Esercitazioni E. 1. Equazione di Poisson e di Laplace (un breve riassunto). Metodo delle Immagini; 3. Risoluzione dell Eq. di Poisson-Laplace nel caso di due superfici conduttrici intersecantesi; 4. Densità di corrente, Potenziali e Campi elettrici prodotti dalle punte;
L Equazione di Poisson-Laplace Determiniamo il Campo Elettrico nota la configurazione delle sorgenti e delle superfici conduttrici di contorno
L Equazione di Poisson-Laplace E = 4πρ E =0 E = Φ E = Φ ( ) = Φ E = 4πρ = Φ Φ = 4πρ Φ = 0
L Equazione di Poisson-Laplace Se i problemi dell Elettrostatica contenessero solo cariche localizzate senza superfici di contorno non avremmo bisogno di fare ricorso alle Equazioni di Poisson-Laplace Laplace. Il nostro problema ammetterebbe infatti la seguente soluzione (caso discreto e continuo): q j ρ( x') Φ ( x) = Φ( x) = d 3 x' x x x x' j In generale i problemi contengono regioni di spazio con cariche localizzate e distribuzioni di carica nonche con superfici di contorno sulle quali sono assegnate condizioni particolari.
Condizioni al Contorno Condizioni al Contorno: Condizioni al contorno di Dirichlet: Definizione del potenziale sulla superficie di contorno: Φ( x ) = Condizioni al contorno di Neumann: Definizione del Campo Elettrico sulla superficie di contorno: Ex ( ) Condizioni al contorno di Cauchy: Definizione del Campo e del Potenziale sulla superficie di contorno: Per il problema di Dirichlet e di Neumann LA SOLUZIONE ESISTE ED E E UNICA; Il Problema di Cauchy e e sovradeterminato. = f g Φ ( x) = f Ex ( ) = g
Il Campo Elettrico all interno di una superficie chiusa conduttrice priva di cariche e nullo. Φ = 0 - Le cariche sono all esterno esterno; - Φ=0 all interno della superficie; - un teorema assicura esistenza ed unicita della soluzione per il problema di Dirichlet e di Neumann; Φ = kost - Poiche la soluzione e unica allora per l unicita della soluzione: Φ = kost E = Φ= all erno 'int 0
Soluzione al Problema di Dirichlet e di Neumann Molti problemi dell Elettrostatica coinvolgono superfici di confine sulle quali è assegnato il potenziale o la densità di carica superficiale. La soluzione formale di tali problemi è la soluzione dell Eq Eq. di Poisson-Laplace con le dovute condizioni al contorno; Nei casi che si presentano in pratica determinare la soluzione di tale Equazione non è semplice; Sono stati sviluppati alcuni Metodi per affrontare questa classe di problemi: METODO DELLE IMMAGINI, che è strettamente legato ad un metodo chiamato delle Funzioni di Green; Sviluppo in Serie di Funzioni Ortogonali;
Il Metodo delle Immagini
Problema 5: Metodo delle Immagini Sia data una superficie conduttrice infinita, mantenuta a potenziale costante: V=0. Nelle adiacenze di essa è situata una carica Q. Si determini il Potenziale ed il campo elettrico in tutto lo spazio. Regione non Fisica Φ non èdefinito Dominio Fisico Φ= 0 Potremmo risolvere allora le Eq. di Poisson e Laplace: R Q Φ = Φ = 0 4πρ Con le opportune condizioni al contorno: F=0 F=0 Esiste un Metodo migliore! il Metodo delle Immagini 005 Carmine Elvezio Pagliarone
Problema 5: Metodo delle Immagini (cont d) Regione non Fisica Dominio Fisico y Q Q' Φ ( xyz,, ) = + ( x R) + y ( x+ R') + y P(x,y) 1/ 1/ sul Piano conduttore (x=0) F=0: Q Q' Φ (0, yz, ) = + = 0 ( R + y ) ( R' + y ) 1/ 1/ Q R F=0 R Q x il Teorema di Esistenza ed unicità della soluzione per il problema di Dirichlet (Neumann): Φ ( x) = 0 Φ ( x) x = f = 0 ci dice che se troviamo una soluzione quella è la soluzione. Q= Q' R = R' Q Q Φ ( xyz,, ) = + ( x R) + y ( x+ R) + y 1/ 1/ 005 Carmine Elvezio Pagliarone
Densità di carica, Potenziali e Campi Elettrici entro angoli -D
y Campi e densità di carica entro angoli -D D (I) b r f P(r,f) x Laplaciano in Coordinate Cartesiane Φ ( xyz,, ) = Φ j= 1,,3 x j Nabla in Coordinate in Coordinate Cilindriche 1 = uˆ uˆ ρ + φ + uˆz ρ ρ φ z Laplaciano in Coordinate Cilindriche 1 1 Φ ( ρφ,, z) = ρ + + ρ ρ ρ ρ φ z Φ Φ Φ Il Problema del quale occorre trovare la soluzione è: Φ ( ρφ, ) = 0 Φ ( ρφ, = 0) =Φ ( ρφ, = β) = V 1 Φ 1 Φ ρ 0 ρ ρ ρ + ρ φ = Φ ( ρφ, = 0) =Φ ( ρφ, = β) = V
Campi e Densità di carica entro angoli -D D (II) 1 Φ 1 Φ ρ 0 ρ ρ ρ + ρ φ = Φ ( ρφ, = 0) =Φ ( ρφ, = β) = V Se troviamo una soluzione quella è la soluzione del problema. Cerchiamola allora del tipo: ( ) ( ρ) R( ρ) ( ρφ) R( ) Φ, = ρψφ ( ) ( ρ) ( ρψφ ) R( ) 1 Φ 1 Φ 1 R ( ) 1 ρψφ ( ) ρ + = ρ + = ρ ρ ρ ρ φ ρ ρ ρ ρ φ ψφ ( ) R ψφ ( ) = ρ + = ρ ρ ρ ρ φ R ρψφ = ρ + ρ R ( ρ) ρ ρ ψφ ( ) φ ( ) ρ R 1 ψφ ( ) ( ρ ) ρ R 1 ψφ ( ) ρ + = 0 R( ρ) ρ ρ ψφ ( ) φ
Campi e Densità di carica entro angoli -D D (III) 1 Φ 1 Φ ρ 0 ρ ρ ρ + ρ φ = Φ ( ρφ, = 0) =Φ ( ρφ, = β) = V L Eq in oggetto può scriversi come: 1 ψφ ( ) ψφ ( ) La cui soluzione è ad esempio: φ ρ R ρ R ( ρ) ρ ρ = ν ( ρ ) ( ρ ) ρ R 1 ψφ ( ) ρ + = 0 R( ρ) ρ ρ ψφ ( ) φ R( ρψφ ) ( = 0) = R( ρψφ ) ( = β) = V = ν ( ρ ) 1 ψφ ( ) ρ R 0 = ν + ν = + ρ ψφ ( ) φ R ( ρ) ρ ρ Verifichiamolo. ( ) ν R ρ = aρ + bρ ν ( ) B ( ) ψφ ( ) = Acos νφ + sin νφ
Campi e Densità di carica entro angoli -D D (IV) R ρ R( ρ ) ρ = ν ( ρ) ρ ρ ν ( aρ ) R( ρ) R( ρ) R( ρ) ν 1 ν ν 1 ν = aνρ ρ = aνρ ρ = aν ρ ρ ρ = ν ( aρ ) ρ ρ ρ ρ ρ ρ ν ( aρ ) ν 1 R( ρ) ν R( ρ) ν 1 R( ρ) ν = aνρ ρ = aνρ ρ = aν ρ ρ ρ = ν ( aρ ) ρ ρ ρ ρ ρ ρ ν ν R ( ρ ) ( aρ + aρ ) ν ν ρ ρ ρ ρ = = ( aρ + aρ ) ν = ν R ( ρ) ρ ρ ρ ρ ( A ( νφ )) cos ψφ ( ) φ ( B ( νφ )) ψφ ( ) φ sin ψφ ( ) φ ( ρ) ν R( ρ) R( ) ρ R ρ = = ν R( ρ) ρ ρ ρ 1 ψφ ( ) ψφ ( ) φ = ν ( ) = A cos( ) ( ) B sin ( ) ( Acos( νφ) Bsin ( νφ )) + 1 ψφ ( ) νψφ ( ) ( ) ( ) = Aν sin νφ ν νφ φ = Bν cos νφ = ν νφ φ ( A ( νφ) B ( νφ )) = = ν cos + sin = νψφ ( ) φ = = ν ψφ φ ψφ ( ) B ( ) ψφ ( ) = Acos νφ + sin νφ ( ) ν R ρ = aρ + bρ ν
Campi e Densità di carica entro angoli -D D (V) Partendo dalla soluzione trovata: si può scrivere ad esempio la particolare per ν=0 R( ρ) = a0 + b0ln ρ ψφ ( ) = A + Bφ 0 0 e quindi la forma generale della soluzione sarà la combinazione lineare di tutte le soluzioni: ( ) 0 0 ( ) ν R ρ = aρ + bρ ( ) B ( ) ψφ ( ) = Acos υφ + sin υφ n n n n n n n= 1 n= 1 Φ ρφ, = a + b lnρ+ a ρ sin( nφ+ α ) + b ρ sin( nφ+ β ) Le condizioni al contorno del problema: implicano quanto segue: ν b B A b 0 = 0 = = = 0 mπ ν = m Z β + R( ρψφ ) ( = 0) = R( ρψφ ) ( = β) = V
Campi e Densità di carica entro angoli -D D (VI) Dimostriamo che le condizioni al contorno: implicano quanto segue: b = B = A = b = 0 0 ν ν 0 mπ = m Z β la nostra soluzione generale è: (, ) ( a0 b0ln )( A0 B0 ) ( a ν ν ρφ ρ φ νρ bρ )( Aν cos( υφ) Bν sin ( υφ )) Φ = + + + + + imponiamo la prima delle condizioni al contorno: La soluzione si riduce quindi alla seguente: ν 0 ν 0 0 ν = 1 υ υ ( ) 0( 0 0 ) ( ) φ = 0, ρ Φ ρ,0 = A a + b ln ρ + a ρ + b ρ A = V b = 0, A = 0, aa = V + ν = 1 ν ν ν R( ρψφ ) ( = 0) = R( ρψφ ) ( = β) = V R( ρψφ= ) ( 0) = V (, ) aa 0 0( V) ab 0 0 ( a υ υ ρφ φ νρ bνρ ) Bν sin ( υφ ) Φ = = + + + Dobbiamo ora imporre l altra condizione ai bordi: ν = 1 R( ρψφ ) ( = β) = V
Campi e Densità di carica entro angoli -D D (VII) Abbiamo fin qui ottenuto che: Imponiamo l altra condizione al contorno: quindi si ottiene: 0 0 (, ) aa 0 0( V) ab 0 0 ( a υ υ ρφ φ νρ bνρ ) Bν sin ( υφ ) Φ = = + + + υ υ ( ) 0( 0 0 ) ( ν ν ) ν ( ) φ = β, ρ Φ ρβ, = a A + B β + a ρ + b ρ B sin υβ = V υ υ ( ν ν ) ν sin ( ) ν = 1 υ B = 0, b = 0( ρ 0 ρ ) la soluzione del nostro problema è pertanto: β mπφ Φ ( ρφ, ) = V + amρ sin m= 1 β ν = 1 V + B β + a ρ + b ρ B υβ = V ν ν = 1 ν ( ρβ, ) ρ sin ( υβ ) Φ = V + ab = V ν = 1 mπ ν = m Z β ν + ν mπ R( ρψφ ) ( = β) = V
Campi e Densità di carica entro angoli -D D (VIII) Abbiamo fin qui ottenuto che: β mπφ Φ ( ρφ, ) = V + amρ sin m= 1 β per valori sufficientemente piccoli di r possiamo trascurare i termini della serie con potenze maggiori di m=1: Determiniamo il Campo Elettrico: E E ρ φ la Distribuzione di Carica nello spigolo assume pertanto la forma: π E ( ) ( ) 1 φ ρ,0 Eφ ρβ, a 1 β σ ( ρ,0 ) = σ ( ρβ, ) = = ρ mπ β πφ Φ ( ρφ, ) V + a1ρ sin β π Φ π a 1 1 β, ρ sin ( ρφ) π 1 Φ π a 1 1 β, ρ cos ( ρφ) πφ = ρ β β π πφ = ρ φ β β πa ESpigolo u + u E β β β β π π 1 1 1 β πφ πφ πa 1 β ρ ˆ sin ˆ ρ φ cos Spigolo ρ 4π 4π 4β 1 = uˆ uˆ ρ + φ + uˆz ρ ρ φ z
Campi e Densità di carica entro angoli -D D (IX) Abbiamo fin qui ottenuto che: Spigolo Spigolo π a β Nell intorno di ρ=0 l intensità del campo e la densità superficiale di carica variano in funzione della distanza come: Consideriamo quindi le segunti geometrie: π 1 β E σ 1 ρ a1 ρ 4β π 1 β π 1 β x E, σ ρ β < π E, σ ρ ( x> 0) 1 β > π E, σ ( x> 0) x ρ b=p/4 b=p/ b=p b=4p/3 r 3 r 1 1/r 4 la Distribuzione di Carica nello spigolo assume pertanto la forma: 1 1 σ ( ρ) α > 1 E punte α punte α ρ ρ
Proprietà delle Punte
Proprietà delle Punte conduttrici Il parafulmine sfrutta il principio detto "delle punte" che si basa sul fatto che minore è il raggio dell'oggetto conduttore, maggiore è il campo elettrico nelle vicinanze dell'oggetto. Nei corpi non a simmetria sferica le cariche elettriche superficiali non sono distribuite in modo uniforme, pertanto affinchè all'interno del conduttore il campo elettrico si annulli, queste saranno concentrate sulle punte (spigoli); Nei pressi di una punta conduttrice dell'asta del parafulmine si crea un campo elettrico che ionizza l'aria e che costituisce una via preferenziale di passaggio della corrente (minore resistenza) rispetto all'aria circostante. Un fulmine che sfiori nella sua traiettoria il parafulmine, viene attratto preferibilmente da questo, scaricandosi lungo il cavo conduttore ed arrivando al dispersore che provvede a disperderne il potenziale elettrico. Il fulmine cioè segue una via preferenziale predefinita e non una potenzialmente pericolosa;
Benjamin Franklin e Re Giogio III 175 B. Franklin nei noti esperimenti condotti con l aiuto del suo fedele maggiordomo comprese la proprietà delle punte; In un Editto,, Re Giorgio III promulgava una legge secondo la quale nel territorio di sua maestà i parafulmini sarebbero stati di forma sferica e non terminanti con una punta; Il Fisico di corte di Re Giorgio III durante uno dei test sui parafulmini sferici morì. La calotta cranica, gli occhi,, le braccia et aliqua res del Fisico furono trovate sparse in un raggio di circa 100 m.
Proprietà delle Punte conduttrici (II) E E Spigolo punte π π 1 1 1 a β 1 β ( ) Spigolo π a ρ, σ ρ ρ ( β > π) β 4β 1, σ ( ρ) ( ρ 0) punte α ρ Le considerazioni fatte fin qui si applicano anche a molte situazioni 3-D; Il comportamento singolare dei campi in vicinanza di orli appuntiti rende ragione del funzionamento dei parafulmini; Tali grandi intensità di campo sono realizzabili nel vuoto assoluto,, ma in aria si verificherà il collasso dielettrico e quindi la scarica,, se il campo supera una certa intensità (per aria a TPN):.5?10 4 Volt/cm Durante i temporali,, date le grandi ddp fra suolo e nubi, una punta conduttrice messa a terra provocherà il collasso dielettrico nelle sue vicinanze fornendo così il punto di arrivo per il frastagliato percorso del fulmine.