λ 2 5 e quindi si tratta di una parabola. 0
2. Sappiamo dunque che la forma canonica sarà del tipo 5y 2 2tx 0 per un certo t 0, a cui è associata la matrice 0 t 0 C : t 0 0 0 0 5 Sappiamo inoltre che det A è un invariante, quindi det A det C. Risolviamo quindi l equazione: 36 5t 2 t 2 36 5 t 6 5 0 ricavando la forma canonica della nostra conica ( 6 5y 2 2 5 x 0 y 2 2 5 5 x 0. Dunque, la forma canonica di C è D : y 2 2 5 5 x 0.