(seguito dalla lezione precedente) 7. Serie di Fourier Assegnata la funzione f(x) tegrabile [, ] si possono determare i suoi coefficienti di Fourier f(n) = 1 si puó considerare la serie f(x)e x dx, n =, ±1, ±2,... f(n)e x La convergenza, uniforme o meno, della serie determata dipende dal carattere fitesimo dei coefficienti f(n) impiegati. É teressante riconoscere come i coefficienti f(n) abbiano orde di fitesimo collegato alla regolaritá della f(x). Abbiamo riconosciuto che la sola contuitá di f(x) implica lim f(n) = n ± Proposizione 7.1. Sia f(x) periodica, contua e derivabile con derivata contua R allora i suoi coefficienti di Fourier sono fitesimi di orde superiore a 1/n. Dimostrazione. Consideriamo i coefficienti di Fourier della f (x) f (n) = f (x)e x dx = f(x)e x + da cui, tenuto conto che la periodicitá implica si ha f(x)e x = f()e f()e = f (n) = f(n) f(n) = i n f (n) Tenuto conto che, per la contuitá di f (x) riesce si ha lim f (n) = n ± f(n) = o 1 ( ) 1 n f(x)e x dx
2 Quanto osservato nella precedente Proposizione puó essere generalizzato come segue Proposizione 7.2. Sia f(x) periodica, contua e derivabile con derivate contue fo all orde m 1 R allora i suoi coefficienti di Fourier sono fitesimi di orde superiore a 1/n m. Teorema 7.3. Sia f(x) periodica, contua e derivabile con derivata prima contua R allora la sua serie di Fourier converge [, ] ed ha somma f(x) converge uniformemente R. Dimostrazione. Il primo punto é il precedente Teorema 6.1. Il secondo punto deriva dal legame f (n) = f(n) tra i coefficienti di Fourier della f(x) e quelli della f (x) da cui f(n)e x f = (n) n f (n) 2 + 1 n 2 Tenuto conto che si riconosce che la serie ( f (n) 2 + 1n ) < 2 f(n)e x soddisfa il test di Weierstrass per la convergenza uniforme. 8. Generalizzazioni Il precedente Teorema 7.3 ha dimostrato che se f C 1 (R) ed é periodica di periodo allora riesce y R : f(n)e x = f(y) e la serie converge uniformemente. Le condizioni richieste, certamente sufficienti, ma troppo restrittive possono essere attenuate conservando parte dei risultati, come enunciato nel seguente
9. APPLICAZIONI 3 Teorema 8.1. Sia f(x) contua [, ]: la serie di Fourier f(n)e x é convergente ed ha somma f(x) tutti i punti x (, ) cui f(x) é derivabile. Dimostrazione. La dimostrazione é esattamente la stessa fornita nel precedente Teorema 6.1: si fa ricorso alla stessa funzione f(x + y ) f(y ) se x g(x) = e i(x+y ) e iy f (y ) e iy se x = con l unica limitazione che i punti y utilizzabili sono tutti e soli quelli terni a (, ) nei quali la f(x) sia derivabile. 9. Applicazioni Consideriamo gli sviluppi di Fourier delle funzioni f(x) = x, g(x) = x 2, c(x) = x 3 Scegliamo di lavorare sull tervallo [, π]. f(x) = x f() = 1 f(n) = 1 = 1 ( π(e + e π ) = cos(nπ) + 1 f(n)e x = xdx =, xe x dx = ( e x e x) = ) e x dx = cos(nπ) cos(nπ) e x = ( 1) n+1 s(nx) n I risultati teorici precedenti permettono di riconoscere che la serie s(x) 1 2 s(2x) + 1 3 s(3x) 1 s(4x) +... 4 converge ogni punto x(, π) alla funzione f(x) = x.
4 É evidente che tale convergenza ad f(x) = x non puó valere almeno uno dei due estremi perché la serie, formata di funzioni periodiche nulle nei due estremi, produce nei due estremi la stessa somma - lo zero - mentre la funzione f(x) prende tali estremi valori diversi ed entrambi diversi da zero. s(x) = x 2 ŝ() = 1 x 2 dx = π2 3, Da cui ŝ(n) = 1 x 2 e x dx = 2( 1)n n 2 ŝ(n)e x = 2( 1) n n 2 e x = = π2 3 + + 4( 1) n cos(nx) n 2 c(x) = x 3 Riesce ovviamente ĉ() =. Il calcolo dei coefficienti di Fourier ĉ(n) questo caso, come del resto nel caso di ogni altra potenza tera x m puó essere condotto servendosi del legame F (n) = 1 F (n) tra i coefficienti F (n) di una funzione e quelli F (n) della derivata. Riesce pertanto da cui ĉ(n) = 1 (n) = 3 1 2( 1) n ĉ n 2 x 3 = 6 ( 1) n s(nx) n 3
1. COMPLETEZZA 5 1. Completezza La capacitá di esprimere ogni funzione f(x) C 1 (R), periodica di periodo come somma della sua serie di Fourier permette di enunciare la seguente Proposizione 1.1. Sia f(x) C 1 (R), periodica di periodo, allora se n Z : allora f(x) é identicamente nulla. In altri termi enunciando le proprietá n Z : f(x)e x dx = f(x)e x dx = come ortogonalitá di f(x) alle e x la proposizione afferma che l unica funzione periodica e regolare, ortogonale a tutte le e x é la funzione identicamente nulla.