Schermate del corso di Laboratorio di Fisica I AA 2015-2016 matricole pari Prof. V. Palladino Dr. O. Iorio Dr. M. Merola Grafici di misure Introduzione alla prova intercorso Lezione 5, scaricabile come http://people.na.infn.it/~palladin/lezioni2015-16/151008lezione05.pdf o, meglio, entrando in http://people.na.infn.it/~palladin//lezioni2015-16/labi.htm
GRAFICI Servono per dare immediatamente e completamente le informazioni, che riguardano l andamento di una variabile in funzione dell altra. La Geometria Analitica c insegna che c è una corrispondenza biunivoca fra punto del piano e coppia di numeri reali. Si stabilisce sul piano un sistema di assi ( di solito ortogonali ) su ognuno dei quali viene fissato un riferimento, individuato dalla posizione dello zero, dal segmento unitario l e dal verso positivo, indicato con una freccia. x l x U x, unità di misura scelta per le x y l y U y, unità di misura scelta per le y
Ad ogni coppia (x,y) corrisponde quindi un punto P nel piano avente come ascissa x e come ordinata y. L insieme dei punti P, che soddisfano la dipendenza funzionale y=y(x) al variare di x nel suo insieme di definizione, costituisce il grafico della funzione. In laboratorio si useranno fogli di carta millimetrata con scale lineari oppure logaritmiche.
y = 0,1 x + 0,2 ( -1 x 4 ) La scelta del segmento unitario l y sulla scala y compatta troppo il grafico. N.B. I segmenti unitari l x e l y sono tracciati solo per maggior chiarezza : in generale è buona norma non disegnarli sul grafico
La funzione da graficare è sempre la stessa, ma l y è ora 10 volte più grande. Il grafico ne guadagna in leggibilità.
Un altro esempio da non seguire y = 0,1 x 2-0,3 x +5 ( 0 x 5 ) Su una scala millimetrata con l y lungo 10 mm, y(3,5) =5,2 e non si può apprezzare la seconda cifra decimale con una certa sicurezza.
Ora la funzione y è la stessa del grafico precedente ma l y è ora cinque volte più grande. Maggiore leggibilità, maggiore precisione con cui il grafico può essere utilizzato: y(3,5) = 5,18
Precisione nelle letture su un grafico La scelta di l x e l y determina la precisione con cui un grafico può essere utilizzato. Infatti l'errore di lettura su un grafico, fatto su scala millimetrata, è non minore di 0.5 mm. D'altra parte, se x è la grandezza fisica e U x la sua unità di misura e se L x è la lunghezza letta sul grafico e l x è il segmento unitario, dalla relazione x = (L x / l x ) U x si ricava che Δx = ( 0,5 mm / l x ) U x sicché l'errore relativo vale Δx / x = ( 0.5 mm ) / L x
Un analogo discorso vale per la coordinata y, per cui Δy / y = ( 0.5 mm ) / L y Nel penultimo grafico L y =52.0 mm, sicché l'errore relativo Δy / y è circa 1 %. Nell ultimo grafico L y =259.0 mm, sicché l'errore relativo Δy / y è circa 0,2 %.
Derivazione grafica Si sfrutta la relazione fra derivata di una funzione e la retta tangente alla curva corrispondente ( vedi figura ). Si hanno le seguenti relazioni : L x / l x = ( x 2 -x 1 ) / U x L y / l y = ( y 2 -y 1 ) / U y
da cui, approssimando il rapporto incrementale alla derivata, si ricava dy / dx ( y 2 -y 1 ) / ( x 2 -x 1 )= = (U y /U x ) ( l x /l y ) ( L y /L x ) = η ( L y /L x ) In definitiva, per ottenere una stima grafica della derivata, basta moltiplicare il rapporto L y /L x per la costante η, che ha le dimensioni [η] = [y] [x ]-1, essendo il rapporto l x /l y naturalmente adimensionale.
Integrazione grafica Si fa l'approssimazione per esempio che, ( vedi figura )
Se L x e L y sono le lunghezze misurate sul grafico, corrispondenti a δx i e y i, allora in cui la costante ψ vale (U y U x ) / (l y l x ) ed ha le dimensioni [ ψ] = [y][x][l] -2
Grafici di misure È bene farli a misure ottenute, per controllare l andamento globale È bene farli anche durante la fase di misura, per controllare se ci sono sbagli grossolani
Tra grafici di funzioni analitiche e grafici di misure di grandezze fisiche ci sono due differenze sostanziali. Le funzioni analitiche hanno in linea di principio un numero infinito di punti, mentre le misure ne hanno un numero limitato Per le funzioni analitiche l errore è al più ± 0,5 mm se la lettura avviene su un foglio di carta millimetrata. Per le misure l errore dipende dalle modalità seguite per effettuare la misura. Questo errore viene riportato sul grafico con un segmento di lunghezza corrispondente.
Facciamo l ipotesi che vogliamo studiare come varia la temperatura T di una certa sostanza al variare del tempo t e di avere ottenuto la seguente tabella, in cui sono riportate le coppie di valori, con i relativi errori, di t e T. t±δt (s) T±ΔT ( C) 2,0± 0,6 2,0 ±0,5 5,0± 0,6 2,5± 0,5 6,6 ±0,6 3,2± 0,5 9,0± 0,6 3,4 ±0,5 11,0 ±0,6 3,9± 0,3 13,0± 0,6 4,6± 0,3 14,8 ±0,6 4,8± 0,3
Se gli errori fossero nulli, la curva che sul grafico corrisponde a T=T(t) dovrebbe passare per tutti i punti sperimentali. La figura mostra due possibili andamenti per T=T(t).
Tenendo conto degli errori, non è detto che la curva passi per tutti i punti sperimentali. È sbagliato tracciare la spezzata ( mostrata in tratteggio), perché si introducono discontinuità in corrispondenza dei punti sperimentali. Si può invece tracciare, per guidare l occhio, una curva continua che passi vicino ai punti sperimentali, in base agli errori di misura.
Problema cruciale e delicato per ogni sperimentatore : come ricavare un eventuale dipendenza funzionale fra due grandezze fisiche a partire da un numero limitato di coppie di misura delle stesse grandezze. Da un punto di vista geometrico, curve passano per un numero finito di punti. Poi bisogna tener conto degli errori Sembrerebbe un problema irrisolubile ma Aiutano delle ragionevoli ipotesi, di cui però bisogna controllare a posteriori la validità.
Sembra piuttosto irragionevole pensare ad un andamento del tipo illustrato in figura se nel corso del riscaldamento non si è riscontrata alcuna causa che possa giustificare un riscaldamento così improvviso fra 7 e 9 secondi.
Rette di massima e minima pendenza Se i dati ci suggeriscono un andamento di tipo lineare, possiamo tracciare le rette di massima e minima pendenza, come in figura.
Se gli errori sono di tipo massimo, queste rette devono passare all'interno di tutti i rettangolini, centrati sui punti sperimentali e aventi per base l'errore sull'ascissa e per altezza l'errore sull'ordinata.
Se scriviamo l'equazione di una retta come y=a+bx, una volta determinati dal grafico i valori di b min e a max per la retta di minima pendenza e i valori di b max e a min per la retta di massima pendenza, possiamo ricavare una stima dei parametri ( e dei relativi errori ) della retta che meglio passa per i punti sperimentali. b=(b max +b min )/2 ± (b max -b min ) / 2 a=(a max +a min )/2 ± (a max -a min ) / 2
Caratteristiche dei buoni grafici : 1. Titolo del grafico e relativo commento 2. Grandezze chiaramente indicate sugli assi insieme con le dimensioni espresse fra parentesi 3. Scale umane ( non ci deve essere bisogno di una calcolatrice per tracciare o leggere i punti ) 4. Uso di frecce, per indicare parti rilevanti del grafico 5. Non sono tracciati i segmenti unitari ( sono superflui!) 6. Non sono indicate sugli assi i valori né delle ascisse né delle ordinate dei punti sperimentali.
Un esempio di buon grafico tratto da Physical Review Letters :
Altri esempi da Physical Review Letters : da notare come sono riportate le barre di errore e l uso ( non consigliato) della spezzata nel primo grafico.
Il miglior modo di riprendere i concetti espressi finora e prepararsi alla prova intercorso è quello di esaminare e rispondere alle domande della prova intercorso dell anno scorso
Prova intercorso di laboratorio di Fisica I AA 2014 2015 Matricole Pari 24 ott 2014 Esercizi 1. La madrevite di un calibro a vite micrometrica, piu sensibile dei calibri Palmer che abbiamo usato, ruota dentro il tamburo, su cui ci sono 100 divisioni. Per ogni giro la vite avanza del suo passo che e 0, 5 mm. Quale e la sensibilita dello strumento? 0,5 mm 200 div/mm 100 micron/mm 200 micron/mm E quale l errore di sensibilita? Risposta: 200 div/mm e 0,005/2 mm. 2. Un campo magnetico e misurato da due strumenti diversi, rispettivamente con una dispersione (deviazione standard) di 3 Gauss e 5 Gauss. Quale dei due strumenti e piu preciso? Risposta: il primo 3. Scrivere il numero di cifre significative con cui sono espressi i seguenti numeri 4,92 10 3 Risposta: 3, 3, 5, 3 0,00492 0,49200 49,2 10 4 4. Troncare alla seconda cifra decimale, arrotondando opportunamente, i seguenti numeri 2,496 2,494 9,993 9,997 Risposta: 2.50, 2,49,9,99, 10,00 5. Con n=36 misure ripetute della intensita di corrente I in un circuito elettrico sono stati ottenuti come migliori stime di I e della deviazione standard σi rispettivamente i valori 1.5732 Ampere e 0.02563 Ampere. Scrivere, con il corretto numero di cifre significative, il risultato della misura, indicando come errore la stima della deviazione standard della media σ I. Scrivere quanto vale l errore relativo. Risposta: La stima della deviazione standard della media sara 0,02563/ 36 Ampere =4,27 10 3 Ampere. Va data con 1 cifra significativa, quindi 0,004. Salvo casi eccezionali, come ad es. moltissime misure, ben piu di 36 e anche di qualche centinaio. Il risultato della misura sara quindi, 1.573±0.004 Ampere. L errore relativo vale 0,003, il tre per mille. 6. Spiegate quale `e la differenza concettuale fra σ I e σ I. Risposta: Per la differenza fra σ I e σ I, si può riportare il ragionamento svolto nel Taylor, 5.4 e 5.7. 7. E stato misurato 10 volte il diametro interno di un cilindretto metallico cavo con un calibro a scorrimento e si sono ottenuti i seguenti risultati ( in mm ) : 45.05, 45.10, 45.10, 45.10, 45.10, 45.10, 45.15, 45.10, 45.10, 45.10.
Disegnare l istogramma di queste misure e determinare la migliore stima del valore del diametro e del suo errore. Risposta: Per l istogramma, scegliamo la larghezza naturale minima del bin dell'istogramma, l errore di sensibilita, 0.05 mm. La media aritmetica, 45,10 mm dara la migliore stima del diametro interno. La stima della deviazione standard e 0,023570 mm, quella della deviazione standard della media 0,007454 mm. Si nota pero che solo tre bins non sono vuoti, non siamo davvero in pieno regime statistico. Bisogna essere cauti, 45,100±0,007 mm non e ragionevole. Possiamo dire che l incertezza sara piu grande della stima della deviazione standard, della media arrotondabile quindi per eccesso a 0,01 mm, e piu piccola dell errore massimo, 0,025 mm, arrotondabile per difetto a 0,02. 8. `E stato misurato con due strumenti diversi l allungamento di una sbarretta dovuto alla dilatazione termica. `E significativa la discrepanza tra i due valori ottenuti ( cioe, sono consistenti i due valori? ) 30 ± 3μm e 37 ± 1 μm nel caso in cui gli errori siano di tipo statistico oppure di tipo massimo? Risposta: Se gli errori sono considerati di tipo statistico, cioe dati dalla stima delle deviazioni standard della media, per rispondere alla domanda si può seguire il Taylor, 5.8. Il modulo della discrepanza vale d = 7μm la sua incertezza e 9+1 = 3,2 μm, il loro rapporto e 2.21. La discrepanza comincia ad essere significativa anche per errori statistici.
Se gli errori sono considerati di tipo massimo, il modulo della discrepanza vale sempre 7μm, mentre l'errore massimo sulla discrepanza vale 4μm. Il loro rapporto siccome è ben maggiore di 1;in questo caso la discrepanza è ancor piu decisamente significativa. 9. Sono stati misurati i lati l1,l2 e l3 di un prisma regolare. Determinare il volume del solido ed il suo errore, nel caso in cui gli gli errori sui lati siano di tipo massimo oppure di tipo statistico.. Risposta: Il volume del prisma è V= L1*L2*L3. Gli errori relativi si ottengono facilmente sommando i tre errori relativi. Linearmente, se errori massimi Δ ΔV = V ( Δ L1 /L1 + Δ L2 /L2 + Δ L3 /L3 ) quadraticamente, se errori statistici σ σ V = V [ (σ L1 /L1)2 + (σ L2 /L2) 2 + (σ L3 /L3) 2 ] 10. E stata misurata al decimo di mm la lunghezza l di una sbarra di uranio che si raffredda al variare del tempo t, misurato con incertezza trascurabile, e si `e ottenuta la seguente tabella : t i (s) l i (mm) 20.0 169.0 40.0 168.4 60.0 167.9 80.0 167.3 100.0 166.8 120.0 166.2 140.0 165.6 160.0 165.2 Fare un grafico di l in funzione di t, riportando l errore sulla ( sola ) variabile lunghezza e scegliendo con attenzione le scale sia in ascissa che in ordinata per sfruttare al meglio lo spazio disponibile. Tenendo conto che il grafico suggerisce un andamento di tipo lineare, che la retta di massima pendenza passa per i punti ( 20.0,168.9) e ( 140,0, 165,7 ) e che quella di minima pendenza passa per i punti (40.0, 168.5) e (160.0, 165.1), ricavare l intercetta della migliore retta e il suo errore ricavare la pendenza della migliore retta e il suo errore tracciare questa migliore retta sul grafico.risposta: Risposta: Sul foglio allegato è illustrato l'esempio di un "buon grafico", con un titolo, le indicazioni delle grandezze sugli assi con le relative dimensioni, scale "umane" e senza indicazioni delle coordinate dei punti sperimentali. La retta di massima pendenza ha pendenza bmax= (168.9-165.7)/120= 3.2/120= -0, 0267 mm/sec e intercetta amin = 168.9 + 0.0267 x 20 = 169.4340 mm. La retta di minima pendenza ha pendenza bmin= (168.5-165.1)/120= - 0,0283 mm/sec e intercetta amax = 168.5 + 0.0283 x 40 = 169.6320 mm Quindi le migliore stime ottenibili con questo metodo della pendenza e la semisomma (media) b = (bmax+bmin)/2 = =1/2*((ymax1 ymax2)/(xmax1-xmax2)+ (ymin1 ymin2)/(xmin1-xmin2))= =1/2*((168,9-165,7)/120)+ (168,5 165,1)/120) = -0,0275 mm/sec della sua incertezza e il modulo della semidifferenza (bmax bmin)/2 = 0,0008 mm/sec dell'intercetta e la semisomma (media) a = (amin+amax)/2 = 169,5330 mm ~169,5 mm della sua incertezza e il modulo della semidifferenza (amax amin)/2 =0,0990 mm ~ 0,1 mm
Il miglior modo di riprendere i concetti espressi finora e prepararsi alla prova intercorso è quello di esaminare e rispondere alle domande della prova intercorso di un a.a. recente ( 2012-2013 ad es.). Esercizio 1 : Scrivere il numero di cifre significative con cui sono espressi i seguenti numeri : 0,0710 7,6100 4,21 10 5 4,21 10-5 Risposta : 3 5 3 3 ( vedi Severi, cap.ii)
Esercizio 2 : Scrivere con due cifre decimali ( ed opportunamente arrotondare ) i seguenti numeri : 4,875 ; 4,885 ; 8,9996 ; 8,9994 Risposta : 4,88 ; 4,88 ; 9,00 ; 9,00 Esercizio 3 : (vedi Severi, cap.ii, 6 ) Scrivere in notazione scientifica il numero 71562 rispettivamente con una, con due, con tre e con quattro cifre significative. Risposta : 1 cifra significativa: 7 10 4 (oppure 0,7 10 5...) 2 cifre significative: 7,2 10 4 (oppure 0,72 10 5...) 3 cifre significative: 7,16 10 4 (oppure 0,716 10 5...) 4 cifre significative: 7,156 10 4 (oppure 0,7156 10 5...) ( vedi Severi, cap.ii, 6 )
Esercizio 4 : Il risultato della misura di una massa è stato m = 45 g con un errore σ m = 5 g. Scrivere quanto vale l'errore relativo. Scrivere inoltre, con la notazione scientifica, il risultato della misura m ± σ m, usando come unità di misura il kg. Risposta : L'errore relativo vale 5/45, ossia 11 %. m ± σ m = ( 45 ±5 ) 10-3 kg
Esercizio 5 : Scrivere correttamente il risultato della misura della velocità di un corpo, avendo fatto n = 19 misure, e trovato, preliminarmente, 17,85 ±3,21 m/s. Scriverlo anche nel caso che n = 801 misure. Risposta semplice : Bisogna capire con quante cifre significative può essere scritto l'errore, quando il numero di misure effettuate n è 19 oppure 801. Per n = 19, un numero limitato di misure, non c e ragione di dare l errore con piu della consueta una sola cifra significativa la risposta corretta è 18 ± 3 m/s. Se n è uguale a 801, un numero molto grande di misure, possiamo dare l errore con 2 cifre significative e la risposta corretta è 17,8 ± 3,2 m/s. 1-02
Esercizio 5 : Scrivere correttamente il risultato della misura della velocità di un corpo, avendo fatto n = 19 misure, 17,85 ±3,21 m/s. Scriverlo anche nel caso che n = 801 misure. Risposta piu sofisticata: Bisogna capire con quante cifre significative può essere scritto l'errore, quando il numero di misure effettuate n è 19 oppure 801. Per fare questo si puo considerare il cosiddetto errore dell'errore, che, come vedremo piu avanti ( vedi Severi, cap.x, 17 e Taylor, 5.5 ) si ottiene dividendo l'errore per 2 1. Per n = 19, 2 1. = 6 e l errore dell'errore= 3,21/6 = 0,5 m/s e l errore 3,21 ± 0,5 m/s va arrotondato a 3. Ha una sola cifra significativa ( quella intera ) e la risposta corretta è 18 ± 3 m/s. Se n è uguale a 801, 2 1. = 40 l errore dell'errore= 3,21/40 = 0,08 m/s e l errore 3,21 ± 0,08 m/s va arrotondato a 3,2. Ha giustificatamente ben due cifre significative e la risposta corretta è 17,8 ± 3,2 m/s. 1-02
Esercizio 6: È stato misurato 90 volte lo spessore s di una lastrina con uno sferometro e si è ottenuta la seguente tabella del numero di aventi (conteggi) N in funzione di s: s (mm) Numero di eventi N 10,102 2 10,104 13 10,106 30 10,108 31 10,110 12 10,112 2 Dopo aver fatto l'istogramma di queste misure, determinare la migliore stima di s e il suo errore Risposta : I 1-02
Deviazione standard Deviazione standard della media 10,1070 mm ± 0,0002 mm 1-02
Ci sono sei canali non vuoti, anche se in realtà i due estremi lo sono quasi. Ci troviamo nel caso, vedi ad es. cap. II, 3 del Severi, in cui le incertezze statistiche sono dominanti rispetto all errore di sensibilità dello strumento. la media aritmetica delle 90 misure e 10,1069778 mm la stima della deviazione standard e 0,002082445 mm la stima della deviazione standard della media e 0,000219509 mm, che scritto con una sola cifra significativa e 0,0002 mm Quindi 10,1070 mm ± 0,0002 mm 1-02
Esercizio 7 : Spiegate qual è la differenza concettuale fra deviazione standard e deviazione standard della media. Risposta : Per la differenza concettuale fra deviazione standard ed errore della media si può riportare il ragionamento svolto nel Taylor, 5.4 e 5.7 1-02
Esercizio 8 : È significativa la discrepanza tra i due seguenti valori della misura di una grandezza fisica 39 ±6 e 50 ±4, nel caso in cui gli errori siano di tipo massimo e nel caso in cui gli errori siano di tipo statistico? Risposta : Se gli errori sono di tipo massimo, il modulo della discrepanza deve essere minore dell'errore sulla discrepanza, se si vuole che la discrepanza non sia significativa. Nel nostro caso il modulo della discrepanza vale 11 e l'errore sulla discrepanza vale 10 : questo implica che la discrepanza e 1,1 volte piu grande della sua incertezza e, per la natura massima degli errori, va considerata significativa. Se gli errori sono considerati di tipo statistico e sono dati dalla stima degli errori della media, per rispondere alla domanda si può seguire il Taylor, 5.8. Il modulo della discrepanza vale 11, mentre l'errore sulla discrepanza σ d vale 52, circa 7,2 La discrepanza e ora circa 1,5 σ d e non ancora significativa, per errori statistici, dove non ci si preoccupa per meno di 2 σ d 1-02
Esercizio 9 : È stata misurata la durata T di un certo fenomeno, pari a 4,00 s, con un errore pari a 0,01 s. Quanto vale T 2 e il suo errore? Risposta : L'errore sul quadrato di T vale 2T Δ T, se Δ T è l'errore su T. Pertanto Δ T 2 = 0,08 s 2 e T 2 = 16,00 s 2. 1-02
Esercizio 10 : È stato misurato il diametro d di una circonferenza C, pari a 1,000 m con un errore massimo Δ d pari a 0,001 m. Scrivere correttamente quanto vale C= πd e il suo errore Δ C, indicando inoltre il numero minimo di cifre decimali con cui bisogna scrivere il valore di π affinché il contributo di questo arrotondamento a Δ C possa essere trascurato rispetto al contributo dovuto a Δ d. Risposta : Se consideriamo π una grandezza affetta da un errore Δπ pari a un'unità sull'ultima cifra decimale di π, bisogna fare in modo che l'errore relativo sul diametro sia maggiore dell'errore relativo su π. Poiché Δd/d è uguale all'un per mille, affinché Δπ /π sia ben inferiore a questo valore occorre scrivere π con 4 cifre significative, ossia 3,142 con un errore relativo pari a circa il 3 su diecimila. Allora l errore relativo rimane 1 per mille o se volete Δ C si riduce a π Δ d = 3,142*0,001 m quindi C è uguale a 3,142 ± 0,003 m. 1-02
Esercizio 11 : È stato misurato l allungamento l di una molla al variare della massa m, applicata all estremità libera della molla stessa e si è ottenuta la seguente tabella : Sapendo che gli errori su m e su l sono pari rispettivamente a 1 g e 4 mm, fare un grafico di l in funzione di m, riportando correttamente le barre di errore sui punti ; sapendo che la migliore retta passa per i punti (140, 5,9 ) e ( 640, 23,5 ), tracciare questa retta sul grafico; ricavare dal grafico una stima del valore dell'intercetta e del suo errore. m ( g) l ( cm) 100 4,5 200 8,0 300 11,6 400 15,0 500 18,8 600 22,0 Risposta : 1-02
Risposta : Un occasione per fare un ``buon '' grafico, con un titolo, le indicazioni delle grandezze sugli assi con le relative dimensioni, scale umane e senza indicazioni delle coordinate dei punti sperimentali. l'intercetta è compresa fra 0,9 e 1,0 cm, diciamo 0,95 cm 1-02
Tenendo conto dei punti per cui passa la migliore retta, usando solo il grafico ( senza effettuare nessun calcolo ) si può stabilire che l'intercetta è compresa fra 0,9 e 1,0 cm. Per quanto riguarda l'errore sull'intercetta, si possono seguire due strade. Siccome su un foglio di carta millimetrata l'errore di pura lettura è almeno 0,5 mm, si può dire che l'intercetta vale 0,95 ±0,05 cm. Alla stessa conclusione si può arrivare, seguendo lo stesso ragionamento usato nel caso della retta di massima e minima pendenza, in cui l'errore viene dato dalla semidispersione massima : nel nostro caso esso è la metà di ( 1,0-0,9 ) cm, ossia 0,05 cm. 1-02