1 Domanda e Offerta Exercise 1. Supponiamo di avere un unico bene x, la quantitá domandata di tale bene è descritta dalla curva Q D = 300 P + 4 R mentre la quantitá offerta è descritta dalla curva Q O = 3 P 0. Si calcoli prezzo e quantitá d equilibrio quando il reddito R = e quando il reddito è R = 0. Si calcoli l elasticitá della domanda e dell offerta al prezzo e l elasticitá della domanda al reddito nel punto d equilibrio. Per trovare il prezzo d equilibrio uguagliamo la quantitá domandata alla quantitá l offerta, Q D = Q O, 300 P + 4 R = 3 P 0 P = 30 + 4 R Usando l equazione a destra possiamo trovare il prezzo d equilibrio, quando R = P = 30 + 4 R 30 + 4 = = 90 la quantitá d equilibrio è Q D = 300 P + 4 R = 300 90 + 4 = 0 Per R = 0 abbiamo che p = 110 e Q = 70. Passiamo al secondo punto dell esercizio, l elasticitá della domanda al prezzo è EP D = P Q D P. La variazione della domanda sulla variazione di prezzo: p = (300 P + 4 R) (300 P 1 + 4 R) = (P P 1 ) = P P 1 P P 1 Osserviamo che se la domanda è lineare nel prezzo allora la variazione della domanda sulla variazione di prezzo non è altro che il coefficiente che moltiplica P. Per R =, EP D = 90 0 = 0.81 anelastico. Per R = 0, EP D = 110 70 = 0.81 anelastico. L elasticitá dell offerta al prezzo è EP O = P Q O Q O P, la variazione della offerta sulla variazione di prezzo: Q O P = (3 P 0) (3 P 1 0) P P 1 = 3(P P 1 ) P P 1 = 3 1
Per R =, EP D = 90 0 3 = 1.3 elastico. Per R = 0, EP D = 110 70 3 = 1. elastico. L elasticitá della domanda al reddito è E D R = R Q D R, in questo caso R = (300 P + 4 R ) (300 P + 4 R 1 ) R R 1 = 4(R R 1 ) R R 1 = 4 Per R =, ER D = 0 4 = 0.9 anelastico. Per R = 0, ER D = 0 70 4 = 0.74 anelastico Exercise. Esame del 09 09 008 Il mercato di un particolare bene è descritto dalle seguenti equazioni: Q D = 0 6 P ; Q S = 10 + P dove Q D, Q S e P sono rispettivamente la quantitá domandata quella offerta e il prezzo. Si calcoli il valore dell elasticitá dalle domanda al prezzo in equilibrio. = P L elasticitá della domanda al prezzo in equilibrio è EP D Q P. Per risolvere l esercizio dobbiamo calcolare il prezzo d equilibrio P, la quantitá d equilibrio Q e la variazione della domanda sulla variazione del prezzo. Uguagliando la domanda con l offerta troviamo il prezzo d equilibrio, 0 6 P = 10 + P P = La quantitá d equilibrio è Q = 0 6 = 0. 0 10 8 Osserviamo che la domanda è funzione lineare del prezzo, pertanto P è il coefficiente che moltiplica P nell equazione che definisce la quantitá domandata, P = 6. Inserendo i valori trovati nell equazione che definisce l elasticitá della domanda al prezzo in equilibrio otteniamo EP D = 1.. Dato che il valore assoluto di ED P è maggiore di 1 la domanda è elastica rispetto al prezzo. Scelta del consumatore = Exercise 3. Esame del 19 06 010 Si considerino due beni x e y; i cui prezzi sono rispettivamente P x = 0 e = 40. Si determini la scelta ottimale per un individuo le cui preferenze sono rappresentate dalla funzione utilitá U(x, y) = x y e che dispone di un reddito pari a R = 000.
Per risolvere l esercizio uguagliamo il SMS x,y (saggio marginale di sostituzione di x rispetto ad y) a Px (rapporto tra prezzi), all equilibrio le quantitá dei due beni sono legate dalle seguente relazione U x U y = P x La derivata di U x è uguale a y, la derivata di U y è uguale a x, pertanto y = 1 x. Sostituendo y nella retta di bilancio, R = y + P x x, otteniamo il seguente sistema x = R (/)+P x = 000 (40/)+0 = 1 1 y = x = 1 = 6. La scelta ottimale del consumatore è (1, 6.). Il secondo metodo usa le curve d indifferenza. Consideriamo il numero reale n, la curva d indifferenza è definita dall equazione seguente: x y = n. Possiamo scrivere la funzione y = n x, quindi il SMS x,y = dy dx = n x. Sappiamo che all equilibrio il saggio marginale di sostituzione assume valore 1 quindi n x = 1 x = n Sostituendo nell equazione della retta di bilancio otteniamo R = P x n + n n Ponendo n = t l equazione di sopra diventa ( R = t P x + P ) y R t = ( ) Px +P y pertanto R n = (P x + ) a questo punto inseriamo i valori numerici nell equazione di sopra in modo da avere il valore di n, n = 000 (0 + 40) = 781. La scelta ottimale del consumatore è x = n = 781. = 1 y = n x = 781. 1 = 6. 3
Exercise 4. Si considerino due beni x e y; i cui prezzi sono rispettivamente P x = 0 e = 40. Si determini la scelta ottimale per un individuo le cui preferenze sono rappresentate dalla funzione utilitá U(x, y) = x + y e che dispone di un reddito pari a R = 000. In questo caso abbiamo che SMS x,y = 1, quindi non è mai uguale al rapporto dei prezzi. Grazie all assioma di non sazietá del consumatore la scelta ottima del consumatore è uno degli estremi della retta di bilancio, soluzione d angolo. L assioma di convessitá ci permette di affermare che: 1. se SMS Px allora l ottimo coincide con il punto d intersezione tra la retta di bilancio e l asse delle ascisse;. se SMS Px allora l ottimo coincide con il punto d intersezione tra la retta di bilancio e l asse delle ordinate. In questo caso l ottimo coincide con il punto d intersezione tra la retta di bilancio e l asse delle ascisse, per trovare l ottimo sostituiamo nell equazione di bilancio il valore y = 0, abbiamo che x = 0. Il punto di ottimo è (0, 0). Osserviamo che se la funzione utilitá fosse stata U(x, y) = 1 x + y allora il saggio marginale di sostituzione sarebbe stato uguale al rapporto dei prezzi per ogni punto della retta di bilancio, di conseguenza tutti i punti della retta di bilancio sarebbero stati dei punti di ottimo per il consumatore. 3 Curva di domanda individuale Exercise. Esame del 08 04 009 Al variare del prezzo, la somma spesa da Antonio nell acquisto di formaggio rimane costante. In conseguenza, la sua curva di domanda è: 1. anelastica al prezzo. elastica al prezzo 3. elasicitá unitaria La risposta corretta è la 3, infatti la somma spessa da Antonio per l acquisto di formaggio rimane costante quindi il prodotto tra P X e X è costante a C, questo vuol dire che X = C P X. Calcoliamo l elasticitá E p = dx dp X PX X = C P X PX C P X = 1 4
Exercise 6. Esame del 10 07 007 La curva di domanda di mercato delle visite al museo archeologico di Atene è data da Q = 1 000 10P, dove Q è il numero di biglietti d ingresso al museo, e P è il prezzo. Se il prezzo d ingresso è 10 euro, a quanto ammonta il surplus totale del consumatore? Dobbiamo calcolare l area del triangolo che ha per base la quantitá domandata in corrispondenza di P = 10 e per altezza la differenza tra il prezzo massimo e 10. La base del triangolo è Q = 1 000 10 10 = 10 00. Il prezzo massimo è si ricava dall equazione 0 = 1 000 10 P, P = 80. Il surplus totale del consumatore è 4 La produzione 10 00 (80 10) = 367 00 Exercise 7. Esame del 09 09 008 Salvatore fa il pescivendolo. Conoscendo la funzione di produzione della sua attivitá, sa di poter vendere 100 kg di pesce lavorando 8 ore al giorno e impiegando 0 unitá di capitale. Salvatore sa anche che il suo prodotto marginale del lavoro è 10 e quello del capitale è 1. A quanto ammonta il saggio marginale di sostituzione tecnica in corrispondenza del valore (K = 0; L = 8)? Ricordiamo che il saggio marginale di sostituzione tecnica misura di quanto possiamo ridurre il capitale a fronte di una unitá aggiuntiva di lavoro mantenendo invariata la produzione, SMST = K L. Dato che il livello di produzione resta costante abbiamo che la variazione totale del prodotto è zero, P L L + P K K = 0, quindi SMST = P L P K Quando K = 0 e L = 8, per ipotesi abbiamo che il prodotto marginale del lavoro P L è uguale a 10, mentre il prodotto marginale del capitale P K è uguale a 1 pertanto SMST = 3 Exercise 8. Esame del 3 09 008 Perché la funzione Q = L 1 3 K a abbia rendimenti di scala costanti, a quanto deve essere uguale il parametro a? La funzione di produzione Q ha rendimenti di scala costanti se aumentando tutti i fattori di produzione nella stessa proporzione allora anche il prodotto aumenta nella stessa proporzione. Per ogni valore C > 0 deve verificarsi che C Q = (C L) 1 3 (C K) a C Q = C 1 3 +a (L 1 3 K a )
dalle ipotesi abbiamo che Q = L 1 3 K a, semplificando l equazione a destra abbiamo C = C 1 3 +a Ricordiamo che la funzione esponente è monotona quindi tale uguaglianza si verifica se e solo se 1 = 1 3 + a. La funzione di produzione ha rendimenti di scala costanti se e solo se a = 3 6