Statistical Process Control

Statistical Process Control ESERCIZI Esercizio 1. Per la caratteristica di un processo distribuita gaussianamente sono note media e deviazione standard: µ = 100, σ = 0.2. 1a. Calcolare la linea centrale (centerline) e i limiti di controllo (LCL, UCL) della carta di Shewart con sottogruppi aventi numerosità n = 5. centerline = µ = 100 σ X = σ n = 0.2 5 = 0.089 UCL = µ + 3σ X = 100 + 3 0.089 = 100.27 LCL = µ 3σ X = 100 3 0.089 = 99.73 1b. Calcolare la linea centrale (centerline) e i limiti di controllo (LCL, UCL) della carta X. centerline = µ = 100 LCL = µ 3σ = 100 3 0.2 = 99.4 UCL = µ + 3σ = 100 + 3 0.2 = 100. 1c. Calcolare l Average Run Length (ARL) per la carta X e per la carta X. (ARL = numero medio di punti disegnati sulla carta prima di avere un punto fuori dai limiti di controllo anche se il processo è in controllo statistico). per la gaussianità. Segue che α = P (falso allarme) = P ( X µ > 3σ X) = 0.0027 ARL = 1 α = 1 0.0027 = 370. 1

Lo stesso vale per la carta X, sempre per la gaussianità. 1d. Sapendo che i limiti di specifica sono LSL = 98.2, USL = 100., calcolare C p e C pk. USL LSL 100. 98.2 C p = = = 2 σ 0.2 { USL µ C pk = min, µ LSL } { } 100. 100 100 98.2 = min, 3σ 3σ 0. 0. C p C pk il processo non è centrato, è capace e produce entro le tolleranze. { = min 1, 0.8 } = 1 0. Esercizio 2. Si consideri una caratteristica gaussiana. I dati vengono raccolti in sottogruppi di numerosità n =. Dall analisi di 10 sottogruppi raccolti in Fase I, risulta X = 100 ; s = 3 2a. Calcolare i limiti di controllo (LCL, UCL) della carta X. ˆσ X = s c 4 n = 3 0.9515 = 1.287 UCL X = X + 3ˆσ X = 100 + 3 1.287 = 103.8 LCL X = X 3ˆσ X = 100 3 1.287 = 9.14 2b. Calcolare i limiti di controllo (LCL, UCL) della carta s. UCL s = B 4 s = 1.97 3 = 5.91 LCL s = B 3 s = 0.03 3 = 0.09 2c. Supponendo che tutti i punti cadano entro i limiti di controllo in entrambe le carte precedenti, determinare i limiti della variabilità naturale del processo. ˆσ = s 0.9515 = 3 0.9515 = 3.1529 Limite inf. = µ 3σ X 3ˆσ = 100 3 3.1529 = 90.5413 Limite sup. = µ + 3σ X + 3ˆσ = 100 + 3 3.1529 = 109.4587 2d. Sapendo che i limiti di specifica sono LSL = 90, USL = 110, calcolare C p e C pk. 2

USL LSL USL LSL 110 90 C p = = σ ˆσ 3.1529 = 20 18.9174 = 1.0572 { USL µ C pk = min, µ LSL } { } 110 100 100 90 = min, = 1.0572 3σ 3σ 3 3.1529 3 3.1529 2e. Dire, motivando la risposta se la percentuale di scarti è superiore a 3/1000. Poiché C p = C pk, il processo è centrato e in più è gaussiano per ipotesi. Per processi centrati e gaussiani, la percentuale di scarti per C p = 1 è circa 3/1000 (precisamente 0.0027). Nel nostro caso C p > 1, perciò la percentuale di scarti sarà inferiore a 3/1000. Esercizio 3. Sottogruppi di dimensione n = sono presi a intervalli regolari da un processo manifatturiero. Una caratteristica distribuita normale è misurata e i valori di X e s sono calcolati per ogni campione. Dopo aver analizzato 50 sottogruppi, risulta che 50 X i = 1000 ; 50 s i = 75. 3a. Calcolare i limiti di controllo per le carte X e s. Per la carta s: 50 s = s i = 75 50 50 = 1.5 UCL s = B 4 s = 1.97 1.5 = 2.955 ; LCL s = B 3 s = 0.03 1.5 = 0.045. Per la carta X: UCL = X + 3ˆσ X ; LCL = X 3ˆσ X 50 X = X i = 1000 50 50 = 20 ˆσ X = s c 4 n = 1.5 0.9515 = 0.43 UCL = X + 3ˆσ X = 20 + 3 0.43 = 21.9308 LCL = X 3ˆσ X = 20 3 0.43 = 18.092 3b. Supponendo che tutti i punti cadano entro i limiti di controllo per entrambe le carte precedenti, determinare i limiti della variabilità naturale del processo. ˆσ = s c 4 = 1.5 0.9515 = 1.575 3

Limite inf. = µ 3σ X 3 ˆσ = 20 3 1.575 = 15.2705 Limite sup. = µ + 3σ X + 3 ˆσ = 20 + 3 1.575 = 24.7295 3c. Sapendo che i limiti di specifica sono 19 ± 4, che cosa si può dire circa la capacità del processo di produrre entro i limiti di specifica? USL = 19 + 4 = 23 ; LSL = 19 4 = 15 USL LSL 23 15 C p = = σ 1.575 = 0.8458 < 1 Poiché C pk C p < 1, possiamo dire che il processo non è capace e non produce entro le tolleranze. Esercizio 4. Una carta X è utilizzata per controllare la media di una caratteristica di qualità distribuita normale. E noto che σ =, n = 4, centerline = 200, UCL = 209 e LCL = 191. Se la media del processo si sposta a 188, trovare la probabilità che lo spostamento sia rilevato al primo campione dopo lo spostamento. La media passa da 200 a 188 e ha uno spostamento pari a 2 volte la deviazione standard: 200 188 = 2 σ. β = Φ(3 k n) Φ( 3 k n) = Φ(3 2 4) Φ( 3 2 4) = Φ( 1) Φ( 7) = 0.1587 0 La probabilità che lo spostamento sia rilevato al primo campione dopo lo spostamento è 1 β = 1 0.1587 = 0.9413 Esercizio 5. Un processo è monitorato e mostra i seguenti valori: µ = 10 e σ = 2.5. La dimensione dei campioni è 3. 5a. Trovare la centerline e i limiti di controllo per la carta X. centerline = µ = 10 UCL = µ + 3σ X ; LCL = µ 3σ X σ X = σ = 2.5 = 1.4434 n 3 UCL = µ + 3σ X = 10 + 3 1.4434 = 14.3302 LCL = µ 3σ X = 10 3 1.4434 = 5.98 4

5b. Trovare la centerline e i limiti di controllo per la carta s. centerline = σ = 2.5 UCL = B 4 σ = 2.58 2.5 =.42 LCL = B 3 σ = 0 σ = 0 Esercizio. Supponiamo di avere misurazioni di una caratteristica distribuita normale e di sapere che 50 50 x i = 50 ; MR i = 20 Calcolare centerline e limiti di controllo della carta X e della carta MR supponendo di essere nella fase I. i=2 Carta X: Carta MR: Carta X: Carta MR: centerline = X = centerline = MR = 50 x i 50 50 MR i 49 ˆσ = MR 1.128 = 0.319 = 50 50 = 1 = 20 49 = 0.4082 UCL = X + 3 ˆσ = 1 + 3 0.319 = 2.085 LCL = X 3 ˆσ = 1 3 0.319 = 0.0857 LCL MR = 0 ; UCL MR = 3.27 MR = 3.27 0.4082 = 1.333 Esercizio 7. Le carte di controllo X e R sono utilizzate per controllare la resistenza alla rottura di una parte metallica. Si supponga che la resistenza alla rottura sia distribuita normale. 30 campioni di dimensione n = sono raccolti in un certo periodo di tempo e forniscono i seguenti risultati: 30 X i = 000 ; 30 R i = 150 Calcolare i limiti di controllo per le carte X e R. 5

Carta X: Carta R: Limiti di controllo carta X: Limiti di controllo carta R: centerline = X = 30 X i 30 centerline = R = 30 R i 30 = 000 30 = 200 = 150 30 = 5 UCL = X + A2 R = 200 + 0.483 5 = 202.415 LCL = X A2 R = 200 0.483 5 = 197.585 UCL R = D 4 R = 2.004 5 = 10.02 ; LCL R = D 3 R = 0 5 = 0 Esercizio 8. Per controllare un processo viene utilizzata una carta di controllo di tipo X con limiti di controllo ±3σ, UCL = 21.3 e LCL = 19.7. La numerosità dei campioni è pari a. Sapendo che la specifica per la variabile di processo controllata è di 20 ± 2, determinare gli indici di capacità di processo C p e C pk. da cui si ottiene σ = USL = 22 ; LSL = 18 USL LSL C p = σ { 21.3 = µ + 3 σ 19.7 = µ 3 σ { 21.3 = 19.7 + σ µ = 19.7 + 3 σ 21.3 19.7 0.532 = 0.532 ; µ = 19.7 + 3 = 20.5 C p = { USL µ C pk = min, µ LSL 3σ 3σ 22 18 0.532 = 1.020 } = min = min {0.755, 1.2758} = 0.755 { 22 20.5 20.5 18, 3 0.532 3 0.532 Il processo è appena capace di produrre, non centrato e non produce entro le tolleranze. } Esercizio 9. Una ditta che produce schermi a cristalli liquidi deve tenere in controllo il numero di pixel non funzionanti. Vengono ispezionati venti schermi alla volta e viene

registrato il numero di pixel difettosi. In Fase I, la media e la varianza del numero di pixel non funzionanti trovati nelle ispezioni sono: µ = 3.7 e σ 2 = 40.32. (a) Valutare, mediante il test di dispersione (con significatività α = 5%) se l ipotesi di distribuzione di Poisson deve essere respinta. Se la media e la varianza riportate nel testo sono esatte, allora i dati non possono essere Poissoniani perchè la media è diversa dalla varianza. Se, invece, sono una stima basata su un certo numero N di ispezioni, allora è necessario conoscere tale numero per effettuare il test di dispersione. Supponendo N = 20 si ha Inoltre, Segue che e i dati sono Poissoniani. ξ = (N 1)S2 X = 19 40.32 3.7 = 20.84. χ 2 0.025,19 = 32.85 χ 2 0.975,19 = 8.91. ξ [8.91, 32.85] (b) Ipotizzando che i dati siano poissoniani, calcolare la linea centrale (CL) e i limiti di controllo (UCL, LCL) della carta c. centerline = c = µ = 3.7 UCL = c + 3 c = 3.7 + 3 3.7 = 54.95 LCL = c 3 c = 3.7 3 3.7 = 18.57 (c) Ipotizzando che i dati siano gaussiani, calcolare la centerline e i limiti di controllo della carta X. centerline = X = µ = 3.7 I limiti di controllo sono dati da X ± 3ˆσ. ˆσ = 40.32 =.35 Segue che UCL = X + 3ˆσ = 3.7 + 3.35 = 55.81 LCL = X 3ˆσ = 3.7 3.35 = 17.71 (d) Ricordando che in ogni ispezione vengono esaminati 20 schermi, calcolare la centerline e i limiti di controllo di una carta u che riporti il numero di non conformità per schermo ispezionato. 7

In questo caso r = 20. centerline = ū = c r = 3.7 20 = 1.838 I limiti di controllo sono ū 1.838 UCL = ū + 3 r = 1.838 + 3 = 2.1137 20 ū 1.838 LCL = ū 3 r = 1.838 3 = 1.523 20 Esercizio 10. Consideriamo una caratteristica di qualità distribuita normale. (a) Calcolare limiti di controllo e centerline per una carta di controllo UWMA con w = 3, sapendo che X = 12.3 e s = 3.2. I limiti di controllo sono centerline = X = 12.3 per i = 1 12.3 ± 3 3.2 1 UCL = 21.9 LCL = 2.7 per i = 2 12.3 ± 3 3.2 2 UCL = 19.09 LCL = 5.51 per i 3 12.3 ± 3 3.2 3 UCL = 17.84 LCL =.7 (b) Calcolare i limiti di controllo di una carta EWMA per λ = 0.02 e L = 3 quando il numero di campioni è grande. Dopo un certo numero di campioni i limiti di controllo si stabilizzano. Si ha λ 0.02 ˆσ Z = s 2 λ = 3.2 1.98 = 0.32 da cui si ottengono i limiti di controllo UCL = X + Lˆσ Z = 12.3 + 3 0.32 = 13.2 LCL = X Lˆσ Z = 12.3 3 0.32 = 11.34 Esercizio 11. Consideriamo un processo con µ 0 = 10 e σ = 1. Costruiamo le carte di controllo EWMA per 8

1. λ = 0.1, L = 3 2. λ = 0.2, L = 3 3. λ = 0.4, L = 3 Discutere gli effetti di λ sull andamento dei limiti di controllo. Calcoliamo i limiti di controllo per campioni grandi, cioè quando i limiti di controllo sono praticamente costanti. 1. λ 0.1 ˆσ Z = s 2 λ = 1 1.9 = 0.229 I limiti di controllo sono UCL = X+Lˆσ Z = 10+3 0.229 = 10.87 LCL = X Lˆσ Z = 10 3 0.229 = 9.313 2. I limiti di controllo sono λ 0.2 ˆσ Z = s 2 λ = 1 1.8 = 0. 3 UCL = X + Lˆσ Z = 10 + 3 0. 3 = 10. 9 LCL = X Lˆσ Z = 10 3 0. 3 = 9 3. I limiti di controllo sono λ 0.4 ˆσ Z = s 2 λ = 1 1. = 0.5 UCL = X + Lˆσ Z = 10 + 3 0.5 = 11.5 LCL = X Lˆσ Z = 10 3 0.5 = 8.5 All aumentare di λ si allargano i limiti di controllo. Esercizio 12. Un azienda che produce circuiti stampati controlla il numero di non conformità per unità utilizzando una carta di controllo u con centerline 2.5 e limiti di controllo 3.8 e 1.2. In Fase II vengono raccolti 3 ulteriori dati n. campione n. di circuiti n. tot. di non conformità 1 200 8 2 250 10 3 150 12 9

Sapendo che una unità è costituita da 50 circuiti stampati, verificare se qualcuno di questi 3 campioni è fuori controllo. Si ha n. campione n. di circuiti n. tot. n. unità n. medio di di non conformità ispezionate non conformità 1 200 8 4 2 2 250 10 5 2 3 150 12 3 4 Il campione 3 è fuori controllo. Esercizio 13. Una carta di controllo X di Shewart ha centerline a 10 con limiti di controllo: U CL = 1, LCL = 4. Supponiamo di voler aggiungere a questa carta, una carta EWMA con λ = 0.1 e stessa ampiezza dei limiti di controllo in σ-unità della carta X. Quali sono i valori dei limiti di controllo, per molti campioni, della carta EWMA? Per una carta di controllo di Shewart, i limiti sono del tipo ±3σ. La centerline della carta X è 10, quindi X = 10. Sapendo che i limiti di controllo sono 1 e 4, possiamo trovare ˆσ X : ˆσ X = 1 4 ampiezza dell intervallo da cui segue ˆσ X = 2. A questo punto possiamo calcolare i limiti di controllo per la carta EWMA: UCL = X + Lˆσ Z = X λ 0.1 + L s 2 λ = 10 + 3 2 1.9 = 11.38 UCL = X Lˆσ Z = X λ 0.1 L s 2 λ = 10 3 2 1.9 = 8.2 Esercizio 14. Supponiamo di analizzare 50 campioni, ciascuno costituito da 3 unità, estratti quando il processo era in controllo. Il numero totale di non conformità è 325. Supponendo che i dati siano Poissoniani, determinare centerline e limiti di controllo per il numero di non conformità per unità di prodotto. centerline = ū = ū UCL = ū + 3 r n c i n r = 325 50 3 = 2.17 ū = 3.02 LCL = ū 3 r = 1.32 10