leggi di conservazione F i s i c a s p e r i m e n t a l e c. d. l. C h i m i c a I I
Un esercizio Solenoide Sferette cariche Interruttore con timer Batteria Asse di rotazione L interruttore è chiuso, circola quindi corrente, ed il disco è fermo Ad un prefissato istante, il timer fa aprire l interruttore interrompendo il flusso della corrente Cosa accade?
Il campo magnetico va a zero, quindi... d Γ E dl = ΦS B ( ) Avremo quindi una forza agente sulle cariche e quindi un momento di forze totale d E π r = Φ S B ( ) M ext nq d = nqer = ΦS B π ( ) Il piattello inizierà quindi a ruotare Iω = M ext nq d = ΦS B π ( )
nq dω = dφ S B π I ( ) velocità angolare finale del piattello: nq ω = Φ S Bt = 0 π I ( ) Questo appare contrastare con la legge di conservazione del momento angolare Non saremo in una situazione simile a quella del contrasto tra legge di Ampere e conservazione della carica elettrica?
No! in quanto l esperimento mostra che il piattello realmente si mette a ruotare Le leggi di Maxwell sono quindi corrette ma: 1) vi è ancora qualche cosa da capire in ciò che contengono ) Le leggi di conservazione non sono valide
Le leggi di conservazione si scrivono in forma locale Se osserviamo che il valore della grandezza... presente all interno di una regione di spazio diminuisce nel tempo, ciò è dovuto al fatto che la quantità mancante si è portata all esterno della regione oltrepassando la superficie che la delimita dqint = ΦS j () 0RIMA $OPO dρ (r ) j (r ) = Sapevamo cosa era sia J che ρ
Per esprimere la legge di conservazione dell energia abbiamo bisogno di due grandezze Una seconda, vettoriale, che ne esprima il fluire nello spazio d u (r ) S (r ) = Una, scalare, che esprima la densità spaziale di energia associata ai campi Equazione copiata dalla conservazione della carica elettrica Non ha senso fisico in quanto non sappiamo cosa materialmente siano le grandezze che vi compaiono Non ha senso matematico in quanto è una equazione in quattro incognite
d u (r ) S (r ) = Tuttavia, fortunatamente, equazione scalata non esprime fisicamente la legge di conservazione dell energia È l energia totale, elettromagnetica e meccanica, che si conserva non la sola energia elettromagnetica Lavoro, per unità di tempo, fatto dai campi d u dv = S n ds + sulla meteria contenuta nel volume V V Σ Diminuizione, per unità di tempo, dell energia interna al volume di tipo elettromagnetico Energia rimasta interna al volume ma che non è più di tipo elettromagnetico Energia di tipo elettromagnetico che oltrepassa, per unità di tempo, la superficie delimitante il volume
Lavoro, per unità di tempo, fatto dai campi d u dv = S n ds + V sulla meteria contenuta nel volume V Σ Unico termine che siamo in grado di esplicitare F=q E+v B ( dl = F v = qe v ) dl = nqe v dv = E J dv V V Quindi: od anche: Per una singola particella d u dv = S n ds + E J dv V Σ V d u = S + E J
d u = S + E J è sempre una equazione in quattro incognite Abbiamo tuttavia una indicazione! Se vale, allora potremo esprimere E J come somma di una derivata rispetto al tempo e di una divergenza d E J = u S e considerare le funzioni trovate come candidate ad esprimere la densità ed il fluire dell energia elettromagnetica Le possibili soluzioni sono ovviamente infinite Come orientarsi?
d E J = u S Occorrono dei criteri fisici Poynting 1884 L idea di interazione locale suggerisce che l energia sia localizzata nei campi Cerchiamo quindi soluzioni in termini dei campi e non dei potenziali Criterio di semplicità Proveremo dapprima con la soluzione matematicamente più semplice Il risultato trovato dovrà essere sottoposto a verifica
J d c B = + E ε 0 d J = ε0c B ε0 E d E J = ε0c E B ε0 E E come riscrivere E B? B E = E B B E ( ( ) ) ( ) Simile alla permutazione ciclica ε0 d E J = ε0c B E + B E E ( ( ) ( d E J = ε0c B E + ε0c B ( ) )) ε0 d B E ε c d ε0 d 0 E J = ε 0 c E B B E ( )
d E J = u S d ε c ε E J = ε 0 c E B 0 B + 0 E ( ) ε 0 ε 0c B u = E + Funzioni candidate S = ε c E B 0 ( ) Vettore di Poynting Motivi di plausibilità 1) la densità di energia è la somma delle funzioni che già in elettrostatica ed in magnetostatica avevamo individuato ) Il vettore di Poynting è diretto come il vettore di propagazione dell onda piana
Il vettore di Poynting ci dice come l energia si muova nello spazio Occorre quindi vedere se ciò che indica è plausibile Y Esempio delle due lastre S S V ε 0 ε 0c u= E + B = ε0e Dato che il fronte si muove con velocità c X il flusso di energia per unità di superficie e di tempo sarà dato da Φ = cu = cε 0 E Z " Il modulo del vettore di Poynting è E S = ε 0 c EB = ε 0 c E = cε 0 E c C X T CT Sono identici X
Carica di un condensatore a corrente costante In modo che, per semplicità, cambi nel tempo solo il campo elettrico I I " ε0 U = UB + V E L energia, localizzata nel campo elettrico, e quindi all interno del condensatore, aumenta nel tempo Quale strada percorre per giungere all interno del condensatore? Ci attenderemmo che giunga tramite i conduttori che recano le cariche
L espressione trovata per S ci indica una situazione diversa I S è perpendicolare ad E e quindi anche perpendicolare alle correnti " I L energia deve provenire di lato, ed entrare nel condensatore tramite lo spazio che separa le due armature I 3 3 3 3 3 " 3 I Consideriamo una regione cilindrica interna al condensatore coassiale ad esso ed alta come l interdistanza tra le armature
I 3 Variazione di energia all interno: 3 3 3 3 " du de = π r h ε0e 3 I Φ S S = π rh ε 0 c EB ( ) Flusso uscente del vettore di Poynting 1 1 B d l = J n ds + Γ ε 0 c S c da cui: de S n ds 1 de Bπ r = π r c de Φ S S = π r h ε 0 E ( ) du = ΦS S È quindi verificato che ( ) ad ogni distanza dall asse
Come possiamo tuttavia renderci conto che il percorso indicato per l energia è corretto? 1 1 DV DV A causa della diminuizione del campo, l elemento di volume contiene solo un quarto dell energia originaria I I " percorso seguito dall energia I I 1 1 Risulta ragionevole il percorso indicato dal vettore di Poynting
Resistenza percorsa da corrente La resistenza si riscalda La pila si scarica Energia viene trasferita dall interno della pila all interno della resistenza Il vettore di Poynting indica il percorso, che non e quello seguito dalle cariche L energia fuoriesce dalla pila passando attraverso l isolante che meccanicamente separa i due poli ed entra nella resistenza attraverso le sue pareti laterali
Cosa accade se prendiamo una calamita da lavagna e ne elettrizziamo il cappuccio di plastica? S Le linee di S sono delle circonferenze E B S E B B E L energia elettromagnetica non si allontana, ma non è in quiete! S Rotea alla velocità della luce attorno all oggetto Sarà vero? Con gli occhi non la vediamo!
Per rispondere puntualizziamo una regola generale Tutte le volte che vi è energia in moto, di qualunque tipo, si è in presenza di impulso e esiste una ben definita relazione tra flusso di energia e densità spaziale di impulso Esempio meccanico M M V V M M V M V M V M V S = n mc v V Flusso di energia: Densità spaziale di impulso: Quindi: S g= c g = n mv particelle di massa m muoventesi con velocità v
S Le linee di S sono anche le linee di g E B S E B B E S Se le cose stanno come indicato, al roteare dell energia è associato anche un momento angolare! 1 L = r S dv c La stessa situazione doveva presentarsi anche nel caso del disco di plastica con le sferette cariche ed il solenoide percorso da corrente
Quello che vedo con gli occhi, non è tutto quello che c è! Anche se il disco era fermo, il sistema possedeva un momento angolare! Quando si interrompe la corrente: Il campo magnetico va a zero Il vettore di Poynting e la densità di impulso associato ai campi vanno a zero Il momento angolare associato ai campi si annulla Quindi, proprio per la conservazione del momento angolare, il piattello si mette a ruotare!
Flusso di energia durante la carica di un condensatore Se i conduttori sono centrati, il flusso di energia è simmetrico Se i conduttori non sono centrati il flusso è asimmetrico Per la conservazione dell impulso si hanno forze agenti sul condensatore
Quanto descritto dal vettore di Poynting è perfettamente coerente con quanto possiamo osservare Da dove passa l energia che provenendo dalla centrale elettrica arriva nelle fabbriche e nelle nostre case?
Una considerazione finale Il concetto di campo era stato introdotto per non ricorrere all interazione a distanza Il termine aggiuntivo di Maxwell il campo diviene un soggetto fisico a tutti gli effetti L espressione locale delle leggi di conservazione conduce ad attribuire ai campi tutte le proprietà fisiche che si ritenevano proprie dei soli oggetti materiali (Energia, massa, impulso, momento angolare) Se questo è vero, che differenza vi è tra campi ed oggetti materiali? Con questa domanda termina la fisica classica