Esercizi re seconda rova in itinere 1 Scelta in condizioni di rischio ed incertezza Sono dati tre differenti ercorsi su di una rete multimodale che ermettono di andare dall origine O alla destinazione D. L utente i, dalla sua eserienza e dalle informazioni di traffico a disosizione, conosce er ciascuna configurazione di traffico ossibile (bassa congestione, media congestione, alta congestione) i temi di viaggio totali, TV. Si determini il ercorso scelto nell iotesi che: a) Non siano note le robabilità di accadimento di ciascuna configurazione di traffico (estrema incertezza); b) Siano note le robabilità oggettive di accadimento di ciascuna configurazione di traffico (rischio); c) L utente valuti differentemente le varie comonenti del temo di viaggio, cioè temo di attesa (0,76), temo a bordo (0,36) e temo a iedi (0,80), e scelga associando una utilità/disutilità a ciascuna alternativa di viaggio. Tab. 1 - Temo di Viaggio Totale esresso in minuti Prob [basso]=35% Prob [medio]=45% Prob [alto]=20% Percorso A 30 35 50 Percorso B 20 38 45 Percorso C 30 30 60 Tab. 2 - Temo di Viaggio a bordo esresso in minuti Percorso A 21 28 33 Percorso B 11 28 32 Percorso C 18 18 42 Tab. 3 - Temo di Viaggio a Piedi esresso in minuti Percorso A 2 2 6 Percorso B 3 3 3 Percorso C 4 4 5 Tab. 4 - Temo di Attesa esresso in minuti Percorso A 7 5 11 Percorso B 6 7 10 Percorso C 8 8 13 1
SVOLGIMENTO Quesito a) Si suonga di utilizzare il criterio del essimista Max Percorso A 30 35 50 50 Percorso B 20 38 45 45 Percorso C 30 30 60 60 Si suonga di utilizzare il criterio dell ottimista min Percorso A 30 35 50 30 Percorso B 20 38 45 20 Percorso C 30 30 60 30 Si suonga di utilizzare il criterio del rimianto MIN Percorso A 10 5 5 10 Percorso B 0 8 0 8 Percorso C 10 0 15 15 Quesito b) Alternativa di Viaggio basso medio alto Exected Value Prob [basso]=35% Prob [medio]=45% Prob [alto]=20% Percorso A 30 35 50 36,3 Percorso B 20 38 45 33,1 Percorso C 30 30 60 36,0 2
Quesito c) Si determina er ciascun stato, la disutilità associata dal decisore a ciascuna alternativa di viaggio e si calcola il corrisondente valore exected. L utente essendo un massimizzatore dell utilità sceglierà quella alternativa che avrà la disutilità minore Alternativa di Viaggio basso medio alto Exected Value Prob [basso]=35% Prob [medio]=45% Prob [alto]=20% Percorso A 14,48 15,48 25,04 17,0 Percorso B 10,92 17,80 21,52 16,1 Percorso C 15,76 15,76 29,00 18,4 2 Cumulative Prosect Theory (esercizio 1) Con riferimento all esercizio recedente, si utilizzi la Cumulative Prosect Theory er determinare l alternativa scelta dall utente. Si iotizzino le seguenti funzioni di valore (con valore di riferimento TVk = 0) e di onderazione: o Funzione valore: i V (k) k DT se DTk 0 DTk se DTk 0 con DT il temo erso risetto al valore di riferimento, e entrambi ari a 0,88 e è ari a 2,25; o Funzione di onderazione w w 1 1 1 1 con e, risettivamente, ari a 0,61 e 0,69. SVOLGIMENTO Dato il unto di riferimento TVk = 0, si hanno solo erdite. Ordiniamo in modo crescente i risultati (erdite) ossibili: alto (-2), medio (-1), basso (0). 3
A questo unto, è oortuno calcolare i valori cumulati della funzione di onderazione - (che nel caso in esame sono uguali er tutte le alternative di ercorso) - (alto) = w - (alto) = 0,257 - (medio) = w - (medio + alto) - w - (alto) = 0,552 0,257 = 0,295 - (basso) = w - (alto + medio + basso) - w - (medio + alto) = 1,000 0,552 = 0,448 Calcoliamo er ciascun ercorso il valore della funzione valore, V: 0,448 0,295 0,257 Percorso A -44,88-51,40-70,35 Percorso B -31,41-55,26-64,12 Percorso C -44,88-44,88-82,60 Quindi calcoliamo il valore funzione esando ciascun stato er il relativo valore cumulato della funzione di onderazione: i n i i k j r 1 k Y V (TV ) Y basso V (basso) medio V (medio) alto V (alto) i i i i i i i A A A A 0, 448 44,88 0, 29551, 40 0, 257 70,35 53,35 Quindi otteniamo i seguenti risultati er tutti i ercorsi: Valore Pesato 0,448 0,295 0,257 Percorso A -44,88-51,40-70,35-53,35 Percorso B -31,41-55,26-64,12-46,85 Percorso C -44,88-44,88-82,60-54,57 4
3 Cumulative Prosect Theory (esercizio 2) Suoniamo che un automobilista deve scegliere tra due ercorsi alternativi. Suoniamo che in base alla sua eserienza ed alle informazioni di traffico, l utente riesca a determinarsi le distribuzioni dei costi (temi) di viaggio: o Percorso 1: {11, 0,1; 12, 0,4; 14, 0,5}, cioè il temo di viaggio lungo il ercorso 1 tende a 11 minuti con una robabilità ari al 10%, a 12 minuti con una robabilità ari al 40% e a 14 minuti con una robabilità ari al 50%; o Percorso 2: {12, 0,5; 13,5, 0,2; 14, 0,3}. In base alla CPT, gli utenti tendono a valutare i ossibili risultati della loro scelta in base ad un loro unto di riferimento. Si suonga che il valore di riferimento er l utente in esame sia ari a 13 min. Pertanto, 11 e 12 sono considerati come guadagni, mentre 13,5 e 14 come erdite. Iotizzando che l utente è avverso al rischio e che guadagni e erdite sono trattati differentemente, si iotizzi la seguente funzione di valore V: TV TV se TV TV V(TV k ) TV TV se TV TV 0 k k 0 k 0 k 0 o dove TVk è il risultato assoluto, TV0 il temo di viaggio reso a riferimento (13 minuti nel caso in esame), V(TVk) è il valore soggettivo. L utente nel valutare ciascuna alternativa distorce le robabilità oggettive differentemente se associate a guadagni (+) o erdite (-): w w 1 1 1 1 Nell iotesi che vi siano m + n + 1 risultati (TV-m < < TV0 < < TVn) con corrisondenti robabilità (-m 0 n), il valore del rosetto Y è calcolato come combinazione della funzione valore e di onderazione: n 0 Y w V (TV ) w V (TV ) i i i k j0 j im i ik 5
Con riferimento ai arametri stimati da Tversky e Kahneman (1992), e sono risettivamente ari a 0,61 e 0,69. Quindi, il valore del rosetto er il ercorso 1 ed il ercorso 2 sono ari a: Y w 0,1 V (11) w 0, 4 V (12) w 0,5 V (14) 0,186 1,840 0, 3701, 000 0, 4542.250 i i i i 1 0,3086 Y w 0,5 V (12) w 0, 2 V (13,5) w 0,3 V (14) 0, 6306 i i i i 2 Consideriamo adesso i esi cumulati () anziché i singoli esi w (Cumulative Prosect Theory). w... w... 0 i n i i n i1 n j m j m j1 w... w... m j 0 n w n; w m m Per il ercorso 1 0,1 w 0,1 0,186 0, 4 w 0,1 0, 4 w 0,1 0, 421 0,186 0, 235 0,5 w 0,5 0, 454 CY 0,1 V (11) 0, 4 V (12) 0,5 V (14) 0,186 1,840 0, 2351, 000 0, 4542.250 i i i i 1 0, 4443 Per il ercorso 2 0,5 w 0,5 0, 421 0,3 w 0,3 0,328 0, 2 w 0, 2 0,3 w 0,3 0, 454 0,328 0,126 CY 0,5 V (12) 0, 2 V (13,5) 0,3 V (14) 0, 4709 i i i i 2 6
4 Cumulative Prosect Theory (esercizio 3) Sia data la rete di Figura 1. I nodi 1 e 3 sono i nodi origine e destinazione. Figura 1 Rete di analisi Le caratteristiche degli archi sono riortati in Tabella. Tabella 5 Temi di viaggio Arco Temo di viaggio a flusso Probabilità di Temo di viaggio in nullo [minuti] non congestione congestione [minuti] 1 10 0,40 20 2 30 0,00 30 3 15 0,00 15 4 10 0,40 20 Sono ossibili tre ercorsi: o Percorso 1: arco 1 - arco 3 Il temo a flusso nullo è ari a 25 minuti con robabilità 40% Il temo in congestione è ari a 35 minuti con robabilità 60% o Percorso 2: arco 1 - arco 4 Il temo a flusso nullo è ari a 20 minuti con robabilità 16% Il temo in congestione è ari a 30 minuti con robabilità 48% Il temo in congestione è ari a 40 minuti con robabilità 36% o Percorso 3: arco 2 Il temo di viaggio è semre ari a 30 minuti con robabilità 100% Si calcoli il ercorso scelto nell iotesi che l utente consideri come unto di riferimento il temo di viaggi ari a 22 e 28 minuti. Si svolga anche l esercizio considerando i esi cumulati e i due diversi unti di riferimento SOLUZIONE Prosect Theory: 22 minuti, viene scelto il ercorso 1 (-13,456); 28 minuti, viene scelto il ercorso 3 (-4,141). Cumulative Prosect Theory: viene scelto il ercorso 1 (-13,990); 28 minuti, viene scelto il ercorso (-4,141). 7
22 minuti (PT) Percorso 1a: Funzione valore: -5,916 (w = 0,39165) Percorso 1b: Funzione valore: -21,501 (w = 0,51809) Valore PT: -13,456 Percorso 2a: Funzione valore: 1,840 (w = 0,23410) Percorso 2b: Funzione valore: -14,025 (w = 0,44149) Percorso 2c: Funzione valore: -28,630 (w = 0,36645) Valore PT: -16,252 Percorso 3a: Funzione valore: -14,025 (w = 1,00000) Valore PT: -14,025 22 minuti (CPT) Percorso 1a: Funzione valore: -5,916 ( = 0,48191) Percorso 1b: Funzione valore: -21,501 ( = 0,51809) Valore PT: -13,456 Percorso 2a: Funzione valore: 1,840 ( = 0,23410) Percorso 2b: Funzione valore: -14,025 ( = 0,34060) Percorso 2c: Funzione valore: -28,630 ( = 0,36645) Valore PT: -14,838 Percorso 3a: Funzione valore: -14,025 ( = 1,00000) Valore PT: -14,025 28 minuti (PT) Percorso 1a: Funzione valore: 2,629 (w = 0,37002) Percorso 1b: Funzione valore: -12,470 (w = 0,51809) Valore PT: -5,488 Percorso 2a: Funzione valore: 6,233 (w = 0,23410) Percorso 2b: Funzione valore: -4,141 (w = 0,44149) Percorso 2c: Funzione valore: -20,038 (w = 0,36645) Valore PT: -7,712 Percorso 3a: Funzione valore: -4,141 (w = 1,00000) 8
Valore PT: -4,141 28 minuti (CPT) Percorso 1a: Funzione valore: -2,629 ( = 0,48191) Percorso 1b: Funzione valore: -12,470 ( = 0,51809) Valore PT: -5,488 Percorso 2a: Funzione valore: 6,233 ( = 0,23410) Percorso 2b: Funzione valore: -4,141 ( = 0,34060) Percorso 2c: Funzione valore: -20,038 ( = 0,36645) Valore PT: -6,983 Percorso 3a: Funzione valore: -4,141 ( = 1,00000) Valore PT: -4,141. 9
5 Calibrazione modello Random Utility di scelta del ercorso Si consideri un area di studio costituita da tre zone di traffico. Siano: - A e B i ercorsi che collegano la coia di zone (1,2); - C e D i ercorsi che collegano la coia (1,3). I costi di tali ercorsi siano quelli riortati in Figura 1. OD flusso dod ercorso k Costo di ercorso C(k) (1,2) 800 (1,3) 500 A 20 B 40 C 30 D 35 Figura 2 Alternative di ercorso tra le coie di zone dell area di studio (1,2) e (1,3). a) Considerando le scelte effettuate dal camione di 6 utenti, riortate in Tabella 6, si calcoli il valore della funzione di Verosimiglianza, iotizzando un modello di scelta del ercorso di tio Logit in cui l utilità sistematica sia data da: essendo: V ( k) 0,15 C( k) k raresenta la generica alternativa di ercorso C(k) il costo del ercorso k. Tabella 6 Scelte effettuate dal camione. utente i OD ercorso scelto 1 1,2 A 2 1,2 A 3 1,2 A 4 1,3 C 5 1,3 C 6 1,3 D 10
b) Si calcolino le statistiche %_right e rho_quadro ( c) Si determini infine il flusso sui quattro ercorsi considerando un domanda di mobilità, dod, tra le coie (1,2) e (1,3) ari risettivamente a 800 e 500 veicoli/h. SVOLGIMENTO OD flusso dod -1,2 800-1,3 500 ercorso Utilità sistematica Costo di ercorso C(k) k di ercorso C(k) Prob di scelta di ercorso (k) Flusso Fk A 20-3,00 0,95 762 B 40-6,00 0,05 38 C 30-4,50 0,68 340 D 35-5,25 0,32 160 utente i OD ercorso scelto (k) scelta utente ln () 1 1,2 A 0,953-0,049 2 1,2 A 0,953-0,049 3 1,2 A 0,953-0,049 4 1,3 C 0,679-0,387 5 1,3 C 0,679-0,387 6 1,3 D 0,321-1,137 0,128-2,056 Verosimiglianza 0,128 ln (verosimiglianza) -2,05638 Verosimiglianza (L(0)) 0,016 ln (verosimiglianza(0)) -4,15888 % right 83% rho-quadro 0,506 11