Edoardo Milotti 4/10/2005 Sistemi continui oscillanti unidimensionali (corde vibranti Consideriamo due oscillatori armonici accoppiati linearmente. Fisicamente ciò si può realizzare, ad esempio, con due masse e tre molle che possono oscillare longitudinalmente, come nella figura qui sotto In questo caso le masse possono oscillare solo in direzione dell asse z, e assumiamo fin d ora che le due masse m siano uguali, e che anche le costanti elastiche k delle tre molle siano le stesse. All equilibrio le tre molle hanno la stessa lunghezza a. Ora introduciamo due coordinate spaziali, x 1 = z 1 z 1 e x 2 = z 2 z 2 che indicano lo spostamento delle due masse dalle posizioni di equilibrio z 1 e z 2, allora la condizione di equilibrio è k(z 1 z 0 + k(z 2 z 1 = 0 k(z 2 z 1 + k(z 3 z 2 = 0 (1 mentre le equazioni del moto per le due masse sono: m z 1 = k(z 1 z 0 + k(z 2 z 1 m z 2 = k(z 2 z 1 + k(z 3 z 2 (2 Sottraendo le equazioni (1 dalle (2 si ottiene m x 1 = kx 1 + k(x 2 x 1 m x 2 = k(x 2 x 1 kx 2 (3 Le stesse equazioni differenziali si possono ottenere anche considerando il circuito mostrato nella figura seguente:
Se assumiamo che le tre capacità valgano C e che le due induttanze valgano L, allora le equazioni di Kirchhoff sono: Q Q 1 C + Q C + L di 1 dt = 0 C Q 2 C L di 2 dt I 1 = I + I 2 = 0 (4 e dunque, eliminando I e derivando, si ottiene: L d 2 I 1 dt 2 = I 1 C + 1 C (I 2 I 1 L di 2 dt = 1 C (I 2 I 1 I 2 C (5 e questo sistema differenziale è identico al sistema (3, quando si fa la sostituzione k 1/C m L Come si fa di solito, assumiamo che le soluzioni siano del tipo x k = A k e iωt, allora sostituendo nella (3 otteniamo ω 2 A 1 = ω 2 0 A 1 + ω 2 0 (A 2 A 1 ω 2 A 2 = ω 2 0 (A 2 A 1 ω 2 0 A 2 (6 (con k = mω 0 2. Questo è un sistema di due equazioni lineari, che si può scrivere in forma matriciale ω 2 2 + 2ω 0 2 ω 0 2 ω 0 ω 2 2 + 2ω 0 A 1 A 2 = 0 0 (7 Il sistema ha una soluzione non banale (vale a dire non identicamente nulla solo se il determinante della matrice è uguale a 0, cioè solo se
( ω 2 + 2ω 0 2 2 = ω 0 4 (8 Dall equazione (8 si trova facilmente che ci sono 4 soluzioni: ω = ±ω 0 e ω = ± 3ω 0. A si ricordi che gli esponenziali immaginari sono combinazioni lineari di senie coseni: con una trasformazione lineare è possibile allora cambiare base e passare alle nuove funzioni di base: cos(ω 0 t, sin(ω 0 t, cos( 3ω 0 t, sin( 3ω 0 t. (9 Si noti che per scrivere questo insieme di soluzione di base reali è necessario di disporre di esponenziali immaginari con frequenza negative (più avanti nel discuteremo in dettaglio cosa questo significhi fisicamente. Prendiamo ora la soluzione con frequenza ω 0, allora la prima equazione del sistema (6 diventa ω 0 2 A 1 = ω 0 2 A 1 + ω 0 2 (A 2 A 1 (10 perciò A 1 = A 2, cioè le due masse oscillano in fase (modo simmetrico. Se prendiamo l altra soluzione con frequenza 3ω 0, allora la prima equazione del sistema (6 diventa 3ω 0 2 A 1 = ω 0 2 A 1 + ω 0 2 (A 2 A 1 (11 perciò A 1 = -A 2, cioè le due masse oscillano sfasate di 180 (modo antisimmetrico. La figura seguente mostra in fasi successive un periodo completo dei due modi di oscillazione, a sinistra c è quello simmetrico, a destra quello antisimmetrico:
Ogni altro possibile modo di oscillazione è una combinazione lineare del modo simmetrico e del modo antisimmetrico (questo si vede facilmente notando che 1. le soluzioni relative ai modi normali sono ortogonali tra loro; 2. il sistema è fatto di 2 equazioni di secondo ordine e quindi possono esserci solo 4 soluzioni linearmente indipendenti. Questi due modi di oscillazione che costituiscono una base per lo spazio lineare delle soluzioni, e sono un caso particolare di modi normali. Adesso analizziamo il comportamento di una corda elastica uniforme di lunghezza L e massa M le cui estremità sono fissate, come in figura, e supponiamo di poter scomporre la corda come se fosse fatta da N piccole masse m e da N+1 molle ideali e senza massa con costante elastica k. In questo caso sappiamo che se trattiamo solo le oscillazioni longitudinali ci sono N equazioni differenziali lineari di secondo ordine a coefficienti costanti per ciascuna massa e quindi l intero sistema può venire descritto da 2N equazioni differenziali lineari di primo ordine a coefficienti costanti. Questo significa che lo spazio vettoriale delle soluzioni ha 2N funzioni di base, e sappiamo che possiamo prendere delle funzioni esponenziali come funzioni di base. Sappiamo anche che - visto che non ci sono termini dissipativi, vale a dire termini che includono attrito - le soluzioni devono essere oscillanti e non smorzate e quindi devono essere dei seni e dei coseni. Questo significa che per ogni esponente presente nello spettro degli autovalori c è anche l esponente con segno cambiato - in altri termini ci sono sia frequenze positive sia frequenze negative, e le 2N soluzioni danno solo N frequenze diverse. Trattiamo ora questo sistema come quello che abbiamo analizzato quello con due sole masse: le equazioni differenziali che descrivono le oscillazioni longitudinali sono (utilizzando gli spostamenti x dalle posizioni di equilibrio:
x 1 m (x x + T 1 0 m (x x 2 1 x 2 m (x x + T 2 1 m (x x 3 2 x k m (x k + T m (x k +1 x k x N 1 m (x x + T N 1 N 2 m (x x N N 1 x N m (x x + T N N 1 m (x x N +1 N (12 e come si vede l equazione generica nel sistema (12 è x k m (x k + T m (x k +1 x k = = T ( m x k 1 2x k + x k +1 (13 L dove T è la tensione della corda, la distanza (all equilibrio tra due masse è =, ciascuna massa N + 1 vale m = M N, T è la tensione per unità di lunghezza, e sono state introdotte due masse fittizie in posizione 0 e N+1 con la condizione x 0 (t = x N +1 (t = 0. Così come abbiamo trattato le oscillazioni longitudinali possiamo trattare anche le oscillazioni trasversali della corda. In questo caso ci sono però alcune complicazioni aggiuntive che meritano un attenta considerazione: mentre le oscillazioni longitudinali sono unidimensionali, quelle trasversali sono bidimensionali. In particolare, c è disaccoppiamento tra i due gradi di libertà solo se le forze di richiamo sono lineari, e inoltre la bidimensionalità comporta la presenza di stati di polarizzazione diversi. si ottengono equazioni lineari solo se per piccole oscillazioni rispetto allo stato di equilibrio. Siano ora x e y le due coordinate trasversali, e z - come al solito - la coordinata longitudinale, come in figura
allora - discretizzando come prima - troviamo che le equazioni del moto per la massa generica k-esima sono m x k = F k,x m y k = F k,y (14 dove F k,x e F k,y sono le componenti x e y della forza di richiamo. D altra parte noi supponiamo che la forza di richiamo sia una forza di tipo elastico, e quindi proporzionale all allungamento della corda, che è dato approssimativamente da 2 + (x k 2 + (y k y k 1 2 (si spieghi come esercizio perché questa è solo un approssimazione. Quindi, se T è la tensione della corda, la componente F k,x vale F k,x (x k 2 + (x k 2 + (y k y k 1 2 F k (x k 2 + (x k 2 + (y k y k 1 2 = (x x k k 1 T 2 + (x k 2 + (y k y k 1 2 T (15 (e analoga per la componente F k,y, allora, in prima approssimazione, le due equazioni differenziali sono indipendenti una dall altra, e quindi il movimento in x è indipendente dal movimento in y. In altre parole, possiamo analizzare indipendentemente il movimento nelle due direzioni, e il moto complessivo è dato dalla sovrapposizione dei moti che avvengono nelle due direzioni. Possiamo allora ignorare una delle due coordinate - ad esempio y - e analizzare solo il moto in x, sapendo che la stessa analisi si ripete per la coordinata y. Per trovare le equazioni del moto nel piano xz cosideriamo allora la figura seguente, in cui sono mostrate tre delle masserelle in cui abbiamo suddiviso la corda
La parte in basso mostra come si dispongono le tensioni: la forza risultante dalla somma delle tensioni è data da F k,x (x k T (x k x k +1 = T (x k 1 2x k + x k +1 (16 e quindi si ottiene (ponendo mω 0 2 = T analogamente a quanto fatto sopra x k = ω 0 2 (x k 1 2x k + x k +1 (17 che è formalmente uguale alla (13, e le oscillazioni trasversali si trattano matematicamente come quelle longitudinali. Assumendo che il sistema abbia dimensioni finite, che sia costituito da N sezioni (più due sezioni fittizie che servono ad esprimere le condizioni al contorno e che le condizioni al contorno siano x 0 (t = 0 x N +1 (t = 0 (18 Cerchiamo soluzioni del tipo x n (t = u n e iωt, e sostituendo nella (17 si trova ω 2 u n = ω 0 2 ( (19 x n 1 2x n + x n+1
Per soddisfare le condizioni al contorno il vettore u si deve annullare ai bordi, e poiché l equazione per u è un equazione lineare alle differenze finite, tentiamo con una soluzione di prova di tipo sinusoidale che si annulla ai bordi: u n = Asin(kn, dove k = πm e m è un numero intero; tutto funziona se ω e k N + 1 soddisfano la relazione che si ottiene sostituendo u n = Asin(kn dentro l equazione (19 ω 2 sin(kn = ω 0 2 sin k(n 1 ( ( 2sin(kn + sin( k(n + 1 ( = 2ω 0 2 sin(kn cos k 1 (20 Dall equazione (20 vediamo che sia ω, sia k sono funzioni di m (e questa dipendenza la indichiamo con l aggiunta di un indice e sono legate tra loro dalla relazione ω 2 m = 2ω 2 0 ( 1 cos k m (21 Si noti che u n = Asin(k m n è una funzione periodica di m, con periodo N+1, e che si trovano quindi N vettori U non nulli con componenti U n m = Asin(k m n. Le soluzioni dell equazione differenziale originale sono allora u n (t = Asin(k m ne iω mt (22 con k m = πm N + 1, ω 2 m = 2ω 2 0 ( 1 cos k m e 0 m N. Poiché compaiono sia soluzioni con frequenze spaziali negative sia soluzioni con frequenze spaziali positive, è facile riarrangiarle in modo da ottenere nuove soluzioni di base, questa volta puramente reali: u + n (t = Asin(k m ncos(ω m t u n (t = Asin(k m nsin(ω m t (23 La figura che segue mostra la forma della corda ad un certo istante di tempo per soluzioni del tipo (23. Queste soluzioni di base (che permettono di ottenere ogni altra soluzione per mezzo di combinazioni lineari sono dette modi normali.
Le condizioni al contorno impongono che gli estremi della corda restino fissi, e inoltre i modi normali hanno anche altri punti fissi detti nodi dell oscillazione (questo concetto si generalizza per oscillazioni in più dimensioni: in due dimensioni ci sono linee nodali, mentre in tre dimensioni ci sono delle superfici nodali. Si noti che m dà il numero di semiperiodi spaziali contenuti tra gli estremi della corda o della linea di trasmissione. A parte il fatto che l ampiezza cambia nel tempo, per i modi normali la forma geometrica della corda resta fissa nel tempo: i modi normali sono un esempio di onda stazionaria. La formula (21 che lega tra loro ω e k è detta relazione di dispersione, e la figura seguente mostra un grafico della relazione di dispersione per N=100: (sull asse orizzontale c è m che è proporzionale a k mentre sull asse verticale c è il rapporto ω m ω 0. Si noti che k ha il significato di "frequenza spaziale", e quindi la relazione di dispersione è una relazione che lega la frequenza temporale a quella spaziale. Nel caso in cui N e m resti finito, allora si può espandere in serie il coseno nella relazione di dispersione, e si ottiene: ω 2 m = 2ω 2 0 ( 1 cos k m ω 2 2 0 k m (24 La frequenza spaziale k m ha le dimensioni sbagliate, è un numero puro, e per passare al limite continuo prendendo le unità giuste, introduciamo la frequenza spaziale (il numero d onda per mezzo del limite k m k ; prendiamo anche il limite ω m ω. Infine notiamo che la relazione (24 si può scrivere nella forma ω m 2 ( 2 k m = ω 0 2 (25 e che la costante moltiplicativa c = ω 0 ha le dimensioni di una velocità al quadrato, così che la (25 diventa ω 2 = c 2 k 2 (26 e quindi ω = c k (27
La frequenza angolare temporale ω è correlata al periodo temporale T e alla frequenza temporale ν dalla formula ω = 2π = 2πν, e similmente la frequenza angolare spaziale k è correlata al periodo spaziale λ T dalla formula k = 2π, perciò la (27 si può scrivere anche nella forma λ λν = c (28 Inoltre è importante notare che k m n = k m n kz, e quindi le soluzioni (23 diventano x + (t = Asin(kzcos(ωt x (t = Asin(kzsin(ωt (29