Topologia Algebrica e Analisi Complessa

Ginluc Occhett Note di Topologi Algeric e Anlisi Compless Diprtimento di Mtemtic Università di Trento Vi Sommrive 14 38050 - ovo (TN)

Not per l lettur Queste note rccolgono gli rgomenti (lcuni vriili negli nni) svolti prim nei corsi di Geometri IV unità didttic e Anlisi Compless, e poi nel corso di Geometri III, dll.. 2010-2011 del Corso di Lure in Mtemtic dell Università di Trento. er lcune prti di queste note, nonché per suggerimenti e correzioni, sono deitore Dvide nizzolo, Elis Tsso, Roerto igntelli, Riccrdo Ghiloni, Vlentin terno e Dvide storello. Sono nche grto gli studenti che mi hnno vi vi segnlto imprecisioni e proposto modifiche e mi ssumo l responsilità di tutti gli errori che possono essere rimsti. Ginluc Occhett iii

Indice Not per l lettur Indice iii iv I Topologi Algeric 1 1 Superfici topologiche 3 1.1 Vrietà topologiche........................... 3 1.2 Superfici comptte........................... 7 2 Omotopi 13 2.1 Omotopi di ppliczioni continue................... 13 2.2 Tipo d omotopi - Retrtti....................... 15 2.3 CW-complessi finiti........................... 17 3 Il gruppo fondmentle 23 3.1 Il gruppo fondmentle......................... 23 3.2 Omomorfismo indotto......................... 25 3.3 Teorem di invrinz per omotopi.................. 27 4 Teorem di Seifert-Vn Kmpen e ppliczioni 31 4.1 Gruppi con presentzione........................ 31 4.2 Il teorem di Seifert-Vn Kmpen................... 34 4.3 Gruppo fondmentle e retrzioni................... 40 4.4 Il teorem di clssificzione delle superfici comptte......... 41 5 Rivestimenti 49 5.1 Azioni di gruppo............................ 49 5.2 Rivestimenti............................... 50 5.3 Sollevmenti............................... 52 iv

Indice 5.4 Rivestimenti e gruppo fondmentle.................. 55 6 Omologi singolre 57 6.1 Gruppi elini e successioni estte.................. 57 6.2 Complessi di ctene........................... 60 6.3 Omologi singolre........................... 61 6.4 Significto geometrico di H 0 (X) e H 1 (X)............... 65 7 Teorem di Myer-Vietoris,... 69 7.1 Successione estt di Myer-Vietoris................. 69 7.2 Omologi di un coppi e retrzioni.................. 78 7.3 Omologi locle e invrinz dell dimensione............ 83 II Anlisi Compless 87 8 Funzioni olomorfe 89 8.1 Richimi sui numeri complessi..................... 89 8.2 Funzioni complesse. Continuità e differenziilità.......... 91 8.3 Serie di potenze............................. 94 8.4 Estensione compless di lcune funzioni notevoli........... 96 9 Integrzione lungo curve 101 9.1 Integrzione lungo curve........................ 101 9.2 Il teorem di Cuchy - versione locle................. 104 9.3 Indice di un punto rispetto un curv................ 109 9.4 Formul integrle e ppliczioni.................... 111 10 Il Teorem dell integrle nullo di Cuchy 115 10.1 Ctene omologhe............................ 115 10.2 Il Teorem di Cuchy - Dimostrzione di Dixon........... 116 11 Altre ppliczioni dell formul integrle 121 11.1 Successioni di funzioni olomorfe.................... 121 11.2 Serie di Lurent............................. 122 11.3 Singolrità isolte di funzioni olomorfe................ 123 12 Residui 127 12.1 Teorem dei residui........................... 127 12.2 Clcolo dei residui........................... 128 12.3 Appliczioni l clcolo di integrli indefiniti............. 132 12.4 Appliczioni l clcolo di somme di serie............... 138 13 Zeri di funzioni olomorfe (e meromorfe) 141 13.1 rincipio d identità........................... 141 v

Indice 13.2 rincipio dell rgomento........................ 142 13.3 Teorem di Rouché........................... 143 13.4 Comportmento locle e ppliczioni................. 144 14 Complementi 145 14.1 rolungmento nlitico........................ 145 14.2 Superfici di Riemnn - Cenni introduttivi............... 152 Indice nlitico 159 Biliogrfi 161 vi

rte I Topologi Algeric 1

Cpitolo 1 Superfici topologiche Un vrietà topologic è uno spzio topologico con lcune uone proprietà (d esempio essere di Husdorff e connesso) che loclmente è simile llo spzio euclideo. In questo cpitolo introdurremo l definizione di vrietà topologic, con lcuni esempi, ndndo d esminre poi in modo prticolre le superfici topologiche comptte. Vedremo due fmiglie prticolri di tli superfici, che possono essere costruite prtendo dl toro e dl pino proiettivo, medinte un operzione dett somm conness. Nel Cpitolo 4 dimostreremo che tli superfici non sono tr loro omeomorfe e sono, meno di omeomorfismo, tutte e sole le superfici comptte. 1.1 vrietà topologiche Definizione 1.1. Uno spzio topologico X si dice loclmente euclideo se per ogni suo punto x esistono un intero n e un intorno perto U di x omeomorfo un disco perto n-dimensionle D n (o, equivlentemente, R n ). Si ϕ : U D n l omeomorfismo; l coppi (U, ϕ) è dett crt locle, U è detto dominio dell crt locle. L crt locle si dice centrt in x X se ϕ(x) è l origine in R n. Useremo or un risultto che verrà dimostrto più vnti (Cf. 7.29): Teorem 1.2 (Teorem di invrinz dell dimensione). Sino U R n e V R m perti. Se esiste un omeomorfismo tr U e V llor n = m. Dl teorem ppen enuncito segue che, se X è uno spzio topologico loclmente euclideo, llor per ogni suo punto x si può definire l dimensione locle dim x (X) nel modo seguente: dim x (X) = n se esiste un crt locle (U, ϕ) il cui dominio contiene x tle che ϕ si un omeomorfismo tr U e un disco perto di R n. Inftti, se (V, ψ) è un ltr crt locle che contiene x, con ψ omeomorfismo tr V e un disco perto di R m, llor ψ ϕ 1 ϕ(u V ) è un omeomorfismo tr ϕ(u V ) e ψ(u V ), e quindi m = n. roposizione 1.3. Se X è uno spzio topologico loclmente euclideo e connesso, llor l dimensione locle non dipende dl punto, e viene dett dimensione di X. Dimostrzione. oiché X è connesso è sufficiente provre che l dimensione locle è loclmente costnte, cioè che, per ogni x X esiste un intorno perto su cui è costnte; inftti un funzione loclmente costnte vlori interi è continu se si dot N dell topologi discret, e i connessi di tle topologi sono i 3

1. Superfici topologiche sottospzi costituiti d un solo punto. L proprietà cerct segue dl ftto che, dto un punto x X, e un crt locle (U, ϕ) il cui dominio contiene x, llor l dimensione locle è costnte su U per il Teorem (1.2). roposizione 1.4. Uno spzio topologico connesso e loclmente euclideo è connesso per rchi. Dimostrzione. Fissto un punto x X considerimo il sottoinsieme W = {y X esiste un rco congiungente x y}. Chirmente W poiché p W. Osservimo che, se Y X è connesso per rchi e Y W llor Y W ; per mostrrlo fissimo y Y W e α : I X cmmino tle che α(0) = x, α(1) = y; dto z Y esiste un cmmino z : I Y tle che z (0) = y, z (1) = z, e quindi il cmmino prodotto 1 β z = α z è tle che β z (0) = x, β z (1) = z. Si y X e si (U, ϕ) un crt locle centrt in q; chirmente U è connesso per rchi, in qunto omeomorfo un disco perto di R n. Se y W llor U W, quindi U W, e W è perto. Se invece y W c llor U W, quindi U W = e W c è perto. oiché W è non vuoto, perto e chiuso nel connesso X segue che W = X. Osservzione 1.5. Uno spzio loclmente euclideo non è necessrimente uno spzio di Husdorff, come mostr l esempio seguente. Si consideri lo spzio X ottenuto come prodotto di R con l topologi euclide e di uno spzio formto d due punti, con l topologi discret, e si Y il quoziente di X ottenuto identificndo i punti (x, ) e (x, ) se x > 0. Indichimo con π : X Y l proiezione sul quoziente. osservimo innnzitutto che A = π(r {}) e B = π(r {}) sono perti di Y, in qunto le loro controimmgini vi π sono perte in X. Ogni punto di Y è contenuto in A o in B, e tli perti sono omeomorfi d R, quindi Y è uno spzio loclmente euclideo. Si or U un perto di Y che contiene π(0 {}); l su controimmgine è un perto di X che contiene 0 {}, quindi contiene un intervllo ( ε, ε ) {} per ε opportunmente piccolo. ertnto π(( ε, ε ) {}) U. Anlogmente, se V è un perto di Y che contiene π(0 {}) si mostr che, per un opportuno ε rele positivo, si h π(( ε, ε ) {}) V. Segue che, se ε = min(ε, ε ) llor U V π((0, ε) {}). Concludimo che Y non è uno spzio di Husdorff. Definizione 1.6. Uno spzio topologico connesso, di Husdorff, loclmente euclideo se numerile si dice vrietà topologic. Osservzione 1.7. oiché un vrietà topologic è conness, l su dimensione è en definit. 1 Ricordimo che se α e β sono cmmini tli che α(1) = β(0) llor α β è il cmmino { α(2t) t [0, 1/2] (α β)(t) = β(2t 1) t [1/2, 1] 4

1.1. Vrietà topologiche Esempio 1.8. Alcuni esempi di vrietà topologiche ) R n. ) C n. Lo spzio ffine complesso C n è omeomorfo R 2n in modo cnonico, ssocindo ll ennupl di numeri complessi (z 1,..., z n ) l 2n-pl di numeri reli (Re(z 1 ), Im(z 1 ),..., Re(z n ), Im(z n )), ove Re(z) e Im(z) denotno rispettivmente l prte rele e l prte immginri del numero complesso z. c) S n. L sfer di dimensione n è copert d due perti omeomorfi R n : U α = S n \ {N = (0, 0,..., 0, 1)} e U β = S n \ {S = (0, 0,..., 0, 1)} e ϕ α e ϕ β sono così definite ϕ α : U α R n : (x 1,..., x n+1 ) ϕ β : U β R n : (x 1,..., x n+1 ) ( x1 1 x n+1,..., ( x1 1 + x n+1,..., x n 1 x n+1 x n 1 + x n+1 d) Il toro è un vrietà topologic. Si L = {(m, n) R 2 m, n Z}, e considerimo l relzione di equivlenz su R 2 definit nel modo seguente: due punti x e y di R 2 sono equivlenti se e solo se x y L. Denotimo con R 2 /L lo spzio topologico quoziente, con proiezione sul quoziente π : R 2 R 2 /L. L proiezione π è un ppliczione pert. Inftti π 1 (π(u)) = ω L(ω + U). ) ) Ogni punto di R 2 è equivlente modulo L d un punto contenuto nel qudrto Q := [0, 1] [0, 1]. Due punti di Q non pprtenti l ordo individuno clssi distinte, mentre i punti di Q sono equivlenti se hnno l stess sciss o l stess ordint. Si or ε < 1 2, e, per ogni x in R2 si B x := B x (ε) = {y R 2 x y < ε}. er ogni x, in B x non cdono due punti equivlenti, e perciò l restrizione π Bx : B x π(b x ) è un omeomorfismo. Considerimo l insieme {(U x, ϕ x )}, ove U x = π(b x ) e ϕ x = (π Bx ) 1. Tle insieme costituisce un fmigli di crte locli i cui domini coprono il toro. e) R n. Lo spzio proiettivo rele di dimensione n è coperto d n + 1 perti U i omeomorfi R n. U i = {p R n x i (p) 0} 5

1. Superfici topologiche e ϕ i : U i R n è definit ponendo ϕ i (x 0 : : x i : : x n ) = ( x0 x i,..., x i 1 x i, x i+1 x i,..., x ) n. x i f) C n. Lo spzio proiettivo complesso di dimensione n è coperto d n + 1 perti U i omeomorfi R 2n. definimo ϕ i : U i C n come ϕ i (z 0 : : z i : : z n ) = U i = {p C n z i (p) 0}; ( z0 z i,..., z i 1 z i, z i+1 z i,..., z ) n, z i e ϕ i : U i R 2n è definit componendo ϕ i con l omeomorfismo cnonico tr C n e R 2n descritto nell esempio ). g) Un perto connesso di un vrietà topologic è un vrietà topologic. h) Il prodotto di vrietà topologiche è un vrietà topologic. In dimensione 1 l clssificzione delle vrietà topologiche è molto semplice; sussiste inftti il seguente risultto, che dimo senz dimostrzione: Teorem 1.9. Un vrietà topologic di dimensione 1 è omeomorf S 1 o R. L situzione è molto più compless già per n = 2, e questo è il cso che studieremo, ggiungendo l ipotesi dell compttezz. Studieremo quindi superfici topologiche comptte, cioè vrietà topologiche comptte di dimensione 2. 6

1.2. Superfici comptte 1.2 superfici comptte Vedremo più vnti (Teorem 4.29) che ogni superficie topologic comptt è omeomorf llo spzio quoziente di un poligono pino con un numero pri di lti rispetto d un relzione di equivlenz che identific i lti del poligono coppie. Due csi prticolri sono dti dl toro e dl pino proiettivo rele. Dll descrizione del toro ftt nell esempio 1.8 d) segue che il toro è omeomorfo l quoziente di un qudrto rispetto lle identificzioni in figur. Il pino proiettivo rele può essere visto come quoziente dell sfer S 2 rispetto ll identificzione dei punti ntipodli, e quindi nche come quoziente dell semisfer superiore, equtore compreso, rispetto ll identificzione dei punti ntipodli sull equtore. roiettndo sul pino equtorile, possimo rppresentre il pino proiettivo come quoziente di un disco rispetto lle identificzioni in figur. Notzione 1.10. Gli spzi topologici ottenuti come quozienti di un poligono rispetto d identificzioni dei lti, in cui tutti i vertici sono identificti possono essere descritti scegliendo ritrrimente un vertice e un verso di percorrenz e scrivendo i lti nell ordine in cui si incontrno, con l letter corrispondente se l orientzione indict su di essi corrisponde l verso di percorrenz scelto, con l letter corrispondente con l esponente 1 se l orientzione indict su di essi è oppost l verso di percorrenz scelto. Chimeremo un tle successione di simoli prol. Ad esempio il toro è individuto (tr le ltre) dll prol 1 1 e il pino proiettivo dll prol. Sino S 1 e S 2 due superfici comptte; fissimo due punti x S 1, y S 2 e due intorni U x e U y omeomorfi D 2, vi omeomorfismi h 1 : U x D 2 e h 2 : U y D 2. Considerimo or Y = (S 1 \Ůx) (S 2 \Ůy) e si l relzione d equivlenz le cui identificzioni non nli sono x y y = h 1 2 (h 1 (x )) 7

1. Superfici topologiche Si può verificre che lo spzio topologico quoziente S = Y/ è uno spzio topologico connesso, di Husdorff, loclmente euclideo di dimensione 2 e comptto; S è cioè un superficie comptt, dett somm conness di S 1 ed S 2 : S = S 1 #S 2. Osservzione 1.11. Si può dimostrre che l somm conness è definit meno di clssi di omeomorfismo, e che non dipende dl punto scelto. Definizione 1.12. Indichimo con T 0 l sfer, con T 1 il toro e con T g l superficie che si ottiene fcendo l somm conness di g 2 tori. Esempio 1.13. Vedimo in figur come rppresentre l somm conness di due tori come quoziente di un poligono. Q c Q d d d c c Q c Q d c d c d Definizione 1.14. Indichimo con U 1 il pino proiettivo rele e con U h l superficie che si ottiene fcendo l somm conness di h 2 pini proiettivi reli. 8

1.2. Superfici comptte Esempio 1.15. Vedimo in figur come rppresentre l somm conness di due pini proiettivi reli come quoziente di un poligono. Q Q Q Q Q Osservzione 1.16. ossimo notre che l somm conness S di due superfici S 1 ed S 2 ottenute come quozienti di poligoni rispetto d identificzioni dei lti, in cui tutti i vertici sono identificti, è descritt dll prol ottenut giustpponendo le prole corrispondenti d S 1 ed S 2. Ad esempio l somm conness dell Esempio 1.13 è individut dll prol 1 1 cdc 1 d 1, mentre quell dell Esempio 1.15 è individut dll prol. Esempio 1.17. L ottigli di Klein, quoziente del qudrto rispetto lle identificzioni 1 è omeomorf ll somm conness di due pini proiettivi. er mostrrlo si utilizz il procedimento di tgli e incoll come in figur. c c c c c L operzione di tglio è essenzilmente l introduzione di un nuov relzione di equivlenz (che dice che i due lti indicti con c vnno identificti; poiché 9

1. Superfici topologiche le relzioni di equivlenz,, c corrispondenti ll identificzione di un sol coppi di lti corrispondenti sono un sottoinsieme dell relzione di equivlenz corrispondente ll identificzione di tutte le coppie di lti, il quoziente rispetto fttorizz vi i quozienti przili, dndo un digrmm commuttivo: c c c c c c c tglio c X incollmento c c c π c c π c X/ c c X/ c X/ Cos succede fcendo l somm conness di un superficie T g e di un superficie U h? Considerimo innnzitutto il seguente cso prticolre: Lemm 1.18. L somm conness di un toro e di un pino proiettivo è omeomorf ll somm conness di tre pini proiettivi. Dimostrzione. Aimo già visto che l ottigli di Klein è omeomorf ll somm di due pini proiettivi, quindi st mostrre che l somm conness di un toro e di un pino proiettivo è omeomorf ll somm conness di un ottigli di Klein e di un pino proiettivo. 10

1.2. Superfici comptte L somm conness di un toro e di un pino proiettivo è omeomorf ll superficie quoziente del poligono in figur, che, vi un tglio e un incollmento risult omeomorfo l poligono individuto dll prol dd 1. c 00 11 00 11 00 11 00 11 c 00 11 00 11 00 11 00 11 c 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 00000000000000 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 11111111111111 d c 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 d 00000000000000 00000000000000 00000000000000 11111111111111 11111111111111 11111111111111 d 00000000000000 11111111111111 c 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 d 000000 111111 000000 000000 000000 111111 111111 111111 d 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 β L somm conness di di un ottigli di Klein e di un pino proiettivo è omeomorf ll superficie quoziente del poligono in figurche, vi un tglio e un incollmento risult omeomorfo l poligono individuto dll prol δαδβαβ 1. δ β δ 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 δ α β 0000000000000000000 1111111111111111111 0000000000000000000 1111111111111111111 0000000000000000000 0000000000000000000 0000000000000000000 1111111111111111111 1111111111111111111 1111111111111111111 β 0000000000000000000 1111111111111111111 0000000000000000000 1111111111111111111 0000000000000000000 1111111111111111111 δ δ α β α 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 00000000000000000000 11111111111111111111 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 β 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00 11 00 11 δ 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 Concludimo quindi che le superfici T 1 U 1 e U 3 sono omeomorfe. ossimo or trttre il cso generle: δ α β 00000000000000 11111111111111 00000000000000 00000000000000 00000000000000 11111111111111 11111111111111 11111111111111 α 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 00000000000000 00000000000000 11111111111111 11111111111111 11111111111111 β 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 δ roposizione 1.19. L somm conness di un superficie T g e di un superficie U h è omeomorf ll superficie U h+2g. Dimostrzione. Osservimo che, per g = 1 l roposizione si riduce l Lemm 1.18, quindi ssumimo che g si mggiore o ugule due e che il risultto si vero per g g 1. T g #U h T g 1 #(T 1 #U 1 )#U h 1 T g 1 #U h+2 U h+2g 11

Cpitolo 2 Omotopi Il toro e l sfer non sono omeomorfi. Come si può dimostrre? Intuitivmente l sfer h l proprietà che ogni cmmino chiuso può essere deformto con continuità l cmmino costnte, mentre nel toro questo non è vero. Vedremo or come si può formlizzre questo concetto. α β rolem: Dte f 0, f 1 : X Y ppliczioni continue si vuole formlizzre l ide seguente: f 1 si ottiene per deformzione continu d f 0. f 1 f 0 2.1 omotopi di ppliczioni continue Definizione 2.1. Due ppliczioni continue f 0, f 1 : X Y si dicono omotope se esiste un ppliczione continu F : X I Y, tle che x X si h F (x, 0) = f 0 (x) e F (x, 1) = f 1 (x). In tl cso scriveremo f 0 f 1 ; ponimo poi f t (x) = F (x, t). Aimo cioè un fmigli di funzioni continue che vri con continuità. 13

2. Omotopi Esempi 2.2. ) Si X = Y = D n ; l ppliczione identic f 0 = Id D n e l ppliczione costnte che mnd ogni elemento di D n in 0, f 1 = 0 sono omotope. Un omotopi tr di esse è dt d F (x, t) = (1 t)x. ) Si X = Y = R n \{0}; l ppliczione identic f 0 = Id R n \{0} e l ppliczione f 1 (x) = x / x sono omotope. Un omotopi tr di esse è dt d F (x, t) = (1 t)x + t x / x. c) Si X = Y = S 2k 1 R 2k C k un sfer di dimensione dispri; l ppliczione identic f 0 = Id S 2k 1 e l ppliczione ntipodle f 1 (z) = z sono omotope. Un omotopi tr esse è dt d F (z, t) = e iπt z. d) Si X uno spzio topologico qulsisi; ogni rco f : I X di punto inizile x 0 è omotopo ll rco costnte di se x 0 trmite l omotopi F (s, t) = f((1 t)s). Come mostr l ultimo esempio l omotopi non è ncor l nozione degut per formlizzre l esempio dei cmmini sull sfer e sul toro. In quel cso, inftti, tutti i cmmini intermedi devono vere lo stesso punto inizile e lo stesso punto finle. Introducimo quindi un nuov definizione: Definizione 2.3. Sino f 0, f 1 : X Y ppliczioni continue e A X un sottospzio. Le ppliczioni f 0 e f 1 si dicono omotope reltivmente d A se esiste un omotopi F : X I Y tr f 0 ed f 1 tle che F (, t) = f 0 () = f 1 () A, t I. In prticolre, nel cso dei cmmini, vremo l seguente Definizione 2.4. Due cmmini che ino lo stesso punto inizile e lo stesso punto finle si dicono omotopi se sono omotopi reltivmente {0, 1}. 14

2.2. Tipo d omotopi - Retrtti Quindi due cmmini α : I X e β : I X sono omotopi se esiste un ppliczione F : I I X continu tle che F (s, 0) = α(s); F (s, 1) = β(s); F (0, t) = α(0) = β(0) = x 0 ; F (1, t) = α(1) = β(1) = x 1. Osservzione 2.5. L omotopi (reltiv) è un relzione d equivlenz. 2.2 tipo d omotopi - retrtti Sospendimo momentnemente il discorso sui cmmini e utilizzimo le nozioni sull omotopi per introdurre un nuovo concetto di equivlenz per spzi topologici. Definizione 2.6. Si dice che due spzi topologici X e Y hnno lo stesso tipo d omotopi (o che sono omotopicmente equivlenti) se esistono due ppliczioni continue f : X Y e g : Y X tli che g f Id X e f g Id Y. Tli ppliczioni sono dette equivlenze omotopiche Scriveremo X Y per indicre che X e Y hnno lo stesso tipo di omotopi. Osservzione 2.7. L equivlenz omotopic è un relzione d equivlenz tr spzi topologici (Esercizio!). Definizione 2.8. Uno spzio topologico si dice contriile se h lo stesso tipo di omotopi di un punto. Esempi 2.9. ) Due spzi omeomorfi hnno lo stesso tipo di omotopi. ) D n è contriile. Sino f : D n {0} l ppliczione costnte e g : {0} D n l inclusione. Doimo verificre che g f Id D n e che f g Id 0. L prim ffermzione segue dll esempio 2.2 ), mentre l second è immedit, essendo f g = Id 0. c) R n \{0} S n 1. Sino f : R n \{0} S n 1 l funzione f(x) = x / x e g : S n 1 R n \{0} l inclusione. Doimo verificre che g f Id R n \{0} e che f g Id S n 1. L prim ffermzione segue dll esempio 2.2 ), mentre l second è immedit, essendo f g = Id S n 1. 15

2. Omotopi Definizione 2.10. Un proprietà omotopic è un proprietà invrinte per equivlenze omotopiche. Definizione 2.11. Si A X un sottospzio, e i : A X l inclusione. 1. A si dice retrtto di X se esiste un ppliczione continu r : X A tle che r i = Id A. 2. A si dice retrtto di deformzione se esiste un ppliczione continu r : X A tle che r i = Id A e i r Id X. Intuitivmente un sottospzio A è un retrtto di deformzione di X se X può essere deformto con continuità fino frlo coincidere con A. Osservzione 2.12. Se A è retrtto di deformzione di X, llor A h lo stesso tipo di omotopi di X. Osservzione 2.13. Si X un sottospzio di (R n, τ ε ) e si A un sottospzio di X. Se esiste un retrzione r : X A tle che per ogni x X il segmento che unisce il punto x l punto r(x) è contenuto in X, llor l ppliczione F : X I X (x, t) (1 t)x + t(i r(x)) è un omotopi reltiv d A tr Id X e i r. ertnto se esiste r sifftt, A è retrtto di deformzione di X. Esempi 2.14. ) Un sottospzio stellto di R n è contriile. ) Si T il toro ottenuto d I I come quoziente rispetto ll relzione di equivlenz tle che (x, y) (x, y ) {x, x } = {0, 1} e y = y oppure {y, y } = {0, 1} e x = x, e si A l circonferenz quoziente del segmento {0} I rispetto ll relzione indott d ; llor A è retrtto di T. er mostrrlo st considerre l ppliczione R : T A indott dll ppliczione r : I I {0} I che mnd (x, y) in (0, y). Mostreremo più vnti che A non è un retrtto di deformzione di X (Cf. roposizione 4.22). 16 c) R 2 \{ 1, 2 } h S 1 S 1 come retrtto di deformzione. L retrzione è definit diversmente in regioni diverse di R 2 \{ 1, 2 }, come in figur:

2.3. CW-complessi finiti d) R 3 \r h S 1 come retrtto di deformzione. L retrzione è dt componendo l proiezione su di un pino perpendicolre ll rett con l retrzione di R 2 meno un punto su S 1. e) Un poligono convesso di R 2 con 2k lti identificti coppie e tutti i vertici identificti, privto di un punto Q interno l poligono, h un ouquet di k circonferenze (cioè l unione un punto di k circonferenze) come retrtto di deformzione. Si X il poligono privto del punto Q, senz le identificzioni l ordo, ed A il ordo del poligono. L proiezione dl punto Q fornisce un retrzione r : X A, e, in virtù dell Osservzione 2.13, denott con i : A X l inclusione, l ppliczione F : X I X definit ponendo F (x, t) = (1 t)x + t(i r(x)) è un omotopi tr l identità di X e i r. Si l relzione d equivlenz su X definit dlle identificzioni l ordo; A è chiuso rispetto, ed h quindi senso considerre nche il quoziente A/. Osservimo che, se x x e x x, llor x, x A, e quindi, essendo r un retrzione, r(x) = x e r(x ) = x. Di conseguenz si r che F pssno l quoziente rispetto, definendo un retrzione r : X/ A/ ed un omotopi F : X/ I X/ tr l identità di X/ e j r, ove si è denott con j l inclusione di A/ in X/. In prticolre R 2 \{ } S 1 e T 1 \{ } S 1 S 1. 2.3 cw-complessi finiti Spesso nelle ppliczioni e negli esercizi è utile trovre spzi omotopicmente equivlenti d uno spzio dto che simo più semplici. Un operzione che può essere utile in tl senso è quell di sostituire uno spzio topologico X con il quoziente rispetto d un sottospzio contriile A X. Non è però sempre vero che, dti uno spzio topologico X e un sottospzio 17

2. Omotopi contriile A gli spzi X e X/A sono omotopicmente equivlenti. Vedremo or un modo prticolre di costruire spzi topologici, che ci drà un condizione sufficiente per poter contrrre sottospzi contriili senz lterre il tipo di omotopi dello spzio topologico. Considerimo il digrmm seguente A f Y i X in cui A, X e Y sono spzi topologici, i : A X è l inclusione e f è un ppliczione continu. Voglimo costruire un nuovo spzio topologico incollndo X e Y trmite f, identificndo cioè i punti di A con le loro immgini 1. er fr ciò considerimo lo spzio topologico X Y e in esso considerimo l relzione di equivlenz genert dll identificzione x f(x) per ogni x A. Lo spzio che cerchimo, denotto con X f Y, è lo spzio topologico quoziente Z = (X Y )/. Definizione 2.15. Un CW-complesso finito X di dimensione N è uno spzio topologico costruito nel modo seguente: 1. X 0 è uno spzio finito e discreto; 2. er 0 < n N lo spzio topologico X n è ottenuto d X n 1 ttccndo un numero finito J n di coppie (X, A) = (D n i, S n 1 i ) medinte ppliczioni continue ϕ n i : S n 1 i X n 1 ; 3. X = X N. Il sottospzio X n X è detto n-scheletro di X. Ogni coppi (D n i, S n 1 i ) h un mpp crtteristic Φ n i, che è l composizione D n i X n 1 i D n i X n X. Un cell pert (rispettivmente chius) è l immgine vi l mpp crtteristic del disco perto (rispettivmente chiuso); si noti che Φ n i D è un n i \Sn 1 i omeomorfismo, mentre Φ n i D in generle non lo è. n i Esempi 2.16. ) L sfer S n. Un su possiile struttur di CW-complesso è dt prendendo come X 0 un punto, e ttccndo un coppi (D n, S n 1 ) medinte l ppliczione costnte f : S n 1 X 0. 1 Tle costruzione è un generlizzzione di quell vist nell costruzione dell somm conness di superfici. 18

2.3. CW-complessi finiti Alterntivmente è possiile prendere come X 0 un punto, costruire l sfer S n 1 medinte l ttccmento di un n 1 cell come sopr, ottenendo X n 1 e quindi ttccre due n-celle (D n, S n 1 ) medinte l ppliczione identic S n 1 X n 1. ) Il disco D n. Un su possiile struttur di CW-complesso è dt prendendo come X 0 un punto, ttccndo un coppi (D n 1, S n 2 ) medinte l ppliczione costnte f : S n 2 X 0 e ottenendo perciò X n 1 = S n 1 e ttccndo quindi un coppi (D n, S n 1 ) medinte l ppliczione identic f : S n 1 X n 1. c) L unione un punto di k circonferenze. Si X 0 un punto, e d esso ttcchimo k coppie (D 1, S 0 ) medinte le ppliczioni costnti f i : S 0 X 0. d) Il toro. Si X 0 un punto. Ad esso ttcchimo due coppie (D 1, S 0 ) medinte le ppliczioni costnti f i : S 0 X 0, ottenendo così come X 1 l unione d un punto di due circonferenze. Voglimo or ttccre un coppi (D 2, S 1 ) medinte un ppliczione f : S 1 S 1 S 1. Identificndo un punto dell circonferenz con l ngolo l centro corrispondente (in rdinti), e considerndo S 1 S 1 come l unione d un punto delle circonferenze di rggio uno centrte in ( 1, 0) e (1, 0) considerimo l mpp ϕ definit ponendo (1 + cos(π + 4t), sin(4t)) t [0, π/2] ( 1 + cos(4t), sin(4t)) t [π/2, π] ϕ(t) = (1 + cos(π + 4t), sin(4t)) t [π, 3π/2] ( 1 + cos(4t), sin(4t)) t [3π/2, 2π] Tle mpp mnd il ordo del disco in S 1 S 1 come in figur. 19

2. Omotopi Anlogmente si può dre un struttur di CW-complesso finito tutte le superfici comptte. e) Lo spzio proiettivo rele di dimensione n. Lo spzio proiettivo di dimensione zero è un punto. Si f : S n 1 R n 1 il quoziente rispetto ll identificzione dei punti ntipodli; lo spzio proiettivo di dimensione n è ottenuto dllo spzio proiettivo di dimensione n 1 medinte ttccmento di un n-cell vi f. Definizione 2.17. Un sottocomplesso di un CW-complesso finito X è un sottoinsieme A costituito d un unione di celle chiuse di X. Dimo senz dimostrzione il seguente risultto, di importnz crucile nel seguito: Teorem 2.18. Se X è un CW-complesso finito e A X è un sottocomplesso contriile, llor X X/A. Vedimo or lcune ppliczioni Esempi 2.19. ) Si X il sottospzio di R 2 costituito dll unione di S 1 e di [ 1, 1] {0}. Allor X h lo stesso tipo di omotopi dell unione un punto di due circonferenze. ossimo considerre l struttur di CW-complesso di X ottenut ponendo X 0 = ( 1, 0) (1, 0) e ttccndo tre coppie (D 1, S 0 ) medinte l ppliczione identic Id S 0 : S 0 X 0. Il sottospzio A = [ 1, 1] {0} è un sottocomplesso contriile, e quindi, in virtù dell proposizione precedente X X/A S 1 S 1. 20 ) Si X l unione di S 2 R 3 con il disco D 2 {0}. Allor X è omotopicmente equivlente ll unione un punto di due sfere. ossimo considerre l struttur di CW-complesso di X ottenut ponendo X 0 = ( 1, 0, 0), ttccndo un coppi (D 1, S 0 ) medinte l ppliczione identic Id S 0 : S 0 X 0 e tre coppie (D 2, S 1 ) come in figur. Il sottocomplesso costituito d X 1 e d un delle celle due dimensionli è un sottocomplesso contriile.

2.3. CW-complessi finiti 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 c) Lo spzio topologico costituito d tre circonferenze in (R 2, τ ε ) come in figur è omotopicmente equivlente un ouquet di 3 circonferenze. Vedimo in figur l struttur di CW-complesso e il sottocomplesso contriile. d) Lo spzio topologico in figur (sottospzio di (R 2, τ ε )) è omotopicmente equivlente un ouquet di 4 circonferenze. Vedimo in figur l struttur di CW-complesso e il sottocomplesso contriile. 21

Cpitolo 3 Il gruppo fondmentle Si X uno spzio topologico e x 0 un suo punto. Considerimo l insieme delle clssi di equivlenz di cmmini chiusi che inizino e terminno in x 0 rispetto ll relzione di omotoni di cmmini. In questo cpitolo mostreremo come si possiile dotre tle insieme dell struttur di gruppo, e che l clsse di isomorfismo del gruppo così costruito non dipende dll scelt del punto se X è uno spzio connesso per rchi. Mostreremo poi che l costruzione è funtorile, nel senso che d ogni ppliczione continu ϕ : X Y tle che ϕ(x) = y risult ssocito un morfismo di gruppi ϕ : π(x, x) π(y, y). Concluderemo mostrndo che, se ϕ : X Y è un equivlenz omotopic tle che ϕ(x) = y, llor i gruppi π(x, x) e π(y, y) sono isomorfi vi ϕ. 3.1 il gruppo fondmentle Definizione 3.1. Un cmmino α : I X tle che α(0) = α(1) = x 0 è detto cppio di punto se x 0. Definizione 3.2. Si X uno spzio topologico e x 0 X un suo punto; si π(x, x 0 ) ={Clssi di equivlenz di cppi omotopi con punto se x 0 }. e sino [α], [β] π(x, x 0 ). Definimo il prodotto delle clssi [α] e [β] nel seguente modo: [α][β] = [α β]. Il ftto che tle operzione si en definit segue dll seguente roposizione 3.3. Sino α e β due cmmini in X tli che si definito il prodotto α β, e sino e δ ltri due cmmini tli che α e β δ; llor α β δ. Dimostrzione. Sino F e G le omotopie tr α e e tr β e δ; llor l omotopi tr i prodotti è dt d { F (2s, t) s [0, 1/2] H(s, t) = G(2s 1, t) s [1/2, 1]. Mostreremo or che π(x, x 0 ) è un gruppo rispetto ll operzione ppen definit; nell dimostrzione utilizzeremo il seguente 23

3. Il gruppo fondmentle Lemm 3.4. Sino α : I X un cmmino e ϕ : I I un funzione continu tle che ϕ(0) = 0 e ϕ(1) = 1. Allor α α ϕ. Dimostrzione. Si F : I I X l ppliczione definit ponendo F (s, t) = α((1 t)s + tϕ(s)); è immedito verificre che F è un omotopi di cmmini tr α e α ϕ. Teorem 3.5. Sino α, β, : I X cmmini tli che α(1) = β(0) e β(1) = (0), e sino x 0 = α(0), x 1 = α(1). Sino inoltre ε x0 e ε x1 i cmmini costnti ε x0 (s) = x 0 e ε x1 (s) = x 1 e ᾱ il cmmino inverso di α 1. Allor 1. ε x0 α α α ε x1 ; 2. α ᾱ ε x0 e ᾱ α ε x1 ; 3. (α β) α (β ). Dimostrzione. ϕ(s) = Sino ϕ, ψ : I I le funzioni definite d { 0 s [ ] 0, 1 2 2s 1 s [ ψ(s) = 1, 1] 2 { 2s s [ ] 0, 1 2 1 s [ 1, 1]. 2 L sserzione 1. segue dl Lemm 3.4, in qunto ε x0 α = α ϕ e α ε x1 = α ψ. er mostrre che α ᾱ e ε x0 sono omotopi utilizzimo l seguente ppliczione: x 0 s [ ] 0, t 2 α (2s t) s [ t F (s, t) =, ] 1 2 2 ᾱ (2s + t 1) s [ 1 2, ] 2 t 2 x 0 s [ 2 t, 1] 2 Infine l 3. deriv dl Lemm 3.4, in qunto (α β) = (α (β )) φ, ove φ è definit nel modo seguente: 2s s [ ] 0, 1 4 φ(s) = s + 1 s [ 1 4 4, ] 1 2 s+1 s [. 1, 1] 2 2 Corollrio 3.6. π(x, x 0 ) è un gruppo (in generle non elino) rispetto l prodotto di clssi di equivlenz di cppi ppen definito. 1 Il cmmino ᾱ è definito ponendo ᾱ(s) = α(1 s). 24

3.2. Omomorfismo indotto Definizione 3.7. Il gruppo π(x, x 0 ) è detto gruppo fondmentle o primo gruppo di omotopi di X con punto se x 0. Esempio 3.8. Se X = { }, llor π(x, ) è il gruppo nle, in qunto esiste un unico cmmino, quello costnte. Il gruppo fondmentle è definito scegliendo un punto se; mostreremo or che, qulor due punti di X sino connessi d un cmmino, l clsse di isomorfismo del gruppo fondmentle è l medesim. roposizione 3.9. Sino x, y due punti di X; se esiste un rco f : I X che congiunge x y llor π(x, x) π(x, y). Dimostrzione. Definimo l ppliczione u f : π(x, x) π(x, y) in questo modo: u f ([α]) = [ f α f]. L ppliczione è en definit: poiché ovvimente f f e f f, pplicndo due volte l roposizione 3.3, ottenimo che, se α β, llor f α f f β f. Mostrimo or che u f è un morfismo di gruppi. u f ([α][β]) = u f ([α β]) = [ f α β f] = = [ f α f f β f] = [ f α f][ f β f] = u f ([α])u f ([β]). L iunivocità di u f segue dl ftto che u f u f = Id π(x,x) e u f u f = Id π(x,y). Corollrio 3.10. Se uno spzio X è connesso per rchi, llor π(x, x) π(x, y) x, y X. 3.2 omomorfismo indotto Si ϕ : X Y un ppliczione continu, e si α un cppio di punto se x; l ppliczione (ϕ α) : I Y è un cppio in Y con punto se ϕ(x). Si può verificre che, se α β llor ϕ α ϕ β; inftti, se F : I I X è un omotopi tr α e β, llor G = ϕ F è un omotopi tr ϕ α e ϕ β. Definizione 3.11. L ppliczione ϕ : π(x, x) π(y, ϕ(x)) che ssoci d un clsse di equivlenz [α] l clsse di equivlenz [ϕ α] è dett morfismo indotto. Osservzione 3.12. Vlgono le seguenti proprietà: 1. ϕ è un morfismo di gruppi; 25

3. Il gruppo fondmentle 2. dti tre spzi topologici X, Y, Z e due ppliczioni continue ϕ : X Y e ψ : Y Z, llor (ψ ϕ) = ψ ϕ ; (3.13) 3. indict con Id X l identità di X, si h che (Id X ) = Id π(x,x). (3.14) Dimostrzione. er verificre l prim ffermzione, notimo innnzitutto che, dlle definizioni di morfismo indotto e prodotto di cmmini segue immeditmente che ϕ (α β) = (ϕ α) (ϕ β); pertnto ϕ ([α β]) = [ϕ (α β)]) = [(ϕ α) (ϕ β)] = [(ϕ α)][(ϕ β)] = ϕ ([α])ϕ ([β]). Le ltre due proprietà seguono direttmente dll definizione. Corollrio 3.15. Un omeomorfismo ϕ : X Y induce un isomorfismo di gruppi ϕ : π(x, x 0 ) π(y, ϕ(x 0 )) per ogni x 0 X. Dimostrzione. Si ψ : Y X l inverso di ϕ. Sino ϕ : π(x, x 0 ) π(y, ϕ(x 0 )) e ψ : π(y, ϕ(x 0 )) π(x, x 0 ) i morfismi indotti. er le proprietà (3.13) e (3.14) si h che d cui l sserto. ψ ϕ = (ψ ϕ) = (Id X ) = Id π(x,x0 ) ϕ ψ = (ϕ ψ) = (Id Y ) = Id π(x,ϕ(x0 )), ossimo rissumere quello che imo detto dicendo che imo costruito un funtore dll ctegori degli spzi topologici puntti e ppliczioni continue di spzi topologici puntti 2 ll ctegori dei gruppi e morfismi di gruppi. T op. Gr (X, x) π(x, x) ϕ : (X, x) (Y, y) ϕ : π(x, x) π(y, y) ψ ϕ ψ ϕ Id X Id π(x,x) (X, x) (Y, y) π(x, x) π(y, y) Di grnde importnz nelle ppliczioni è l seguente 2 Uno spzio topologico puntto è l coppi costituit d uno spzio topologico e d un suo punto. Un ppliczione continu fr due spzi topologici puntti ϕ : (X, x 0 ) (Y, y 0 ) è un ppliczione continu ϕ : X Y te che ϕ(x 0 ) = y 0. 26

3.3. Teorem di invrinz per omotopi roposizione 3.16. Si A X un retrtto. Indichimo con r : X A l retrzione e con i : A X l inclusione. Allor, per ogni A, denotti con i : π(a, ) π(x, ) e r : π(x, ) π(a, ) i morfismi indotti si h in prticolre i è iniettivo e r è suriettivo. r i = Id π(a,) ; Dimostrzione. Considerimo il digrmm A i X r A IdA e il digrmm indotto sui gruppi fondmentli π(a, ) i π(x, ) r π(a, ) (Id A ) er le proprietà (3.13) e (3.14) si h che r i = (r i) = (Id A ) = Id π(a,). In prticolre i è iniettivo e r è suriettivo. 3.3 teorem di invrinz per omotopi Voglimo or mostrre che spzi che hnno lo stesso tipo di omotopi hnno gruppi fondmentli isomorfi; useremo il seguente Lemm 3.17. Sino Φ, Ψ : X Y continue e omotope, si F : X I Y un omotopi tr Φ e Ψ e si f(s) = F (x 0, s) (è un cmmino che congiunge Φ(x 0 ) e Ψ(x 0 )). Allor il seguente digrmm π(x, x 0 ) Φ π(y, Φ(x0 )) Ψ π(y, Ψ(x 0 )) u f commut, cioè Ψ = u f Φ. Dimostrzione. Doimo mostrre che, per ogni [α] π(x, x 0 ) si h [Ψ α] = [ f (Φ α) f] 27

3. Il gruppo fondmentle Osservimo innnzitutto che il cppio Ψ α è omotopo l cppio ε y0 (Ψ α) ε y0, ove si è posto y 0 = Ψ(x 0 ). E immedito verificre che F (x 0, 1 4s) s [ ] 0, 1 (( f 4 (Φ α)) f)(s) = F (α(4s 1), 0) s [ 1 4, ] 1 2 F (x 0, 2s 1) s [ 1, 1] 2 F (x 0, 1) s [ ] 0, 1 4 ((ε y0 (Ψ α)) ε y0 )(s) = F (α(4s 1), 1) s [ 1 4, ] 1 2 F (x 0, 1) s [ 1, 1] 2 ertnto, definendo H : I I Y come F (x 0, (1 4s)(1 t) + t) s [ ] 0, 1 4 H(s, t) = F (α(4s 1), t) s [ 1 4, ] 1 2 F (x 0, (2s 1)(1 t) + t) s [ 1, 1] 2 si ottiene l omotopi cerct. Teorem 3.18. (Teorem d invrinz per omotopi) Sino X e Y spzi topologici, e si ϕ : X Y un equivlenz omotopic. Allor per ogni x X il morfismo indotto ϕ : π(x, x) π(y, ϕ(x)) è un isomorfismo. Dimostrzione. oiché ϕ è un equivlenz omotopic, esiste ψ : Y X tli che ψ ϕ Id X e ϕ ψ Id Y. Si y = ϕ(x), si F un omotopi tr ψ ϕ e Id X, e si f(s) = F (x, s); f è un rco che congiunge ψ(y) x 3. Applicndo il Lemm 3.17 ψ ϕ e Id X ottenimo il seguente digrmm commuttivo: π(x, x) ϕ π(y, y) ψ π(x, ψ(y)) Id π(x,x) π(x, x) u f oiché u f è un isomorfismo, llor ψ ϕ è un isomorfismo; in prticolre ciò implic che ψ è suriettiv. Applicndo or il Lemm 3.17 ll omotopi G tr ϕ ψ e Id Y, ponendo g(s) = G(y, s), ottenimo il seguente digrmm commuttivo: π(y, y) ψ π(x, ψ(y)) ϕ π(y, ϕ(ψ(y))) Id π(y,y) 3 Attenzione: in generle ψ(y) x. π(y, y) u g 28

3.3. Teorem di invrinz per omotopi Aimo indicto con ϕ il morfismo indotto d ϕ tr i gruppi π(x, ψ(y)) e π(y, ϕ(ψ(y))), poiché, essendo i punti se diversi, tle morfismo non è quello precedentemente indicto con ϕ. oiché u g è un isomorfismo, llor ϕ ψ è un isomorfismo; in prticolre ψ è iniettiv. Quindi ψ e ϕ sono isomorfismi. Corollrio 3.19. Se X è contriile, llor π(x, x) è il gruppo nle, per ogni x X. Corollrio 3.20. Se A X è un retrtto di deformzione e A, llor i morfismi i : π(a, ) π(x, ) e r : π(x, ) π(a, ) sono isomorfismi. 29

Cpitolo 4 Teorem di Seifert-Vn Kmpen e ppliczioni In questo cpitolo vedremo come clcolre effettivmente lcuni gruppi fondmentli, utilizzndo un risultto, il Teorem di Seifert-Vn Kmpen, che permette di ricostruire il gruppo fondmentle di uno spzio topologico se sono noti i gruppi di due suoi sottospzi opportunmente scelti e dell loro intersezione. er poter pplicre fruttuosmente tle teorem imo isogno di conoscere lmeno uno spzio il cui gruppo fondmentle non si nle. Tle spzio srà l circonferenz, il cui gruppo fondmentle srà poi clcolto nel Cpitolo 5 medinte l teori dei rivestimenti. Il Teorem di Seifert-Vn Kmpen richiede che i gruppi dei sottospzi e dell loro intersezione sino dti in un modo prticolre, per cui, nell prim sezione richimeremo il concetto di presentzione di un gruppo. 4.1 gruppi con presentzione Si S un insieme: S = {x i } i I. Definizione 4.1. Chimimo lfeto l insieme {x i, x 1 i } i I dove x 1 i è inteso solmente come un espressione formle. Definizione 4.2. Si W l insieme delle espressioni del tipo x ε(i 1) i 1 x ε(i 2) i 2... x ε(in) i n con x i S e ε(i) = ±1. Tli espressioni sono dette prole. W comprende nche l prol vuot, che non contiene nessun simolo. Introducimo or un relzione d equivlenz in W nel modo seguente: diremo che due prole w 1 e w 2 sono equivlenti se si possono ottenere l un dll ltr introducendo o cncellndo un numero finito di espressioni del tipo x i x 1 i o x 1 i x i. L insieme quoziente G = W/ risult essere un gruppo rispetto ll giustpposizione; è detto gruppo liero generto d S. L elemento neutro è dto dll clsse dell prol vuot, che indicheremo con il simolo 1, mentre l inverso dell clsse dell prol x ε(i 1) i 1 x ε(i 2) i 2... x ε(in) i n è dto dll clsse dell prol x ε(in) i n... x ε(i 2) i 2 x ε(i 1) i 1. 31

4. Teorem di Seifert-Vn Kmpen e ppliczioni Esempi 4.3. ) Se S = llor G = {1}. ) Se S = {x} llor G = {1, x, x 1, xx, x 1 x 1,... } Z. c) Se S = {, } llor G = {1,,, 1, 1,,,... } Z Z, ove indic il prodotto liero di gruppi. Tle gruppo non è elino. d) In generle, se crd(s) = n, llor G Z Z Z è detto gruppo liero n genertori. L su struttur dipende solo dll crdinlità di S, non dll ntur degli elementi di S. Nell insieme W delle prole, oltre ll relzione, definit sopr, possimo introdurre ltre relzioni di equivlenz. Fissto un sottoinsieme R W, dicimo che due elementi di W sono R equivlenti w 1 R w 2 se si ottengono uno dll ltro medinte un numero finito di operzioni del tipo i) Inserire o cncellre xx 1 o x 1 x con x S. ii) Inserire o cncellre r o r 1 con r R. L insieme W/ R è un gruppo rispetto ll giustpposizione [w 1 ] R [w 2 ] R = [w 1 w 2 ] R, detto gruppo con presentzione S R ; l insieme S è chimto insieme dei genertori, mentre l insieme R è l insieme dei reltori; spesso l presentzione viene indict mettendo in evidenz le relzioni individute dgli elementi di R, cioè si scrive S {r = 1 r R}. Osservzione 4.4. Si può dimostrre che il gruppo S R è il quoziente del gruppo liero S rispetto ll chiusur normle di R, cioè rispetto l più piccolo sottogruppo normle che contiene R. Esempi 4.5. ) = {1} Gruppo nle. ) x x n = {1, x, x 2,..., x n 1 } Z n := Z/nZ Clssi di resti modulo n. c) x, y xy = yx Z 2 := Z Z 1. 1 Se G e G sono gruppi, con G G intendimo il prodotto diretto di tli gruppi, cioè il loro prodotto crtesino dotto dell operzione definit componente per componente utilizzndo le operzioni in G e G 32

4.1. Gruppi con presentzione d) x, y x 4 = y 2 = (xy) 2 = 1, il gruppo Diedrle, cioè il gruppo delle simmetrie del qudrto (x è un rotzione di un ngolo retto, y l riflessione rispetto un digonle). e) S n = s 1, s 2,..., s n s 2 i = 1, (s i s j ) 2 = 1 se i j > 1, (s i s j ) 3 = 1 se i j = 1, il gruppo S n, delle permutzioni su n elementi. f) Ogni gruppo (G, ) è un gruppo con presentzione. Un presentzione è dt d S G R G, con S G = G e R G = {(x y)y 1 x 1 }. Osservzione 4.6. Lo stesso gruppo può vere diverse presentzioni. roposizione 4.7 (Trsformzioni di Tietze). Si G = S R. 1. Se un relzione r R è conseguenz delle relzioni in R \ {r} llor S R = S R \ {r}. 2. Si s S e w un prol nell lfeto su S; llor S R = S { s} R { s = w}. Definizione 4.8. Si G un gruppo, e g 1, g 2 G; il commuttore di g 1 e g 2, denotto con [g 1, g 2 ], è l elemento g 1 g 2 g1 1 g2 1. Se H, K sono sottoinsiemi di G, indicheremo con [H, K] l insieme dei commuttori [h, k], con h H e k K. rendendo H = K = G, l insieme [G, G] risult essere un sottogruppo normle, detto sottogruppo dei commuttori di G. Osservzione 4.9. Si può dimostrre, usndo l Osservzione 4.4 che, dti due gruppi con presentzione G 1 = S 1 R 1 e G 2 = S 2 R 2, llor G = G 1 G 2 mmette l presentzione G = S 1 S 2 R 1 R 2 [S 1, S 2 ]. Definizione 4.10. Si G un gruppo. Il suo elinizzto, denotto con A(G), è il gruppo quoziente di G rispetto l sottogruppo normle [G, G]. Dt un presentzione G = S R, è semplice verificre che A(G) mmette l presentzione A(G) = S R [S, S] Osservzione 4.11. Se G e G sono gruppi isomorfi, llor A(G) e A(G ) sono gruppi isomorfi. Esempi 4.12. ) G = S, S = {x 1,..., x n }. Allor A(G) Z Z Z = Z n. 33

4. Teorem di Seifert-Vn Kmpen e ppliczioni ) G = x, y x 4 = y 2 = (xy) 2 = 1. L elinizzto è A(G) = x, y x 4 = y 2 = (xy) 2 = [x, y] = 1 ; poiché x e y commutno l terz relzione divent x 2 y 2 = 1, e quindi, utilizzndo l second si deduce x 2 = 1. ertnto, per l roposizione 4.7 1) A(G) = x, y x 4 = y 2 = (xy) 2 = [x, y] = x 2 = 1. E immedito verificre che l prim e l terz relzione sono conseguenze delle ltre, e quindi A(G) = x, y x 2 = y 2 = [x, y] = 1 = x x 2 = 1 y y 2 = 1 Z 2 Z 2. c) Si S 3 = s 1, s 2 s 2 i = (s 1 s 2 ) 3 = 1 il gruppo di sostituzioni su tre elementi; il suo elinizzto è A(S 3 ) = s 1, s 2 s 2 i = (s 1 s 2 ) 3 = [s 1, s 2 ] = 1 ; cominndo l second e l terz relzione si ottiene s 3 1s 3 2 = 1, e quindi, utilizzndo l idempotenz degli s i ottenimo s 1 = s 1 2. Applicndo il punto 1) dell roposizione 4.7 per due volte, e poi il punto 2) dell medesim proposizione ottenimo A(S 3 ) = s 1, s 2 s 2 i = (s 1 s 2 ) 3 = [s 1, s 2 ] = s 1 s 2 = 1 = s 1, s 2 s 2 i = s 1 s 2 = 1 = s 1 s 2 1 = 1 Z 2. In modo nlogo è possiile mostrre che A(S n ) Z 2 per ogni n 2. d) Si G =, 1 = 1 ; il suo elinizzto è il gruppo A(G) =, 1 = [, ] = 1 ; cominndo le due relzioni ottenimo 2 = 1, quindi A(G) =, 1 = [, ] = 2 = 1 per l roposizione 4.7 1); osservndo or che d 2 = 1 segue che 1 = l prim relzione può essere derivt dlle ultime due, quindi, ncor per l roposizione 4.7 1) e per l Osservzione 4.9: A(G) =, 2 = [, ] = 1 = 2 = 1 Z Z 2. 4.2 il teorem di seifert-vn kmpen Si X uno spzio topologico, U 1 e U 2 due suoi perti non vuoti e connessi per rchi tli che X = U 1 U 2 e U 1 U 2 si non vuoto e connesso per rchi; si 34

4.2. Il teorem di Seifert-Vn Kmpen infine x 0 un punto di U 1 U 2. Le inclusioni dnno luogo l seguente digrmm commuttivo U 1 U 2 i 1 i 2 U 1 j 1 U 2 j 2 che induce un digrmm commuttivo sui gruppi fondmentli X π(u 1 U 2, x 0 ) i 1 π(u 1, x 0 ) j 1 π(x, x 0 ) i 2 π(u 2, x 0 ) j 2 Considerimo delle presentzioni per π(u 1, x 0 ), π(u 2, x 0 ) e π(u 1 U 2, x 0 ) π(u 1, x 0 ) = S 1 R 1 π(u 2, x 0 ) = S 2 R 2 π(u 1 U 2, x 0 ) = S R Il Teorem di Seifert-Vn Kmpen ci permette di trovre il gruppo fondmentle di X conoscendo quello di U 1, quello di U 2 e quello di U 1 U 2. In prticolre I genertori di π(x, x 0 ) sono l unione dei genertori di π(u 1, x 0 ) e dei genertori di π(u 2, x 0 ). Le relzioni di π(x, x 0 ) sono l unione delle relzioni di π(u 1, x 0 ), delle relzioni di π(u 2, x 0 ) e di un insieme di relzioni R S costruito prtire di genertori di π(u 1 U 2, x 0 ). L insieme di relzioni R S si costruisce nel modo seguente: preso un elemento s π(u 1 U 2, x 0 ), possimo considerre le sue immgini i 1 s π(u 1, x 0 ) e i 2 s π(u 2, x 0 ) e denotimo con i 1 s e i 2 s le prole corrispondenti. Ciò signific che i 1 s è l prol che si ottiene scrivendo i 1 s utilizzndo gli elementi di S 1, cioè i genertori di π(u 1, x 0 ) e nlogmente i 2 s è l prol che si ottiene scrivendo i 2 s utilizzndo gli elementi di S 2, cioè i genertori di π(u 2, x 0 ). L insieme R S è costituito dlle relzioni che nscono per il ftto che j 1 i 1 = j 2 i 2, cioè: Rissumimo qunto detto finor: R S = { i 1 s = i 2 s s S}. 35

4. Teorem di Seifert-Vn Kmpen e ppliczioni Teorem 4.13 (Seifert-Vn Kmpen). Si X uno spzio topologico, U 1 e U 2 due suoi perti non vuoti e connessi per rchi tli che X = U 1 U 2 e U 1 U 2 si non vuoto e connesso per rchi e x 0 U 1 U 2. Sino π(u 1, x 0 ) = S 1 R 1, π(u 2, x 0 ) = S 2 R 2, π(u 1 U 2, x 0 ) = S R e si R S = { i 1 s = i 2 s s S}. Allor π(x, x 0 ) S 1 S 2 R 1 R 2 R S. er poter utilizzre il Teorem di Seifert-Vn Kmpen è necessrio conoscere il gruppo fondmentle degli perti U 1, U 2 e U 1 U 2. Sppimo già che il gruppo fondmentle di uno spzio contriile è il gruppo nle. Anticipimo un ltro risultto che dimostreremo più vnti (Corollrio 5.26): Teorem 4.14. Si x 0 il punto (1, 0) dell circonferenz S 1. Allor π(s 1, x 0 ) α Z, dove il genertore α è l clsse del cppio (t) = (cos(2πt), sin(2πt)). Esempio 4.15. Si X = S 2 R 3, si x 0 un punto sull equtore, si 0 < ε << 1 e sino U 1 = {(x, y, z) S 2 z > ε}, U 2 = {(x, y, z) S 2 z < ε}. X U1 U2 U1 U2 Gli insiemi U i sono omeomorfi dischi di dimensione due, e perciò contriili, quindi i loro gruppi fondmentli sono nli: π(u i, x 0 ) =. L intersezione U 1 U 2 h l equtore come retrtto di deformzione, quindi π(u 1 U 2, x 0 ) = α, dove α è un cmmino che f un giro sull equtore. 36

4.2. Il teorem di Seifert-Vn Kmpen U1 U2 U1 U2 Applicndo il Teorem 4.13 ottenimo quindi π(s 2, x 0 ) = Osservzione 4.16. ossimo, più in generle, osservre che, qulor i gruppi fondmentli π(u i, X 0 ) sino nli, llor nche il gruppo fondmentle di X è nle. Esempio 4.17. Si X = S n con n > 2; prendendo perti U 1 e U 2 e un punto x 0 in modo nlogo qunto ftto nell Esempio 4.15 e utilizzndo l Osservzione 4.16 possimo concludere che π(s n, x 0 ) =. Esempio 4.18. Si X = S 1 S 1 = {(x + 1) 2 + y 2 = 1} {(x 1) 2 + y 2 = 1} R 2, si x 0 = (0, 0) e si 0 < ε << 1 e sino U 1 = {(x, y) X x < ε}, U 2 = {(x, y) X x > ε}. X U1 U2 U1 U2 37

4. Teorem di Seifert-Vn Kmpen e ppliczioni Il gruppo fondmentle dell circonferenz {(x + 1) 2 + y 2 = 1} è ciclico infinito generto dll clsse α del cmmino (t) = (cos(2πt) 1, sin(2πt)); l perto U 1 h tle circonferenz come retrtto di deformzione, quindi imo un isomorfismo π(s 1 i, x 0 ) π(u1, x 0 ) α Denotndo con uso di linguggio ncor con α l clsse del cmmino i possimo quindi concludere che i α π(u 1, x 0 ) = α. Anlogmente, denotto con β l clsse del cmmino (t) = (cos(2πt)+1, sin(2πt)) vremo che π(u 2, x 0 ) = β. L intersezione U 1 U 2 è contriile, quindi Applicndo il Teorem 4.13 ottenimo π(u 1 U 2, x 0 ) =. π(s 1 S 1, x 0 ) = α, β Z Z. Osservzione 4.19. ossimo in generle osservre che, dti due spzi topologici (X, x 0 ) e (Y, y 0 ), con gruppi fondmentli π(x, x 0 ) = S 1 R 1 e π(y, y 0 ) = S 2 R 2 e tli che x 0 e y 0 hnno un intorno contriile in X e in Y rispettivmente, llor il gruppo fondmentle dello spzio topologico Z, unione un punto di (X, x 0 ) e (Y, y 0 ) è dto d π(z, z 0 ) = S 1 S 2 R 1 R 2. Esempio 4.20. Utilizzndo ripetutmente l Osservzione 4.19 possimo mostrre che il gruppo fondmentle di un ouquet di k circonferenze 2 è il gruppo liero con k genertori. Esempio 4.21. X = K, l ottigli di Klein; si x 0 un punto interno l poligono e si δ un cmmino che congiunge il punto, vertice del poligono, con x 0. x 0 δ 38 2 cioè l unione un punto di k copie di S 1.

4.2. Il teorem di Seifert-Vn Kmpen Si U 1 = K\D, ove D x è un disco chiuso contenuto in K e che non contiene x 0, e 0 si U 2 = K\{, }. Con uso di linguggio denoteremo, d or in vnti, con l δ stess letter un cmmino e l su clsse di omotopi. Il contesto chirirà cos ci stimo riferendo di volt in volt. L perto U 1 h come retrtto di deformzione il ordo di K, S 1 S 1 ; imo dunque isomorfismi δ x 0 π(s 1 S 1, ) i u δ π(u1, ) π(u1, x 0 ) Ricordndo che π( K, ) =,, e detti α = δi δ e β = δi δ imo che π(u 1, x 0 ) = α, β. L perto U 2 è contriile, e perciò π(u 2, x 0 ) =. L intersezione U 1 U 2 h un circonferenz pssnte per x 0 come retrtto di deformzione, e perciò, confondendo con i possimo scrivere π(u 1 U 2 ) =. Vedimo or di costruire l insieme R S = { i 1 ( i 2 ) 1 }. Doimo considerre l clsse dell immgine di in π(u 1, x 0 ) e scriverl utilizzndo i genertori di tle gruppo. Osservimo che l retrzione r : U 1 S 1 S 1 mnd il cmmino i 1 nel cmmino 1, e quindi π(s 1 S 1, ) i π(u1, ) u δ π(u1, x 0 ) 1 i i 1 i i δi i 1 i i δ 39

4. Teorem di Seifert-Vn Kmpen e ppliczioni x 0 δ ertnto δi i 1 i i δ = δi δ δi 1 δ δi δ δi δ = βα 1 βα. Ripetimo il procedimento con l clsse dell immgine di in π(u 2, x 0 ). poiché tle gruppo è nle, vremo che nche i 2 srà nle: i 2 = 1. ossimo quindi concludere che π(k, x 0 ) = α, β βα 1 βα = 1. 4.3 gruppo fondmentle e retrzioni Si X uno spzio topologico, A X un sottospzio e A. Rissumimo le condizioni necessrie sui gruppi fondmentli e sui morfismi indotti tr i gruppi fondmentli perché A poss essere un retrtto o un retrtto di deformzione di X. roposizione 4.22. Si A X un retrtto. Indichimo con r : X A l retrzione e con i : A X l inclusione. Allor, per ogni A, denotti con i : π(a, ) π(x, ) e r : π(x, ) π(a, ) i morfismi indotti si h in prticolre i è iniettivo e r è suriettivo. r i = Id π(a,) ; Condizione necessri ffinché un sottospzio A di X si un retrtto di deformzione è che, per ogni A si i π(x, ) π(a, ). Dimostrzione. L prim prte è il contenuto dell roposizione 3.16, mentre l second è un conseguenz del Teorem 3.18. Esempi 4.23. ) S 1 non è un retrtto di D 2. 40 Si x 0 = (1, 0). Se S 1 fosse un retrtto di D 2 l mpp i : π(s 1, x 0 ) π(d 2, x 0 ) sree iniettiv, m ciò è impossiile, in qunto il secondo gruppo è nle, mentre il primo è isomorfo Z.

4.4. Il teorem di clssificzione delle superfici comptte ) S 1 non è un retrtto di R 2 \{(1, 1)}. Si x 0 = (1, 0). Doimo studire l omomorfismo i : π(s 1, x 0 ) π(r 2 \{(1, 1)}, x 0 ) Entrmi i gruppi sono isomorfi Z, m un genertore del gruppo π(s 1, x 0 ) è l clsse del cmmino α(t) = (cos(2πt), sin(2πt)), mentre un genertore del gruppo π(r 2 \{(1, 1)}, x 0 ) è l clsse del cmmino (t) = (1 + cos(2πt), 1 + sin(2πt)). L immgine dell clsse [α] in π(r 2 \{(1, 1)}, x 0 ) è l clsse di un cmmino che, non girndo ttorno l punto (1, 1) è omotopo l cmmino nle. ertnto i non è iniettiv e S 1 non è un retrtto di R 2 \{(1, 1)}. c) Si X l ottigli di Klein, ottenut come quoziente del qudrto, come in figur: e si A l circonferenz. Mostrimo che A non è un retrtto di X. Considerimo il digrmm π(a, ) i π(x, ) r π(a, ) i, 1 r oiché i () = e r i = Id π(a, ) si h r () =. Si r () = k ; poiché in π(x, ) si h 1 = 1 llor r ( 1 ) = 1. D ciò segue 1 = r ()r ()r ( 1 )r () = k k = 2, rggiungendo l contrddizione che in π(a, ) = si dovree vere 2 = 1. 4.4 il teorem di clssificzione delle superfici comptte Definizione 4.24. Si X un superfici comptt. Un tringolo geometrico in X è un ppliczione τ : T T X che si un omeomorfismo sull immgine, dove T è un tringolo (non degenere) di R 2. 41

4. Teorem di Seifert-Vn Kmpen e ppliczioni Definizione 4.25. Un tringolzione di un superficie topologic X è un collezione di tringoli geometrici tle che ogni punto di X pprtiene ll immgine un tringolo geometrico e nell qule le possiili intersezioni delle immgini di due diversi tringoli geometrici sono L insieme vuoto; Un punto, che si immgine di un vertice per entrmi; L immgine omeomorf di un segmento, che si immgine di un lto per entrmi. Le superfici topologiche sono tutte tringolili. L dimostrzione di questo ftto è l di là dell portt di queste note. Teorem 4.26 (Teorem di Rdò). Ogni superficie è tringolile e ogni superficie comptt mmette un tringolzione finit. Osservzione 4.27. er l vlidità del teorem precedente l condizione che un superficie si uno spzio topologico se numerile è essenzile. Esempio 4.28. Considerimo il toro. Le prime due suddivisioni in figur non sono tringolzioni (ci sono tringoli con due lti in comune o con due vertici in comune senz il lto corrispondente in comune), l terz sì. Teorem 4.29 (Teorem di clssificzione). Si S un superficie comptt. Allor S è omeomorf d un superficie T g (g 0) o d un superficie U h (h 1). Inoltre, T g U h per ogni g 0 e h 1 e, se g g llor T g T g e se h h llor U h U h. Dimostrzione. sso 1: Un superficie comptt S è omeomorf un poligono di R 2 con i lti identificti coppie. Un superficie comptt mmette un tringolzione finit. Sino τ 1 : T 1 T 1,..., τ 1 : T n T n i tringoli geometrici di tle tringolzione, ordinti in modo che T i i uno spigolo in comune con uno dei tringoli precedenti T 1, T 2,..., T i 1. Il ftto che si sempre possiile ordinre i tringoli in questo modo segue dll connessione di S. 42

4.4. Il teorem di clssificzione delle superfici comptte Senz perdit di generlità supponimo che T 1,..., T n sino coppie disgiunti, e denotimo con T = n i=1 T i l loro unione. T 3 T 1 T2 T5 T 6 T 1 T2 T 3 T 4 T 4 T 5 T 6 Introducimo or un relzione di equivlenz in T in questo modo: T 2 h uno spigolo in comune con T 1, quindi esistono due lti e 1 ed e 2 dei tringoli T 1 e T 2 tli che τ 1 (e 1 ) = τ 2 (e 2 ). In prticolre τ2 1 τ 1 : e 1 e 2 è un omeomorfismo. Utilizzndo tle omeomorfismo identifichimo e 1 ed e 2. In generle T i h uno spigolo in comune con T j per qulche j < i, quindi esistono due lti e i ed e j dei tringoli T i e T j tli che τ i (e i ) = τ j (e j ). In prticolre τ 1 j τ i : e i e j è un omeomorfismo. Utilizzndo tle omeomorfismo identifichimo e i ed e j. Lo spzio T modulo quest relzione di equivlenz è omeomorfo un poligono, e l mpp τ : T S ottenut incollndo le mppe τ i è l identificzione di coppie di lti del poligono T5 T 6 T5 T 6 T 4 T 3 T 4 T 3 T 1 T2 T 1 T2 sso 2: Eliminzione delle coppie dicenti del primo tipo. Diremo che un coppi è del primo tipo se i lti che l compongono compiono con l orientzione oppost, del secondo tipo ltrimenti. 43

4. Teorem di Seifert-Vn Kmpen e ppliczioni Q Q Q In figur vedimo come si possiile eliminre coppie dicenti del primo tipo se il poligono h lmeno quttro lti. Se il poligono h solmente due lti ci sono due possiilità: o è del tipo 1 e quindi l superficie è un sfer, o è del tipo e quindi l superficie è un pino proiettivo rele. sso 3: Riduzione dei vertici d un unico nome. Supponimo di ver ripetuto il secondo psso finché è stto possiile; i vertici del poligono non sono necessrimente tutti identificti tr di loro, m possono pprtenere diverse clssi di equivlenz. Mostrimo or come, con un serie di operzioni successive, si possiile rrivre d un nuovo poligono in cui tutti i vertici pprtengono d un unic clsse di equivlenz. Q 00000000000 00000000000 00000000000 11111111111 11111111111 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 c c Q 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 c 0000000000000000 1111111111111111 Q Le operzioni mostrte in figur fnno diminuire i vertici nell clsse di equivlenz di Q di un unità e fnno umentre i vertici nell clsse di equivlenz di di un unità. Alternndo il psso 2 ed il psso 3 (perché è necessrio il psso 2?) rrivimo d un poligono in cui tutti i vertici devono essere identificti e in cui non sono presenti coppie dicenti del primo tipo. sso 4: Rendere dicenti le coppie del secondo tipo. Voglimo mostrre che è possiile rendere dicenti tutte le coppie del secondo tipo. er fr ciò, per ogni coppi non dicente del secondo tipo operimo un 44

4.4. Il teorem di clssificzione delle superfici comptte tglio tr gli estremi finli dell coppi scelt, come in figur, ed incollimo in corrispondenz dell coppi medesim. 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 0000000000 0000000000 0000000000 1111111111 1111111111 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 0000000 1111111 Se nel poligono ci sono solo coppie del secondo tipo, dopo un numero finito di ppliczioni del psso 4 ottenimo un superficie il cui poligono è del tipo 1 1... h h, cioè un superficie U h, e imo finito. Nel cso che ci sino coppie del primo tipo continuimo con il sso 5: Rggruppre le coppie del primo tipo. Supponimo quindi che ci si lmeno un coppi del primo tipo. In tl cso ne deve esistere un ltr tle che queste due coppie si seprno vicend. Inftti, se così non fosse, ci troveremmo in un situzione come quell in figur, in cui tutti i lti nell prte ross si identificno con lti nell prte ross (in lto) e tutti i lti nell prte lu si identificno con lti nell prte lu (in sso). Quest situzione non è possiile, perché in tl cso i due estremi di non vengono identificti, in contrddizione con il psso 3. ertnto esistono due coppie del primo tipo che si seprno vicend come in figur, e tli coppie possono essere rggruppte tglindo due volte in corrispondenz degli estremi finli dei lti. 45

4. Teorem di Seifert-Vn Kmpen e ppliczioni 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 c c 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 c c c 00 11 00 11 00 11 00 11 000 111 d 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 d 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 c c d Se nel poligono compiono solo coppie del primo tipo, dopo un numero finito di ppliczioni del psso 5 ottenimo un superficie il cui poligono è del tipo 1 1 1 1 1 1... g g 1 g 1 g, cioè un superficie T g, e imo finito. Nel cso in cui nel poligono compino coppie si del primo che del secondo tipo, cioè che il poligono si del tipo 1 1 1 1 1 1... c 1 c 1..., possimo pplicre l roposizione 1.19. Aimo così concluso l dimostrzione dell prim prte del teorem. Clcolimo or i gruppi fondmentli delle superifici T g e U h. Già sppimo che π(s 2, x) {1}; considerimo dunque l superficie T g con g 1. _2 _2 00 11 00 11 _2 _2 _1 00 11 00 11 00 11 _1 _1 0000 1111 _1 er pplicre il teorem di Seifert-Vn Kmpen sceglimo un punto x 0 interno l poligono e un cmmino δ che congiunge il punto, vertice del poligono, con x 0. Sceglimo poi come perto U 1 l superficie T g privt di un disco, e come perto U 2 l superficie T g meno il ordo del poligono. _2 _2 00 11 00 11 _2 _2 _1 00 11 00 11 _1 _1 0000 1111 _1 _1 _2 _1 _2 46

4.4. Il teorem di clssificzione delle superfici comptte L perto U 1 h il ordo del poligono, che è un ouquet di 2g circonferenze, come retrtto di deformzione; detti α i = δ i δ e β i = δ i δ e procedendo come nel cso dell ottigli di Klein imo che π(u 1, x 0 ) = α 1, β 1,..., α g, β g. L perto U 2 è contriile, quindi π(u 2, x 0 ) =. L intersezione U 1 U 2 si retre su un circonferenz pssnte per x 0, quindi π(u 1 U 2, x 0 ) =. Il cmmino, in U 1, è omotopicmente equivlente δ 1 1 1 1 1 1... g g 1 g 1 g δ e quindi α 1 β 1 α1 1 β1 1... α g β g αg 1 βg 1. Invece, in U 2, è omotopicmente equivlente l cmmino nle, e quindi R S = {α 1 β 1 α1 1 β1 1... α g β g αg 1 βg 1 = 1}; _2 _2 00 11 00 11 _2 _2 _1 00 11 00 11 00 11 _1 _1 0000 1111 _1 ertnto si h che π(t g, x 0 ) = α 1, β 1,..., α g, β g α 1 β 1 α1 1 β1 1... α g β g αg 1 β 1 g = 1 Del tutto nlog (e lscit come esercizio) è l procedur per clcolre il gruppo fondmentle delle superfici U h, che port ll seguente conclusione: π(u h, x 0 ) = α 1,..., α h α 2 1... α 2 h = 1. er mostrre che i gruppi fondmentli che imo clcolto non sono tr loro isomorfi, clcolimo i loro elinizzti; chirmente A(π(T g, x 0 )) = Z 2g ; invece A(π(U h, x 0 )) = α 1,..., α h [α i, α j ] = 1, (α 1... α h 1 α h ) 2 = 1. ossimo scrivere tle gruppo con un presentzione divers: A(π(U h, x 0 )) = α 0, α 1,..., α h [α i, α j ] = 1, α 0 = α 1... α h, α 2 0 = 1 = α 0, α 1,..., α h [α i, α j ] = 1, α h = α 1 h 1... α 1 1 α 0, α 2 0 = 1 = α 0, α 1,..., α h 1 [α i, α j ] = 1, α 2 0 = 1 Quindi si h A(π(U h, x 0 )) = Z h 1 Z 2 47

4. Teorem di Seifert-Vn Kmpen e ppliczioni Come prim cos osservimo che gli elinizzti dei gruppi delle superfici orientili non hnno torsione, mentre in quelli delle superfici non orientili l torsione è presente. Tli gruppi non sono perciò isomorfi (si ved più vnti l roposizione 6.7). er concludere l dimostrzione utilizzeremo l seguente roposizione 4.30. Si ϕ : Z n Z m un isomorfismo di gruppi. Allor n = m. Dimostrzione. Si H Z n il sottogruppo dei pri, cioè degli elementi dell form (2h 1, 2h 2,..., 2h n ) con h i Z. E semplice verificre che Z n /H (Z 2 ) n. Anlogmente, indicto con K il sottogruppo dei pri di Z m trovimo che Z m /H (Z 2 ) m. Chirmente, essendo ϕ e ϕ 1 morfismi di gruppi si h ϕ(h) K; e ϕ 1 (K) H, e quindi ϕ(h) = K. Di conseguenz ϕ induce un isomorfismo ϕ : Z n /H Z m /K. Tli gruppi sono finiti, di crdinlità 2 n e 2 m rispettivmente, quindi m = n D ciò segue che A(π(T g, x 0 )) A(π(T g, x 0 )) se g g, quindi π(t g, x 0 ) e π(t g, x 0 ) sono gruppi non isomorfi se g g, e quindi T g e T g sono superfici non omeomorfe se g g. Applicndo l roposizione 4.30 i gruppi A(π(U h, x 0 ))/Z 2 e A(π(U h, x 0 ))/Z 2 concludimo che A(π(U h, x 0 )) A(π(U h, x 0 )) se h h, quindi π(u h, x 0 ) e π(u h, x 0 ) sono gruppi non isomorfi se h h, e quindi U h e U h sono superfici non omeomorfe se h h. Esempio 4.31. Clssificre l superficie il cui poligono rppresenttivo è c 1 c. Q c Q c Q c Q 000000000000000 111111111111111 000000000000000 000000000000000 000000000000000 111111111111111 111111111111111 111111111111111 c 000000000000000 111111111111111 d 000000000000000 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 Q c d Q c d Q c Q Q Q 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 Q 00000000000000 11111111111111 c 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 d 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 d 000000 111111 000000 000000 000000 111111 111111 111111 c 000000 111111 000000 111111 111111 Q000000 111111 000000 111111 000000 111111 e 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 d d c Q e d d Q 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 00000000000000 00000000000000 11111111111111 11111111111111 11111111111111 c 00000000000000 11111111111111 e 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 e d d Q 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 00000000000000 00000000000000 11111111111111 11111111111111 11111111111111 c 00000000000000 11111111111111 e 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 d d f e d e 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 e 000000000 111111111 e 000000000 111111111 f 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 d f d 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 f 0000000000 1111111111 e 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 d f d d L superficie in esme è omeomorf ll superficie U 2. 48

Cpitolo 5 Rivestimenti In questo cpitolo vedremo lcuni cenni sull teori dei rivestimenti. Intuitivmente un rivestimento è uno spzio topologico che loclmente è un prodotto di un ltro spzio topologico con uno spzio discreto, m glolmente non è un prodotto. Attrverso l teori dei rivestimenti è possiile clcolre lcuni gruppi fondmentli. In prticolre dimostreremo che il gruppo fondmentle dell circonferenz è isomorfo Z. 5.1 zioni di gruppo Definizione 5.1. Si X un insieme e G un gruppo. Diremo che G gisce ( sinistr) su X se esiste un ppliczione : G X X, che ssoci ll coppi (g, x) l elemento g x di X in modo tle che 1. 1 G x = x per ogni x X, con 1 G elemento neutro di G. 2. h (g x) = (hg) x per ogni x X e per ogni g, h G. In tl cso diremo che X è un G-insieme (sinistro). Anloghe definizioni si dnno per l zione destr di un gruppo. Esempi 5.2. 1. Si G = Z e X = R; un zione di gruppo è definit ssocindo ll coppi (n, x) il numero rele n x = n + x. 2. Anlogmente, se G = Z Z e X = R 2 si può definire un zione ponendo (m, n) (x, y) = (m + x, n + y). 3. Si G = Z 2 e X = S n ; un zione di G su X può essere definit ponendo ±1 x = ±x. 4. Il gruppo GL(n, R) gisce su R n per moltipliczione. 5. Allo stesso modo SO(n, R) gisce su S n. Definizione 5.3. Fissto un punto x X, il sottogruppo G x = {g G g x = x} è detto stilizztore o sottogruppo di isotropi del punto x X. L insieme G x = {g x g G} è invece detto orit di x. L insieme delle orite è denotto 49

5. Rivestimenti con X/G; è l insieme quoziente rispetto ll relzione di equivlenz definit ponendo x y se e solo se esiste g G tle che g x = y. L zione di G si dice lier se, per ogni x X, g x = x solo se g = 1 G. Definizione 5.4. Se X è uno spzio topologico e G un gruppo che gisce su X, X viene detto un G-spzio se per ogni g G l ppliczione θ g : X X definit ponendo θ g (x) = g x risult continu. roposizione 5.5. Se X è un G-spzio llor θ g è un omeomorfismo per ogni g G. Dimostrzione. Dll definizione di zione segue che θ 1G (x) = 1 G x = x per ogni x X e quindi θ 1G = Id X. er ogni g G (θ g θ g 1)(x) = g (g 1 x) = (gg 1 ) x = 1 G g = θ 1G (x) e, nlogmente θ g 1 θ g = θ 1G. ertnto θ g è iunivoc, mmettendo come invers θ g 1. oiché X è un G-spzio θ g e l su invers sono continue, e quindi θ g è un omeomorfismo. Definizione 5.6. Si X un G-spzio. L zione di G si dice proprimente discontinu se per ogni x X esiste un intorno U x tle che, per ogni g 1 g si i U x θ g (U x ) =. Osservzione 5.7. E equivlente richiedere che, per ogni x X esist un intorno U x tle che, per ogni g g G si i θ g (U x ) θ g (U x ) =. Dimostrzione. Chirmente l condizione enuncit implic quell dell Definizione 5.6. Dl ftto che θ g (U x ) θ g (U x ) = (θ g θ g 1)(θ g (U x ) θ g (U x )) = θ g (U x (θ g 1 g (U x))). segue l ltr impliczione. 5.2 rivestimenti Sino X e X spzi topologici connessi per rchi. Definizione 5.8. Lo spzio topologico X si dice rivestimento di X se esiste un ppliczione continu e suriettiv p : X X tle che ogni punto x X h un intorno perto U uniformemente rivestito d p, cioè esistono perti disgiunti {U j } j J in X tli che 1. p 1 (U) = U j 2. p Uj : U j U è un omeomorfismo j Definizione 5.9. L ppliczione p è dett ppliczione di rivestimento. L insieme p 1 (x) X è detto fir su x. 50

5.2. Rivestimenti Osservzione 5.10. er ogni x X l topologi indott dll topologi di X sull fir p 1 (x) è l topologi discret. Esempi 5.11. 1. Ogni omeomorfismo è un rivestimento. 2. L ppliczione p : R S 1 così definit: p(t) = (cos(2πt), sin(2πt))) è un rivestimento. 3. onendo coordinte polri nel pino R 2 possimo definire p n : S 1 S 1 in questo modo: p n (1, θ) = (1, nθ); è semplice mostrre che tli ppliczioni sono rivestimenti per ogni intero positivo n. 4. Si X l unione un punto delle circonferenze C 1 = {(x, y) R 2 (x 1) 2 + y 2 = 1} C 2 = {(x, y) R 2 (x + 1) 2 + y 2 = 1} e si X il sottoinsieme di R 2 costituito di punti che hnno lmeno un coordint inter. Si poi p : X X l ppliczione definit ponendo { (1 + cos(π 2πx), sin(2πx)) y intero p(x, y) = ( 1 + cos(2πy), sin(2πy)) x intero Altri esempi di rivestimenti si ottengono considerndo zioni di gruppi. roposizione 5.12. Si X un G-spzio; se l zione di G su X è proprimente discontinu, llor p : X X/G è un rivestimento. Dimostrzione. Mostrimo innnzitutto che l proiezione sul quoziente p : X X/G è un ppliczione pert. Si V un perto di X; llor p 1 (p(v )) = {x X p(x) p(v )} = {x X p(x) = p(y), y V } = = {x X x = g y, y V } = {x X x g V } = = g G g V = g G θ g (V ). 51

5. Rivestimenti quindi p 1 (p(v )) è perto in X e, per definizione di topologi quoziente, p(v ) è un perto di X/G. Si x X/G, si x p 1 (x) e si U x x un intorno di x che verific l condizione di discontinuità propri; p(u x ) è un perto e p 1 (p(u x )) = θ g (U x ) è unione disgiunt di perti. L restrizione di p, ppliczione continu ed pert, d ognuno degli perti θ g (U x ) è iunivoc; inftti p(x) = p(y) se e solo se esiste ḡ 1 G tle che θḡ(x) = y, pertnto, se ciò ccdesse per x y θ g (U x ) vremmo θḡ(θ g (U x )) θ g (U x ), contrddicendo l ipotesi che l zione si proprimente discontinu, e ciò mostr che l restrizione di p è iniettiv. L verific dell suriettività è lscit l lettore. erciò l restrizione di p d ognuno degli perti θ g (U x ) è un omeomorfismo e U x := p(u x ) è un intorno di x uniformemente rivestito d p. Esempi 5.13. I primi tre esempi di zioni di gruppo in (5.2) dnno luogo rivestimenti p 1 : R S 1, p 2 : R 2 T, p 3 : S n R n. 5.3 sollevmenti Si p : X X un rivestimento e f : Y X un ppliczione continu. Un ppliczione continu f : Y X che f commutre il digrmm seguente, se esiste, è dett sollevmento di f. Y f f X X p Osservzione 5.14. Si p : X X un rivestimento e f : Y X un ppliczione continu; sino poi y 0 Y, x 0 = f(y 0 ) e x 0 p 1 (x 0 ). Condizione necessri ffinché esist un sollevmento f di f t.c. f(y 0 ) = x 0 è che f π(y, y 0 ) p π( X, x 0 ). Dimostrzione. si h p f = f. Se il sollevmento esiste, l condizione è verifict, in qunto Esempio 5.15. Si p : R S 1 come l punto 2. dell Esempio 5.11, e si f : S 1 S 1 l identità. Utilizzndo l Osservzione 5.14 è immedito verificre che f non mmette sollevmenti. Vedremo or lcuni importnti risultti che rigurdno l esistenz e l unicità di sollevmenti. 52

5.3. Sollevmenti Lemm 5.16. (Unicità del sollevmento). Si p : X X un rivestimento, Y uno spzio connesso, f : Y X un ppliczione continu e f 1, f 2 : Y X due sollevmenti di f. Allor, se esiste un punto y 0 Y tle che f 1 (y 0 ) = f 2 (y 0 ) si h f 1 = f 2. Dimostrzione. Si W Y l insieme dei punti su cui f 1 e f 2 coincidono. Mostreremo che tle insieme è perto e chiuso in Y ; poiché W, in qunto contiene y 0, si vrà W = Y per l connessione di Y. Si y Y, e si U un intorno di f(y) uniformemente rivestito d p, l cui controimmgine si può quindi scrivere come unione disgiunt di perti V j ; sino V 1 e V 2 i due perti che contengono rispettivmente f 1 (y) e f 2 (y). er continuità esiste un intorno N di y tle che f 1 (N) V 1 e f 2 (N) V 2. Se y W, llor V 1 V 2 = e N è un intorno di y contenuto in W c, che è quindi perto. Se y W, llor V 1 = V 2 ; dl ftto che p f 1 (y) = p f 2 (y) e che p è un omeomorfismo su V 1, quindi iniettiv, deducimo che f 1 = f 2 su N, e quindi che W è perto. Lemm 5.17. (Sollevmento di cmmini). Si p : X X un rivestimento e α : I X un cmmino di punto inizile α(0) = x 0. Allor, fissto x 0 p 1 (x 0 ), esiste un unico sollevmento di α, α : I X tle che α(0) = x 0. Dimostrzione. oiché X è coperto d perti uniformemente rivestiti d p, esiste un fmigli di perti {U j } j J uniformemente rivestiti d p tli che {α 1 (U j )} costituisce un ricoprimento di I. Esprimendo α 1 (U j ) come unione di intervlli: si ottiene un nuovo ricoprimento perto di I. oiché I è comptto possiile trovre un numero finito di tli intervlli che coprono I, e quindi un successione di punti 0 = t 0 < t 1 < < t m = 1 tli che per ogni k esiste j k J tle che α([t k, t k+1 ]) è contenuto in U jk. Costruimo or il sollevmento induttivmente su [0, t k ]. er k = 0 ponimo α(0) = x 0 ; supponimo di ver definito α k : [0, t k ] X con α(0) = x 0 e che tle sollevmento si unico. 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 53

5. Rivestimenti er costruzione α([t k, t k+1 ]) è contenuto in U jk, l cui controimmgine p 1 (U jk ) è costituit d un unione disgiunt di perti W j omeomorfi U jk medinte p. Si W l perto tr i W j che contiene α k (t k ); possimo definire α k+1 : [0, t k+1 ] X nel seguente modo { α k (t) t [0, t k ] α k+1 (t) = (p W ) 1 α(t) t [t k, t k+1 ] L continuità dell ppliczione α k+1 segue dl lemm di incollmento, e l unicità dl Lemm 5.16. Notzione 5.18. Si p : X X un rivestimento, α : I X un cmmino di punto inizile α(0) = x 0 e x 0 p 1 (x 0 ). L unico sollevmento di α con punto inizile x 0 srà denotto con l x0 (α). Chirmente, se α è un cmmino in X si h p(l x0 (α)) = α, mentre, se è un cmmino in X si h l (0) (p ) =. Corollrio 5.19. Si ε x0 x 0 p 1 (x 0 ) si h : I X il cmmino costnte di punto se x 0 ; per ogni l x0 (ε x0 ) = ε x0. Si α : I X un cmmino di punto inizile x 0 e punto finle x 1, si x 0 p 1 (x 0 ) e si x 1 = (l x0 (α))(1). Allor l x0 (α) = l x1 (α). Corollrio 5.20. Le fire di p hnno tutte l stess crdinlità; tle crdinlità è dett numero di fogli del rivestimento. Dimostrzione. Sino x, y X e si α : I X un rco che li unisce. ossimo definire un ppliczione ϕ : p 1 (x) p 1 (y) ssocindo un punto x j p 1 (x) il punto (l xj (α))(1). 54

5.4. Rivestimenti e gruppo fondmentle Allo stesso modo possimo definire un ppliczione ψ : p 1 (y) p 1 (x) ssocindo un punto ỹ j p 1 (y) il punto (lỹj (α))(1). Usndo l second prte del Corollrio 5.19 si verific che ϕ e ψ sono l invers un dell ltr, e quindi gli insiemi p 1 (x) e p 1 (y) sono in iiezione. In modo nlogo l Lemm 5.17 si può dimostrre il seguente Teorem 5.21. (Sollevmento delle omotopie). Si p : X X un rivestimento. Dt un omotopi F : Y I X e un ppliczione F 0 : Y {0} X che è un sollevmento di F Y {0}, llor esiste un unico sollevmento di F, F : Y I X che, ristretto Y {0} coincide con F 0. Un conseguenz molto importnte di tle teorem è il seguente: Corollrio 5.22. (Monodromi) Si p : X X un rivestimento; sino α, β : I X cmmini omotopi di punto inizile x 0, e si x 0 p 1 (x 0 ). Allor In prticolre (l x0 (α)(1) = (l x0 (β))(1). l x0 (α) l x0 (β). Dimostrzione. Si F : I I X un omotopi di cmmini tr α e β e si F : I I X l unico sollevmento di F tle che F (s, 0) = (l x0 (α))(s). Il cmmino F (0, t) è un sollevmento del cmmino F (0, t) = α(0) = x 0, e quindi, per il Corollrio 5.19 è il cmmino costnte di punto se x 0 ; nlogmente si h F (1, t) = x 1. Il cmmino F (s, 1) è un sollevmento del cmmino β di punto inizile x 0, quindi per l unicità del sollevmento deve coincidere con l x0 (β). ertnto F è un omotopi (di cmmini) tr l x0 (α) e l x0 (β). 5.4 rivestimenti e gruppo fondmentle roposizione 5.23. Si p : X X un rivestimento, x0 X e x 0 p 1 (x 0 ); llor l omomorfismo indotto p : π( X, x 0 ) π(x, x 0 ) è iniettivo. Dimostrzione. Si [] π( X, x 0 ) tle che p [] = [p ] = [ε x0 ]; ciò signific che p e ε x0 sono cmmini omotopi. Osservimo or che = l x0 (p ) e ε x0 = l x0 (ε x0 ), pertnto tli cmmini sono omotopi per il Corollrio 5.22; segue che [] = [ε x0 ] è l elemento neutro di π( X, x 0 ). Si X un G-spzio (sinistro) tle che l zione di G si proprimente discontinu. Aimo visto che l proiezione sul quoziente p : X X/G è un ppliczione di rivestimento. Voglimo or trovre un relzione tr il gruppo G e il gruppo fondmentle di X/G. Osservimo che, dto un punto x 0 X/G, l fir sul punto x 0 è dt dll orit 55

5. Rivestimenti di un qulsisi punto di ess. Si x 0 uno di tli punti. Dto un elemento [α] del gruppo fondmentle π(x/g, x 0 ), poiché l zione di G è proprimente discontinu, esiste un unico g α G tle che l x0 (α)(1) = g α x 0. Notimo che, se [β] = [α], llor, per il Corollrio 5.22, l x0 (α)(1) = l x0 (β)(1). ossimo pertnto definire un ppliczione ϕ : π(x/g, x 0 ) G che d [α] ssoci g α. Teorem 5.24. Si x 0 X/G, e x 0 p 1 (x 0 ). L ppliczione ϕ : π(x/g, x 0 ) G è un omomorfismo suriettivo di gruppi, il cui nucleo è p π(x, x 0 ). Dimostrzione. Dto un cppio α di punto se x 0 e un punto x 0 p 1 (x 0 ), si x 1 = l x0 (α)(1). Si β un ltro cppio di punto se x 0. Allor l x0 (α β) = l x0 (α) l x1 (β). Inftti il secondo memro è un sollevmento di α β di punto inizile x 0, e tle sollevmento è unico. er l stess rgione Quindi l x1 (β) = g α l x0 (β). ϕ([α][β]) x 0 = l x0 (α β)(1) = (l x0 (α) l x1 (β))(1) = (l x1 (β))(1) = (g α l x0 (β))(1) = g α (l x0 (β)(1)) = g α (g β x 0 ) = = (g α g β ) x 0 = (ϕ([α])ϕ([β])) x 0. Mostrimo or che ϕ è suriettivo. Si g G. Considerimo un cmmino d x 0 g x 0 ; p è un cppio di punto se x 0 e = l x0 (p ). ertnto ϕ([p ]) = g. Si [α] Ker(ϕ); ciò signific che l x0 (α) è un cppio di punto se x 0, quindi possimo considerre l clsse [l x0 (α)] π(x, x 0 ), ed imo p ([l x0 (α)]) = [α]. Vicevers, un clsse in p π(x, x 0 ) è del tipo [p ], con [] π(x, x 0 ). oiché = l x0 (p ), si h ϕ([p ]) = 1 G. Corollrio 5.25. Si X un G-spzio tle che l zione di G si proprimente discontinu. Si x 0 X/G e x 0 p 1 (x 0 ). Allor p π(x, x 0 ) è un sottogruppo normle di π(x/g, x 0 ) e π(x/g, x 0 )/p π(x, x 0 ) G. In prticolre, se X è semplicemente connesso, llor π(x/g, x 0 ) G. Corollrio 5.26. Applicndo il Corollrio 5.25 gli esempi 5.13 simo in grdo di clcolre i seguenti gruppi fondmentli: 1. π(s 1, x) Z; 2. π(t, x) Z Z; 3. π(r n, x) Z 2 ; 56

Cpitolo 6 Omologi singolre In questo cpitolo, dopo i necessri preliminri di ntur lgeric, vedremo un modo, diverso d quello utilizzto per il gruppo fondmentle, di ssocire d uno spzio topologico dei gruppi (quest volt elini), che ne rcchiudno lcune proprietà geometriche. In prticolre costruiremo, per ogni q 0 gruppi elini lieri generti d prticolri ppliczioni continue vlori nello spzio topologico, definendo morfismi di ordo che collegno questi gruppi, e ndremo misurre l non esttezz del complesso di gruppi così costruito - cioè cercre i cicli che non sono ordi. I gruppi introdotti tle scopo sono detti gruppi di omologi singolre dello spzio topologico. Mostreremo inoltre che spzi topologici omotopicmente equivlenti corrispondono gruppi isomorfi, e studieremo infine i gruppi H 0 (X), che misur l connessione per rchi di X, e H 1 (X), che si rivelerà essere strettmente legto l gruppo fondmentle. 6.1 gruppi elini e successioni estte Definizione 6.1. Si (G, +) un gruppo elino. Un sottoinsieme {g i } i I è detto sistem di genertori per G se ogni elemento g G si può scrivere come cominzione linere finit coefficienti in Z dei g i, cioè g = n i g i con n i 0 per un numero finito di i I. Un gruppo elino si dice finitmente generto se mmette un sistem di genertori costituito d un numero finito di elementi. Definizione 6.2. Si (G, +) un gruppo elino. Un sottoinsieme {g i } i I è detto liero se n i g i = 0 se e solo se n i = 0 per ogni i I. E evidente che un sottoinsieme di un sistem liero è nch esso liero. Definizione 6.3. Si (G, +) un gruppo elino. Un sottoinsieme B = {g i } i I è detto se per G se è liero ed è un sistem di genertori per G. Un gruppo elino si dice liero se mmette un se. E immedito verificre che, se B = {g i } i I è un se per G llor ogni elemento g G si scrive in modo unico come g = i I n ig i. Esempio 6.4. Non tutti i gruppi elini mmettono un se: un esempio di tle situzione è dto di gruppi ciclici Z/nZ, in cui non esistono sottoinsiemi lieri. 57

6. Omologi singolre roposizione 6.5. (Estensione per linerità): Si G un gruppo elino liero di se B = {g i } i I. Allor per ogni gruppo elino G ed ogni ppliczione ϕ : B G esiste un unico morfismo ϕ : G G tle che ϕ B = ϕ. Dimostrzione. Si g G; g si scrive in modo unico sugli elementi dell se g = m i g i ; definimo quindi ϕ(g) = m i ϕ(g i ). E immedito verificre che si trtt di un morfismo con le proprietà richieste, e che è unico. Definizione 6.6. Si G un gruppo elino; un elemento g G si dice di torsione se esiste n N tle che ng = 0. Denoteremo l insieme degli elementi di torsione di G con T (G); è immedito verificre che T (G) è un sottogruppo di G, detto sottogruppo di torsione. roposizione 6.7. Sino G e G gruppi elini. ) Se ϕ è un morfismo di gruppi, llor ϕ(t (G)) T (G ); ) se ϕ è un isomorfismo llor ϕ T (G) : T (G) T (G ) è un isomorfismo. Dimostrzione. Si g T (g), e si n N tle che ng = 0. Allor nϕ(g) = ϕ(ng) = ϕ(0) = 0, e quindi ϕ(g) T (G ). Si ϕ un isomorfismo, g T (G) e n N tle che ng = 0; si g = ϕ 1 (g ); llor ϕ(ng) = nϕ(g) = 0, e quindi ng = 0 per l iniettività di ϕ. ertnto ϕ(t (G)) = T (G ), e ciò st per concludere Corollrio 6.8. Si ϕ : G G un isomorfismo di gruppi elini; llor ϕ induce un isomorfismo ϕ : G/T (G) G /T (G ). Notzione 6.9. Essendo l notzione dditiv più comune qundo si lvor con gruppi elini, d or innnzi denoteremo il prodotto diretto di gruppi srà chimto somm dirett e deotto con il simolo. Dimo senz dimostrzione il seguente fondmentle risultto: Teorem 6.10. Si G un gruppo elino finitmente generto; llor T (G) è finito, ed esiste n N t.c. G Z n T (G), Definizione 6.11. Un successione di gruppi elini e di morfismi di gruppi H f G g K si dice estt in G se Ker(g) = Im(f). Un successione di gruppi elini e di morfismi di gruppi G n+1 f n+1 G n f n G n 1 f n 1 si dice estt se è estt in G n per ogni n. Un successione estt reve è un successione estt del tipo 58 0 H f G g K 0

6.1. Gruppi elini e successioni estte Osservzione 6.12. Un successione reve di gruppi elini e morfismi di gruppi elini 0 H f G g K 0 è estt se e solo se f è iniettiv, Ker(g) = Im(f), g è suriettiv. Lemm 6.13. Dt un successione estt reve di gruppi elini 0 A f B g C 0 h k i seguenti ftti sono equivlenti: 1. Esiste un morfismo h : B A tle che h f = Id A ; 2. Esiste un morfismo k : C B tle che g k = Id C ; 3. Esiste un isomorfismo ϕ : B A C che f commutre il digrmm seguente, dove i A e p C sono rispettivmente l inclusione e l proiezione sul secondo ddendo: f B g 0 A i A ϕ A C p C C 0 Un successione sifftt è dett successione spezznte. Dimostrzione. E semplice mostrre che 3) 1), 2); inftti st prendere come h : B A l composizione p A ϕ, dove p A è l proiezione sul primo ddendo, e come come k : C B l composizione ϕ 1 i C, ove i C : C A C è l inclusione. Mostrimo or che 1) 3). Definimo ϕ : B A C come ϕ() = (h(), g()). Osservimo che B = Im(f) Ker(h); inftti possino scrivere = f(h()) + f(h()) ed è immedito verificre che f(h()) Ker(h). Inoltre, se = f() e h() = 0 llor = h(f()) = 0. Si or (, c) A C; per l suriettività di g esiste un elemento di B, che scriveremo come f( ) +, con h( ) = 0 tle che g(f( ) + ) = c. Osservimo che c = g(f( ) + ) = g( ) = g(f() + ), e che h(f() + ) =. ertnto f() + è un controimmgine di (, c) e ϕ è suriettiv. Si Ker(ϕ); poiché g() = 0, per l esttezz dell successione esiste A tle che = f(); d 0 = h() = h(f()) = imo che = f(0) = 0, e quindi ϕ è iniettiv. er mostrre che 2) 3) considerimo l mpp ψ : A C B definit ponendo ψ(, c) = f() + k(c). Se ψ(, c) = 0, llor g(ψ(, c)) = c = 0, e nche = 0, per l iniettività di f. Si or B; scrivimo = k(g()) + k(g()); 59

6. Omologi singolre osservimo che g( k(g())) = g() g() = 0, e quindi esiste A tle che k(g()) = f() per l esttezz dell successione. osto c = g() notimo che = ψ(, c), e quindi ψ è un isomorfismo. Osservzione 6.14. Un successione estt reve di gruppi elini 0 A f B g C 0 tle che C è un gruppo liero è spezznte. Dimostrzione. Si B C = {c i } i I un se di C; per ogni i I si scelg i g 1 (c i ), e si definisc k : B C B in questo modo: k(c i ) = i, l si estend poi n un omomorfismo k : C B come nell roposizione 6.5. 6.2 complessi di ctene Definizione 6.15. Un complesso di ctene C è un insieme {(C q, q )} q Z con C q gruppo elino, detto gruppo delle q-ctene, e q : C q C q 1 morfismo di gruppi, detto morfismo di ordo, che si utonullifico, cioè q q+1 = 0 q Z. Definizione 6.16. Il sottogruppo Z q (C) = Ker q C q si dice gruppo dei q-cicli, mentre il sottogruppo B q (C) = Im q+1 C q si dice gruppo dei q-ordi. er l proprietà di utonullificità dell opertore ordo, B q (C) Z q (C); è quindi possiile formre il gruppo quoziente H q (C) = Z q(c) B q (C), detto q-esimo gruppo di omologi del complesso C. Definizione 6.17. Sino C = {(C q, q )} q Z e C = {(C q, q )} q Z due complessi di ctene. Un morfismo di complessi di ctene f : C C è un collezione {f q } q Z di morfismi f q : C q C q che commutno con l opertore ordo, tli cioè che f q 1 q = q f q per ogni q Z. C q+1 q+1 Cq q C q 1 f q+1 = f q = f q 1 C q+1 q+1 C q q C q 1 Osservzione 6.18. Se f : C C è un morfismo di complessi di ctene, llor è semplice verificre che f q (Z q (C)) Z q (C ) e f q (B q (C)) B q (C ) per ogni q Z, cioè f mnd q-cicli in q-cicli e q-ordi in q-ordi. Inftti, se z Z q (C), llor q (z) = 0, e quindi f q 1 ( q (z)) = 0; per l commuttività del digrmm nell Definizione 6.17 si h q (f q (z)) = f q 1 ( q (z)) = 0, e quindi f q (z) Z 1 (C ). Anlog è l verific che f q (B q (C)) B q (C ). 60

6.3. Omologi singolre Dll osservzione segue che è possiile definire dei morfismi H q (f) : H q (C) H q (C ) ponendo H q (f)([z]) = [f q (z)]. Inftti f q (z) Z q (C) e, se [z] = [ z] si h che i due cicli differicono per un ordo: z = z + q+1 (σ); quindi f q (z) = f q ( z) + f q q+1 (σ) = f q ( z) + q+1 f q+1 (σ) e pertnto [f q (z)] = [f q ( z)]. Si verific fcilmente, utilizzndo l definizione, che, se C, C e C sono tre complessi di ctene e f : C C, g : C C sono morfismi di complessi, llor H q (g f) = H q (g) H q (f). Inoltre, indicto con Id C : C C il morfismo identico, si h H q (Id C ) = Id Hq(C), cioè Teorem 6.19. H q è un funtore (covrinte) dll ctegori dei complessi di ctene e morfismi di complessi di ctene ll ctegori dei gruppi elini e morfismi di gruppi elini. 6.3 omologi singolre Voglimo or ssocire d uno spzio topologico un complesso di ctene che ne riflett l geometri, per poter poi considerre i gruppi di omologi ssociti tle complesso. Definizione 6.20. In R q si E 0 = (0,..., 0) e sino E i, per i d 1 q, i punti con tutte le coordinte nulle, trnne l i-esim, che vle 1. Si poi { q q = λ i E i con λ i 0 e i=0 q è detto q-simplesso stndrd. λi = 1 Definizione 6.21. Si X uno spzio topologico; si dice q-simplesso singolre in X un ppliczione continu σ : q X; si dice supporto di σ, e si indic con σ l immgine σ( q ) X. Definizione 6.22. Si X uno spzio topologico; per ogni q 0 si denoti con S q (X) il gruppo elino liero generto di q-simplessi singolri in X. er q < 0 ponimo S q (X) = {0}. Tli gruppi sono detti gruppi delle q-ctene singolri di X. Voglimo or costruire un complesso di ctene S(X) i cui gruppi sino gli S q (X); doimo perciò definire un morfismo di ordo q : S q (X) S q 1 (X). er q 0 tle morfismo srà semplicemente il morfismo nullo. er definire q per q 1 }. 61

6. Omologi singolre introducimo innnzitutto, per ogni q 1, delle ppliczioni Fq i : q 1 q, per i = 0,... q, definendole sui vertici di q 1 ed estendendole linermente { Fq(E i E k k < i k ) = k i E k+1 Tli ppliczioni vengono detti opertori fcci. Utilizzndo tli opertori è possiile ssocire d un q-simplesso singolre σ dei (q 1)-simplessi singolri σ (i) S q 1 (X) in questo modo: σ (i) = σ F i q q 1 F i q σ q X σ (i) L mpp σ (i) è cioè l restrizione di σ ll fcci di q oppost l vertice E i. Lemm 6.23. Sino i j indici compresi tr 0 e q. Denotimo con σ (i,j) l restrizione di σ ll fcci di codimensione due di q che non contiene i vertici E i ed E j. Allor { Fq i F j σ (i,j) i > j q 1 = σ (i,j+1) i j Dimostrzione. mentre nel secondo Applicndo le definizioni trovimo che, nel primo cso E k k < j (Fq i Fq 1)(E j k ) = E k+1 j k < i 1 E k+2 k i 1 (Fq i Fq 1)(E j k ) = d segue immeditmente l sserto. Dto un q-simplesso singolre σ, definimo E k E k+1 E k+2 k < i i k < j k j q (σ) = q ( ) i σ (i), i=0 e lo estendimo per linerità d un morfismo q : S q (X) S q 1 (X): q ( nj σ j ) = n j q (σ j ). 62

6.3. Omologi singolre Lemm 6.24. I morfismi q sono tli che q 1 q = 0. Dimostrzione. E sufficiente verificre l ffermzione sui simplessi singolri. Si σ : q X. Utilizzndo il Lemm 6.23 ottenimo ( q ) q ( q 1 q )(σ) = q 1 ( ) i σ Fq i = ( ) i q 1 (σ Fq) i = i=0 = q ( ) i q 1 i=0 j=0 ( ) j (σ Fq i Fq 1) j = = ( ) i+j σ (i,j+1) + ( ) i+j σ (i,j) = i j i>j = ( ) i+j 1 σ (i,j) + ( ) i+j σ (i,j) = 0. i<j i>j 0 Definizione 6.25. Il sottogruppo Z q (X) = Ker q S q (X) si dice gruppo dei q-cicli singolri, mentre il sottogruppo B q (X) = Im q+1 S q (X) si dice gruppo dei q-ordi singolri. er l proprietà di utonullificità del morfismo di ordo, B q (X) Z q (X); è quindi possiile formre il gruppo quoziente H q (X) = Z q(x) B q (X), detto q-esimo gruppo di omologi singolre dello spzio topologico X. Osservzione 6.26. oiché un simplesso singolre è un ppliczione continu e q è connesso per rchi, se {X α } α A sono le componenti connesse per rchi di X, llor S q (X) α A S q (X α ) e δ q (S q (X α )) S q 1 (X α ), pertnto vremo nche H q (X) = α A H q (X α ). Esempio 6.27. Clcolimo i gruppi di omologi singolre di uno spzio topologico costituito d un solo punto: X = {x}. er ogni q 0 esiste un unic ppliczione continu σ q : q {x}, quell costnte, e quindi S q (X) = Z σ q per ogni q 0. Vedimo come gisce l opertore ordo q. er q = 0, essendo S 1 (X) = {0} vremo 0 = 0. er q 1 imo S q (X) = Z e S q 1 (X) = Z, e, per definizione { 0 q dispri q (σ q ) = σ q 1 σ q 1 + σ q 1 = σ q 1 q pri 0 63

6. Omologi singolre Quindi, se q è pri e non nullo vremo Im q+1 = Ker q = 0, mentre se q è dispri vremo Im q+1 = Ker q = Z. In entrmi i csi H q (X) = 0. Rest d esminre il cso q = 0; in questo cso imo Im 1 = 0 e Ker 0 = Z, e quindi H 0 (X) Z. Vedimo or come d un ppliczione continu tr spzi topologici si possiile ssocire un morfismo di complessi di ctene. Definizione 6.28. Si f : X Y un ppliczione continu; definimo un il morfismo indotto sui complessi singolri S(f) : S(X) S(Y ) nel modo seguente: per ogni q si S q (f) : S q (X) S q (Y ) così definito: ( k ) k S q (f) n i σ i = n i (f σ i ). 1 E semplice verificre che quello ppen definito è un morfismo di complessi di ctene, cioè commutno i digrmmi 1 S q (X) S q(f) S q (Y ) q q S q 1 (X) S q 1(f) Sq 1 (Y ) Inoltre ll identità di X si ssoci l identità di S(X), e ll composizione di ppliczioni continue si ssoci l composizione di morfismi di complessi di ctene. Definizione 6.29. Dt un ppliczione continu tr spzi topologici f : X Y, definimo i morfismi indotti in omologi H q (f) : H q (X) H q (Y ) nel modo seguente: ([ k ]) ( k [ k ] H q (f) n i σ i = [S q (f) n i σ i )] = n i (f σ i ). i=1 E immedito verificre che ll identità di X si ssoci l identità di H q (X), e ll composizione di ppliczioni continue si ssoci l composizione di morfismi di gruppi, cioè Teorem 6.30. H q è un funtore (covrinte) dll ctegori degli spzi topologici e ppliczioni continue ll ctegori dei gruppi elini e morfismi di gruppi elini. Sussiste il seguente fondmentle risultto, nlogo del Teorem 3.18 (per un dimostrzione si ved [3, Theorem 2.10]): Teorem 6.31. (Teorem d invrinz per omotopi). Sino f, g : X Y ppliczioni continue e omotope. Allor H q (f) = H q (g) per ogni q Z. 64 i=1 1

6.4. Significto geometrico di H 0 (X) e H 1 (X) Corollrio 6.32. Si f : X Y un equivlenz omotopic. Allor i morfismi di gruppi H q (f) : H q (X) H q (Y ) sono isomorfismi per ogni q Z. Corollrio 6.33. Si X uno spzio topologico contriile. Allor H q (X) {0} per ogni q 0, e H 0 (X) Z. 6.4 significto geometrico di h 0 (x) e h 1 (x) Vedremo or l interpretzione geometric dei gruppi H 0 (X) e H 1 (X); il primo misur l connessione (per rchi) di uno spzio topologico: Teorem 6.34. Se X è uno spzio topologico connesso per rchi, llor H 0 (X) Z. Dimostrzione. Dll successione del complesso singolre di X, S 1 (X) 1 S0 (X) 0 0 ottenimo che in qunto Z 0 (X) = Ker 0 = S 0 (X). H 0 (X) = Z 0(X) B 0 (X) = S 0(X) B 0 (X). Considerimo l omomorfismo deg : S 0 (X) Z, definito ssocindo un 0-cten k 1 n i i il numero intero k 1 n i. Tle omomorfismo è evidentemente suriettivo, in qunto per ogni n 0 Z, preso un qulsisi 0 X, si h deg(n 0 0 ) = n 0. Mostreremo or che B 0 (X) è il nucleo di tle omomorfismo. Comincimo col mostrre che Ker(deg) B 0 (X). Si 1 s uno 0-ordo, con s S 1 (X), s = k 1 n iσ i ; i σ i sono cmmini in X, e il ordo di σ i è 1i 0i, con 0i punto inizile e 1i punto finle del cmmino σ i. Allor ( k ) ( k ) k deg( 1 s) = deg n i 1 σ i = deg n i ( 1i 0i ) = (n i n i ) = 0. 1 Osservimo che, per quest prte dell dimostrzione, l ipotesi sull connessione per rchi di X non è stt ust. Verifichimo or che Ker(deg) B 0 (X). Si s = k 1 n i i un 0-cten tle che k 1 n i = 0; fissimo Q X e, per ogni i che ppre in s, considerimo un cmmino σ i : I X che i Q come punto inizile e i come punto finle. Si s 1 = k 1 n iσ i ; llor k k k k s 1 = n i σ i = n i i n i Q = n i i, 1 1 e quindi s 0 = s 1 B 0 (X). Aimo dimostrto che Ker(deg) = B 0 (X), quindi H 0 (X) = S 0(X) B 0 (X) 1 S 0(X) Ker(deg) 1 1 Im(deg) = Z. 1 65

6. Omologi singolre Osservzione 6.35. L clsse di un qulsisi punto di uno spzio topologico X connesso per rchi è un genertore di H 0 (X). Osservzione 6.36. Cominndo il Teorem 6.34 e l Osservzione 6.26 possimo concludere che uno spzio topologico X è connesso per rchi se e solo se H 0 (X) Z. Spesso è conveniente utilizzre un versione leggermente modifict dell omologi singolre, tle che tutti i gruppi di omologi di uno spzio contriile sino nli; ciò si ottiene definendo i gruppi di omologi ridott, Hq (X) come i gruppi di omologi del complesso di ctene S(X) = { S q (X), q }, ove { S q (X) per q 1 S q (X) = Z per q = 1 { q per q 0 q = deg per q = 0 Il complesso S(X) è detto complesso singolre umentto. S 2 (X) 2 S1 (X) 1 S0 (X) deg Z 0 Aimo osservto, nell dimostrzione del Teorem 6.34 che B 0 (X) Ker(deg), quindi 0 1 = 0. E ovvio che H q (X) H q (X) per q 1. er q = 0 imo H 0 (X) = Ker(deg) B 0 (X). Considerimo l successione estt reve 0 Ker(deg) S 0 (X) deg Z 0 Tle successione è spezznte perché Z è liero, quindi, per l roposizione 6.13 S 0 (X) Ker(deg) Z; poiché B 0 (X) Ker(deg) si h H 0 (X) S 0(X) B 0 (X) Ker(deg) Z = B 0 (X) H 0 (X) Z. In prticolre, X è connesso per rchi se e solo se H 0 (X) è il gruppo nle. Andimo or considerre il gruppo H 1 (X) e vedere l su relzione con il gruppo fondmentle. roposizione 6.37. Si X uno spzio topologico, x 0 un suo punto, e sino α, β : I X cppi di punto se x 0 tli che [α] = [β] in π(x, x 0 ); llor [α] = [β] in H 1 (X). 66

6.4. Significto geometrico di H 0 (X) e H 1 (X) Dimostrzione. Definimo un ppliczione Q : I I 2 in questo modo: Q(s, t) = (1 s)e 0 + s((1 t)e 1 + te 2 ); tle ppliczione è chirmente continu, ed è semplice verificre che è iunivoc tr I I \ ({0} I) e 2 \ E 0, mentre mnd {0} I in E 0. Si F : I I X un omotopi di cmmini tr α e β, cioè un ppliczione continu tle che F (s, 0) = α(s), F (s, 1) = β(s) e F (0, t) = F (t, 1) = x 0. Tle ppliczione pss l quoziente rispetto Q, e quindi esiste un ppliczione continu σ : 2 X tle che σ Q = F. F σ Q Il ordo di σ è dto d 1 σ = σ (0) σ (1) + σ (2) = = σ E1 E 2 σ E0 E 2 + σ E0 E 1 = = ε x0 β + α Osservimo che il cppio ε x0 può essere visto come ordo dell due cten σ x0 : 2 X che mnd ogni punto di 2 in x 0. ertnto e quindi [α] = [β] in H 1 (X). α = β + 1 (σ σ x0 ), Corollrio 6.38. E en definit un ppliczione χ : π(x, x 0 ) H 1 (X), che ssoci ll clsse di omotopi di un cppio α l clsse di omologi del cppio stesso. Si può dimostrre che Teorem 6.39 (di Hurewicz). Si X uno spzio topologico connesso per rchi e x 0 un suo punto. L ppliczione χ : π(x, x 0 ) H 1 (X) è un omomorfismo suriettivo ed il suo nucleo è dto dl sottogruppo dei commuttori di π(x, x 0 ). 67

6. Omologi singolre Corollrio 6.40. Si X uno spzio topologico connesso per rchi e x 0 un suo punto; llor il gruppo H 1 (X) è isomorfo ll elinizzto del gruppo π(x, x 0 ). In prticolre si vrà π(x, x 0 ) H 1 (X) se e solo se π(x, x 0 ) è elino, Osservzione 6.41. Sino α e β cmmini tli che α(1) = β(0). Allor α β α β Z 1 (X) e [α β α β] = 0 in H 1 (X). Dimostrzione. L prim sserzione è evidente, in qunto 1 (α β α β) = β(1) α(0) (α(1) α(0)) (β(1) β(0)) = 0. er mostrre l second, si p l proiezione ortogonle del simplesso 2 sul lto E 1, E 2, si : E 1, E 2 X il cmmino definito ponendo ((1 t)e 1 + te 2 ) = (α β)(t) e si σ : 2 X l composizione: σ = p. E semplice verificre che 2 (σ) = α β α β. Corollrio 6.42. Si : I X un cppio, tle che = 1 2 n ; llor [] = [ 1 + 2 + + n ] in H 1 (X). 68

Cpitolo 7 Teorem di Myer-Vietoris, omologi di un coppi e ppliczioni In questo cpitolo vedremo l nlogo del Teorem di Seifert-Vn Kmpen per l omologi singolre: un risultto cioè che permette di clcolre i gruppi di omologi di uno spzio topologico prtire dll omologi di due suoi sottospzi e dell loro intersezione, e fremo diversi esempi del suo utilizzo. Vedremo poi un nuovo complesso di ctene, ssocito d un coppi (X, A), dove X è uno spzio topologico ed A un suo sottospzio, el omologi d esso ssocit, dett omologi dell coppi, prticolrmente utile nello studio dei retrtti. L omologi dell coppi verrà quindi utilizzt nell ultim sezione per definire l omologi locle e dimostrre il Teorem di invrinz dell dimensione. 7.1 successione estt di myer-vietoris Definizione 7.1. Un successione di complessi di ctene e di morfismi di complessi di ctene C f C g C si dice estt in C se, per ogni q Z, Ker(g q ) = Im(f q ). roposizione 7.2. (Successione estt lung) Si 0 C f C g C 0 un successione estt reve di complessi di ctene. Allor esistono omomorfismi δ q : H q (C ) H q 1 (C ) tli che l successione H q(f) H q (C) H q(g) Hq (C ) δ q Hq 1 (C ) H q 1(f) (7.3) si estt. 69

7. Teorem di Myer-Vietoris,... Dimostrzione. Considerimo il seguente digrmm commuttivo: 0 C q+1 f q+1 C q+1 g q+1 C q+1 0 0 C q q+1 f q q+1 C q g q C q q+1 0 q 0 C q 1 f q 1 q C q 1 g q 1 q C q 1 0 0 C q 2 q 1 q 1 q 1 f q 2 Cq 2 g q 2 C q 2 0 Voglimo definire un omomorfismo δ q : H q (C ) H q 1 (C ); un elemento di H q (C ) è un clsse di equivlenz [z q ], dove z q Z q C q. L second rig è estt, quindi g q è suriettivo; pertnto esiste c q C q tle che g q (c q ) = z q ; per l commuttività del qudrto g q 1 ( q (c q )) = q (g q (c q )) = 0, e quindi q (c q ) Ker(g q 1 ) = Im(f q 1 ); pertnto esiste un unico c q 1 C q 1 tle che f q 1 (c q 1) = q (c q ). Inoltre f q 2 ( q 1(c q 1)) = q 1 (f q 1 (c q )) = q 1 ( q (c q )) = 0, quindi, per l iniettività di f q 2 imo q 1(c q 1) = 0, cioè c q 1 Z q 1 e individu un clsse [c q 1] in H q 1 (C ). onimo δ q ([z q ]) = [c q 1]. c q C q g q z q C q 0 0 c q 1 C q 1 f q 1 q q q (c q ) C q 1 g q 1 0 C q 1 0 q 1 0 C q 2 1) L ppliczione δ q è en definit. Mostrimo innnzitutto che l definizione non dipende dll scelt ftt dell controimmgine c q di z q vi g q. 70

7.1. Successione estt di Myer-Vietoris Si c q C q un ltr controimmgine di z q ; llor g q (c q c q ) = 0, e quindi c q c q Ker(g q ) = Im(f q ), perciò esiste c q C q tle che c q = c q + f q (c q). Ne segue che q (c q ) q (c q ) = q (f q (c q)) = f q 1 ( q(c q)), e quindi l elemento individuto in C q 1 prtendo d c q differisce d quello individuto d c q per il ordo q(c q), e quindi individu l stess clsse in H q (C ). 0 c q C q f q c q c q C q g q 0 C q 0 q 0 q (c q) C q 1 q f q 1 q (c q ) q (c q ) C q 1 g q 1 C q 1 q 0 Mostrimo or che l definizione non dipende dll scelt del rppresentnte dell clsse [z q ]; si z q tle che [z q] = [z q ]. oiché [z q ] = [z q] si h che z q z q = q+1(c q+1); per l suriettività di g q+1 esiste c q+1 C q+1 tle che g q+1 (c q+1 ) = c q+1. Riscrivimo z q z q = q+1(g q+1 (c q+1 )) = g q ( q+1 (c q+1 )). Or, poiché q ( q+1 (c q+1 )) = 0, si vede che l definizione di δ q non dipende dl rppresentnte scelto. c q+1 C q+1 g q+1 c q+1 C q+1 0 q+1 q+1 (c q+1 ) C q q+1 g q z q z q C q 0 q q 0 C q 1 g q 1 C q 1 0 2) L ppliczione δ q è un omomorfismo. Sino [z q ] e [ z q ] due elementi di H q (C ); per trovre δ q ([z q ]) sceglimo un controimmgine c q di z q vi g q, ne prendimo il ordo q (c q ), trovimo l unic controimmgine c q 1 di q (c q ) vi f q 1 e ne considerimo l clsse: δ q ([z q ]) = [c q 1]. Anlogmente per trovre δ q ([ z q ]) sceglimo un controimmgine c q di z q vi g q, ne prendimo il ordo q ( c q ), trovimo l unic controimmgine c q 1d i q (c q ) vi f q 1. e ne considerimo l clsse: δ q ([ z q ]) = [ c q 1]. er trovre δ q ([z q + z q ]) doimo innnzitutto scegliere un controimmgine di z q + z q vi g q ; essendo g q un omomorfismo possimo scegliere c q + c q come controimmgine. 71

7. Teorem di Myer-Vietoris,... Doimo or considerre q (c q + c q ) = q (c q ) + q ( c q ) e prenderne l unic controimmgine vi f q 1. Or è evidente che tle elemento è esttmente c q 1+ c q 1, e quindi δ q ([z q + z q ]) = [c q 1 + c q 1] = [c q 1] + [ c q 1] = δ q ([z q ]) + δ q ([ z q ]). 3) L successione 7.3 è estt. Mostrimo or che l successione... H q(f) Hq (C) H q(g) Hq (C ) δ q Hq 1 (C ) H q 1(f) Hq 1 (C)... è estt in H q (C ), lscindo come esercizio l esttezz in H q (C ) e in H q (C). Mostrimo innnzitutto che Im(H q (g)) Ker(δ q ). Si [z q ] = H q (g)([z q ]) = [g q (z q )]; ciò signific che esiste c q+1 C q+1 tle che z q + q+1 (c q+1 ) = g q (z q ). er trovre δ q ([z q ]) = δ q ([z q + q+1 (c q+1 )]) possimo quindi scegliere come rppresentnte dell clsse [z q ] l elemento z q + q+1 (c q+1 ), e come controimmgine di tle elemento vi g q l elemento z q, che è un ciclo, quindi q (z q ) = 0 e δ q ([z ]) = 0. Mostrimo or che Ker(δ q ) Im(H q (g)). Si [z q ] Ker δ q ; ciò signific che esiste c q C q tle che g q (c q ) = z q e, denott con c q 1 l unic controimmgine di q (c q ) vi f q 1, esiste c q C q tle che c q 1 = q c q. 0 c q C q f q c q C q g q z q C q 0 q 0 c q 1 = q (c q) C q 1 q q f q 1 q (c q ) C q 1 g q 1 C q 1 0 er l commuttività del qudrto sinistr q (f q (c q)) = f q 1 (c q) = q (c q ), e quindi q (f q (c q) c q ) = 0, cioè z q = c q f q (c q) è un ciclo, quindi individu un clsse [z q ] H q (C). ossimo quindi considerre H q (g)([z q ]) = [g q (z q )] = [g q (c q f q (c q))] = [g q (c q )] = [z q ]; e quindi [z q ] Im(H q (g)). Definizione 7.4. Sino C = {C q, q } e C = {C q, q } due complessi di ctene; si dice somm dirett di C e C il complesso di ctene C C = {C q C q, q q } ove q q : C q C q C q 1 C q 1 è l omomorfismo che mnd l coppi (c, c ) nell coppi ( q c, q c ). 72

7.1. Successione estt di Myer-Vietoris Si X uno spzio topologico, e sino X 1, X 2 due suoi sottospzi; il digrmm commuttivo dto dlle inclusioni X 1 X 2 j 1 X 1 i i X j 2 X 2 i 2 induce un digrmm di complessi di ctene S(X 1 X 2 ) S(j 1 ) S(X 1 ) S(i i ) S(X) S(j 2 ) S(X 2 ) S(i 2 ) ossimo considerre le seguenti successione estte revi di gruppi 0 S q (X 1 X 2 ) ϕ q Sq (X 1 ) S q (X 2 ) ψ q Sq (X 1 ), S q (X 2 ) 0, dove S q (X 1 ), S q (X 2 ) è il sottogruppo di S q (X) generto d S q (X 1 ) e S q (X 2 ), ϕ q = (S q (j 1 ), S q (j 2 )), ψ q = S q (i 1 ) + S q (i 2 ). E immedito verificre che ϕ = {ϕ q } e ψ = {ψ q } sono morfismi di complessi di ctene, e inducono un successione estt reve di complessi 0 S(X 1 X 2 ) ϕ S(X1 ) S(X 2 ) ψ S{X1, X 2 } 0, dove S{X 1, X 2 } = ( S q (X 1 ), S q (X 2 ), q ). er l roposizione 7.2 esiste quindi un successione estt lung ssocit ll successione reve precedente. In tle successione non compiono però i gruppi H q (X) = H q (S(X)), m i gruppi H q (S{X 1, X 2 }). Il teorem successivo fornisce un condizione sufficiente ffinché tli gruppi sino isomorfi. Teorem 7.5. (Myer-Vietoris) Se X = X 1 X 2 llor è estt l successione lung H q (X 1 X 2 ) Φq H q (X 1 ) H q (X 2 ) Ψq H q (X) δ q Hq 1 (X 1 X 2 ) ove Φ q = (H q (j 1 ), H q (j 2 )), Ψ q = H q (i 1 ) + H q (i 2 ) e δ q è come nell roposizione 7.2. Osservzione 7.6. Lo stesso risultto vle considerndo l omologi ridott. 73

7. Teorem di Myer-Vietoris,... Esempio 7.7. Sino X e Y due spzi topologici, e sino x X e y Y punti che hnno intorni contriili U x e U y. Si X Y lo spzio topologico ottenuto identificndo x e y nello spzio topologico X Y. Allor H q (X Y ) H q (X) H q (Y ). Inftti, considerndo X 1 = X U y e X 2 = Y U x, dll successione di Myer- Vietoris per l omologi ridott si h... Hq (X 1 X 2 ) Hq (X 1 ) H q (X 2 ) Hq (X Y ) Hq 1 (X 1 X 2 )... e quindi, poiché X 1 X 2 è contriile, sono estte l successioni revi 0 Hq (X 1 ) H q (X 2 ) Hq (X Y ) 0 ; oiché X 1 è omotopicmente equivlente d X ed X 2 è omotopicmente equivlente Y segue l tesi. Esempio 7.8. Clcolimo i gruppi di omologi ridott dell sfer S n. Voglimo mostrre che H q (S n ) = {0} per q n (7.9) H q (S n ) = Z per q = n (7.10) L enuncito è vero per n = 0 perché S 0 è costituit d due punti e per q = 0, in qunto S n è conness per rchi se n 1. Si 0 < ε << 1 e sino X 1 = {(x 1,..., x n+1 ) S n x n+1 > ε}, X 2 = {(x 1,..., x n+1 ) S n x n+1 < ε}. I sottospzi X 1 e X 2 sono omeomorfi dischi di dimensione n, e quindi contriili; l intersezione si retre su S n {x n+1 = 0} S n 1, e quindi dll successione di Myer-Vietoris ottenimo 0 Hq (S n ) Hq 1 (S n 1 ) 0. d cui segue che H q (S n ) H q 1 (S n 1 ). ossimo concludere osservndo che H q (S n ) H q n (S 0 ) {0} H q (S n ) H 0 (S n q ) {0} H q (S n ) H 0 (S 0 ) Z q > n q < n q = n Esempio 7.11. Clcolimo i gruppi di omologi ridott del toro. 74

7.1. Successione estt di Myer-Vietoris 1 c 2 Si X 1 il disco di ordo Γ 1, e X 2 il complementre del disco di ordo Γ 2. Il sottospzio X 1 è omeomorfo d un disco, e quindi tutti i suoi gruppi di omologi ridott sono nulli. Il sottospzio X 2 h il ordo del toro come retrtto di deformzione; il ordo del toro è omeomorfo ll unione un punto delle circonferenze e, e quindi H 0 (X 2 ) = H 2 (X 2 ) = {0} H 1 (X 2 ) = Z Z L intersezione X 1 X 2 h un circonferenz c come retrtto di deformzione, quindi H 0 (X 1 X 2 ) = H 2 (X 1 X 2 ) = {0} H 1 (X 1 X 2 ) = Z c Dll successione estt di Myer-Vietoris imo... Hq (X 1 X 2 ) Hq (X 1 ) H q (X 2 ) Hq (X) Hq 1 (X 1 X 2 )... d cui, per q 3 0 0 Hq (X) 0 ottenimo H q (X) = {0}. Vedimo or i termini più ssi dell successione.... 0 H2 (X) H1 (X 1 X 2 ) H1 (X 1 ) H 1 (X 2 )...... 0 H2 (X) δ 1 Z c (H 1(j 1 ),H 1 ( j 2 )) Z Z... L omomorfismo δ 1 è iniettivo, quindi H2 (X) Im δ 1 = Ker(H 1 (j 1 ), H 1 ( j 2 )). H 1 (X 1 ) = {0}, quindi H 1 (j 1 ) è l omomorfismo nullo (inftti c in X 1 è ordo di un disco). In X 2 l regione σ = σ 1 + σ 2 in figur è tle che 2 σ = c + + 75

7. Teorem di Myer-Vietoris,... 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 00000000000000000000 11111111111111111111 c σ 2 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 Γ 2 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 00000000000000000000 00000000000000000000 11111111111111111111 11111111111111111111 11111111111111111111 σ 1 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 00000000000000000000 11111111111111111111 perciò [c] = [ + ] = [0], e quindi nche H 1 (j 2 ) è l omomorfismo nullo. Segue che δ 1 è un isomorfismo e H 2 (X) Z. Considerimo or il trtto seguente dell successione:... H1 (X 1 X 2 ) H1 (X 1 ) H 1 (X 2 ) H1 (X) H0 (X 1 X 2 )... Z c (H 1(j 1 ),H 1 ( j 2 )) Z Z H1 (X) 0 Aimo già mostrto che (H 1 (j 1 ), H 1 ( j 2 )) è l omomorfismo nullo, e pertnto H 1 (X) Z Z. Quindi imo mostrto che i gruppi di omologi ridott del toro sono {0} q 1, 2 H q (T ) Z Z q = 1. Z q = 2 Esempio 7.12. Clcolimo or i gruppi di omologi ridott del pino proiettivo rele 1 c 2 Si X 1 il disco di ordo Γ 1, e X 2 il complementre del disco di ordo Γ 2. Il sottospzio X 1 è omeomorfo d un disco, e quindi tutti i suoi gruppi di omologi 76

7.1. Successione estt di Myer-Vietoris ridott sono nulli. Il sottospzio X 2 h il ordo di R 2 come retrtto di deformzione; il ordo di R 2 è omeomorfo ll circonferenz, e quindi H 0 (X 2 ) = H 2 (X 2 ) = {0} H 1 (X 2 ) = Z L intersezione X 1 X 2 h un circonferenz c come retrtto di deformzione, quindi H 0 (X 1 X 2 ) = H 2 (X 1 X 2 ) = {0} H 1 (X 2 ) = Z c Dll successione estt di Myer-Vietoris imo... Hq (X 1 X 2 ) Hq (X 1 ) H q (X 2 ) Hq (X) Hq 1 (X 1 X 2 )... d cui, per q 3 0 0 Hq (X) 0 ottenimo H q (X) = {0}. Vedimo or i termini più ssi dell successione.... 0 H2 (X) H1 (X 1 X 2 ) H1 (X 1 ) H 1 (X 2 )...... 0 H2 (X) δ 1 Z c (H 1(j 1 ),H 1 ( j 2 )) Z... L omomorfismo δ 1 è iniettivo, quindi H2 (X) Im δ 1 = Ker(H 1 (j 1 ), H 1 ( j 2 )). H 1 (X 1 ) = {0}, quindi H 1 (j 1 ) è l omomorfismo nullo (inftti c in X 1 è ordo di un disco). In X 2 l regione σ = σ 1 + σ 2 in figur è tle che 2 σ = c + +, c 2 2 1 perciò [c] = [ 2], e quindi H 1 (j 2 ) è l omomorfismo che mnd [c] in [2]; in prticolre tle omomorfismo è iniettivo; segue che δ 1 è l omomorfismo nullo e 77

7. Teorem di Myer-Vietoris,... H 2 (X) {0}. Considerimo or il trtto seguente dell successione:... H1 (X 1 X 2 ) H1 (X 1 ) H 1 (X 2 ) H1 (X) H0 (X 1 X 2 )... Z c (H 1(j 1 ),H 1 ( j 2 )) Z H 1 (i 1 +i 2 ) H1 (X) 0 Aimo già mostrto che (H 1 (j 1 ), H 1 ( j 2 )) è l omomorfismo che mnd [c] in [2], pertnto H 1 (X) Z Ker H 1 (i 1 + i 2 ) Z Im(H 1 (j 1 ), H 1 ( j 2 )) Z Z 2 Z/2Z. Quindi imo mostrto che i gruppi di omologi ridott del pino proiettivo rele sono { H q (R 2 {0} q 1 ) Z/2Z q = 1. 7.2 omologi di un coppi e retrzioni Si X uno spzio topologico e A X un suo sottospzio; chimeremo (X, A) coppi di spzi topologici. ossimo considerre i complessi singolri S(X) = {S q (X), q } e S(A) = {S q (A), q }. L inclusione i : A X induce per ogni q morfismi iniettivi S q (i) : S q (A) S q (X) così definiti: ( k ) S q (i) n j σ j = j=1 k n j (i σ j ). j=1 er ogni q possimo considerre il gruppo quoziente S q (X, A) = S q(x) S q (A), detto gruppo delle q-ctene reltive di X modulo A. E possiile costruire un omomorfismo di ordo q : S q (X, A) S q 1 (X, A) che rende {S q (X, A), q } un complesso di ctene ponendo q ([s]) = [ q (s)]. 0 S q (A) S q(i) S q (X) π q Sq (X, A) 0 q q q 0 S q 1 (A) S q 1 (i) Sq 1 (X) π q 1 Sq 1 (X, A) 0 78

7.2. Omologi di un coppi e retrzioni L definizione è en post perché, se s = s + s A, con s A S q (A), llor q (s A ) S q 1 (A) e quindi [ q (s)] = [ q (s ) + q (s A )] = [ q (s )]. Il complesso S(X, A) = {S q (X, A), q } è detto complesso (singolre) reltivo o complesso (singolre) dell coppi (X, A); l omologi del complesso S(X, A), H q (X, A) := H q (S(X, A)), viene dett omologi reltiv di X modulo A o nche omologi dell coppi (X, A). Vedimo or di dre un descrizione più geometric dei gruppi H q (X, A). Definizione 7.13. Chimimo gruppo dei q-cicli reltivi di X modulo A il gruppo Z q (X, A) = {s S q (X) q s S q 1 (A)}, e gruppo dei q-ordi reltivi di X modulo A il gruppo B q (X, A) = {s S q (X) s = q+1 s + s A, s S q+1 (X), s A S q (A)}. E immedito verificre che Z q (X) Z q (X, A) e B q (X) B q (X, A). Esempio 7.14. Si X il toro e A l circonferenz ross in figur. 00000 11111 00000 11111 00000 11111 Nell figur sinistr, l 1-simplesso verde non è un ciclo, m è un ciclo reltivo, perché il suo ordo è contenuto in A. Nell figur destr l 1-simplesso verde non è un ordo, m è un ordo reltivo, perché è un ordo meno di un 1- simplesso contenuto in A. Dll definizione segue che B q (X, A) Z q (X, A), ed è quindi possiile formre il gruppo quoziente. Teorem 7.15. Il gruppo quoziente dei q-cicli reltivi modulo i q-ordi reltivi è isomorfo l q-esimo gruppo di omologi reltiv dell coppi (X, A): H q (X, A) Z q(x, A) B q (X, A). 79

7. Teorem di Myer-Vietoris,... Dimostrzione. Il gruppo di omologi dell coppi è definito come H q (X, A) = Ker q Im q+1, Osservimo innnzitutto che π q (Z q (X, A)) = Ker( q ). Se s Z q (X, A) llor q [s] = [ q s] = [0] perché q s S q 1 (A). D ltr prte, se q [s] = 0, llor [ q s] = 0, cioè q s S q 1 (A). Il nucleo del morfismo suriettivo π q Zq(X,A) : Z q (X, A) Ker( q ) è costituito dgli s Z q (X, A) tli che [s] = 0, cioè d S q (A). ertnto, per il primo teorem di isomorfismo Ker q Z q(x, A). S q (A) Osservimo or che π q (B q (X, A)) = Im( q+1 ). Se s B q (X, A); llor [s] Im q+1 ; inftti s = q+1 s + s A, e quindi [s] = [ q+1 s ] = q+1 [s ]. D ltr prte, se [s] = q+1 [s ], llor [s] = [ q+1 s ], cioè s s S q (A). Il nucleo del morfismo suriettivo π q Bq(X,A) : B q (X, A) Im( q ) è costituito dgli s B q (X, A) tli che [s] = 0, cioè d S q (A). ertnto, per il primo teorem di isomorfismo Im q+1 B q(x, A), S q (A) d cui, per il terzo teorem d isomorfismo imo l tesi. L successione estt reve di complessi di ctene 0 S(A) S(i) S(X) S(π) S(X, A) 0 induce un successione estt lung in omologi:... H q (A) H q(i) H q (X) H q(π) Hq (X, A) δ q Hq 1 (A)...... H 1 (X, A) δ 1 H0 (A) H 0 (i) H 0 (X) H 0 (π) H0 (X, A) 0 dett successione lung di omologi dell coppi (X, A). Esempio 7.16. Si x 0 un punto di uno spzio topologico X; llor i gruppi di omologi dell coppi (X, x 0 ) sono isomorfi i gruppi di omologi ridott di X: H q (X, x 0 ) H q (X). Inftti, considerndo l successione estt lung dell coppi (X, x 0 ):... H q ({x 0 }) Hq(i) H q (X) Hq(π) H q (X, {x 0 }) δ q Hq 1 ({x 0 })... 80

7.2. Omologi di un coppi e retrzioni vedimo che, se q 2 imo H q (X) H q (X, {x 0 }) in qunto H q ({x 0 }) = H q 1 ({x 0 }) = 0. Vedimo or l situzione per q = 0, 1; l porzione di successione estt lung d considerre è l seguente: 0 H 1 (X) H 1(π) H1 (X, {x 0 }) δ 1 H 0 ({x 0 }) H 0(i) H0 (X) H 0(π) H0 (X, {x 0 }) 0 Si K un insieme che prmetrizz le componenti connesse di X, e si X k l componente che contiene x 0. er il Teorem 6.34 imo H 0 ({x 0 }) Z [x 0 ], mentre H 0 (X) k K Z (k), dove come genertore di Z (k) si può prendere qulsisi punto dell componente conness X k. D quest descrizione risult evidente che il morfismo H 0 (i) è iniettivo. Ne segue che δ 1 è il morfismo nullo, e quindi H 1 (X, {x 0 }) H 1 (X); inoltre imo un successione estt reve 0 H 0 ({x 0 }) H 0(i) H 0 (X) H 0(π) H 0 (X, {x 0 }) 0 Tle successione è spezznte, in qunto l omomorfismo h : H 0 (X) H 0 ({x 0 }) che mnd il genertore di Z (k) nello zero se k k e il genertore di Z ( k) in [x 0 ] è tle che h H 0 (i) = Id H0 ({x 0 }). ertnto H 0 (X) H 0 (X, {x 0 }) Z [x 0 ]. Anlogmente è possiile provre l seguente roposizione 7.17. H 0 (X, A) è il gruppo elino liero generto dlle componenti connesse di X che non intersecno A. L seguente proposizione descrive l omologi dei retrtti, e può essere utile per stilire che un sottospzio A non è un retrtto dello spzio miente X. roposizione 7.18. Si A X un retrtto. Allor H q (X) H q (A) H q (X, A). (7.19) Dimostrzione. oiché A è retrtto di X imo il digrmm commuttivo A i X r A Id A dl qule ottenimo in omologi il digrmm commuttivo H q (A) H q(i) H q (X) H q(r) H q (A) Id Hq(A) 81

7. Teorem di Myer-Vietoris,... d cui deducimo che H q (r) H q (i) = Id Hq(A); in prticolre H q (i) è iniettiv e H q (r) è suriettiv. Questo ci permette di dividere l successione lung di omologi dell coppi (X, A) 0 0... H q (A) H q(i) H q (X) H q(π) Hq (X, A)... in successioni estte revi e spezznti. 0 H q (A) H q(i) H q (X) H q(π) H q (X, A) 0 H q(r) er l roposizione 6.13 possimo dunque concludere che H q (X) H q (A) H q (X, A). Esempio 7.20. er ogni n intero non negtivo si S n R n+1 l sfer di rggio unitrio. Se k < n llor S k non è retrtto di S n. Inftti, se S k fosse retrtto di S n, per q = k, dll roposizione 7.18 otterremmo 0 H k (S n ) H k (S k ) H k (S n, S k ) Z H k (S n, S k ), un evidente contrddizione. Esempio 7.21. Clcolimo l omologi dell coppi (D n, S n 1 ); ricordndo che H q (D n ) = 0 per q 1, dll successione estt dell coppi ottenimo, per q 2... H q (D n ) H q (D n, S n 1 ) H q 1 (S n 1 ) H q 1 (D n )...... 0 H q (D n, S n 1 ) H q 1 (S n 1 ) 0... E quindi, per q 2, H q (D n, S n 1 ) H q 1 (S n 1 ). erciò, ricordndo l Esempio 7.8, se q 2 imo { H q (D n, S n 1 {0} q n ) Z q = n. Considerimo or i termini di indice più sso dell successione estt lung dell coppi (D n, S n 1 ) 0 H 1 (D n, S n 1 ) H 0 (S n 1 ) H 0(i) H 0 (D n ) H 0 (D n, S n 1 ) 0 82

7.3. Omologi locle e invrinz dell dimensione Voglimo studire l mpp H 0 (i) : H 0 (S n 1 ) H 0 (D n ); se n 2 imo H 0 (S n 1 ) Z [ ], dove [ ] è l clsse di un punto. L mpp H 0 (i) mnd tle clsse nell clsse individut d [ ] in H 0 (D n ); D n è connesso per rchi, e quindi H 0 (D n ) Z, generto dll clsse di un punto. ertnto H 0 (i) è un isomorfismo e H 1 (D n, S n 1 ) = H 0 (D n, S n 1 ) = 0. Diverso è il cso n = 1; inftti H 0 (S 0 ) Z [ ] Z [Q], dove = ( 1, 0) e Q = (0, 1); i punti e Q individuno l stess clsse in H 0 (D 1 ) Z, quell del genertore, quindi H 0 (i) : Z Z Z è il morfismo che ssoci (h, k) l somm h + k, e quindi h come nucleo Ker δ = {(h, h)} Z; perciò in questo cso H 1 (D 1, S 0 ) = Z e H 0 (D 1, S 0 ) = 0. Rissumendo { H q (D n, S n 1 {0} q n ) Z q = n. 7.3 omologi locle e invrinz dell dimensione Definizione 7.22. Un morfismo di coppie f : (X, A) (Y, B) è un ppliczione continu f : X Y tle che f(a) B. Dto un morfismo di coppie f : (X, A) (Y, B) possimo considerre gli omomorfismi S q (f) : S q (X) S q (Y ) e S q (f) : S q (A) S q (B); essendo S q (f)(s q (A)) S q (B) risultno definiti omomorfismi S q : S q (X, A) S q (Y, B). E semplice verificre che { S q (f)} è un morfismo di complessi di ctene, e che quindi esso induce un omomorfismo H q (f) : H q (X, A) H q (Y, B). Si (X, A) un coppi di spzi, e si W A; imo un inclusione di coppie i : (X \ W, A \ W ) (X, A), che induce omomorfismi H q (i) : H q (X \ W, A \ W ) H q (X, A). Definizione 7.23. Si dice che i : (X \ W, A \ W ) (X, A) è un escissione, o che W si può escindere, se H q (i) è un isomorfismo per ogni q. Un condizione sufficiente per poter escindere un sottospzio è l seguente: Teorem 7.24. (di escissione) Se (X, A) è un coppi di spzi e W A è tle che W Å, llor W si può escindere. Si X uno spzio topologico in cui ogni punto è un sottoinsieme chiuso (un tle spzio topologico si dice spzio T 1 ). Definizione 7.25. Si x X un punto. Si dicono gruppi di omologi locle di X in x i gruppi di omologi dell coppi (X, X \ {x}). 83

7. Teorem di Myer-Vietoris,... Il nome dto tli gruppi è giustificto dll seguente roposizione 7.26. Si V un intorno di x; llor l inclusione di coppie (V, V \{x}) (X, X \ {x}) induce isomorfismi H q (V, V \ {x}) H q (X, X \ {x}) per ogni q Z. Dimostrzione. Si h X \ V = X \ V X \ {x} = (X \ {x}), e quindi X \V si può escindere dll coppi (X, X \{x}) per il Teorem 7.24. Lemm 7.27. (Lemm dei cinque). Dto il digrmm commuttivo con righe estte f 1 A 1 f 2 A 2 f 3 A 3 f 4 A 4 A 5 h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 B 1 g 1 B2 g 2 B3 g 3 B4 g 4 B5 se h 1, h 2, h 4 e h 5 sono degli isomorfismi, llor nche h 3 è un isomorfismo. Dimostrzione. Mostrimo innnzitutto che h 3 è iniettivo; si 3 A 3 tle che h 3 ( 3 ) = 0. er l commuttività del terzo qudrto h 4 (f 3 ( 3 )) = g 3 (h 3 ( 3 )) = 0, e quindi f 3 ( 3 ) = 0 perché h 4 è un isomorfismo. L successione è estt in A 3, e 3 Ker(f 3 ), quindi esiste 2 A 2 tle che f 2 ( 2 ) = 3 ; per l commuttività del secondo qudrto g 2 (h 2 ( 2 )) = h 3 (f 2 ( 2 )) = 0, quindi h 2 ( 2 ) Ker(g 2 ) e, per l esttezz dell rig inferiore, esiste 1 B 1 tle che g 1 ( 1 ) = h 2 ( 2 ). 1 = h 1 1 ( 1 ) A 1 f 1 f 2 2 A 2 f 3 3 A 3 f 3 ( 3 ) A 4 h 1 h 2 h 3 h 4 1 B 1 g 1 h2 ( 2 ) B 2 g 2 0 B3 g 3 0 B4 Si 1 = h 1 1 ( 1 ); per l commuttività del primo qudrto si h 84 h 2 (f 1 ( 1 )) = g 1 (h 1 ( 1 )) = g 1 ( 1 ) = h 2 ( 2 );

7.3. Omologi locle e invrinz dell dimensione poiché h 2 è un isomorfismo si h f 1 ( 1 ) = 2. Infine, per l esttezz in A 2 dell rig superiore si h 3 = f 2 (f 1 ( 1 )) = 0. Mostrimo or che h 3 è suriettivo. Si 3 B 3 ; si 4 = g 3 ( 3 ) e si 4 = h 1 4 ( 4 ). er l commuttività del qurto qudrto e per l esttezz dell rig inferiore h 5 (f 4 ( 4 )) = g 4 (h 4 ( 4 )) = 0. f 2 2 A 2 f 3 3, 3 A 3 4 = h 1 4 ( 4 ) A 4 f 4 0 A 5 h 2 h 3 h 4 h 5 2 B 2 g 2 3, 3 B 3 g 3 4 = g 3 ( 3 ) B 4 g 4 0 B5 er l iniettività di h 5 si h f 4 ( 4 ) = 0, e quindi, per l esttezz dell rig superiore esiste 3 A 3 tle che f 3 ( 3) = 4. Si 3 = h 3 ( 3); llor g 3 ( 3) = g 3 (h 3 ( 3)) = h 4 (f 3 ( 3)) = h 4 ( 4 ) = 4, e quindi 3 3 Ker(g 3 ). er l esttezz dell rig inferiore esiste 2 B 2 tle che g 2 ( 2 ) = 3 3. Si 2 = h 1 2 ( 2 ) e si 3 = f 2 ( 2 ); si h che h 3 ( 3 + 3) = h 3 (f 2 ( 2 )) + 3 = g 3 (h 2 ( 2 )) + 3 = 3 + 3 3 = 3. Aimo quindi trovto un controimmgine di 3. Esempio 7.28. Clcolimo i gruppi di omologi locle di R n ; per comodità sceglimo come punto l origine. Aimo un digrmm commuttivo S n 1 D n R n \ {0} R n dove tutti i morfismi sono inclusioni. Le inclusioni verticli inducono l inclusione di coppie (D n, S n 1 ) (R n, R n \ {0}). Considerndo le successioni estte delle coppie (D n, S n 1 ), (R n, R n \ {0}) e i morfismi indotti dlle inclusioni ottenimo il seguente digrmm commuttivo: H q (S n 1 ) H q (D n ) H q (D n, S n 1 ) H q 1 (S n 1 ) H q 1 (D n ) H q (R n \ {0}) H q (R n ) H q (R n, R n \ {0}) H q 1 (R n \ {0}) H q 1 (R n ) oiché S n 1 è un retrtto di deformzione di R n \{0} e D n è un retrtto di deformzione di R n tutte le frecce verticli trnne quell centrle sono isomorfismi. 85

7. Teorem di Myer-Vietoris,... er il Lemm 7.27 nche quell centrle è un isomorfismo e dunque, ricordndo l Esempio 7.21 imo { H q (R n, R n Z q = n \ {0}) 0 q n. Corollrio 7.29. (Teorem di invrinz dell dimensione). Sino U R n e V R m due perti omeomorfi. Allor m = n. Dimostrzione. Si ϕ : U V l omeomorfismo, si x U e y = ϕ(x). Allor, utilizzndo l roposizione 7.26 e l Esempio 7.28, ottenimo Z H n (R n, R n \{x}) H n (U, U \{x}) H n (V, V \{y}) H n (R m, R m \{y}), d cui l tesi. 86

rte II Anlisi Compless 87

Cpitolo 8 Funzioni olomorfe In questo cpitolo, dopo ver revemente richimto l definizione e le prime proprietà dei numeri complessi, introdurremo l nozione di differenziilità per funzioni di un vriile compless (olomorfi) e vedremo come tle nozione si molto più restrittiv dell differenziilità dell stess funzione penst come funzione di due vriili reli. Mostreremo poi che le serie di potenze definiscono funzioni olomorfe ll interno del disco di convergenz, e introdurremo, medinte le loro serie, l funzione esponenzile ed lcune ltre funzioni. 8.1 richimi sui numeri complessi Il cmpo C dei numeri complessi è costituito dlle coppie ordinte (, ) R 2 con le operzioni (, ) + (c, d) = ( + c, + d) (, ) (c, d) = (c d, d + c) È immedito verificre che C è un gruppo elino rispetto ll somm, con elemento neutro (0, 0), in cui l opposto di (, ) è (, ), che C \ {(0, 0)} è un gruppo elino rispetto l prodotto, con elemento neutro (1, 0), in cui l inverso di (, ) è (/( 2 + 2 ), /( 2 + 2 )) e che vlgono le proprietà distriutive dell somm rispetto l prodotto. Denotndo con i l coppi (0, 1) possimo scrivere il numero complesso (, ) come + i tle scrittur è dett form lgeric del numero complesso (, ); notimo che i 2 = (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) = 1. Dto il numero complesso α = + i chimeremo il numero rele prte rele di α, e l denoteremo con Re α; chimeremo il numero rele prte immginri di α e l denoteremo con Im α. Chimeremo coniugto del numero complesso α il numero complesso α = Re α iim α. Chirmente si h Re α = α + α 2 Im α = α α. 2i 89

8. Funzioni olomorfe Altre proprietà di immedit verific sono le seguenti: α + β = α + β α β = α β (α) = α (8.1) Definimo il modulo di un numero complesso α come α = (Re α) 2 + (Im α) 2. E semplice verificre che α 2 = αα, αβ = α β, α + β α + β, se α 0 1 α = α α 2. (8.2) Dto un numero complesso α = + i, denotte con ρ = α e ϑ le coordinte polri del punto (, ) R 2 si h e quindi possimo scrivere = ρ cos ϑ = ρ sin ϑ, α = ρ(cos ϑ + i sin ϑ). Tle scrittur è dett form trigonometric del numero complesso α, e ϑ è detto rgomento di α. Si ϑ un numero rele. Definimo e iϑ := cos ϑ + i sin ϑ; (8.3) è chiro che, con quest definizione, e iϑ è un numero complesso di modulo uno, e che e i(ϑ+2kπ) = e iϑ. Dto un numero complesso α = + i, denotte con ρ e ϑ le coordinte polri del punto (, ) R 2 si h α = ρe iθ. Tle scrittur è dett form esponenzile del numero complesso α. Lemm 8.4. Sino ϑ, ϕ due numeri reli. Allor e i(ϑ+ϕ) = e iϑ e iϕ. Dimostrzione. er definizione e i(ϑ+ϕ) = cos(ϑ + ϕ) + i sin(ϑ + ϕ); utilizzndo le formule di ddizione per seno e coseno ottenimo che l espressione precedente è ugule 90 cos ϑ cos ϕ sin ϑ sin ϕ + i(sin ϑ cos ϕ + sin ϕ cos ϑ).

8.2. Funzioni complesse. Continuità e differenziilità D ltr prte l espressione e iϑ e iϕ è, per definizione e iϑ e iϕ = (cos ϑ + i sin ϑ)(cos ϕ + i sin ϕ) e, svolgendo il prodotto, imo l tesi. Si or α = + i un numero complesso. Definimo Utilizzndo il Lemm 8.4 è semplice mostrre che Lemm 8.6. Sino α, β due numeri complessi. Allor e α := e e i. (8.5) e α+β = e α e β. roposizione 8.7. Si α 0 un numero complesso, di modulo ρ e rgomento ϑ, e n un intero positivo. Allor l equzione z n = α h n rdici, dte dll formul z k = n ρ e i( ϑ n + 2kπ n ) k = 0,..., n 1. Dimostrzione. Scrivimo z = ρ z e iϕ ; llor z n = ρ n z e inϕ ; uguglindo modulo e rgomento si z n e α trovimo d cui l tesi. ρ n z = ρ nϕ = ϑ + 2kπ 8.2 funzioni complesse. continuità e differenziilità Si Ω C un perto, e si f : Ω C un funzione; dre un funzione f sifftt equivle dre due funzioni u, v : R 2 R tli che, posto z = x + iy si i f(z) = u(x, y) + iv(x, y). oiché l topologi che considerimo su C è l topologi euclide indott dll identificzione di C con R 2, in virtù dell proprietà universle del prodotto l funzione f è continu se e solo se sono continue le funzioni u e v. In nlogi con il cso rele, per qunto rigurd l differenziilità, possimo dre l seguente Definizione 8.8. Si z Ω. L funzione f si dice differenziile in z se esiste un numero complesso f (z) tle che, per h 0, f(z + h) f(z) = f (z)h + o( h ). Equivlentemente f si dice differenziile in z se esiste finito il limite lim h 0 f(z + h) f(z). h 91

8. Funzioni olomorfe Osservzione 8.9. oiché l definizione è formlmente identic quell del cso rele si mntengono tutte le proprietà formli, quli le formule per derivre somme, prodotti, quozienti e funzioni composte. roposizione 8.10. Si f : Ω C un funzione, f(z) = u(x, y) + iv(x, y), tle che u, v C 1 (Ω). Allor f è differenziile in z se e solo se u x = v y u y = v x. Tli condizioni sono dette equzioni di Cuchy-Riemnn. Dimostrzione. Si v un numero complesso di modulo uno; condizione necessri ffinché esist finito il limite f(z + h) f(z) lim h 0 h = f (z) è che, per ogni v tle che v = 1 esist finito il limite f(z + rv) f(z) D v f(z) := lim, r 0 r e si vede fcilmente che, in tl cso, si h D v f(z) = f (z)v. Notimo che, scegliendo v = 1 imo che D 1 f(z) = f x, mentre, scegliendo v = i imo D i f(z) = f y ; pertnto trovimo che { f (z) = u x + iv x if (z) = u y + iv y Moltiplicndo per i l second equzione e sommndo trovimo che u x v y + i(u y + v x ) = 0, d cui seguono le equzioni di Cuchy-Riemnn. Supponimo or che vlgno le equzioni di Cuchy-Riemnn. osto h = + i; i rpporti incrementli per u e v si scrivono come: u(z + h) u(z) = u x + u y + o( h ) = u x v x + o( h ); v(z + h) v(z) = v x + v y + o( h ) = v x + u x + o( h ), ove le ultime uguglinze derivno dlle condizioni di Cuchy-Riemnn. Sommndo or i due rpporti incrementli (il secondo moltiplicto per i) ottenimo il rpporto incrementle di f f(z + h) f(z) = (u x + iv x ) + (iu x v x ) + o( h ) = (u x + iv x )( + i) + o( h ). = (u x + iv x )h + o( h ) e quindi f è differenziile in z e f (z) = u x + iv x. 92

8.2. Funzioni complesse. Continuità e differenziilità Definizione 8.11. Un funzione f : Ω C si dice olomorf in Ω se è differenziile in ogni punto di Ω. Indicheremo le funzioni olomorfe su Ω con O(Ω). Un ltro modo di esprimere l condizioni di Cuchy-Riemnn è il seguente: osservndo che x = z + z y = z z x 2 2i z = 1 y 2 z = i 2 possimo introdurre gli opertori e, così definiti: z z z = 1 ( 2 x i ) y z = 1 2 È immedito verificre che ( x + i y Osservzione 8.12. Un funzione f verific le condizioni di Cuchy-Riemnn se e solo se f z = 0. Quli condizioni deve soddisfre un funzione u : Ω R 2 R per poter essere l prte rele di un funzione olomorf? Assumimo che esist un funzione f = u+iv olomorf in Ω e che u, v C 2 (Ω). Dlle condizioni di Cuchy-Riemnn, u x = v y u y = v x, derivndo l prim uguglinz rispetto d x e l second rispetto d y trovimo che 2 u x + 2 u 2 y = 0, 2 e l stess condizione vle per v, con nlogo procedimento. Un funzione di clsse C 2 che soddisf tle condizione è dett rmonic. L condizione di rmonicità è nche sufficiente su un dominio semplicemente connesso, come mostr il seguente risultto. roposizione 8.13. Si u : Ω R un funzone rmonic su un dominio semplicemente connesso Ω. Allor esiste un funzione rmonic v : Ω R, unic meno di un costnte, tle che f(z) = u(x, y) + iv(x, y) si un funzione olomorf. Dimostrzione. Tle form è chius; inftti Considerimo l 1-form differenzile ω = u y dx + u x dy. dω = u yy dy dx + u xx dx dy = 0. oiché il dominio Ω è semplicemente connesso, ω, essendo chius, è nche estt, cioè esiste un funzione v : Ω R tle che ω = dv = v x dx + v y dy. ertnto v x = u y e u x = v y, cioè f(z) = u(x, y) + iv(x, y) soddisf le condizioni di Cuchy-Riemnn, ed è quindi un funzione olomorf. ). 93

8. Funzioni olomorfe 8.3 serie di potenze Si {f n (z)}, con f n : Ω C un successione di funzioni. Definizione 8.14. Si dice che {f n (z)} converge puntulmente d f in Ω se per ogni z Ω si h lim n f n (z) = f(z). converge uniformemente d f in Ω se per ogni ε > 0 esiste n 0 tle che n n 0 si h sup z Ω f n (z) f(z) < ε o equivlentemente lim sup f n (z) f(z) = 0. n z Ω Si or + n=1 f n(z), con f n : Ω C un serie di funzioni. Definizione 8.15. Si dice che + n=1 f n(z) converge puntulmente in Ω se per ogni z Ω l serie + n=1 f n(z) converge. converge ssolutmente in Ω se per ogni z Ω l serie + n=1 f n(z) converge. converge uniformemente in Ω se l successione delle somme przili converge uniformemente in Ω. roposizione 8.16 (Test di Weierstrss). Si {f n (z)} un successione di funzioni definite in Ω, e sino M n numeri reli tli che f n (z) M n z Ω. Se + n=1 M n converge, llor + n=1 f n converge ssolutmente e uniformemente in Ω. Definizione 8.17. Se le ipotesi dell roposizione 8.16 sono soddisftte, si dice che l serie converge totlmente in Ω Teorem 8.18 (Hdmrd). Si + n=0 n(z z 0 ) n un serie di potenze, e si 1 R = lim sup n + n n. 1. Se z z 0 < R llor l serie converge ssolutmente, e per R 1 < R l serie converge uniformemente in z z 0 R 1. 2. Se z z 0 > R l serie diverge. R si dice rggio di convergenz dell serie di potenze. Osservzione 8.19. Si + n=0 n(z z 0 ) n un serie di potenze, e si + n=1 n n(z z 0 ) n 1 l su serie derivt. Allor i rggi di convergenz delle due serie sono uguli. 94

8.3. Serie di potenze Dimostrzione. Riscrivimo l serie derivt come + n=0 (n + 1) n+1(z z 0 ) n e osservimo che ( n (n + n+1 1)n+1 = ) n+1 n (n + 1) n+1, d cui l sserto. Teorem 8.20. Si + n=0 n(z z 0 ) n un serie di potenze con rggio di convergenz R positivo. Allor f(z) = + n=0 n(z z 0 ) n è olomorf in z z 0 < R e f (z) = + n=1 n n(z z 0 ) n 1. Dimostrzione. Assumimo, senz perdit di generlità, che z 0 = 0. Si z B 0 (R) e si δ un numero rele positivo tle che B z (δ) B 0 (R). f(z + h) f(z) h = = = + n=0 + n=0 + n=0 + (z + h) n z n (z + h) n z n n = n = h z + h z n=0 ( ) n z + h 1 n z n 1 z + n 1 ( ) j z + h ( ) = n z n 1 = z + h z 1 n=0 j=0 z n 1 n z n 1 j (z + h) j j=0 Mostrimo che l serie ppen scritt converge uniformemente in B z (δ), utilizzndo il criterio di Weierstrss. Osservimo innnzitutto che z + h z + h < z + δ. ossimo quindi scrivere n 1 n 1 n z n 1 j (z + h) j n z n 1 j ( z + δ) j j=0 j=0 n 1 n ( z + δ) n 1 j=0 = n n ( z + δ) n 1. Voglimo utilizzre il criterio di Weierstrss con M n = n n ( z + δ) n 1. L serie + n=0 M n converge perché l serie derivt converge ssolutmente nel cerchio di convergenz, cui pprtiene il punto z + z/ z δ. ossimo quindi clcolre il limite del rpporto incrementle nel modo seguente: f(z + h) f(z) lim h 0 h = + n=0 n 1 n lim z n 1 j (z + h) j = h 0 j=0 + n=0 n n z n 1 95

8. Funzioni olomorfe Aimo con ciò mostrto che f è differenziile in z e che l su derivt è l serie derivt. 8.4 estensione compless di lcune funzioni notevoli Esempio 8.21. Definimo e z := + 0 z n n! ; (8.22) per il Teorem 8.20 tle funzione è olomorf su C; osservimo innnzitutto che l funzione definit in 8.22 è tle che (e z ) = e z, in qunto l derivt dell serie è l serie derivt. ertnto, dto w C l funzione g w (z) = e w z e z è costnte, in qunto g (z) = 0; ponendo z = 0 si trov che g w (z) = e w. resi α e β C, posto w = α + β e z = β si ottiene Osservimo or che, per ϑ R e iϑ = = + (i) n ϑn 0 + 0 e α+β = g w (z) = e α e β. + n! = (i) 2k ϑ2k + (2k)! + (i) 2k+1 ϑ 2k+1 (2k + 1)! 0 ( ) k ϑ2k + (2k)! + i ( ) k ϑ 2k+1 (2k + 1)! = cos ϑ + i sin ϑ. 0 ertnto l definizione dell esponenzile complesso dt in 8.22 coincide con quell dt in 8.3 e 8.5 e l giustific. L funzione esponenzile compless è periodic di periodo 2πi, in qunto e z+2πi = e z e 2πi = e z, e ssume tutti i vlori complessi trnne lo zero. Inftti, dt l equzione Riscrivendol come e z = α, e x e iy = α e i rg α ; trovimo il seguente sistem di equzioni { x = ln α y = rg α + 2kπ ertnto le soluzioni di e z = α sono z k = ln α + i(rg α + 2kπ). 96 0

8.4. Estensione compless di lcune funzioni notevoli Esempio 8.23. Le funzioni complesse sin z e cos z sono definite come sin z = cos z = + 0 + 0 ( ) k z 2k+1 (2k + 1)! z2k ( ) k (2k)! In modo nlogo qunto ftto nell esempio precedente si mostr che (8.24) (8.25) e iz = cos z + i sin z, e quindi che cos z = eiz + e iz sin z = eiz e iz. (8.26) 2 2i Le funzione seno e coseno complesse sono periodiche di periodo 2π, ssumono tutti i vlori complessi, e si nnullno solo nei punti dove si nnullno le corrispondenti funzioni reli. Verifichimolo per il coseno, considerndo l equzione cos z = α; e, utilizzndo l prim delle 8.26, riscrivimol come e iz + e iz = 2α; rccogliendo e iz possimo riscrivere l equzione come e iz (e 2iz 2αe iz + 1) = 0. Il primo fttore non è mi nullo; il secondo fttore è un equzione di secondo grdo in e iz, ed h quindi due soluzioni { e iz α 1 = α α = 2 1 α 2 = α + α 2 1 Notimo che α 1 e α 2 sono diversi d zero, quindi entrme le equzioni mmettono soluzioni. D riscrivendol come e iz = α j, e ix e y = α j e i rg α j ; trovimo il seguente sistem di equzioni { y = ln α j x = rg α j + 2kπ 97

8. Funzioni olomorfe Le soluzioni di cos z = α sono dunque z jk = rg α j +2kπ i ln α j, che, per α = 0 si riducono z k = π 2 + 2kπ. Con semplici clcoli si possono esprimere prte rele ed immginri di cos z e sin z come segue: cos z = cos x cosh y i sin x sinh y sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y. Esempio 8.27. Le funzioni tngente e cotngente compless non sono definite estendendo C l serie di potenze rele, perché in tl modo il cerchio di convergenz vree rggio finito, m come quoziente delle funzioni seno e coseno: tn z := sin z cos z cot z := cos z sin z Esempio 8.28. L funzioni iperoliche complesse sono definite come segue: cosh z = ez + e z 2 sinh z = ez e z Esempio 8.29. Definendo logritmo di un numero complesso α un numero complesso z tle che e z = α, ricordndo l esempio 8.21, imo che 0 non h un logritmo, mentre ogni ltro numero complesso ne h infiniti, cioè z k = ln α + i(rg α + 2kπ). Si potree pensre che, come d esempio nel cso dell rcotngente rele, si trtti di un infinità numerile di funzioni diverse, e si possiile sceglierne un definit su C \ {0}, d esempio ponendo log z = ln z + i rg z 2 rg z [0, 2π), m è fcile convincersi che tle funzione non è continu nei punti del semisse rele positivo; inftti, se z R + imo log z = ln z m lim ϑ 2π log(zeiϑ ) = ln z + i2π. Non c è un prolem prticolre con i punti del semisse rele positivo: il prolem nsce se l insieme di definizione contiene un curv chius che circond l origine. È possiile definire un logritmo continuo su Ω connesso tle che 0 Ω se e solo se, dto z 0 Ω e indict con j l inclusione j : Ω C \ {0} si h che j : π(ω, z 0 ) π(c \ {0}, z 0 ) è l omomorfismo nullo. Definimo l funzione logritmo principle, Log z : C\(R {0}) C ponendo Log z = ln z + i rg z rg z ( π, π). Attenzione: le proprietà formli del logritmo rele non vlgono per il logritmo principle; d esempio 98

8.4. Estensione compless di lcune funzioni notevoli Log( 1 + i) 2 = Log(2e i 3π π 2 ) = ln 2 i 2. ( 2 Log( 1 + i) = 2 ln 2 + i 3π ) = ln 2 + i 3π 4 2. 99

Cpitolo 9 Integrzione lungo curve 9.1 integrzione lungo curve In quest sezione voglimo definire l integrle di un funzione f : Ω C C lungo un curv contenut in Ω. Comincimo col definire l integrle di un funzione continu vlori complessi definit su un intervllo di R. Si f : [, ] C un funzione continu: scrivimo f(t) = u(t) + iv(t), e definimo f(t)dt := u(t)dt + i v(t)dt roposizione 9.1. Vlgono le seguenti proprietà: (λf(t) + µg(t))dt = λ f(t)dt + µ g(t)dt; (9.2) Re f(t)dt = Re f(t)dt Im f(t)dt = Im f(t)dt (9.3) f(t)dt f(t) dt (9.4) Se esiste F derivile su in [, ] tle che f = F llor f(t)dt = F () F (). (9.5) Se θ : [, ] [c, d] è di clsse C 1, invertiile con invers di clsse C 1, llor d f(s)ds = f(θ(t))θ (t)dt (9.6) c 101

9. Integrzione lungo curve Dimostrzione. Le prime due proprietà seguono immeditmente dll definizione, l qurt dl Teorem fondmentle del clcolo e l ultim dll regol di sostituzione per l integrle di Riemnn. Dimostrimo l (9.4). Si α R tle che e iα f(t)dt R +. In prticolre vremo che e iα f(t)dt = e iα f(t)dt = Re e iα f(t)dt ossimo quindi scrivere f(t)dt = eiα f(t)dt = Re e iα f(t)dt = = Re (e iα f(t))dt e iα f(t) dt = f(t) dt, e l (9.4) è così dimostrt. Definizione 9.7. Si J R un intervllo. Un curv regolre in C è un ppliczione : J C di clsse C 1 tle che (t) 0 per ogni t J. L curv si dice regolre trtti se è continu su J e di clsse C 1 con (t) 0 su J meno un numero finito di punti. Dt un curv regolre : J C, un intervllo J e un ppliczione θ : J J di clsse C 1, invertiile con invers di clsse C 1, possimo considerre l curv regolre dt d (t) := θ : J C, che chimeremo riprmetrizzzione di. Si : J C un curv regolre e [, ] J; per ogni suddivisione S di J del tipo = t 0 < t 1 < < t n = considerimo il numero rele l(, S) = n (t i ) (t i 1 ) ; i=1 geometricmente l(, S) è l lunghezz di un poligonle inscritt in ([, ]) con i vertici in (t i ). Definizione 9.8. L lunghezz dell curv tr () e () è definit come 102 l() = sup l(, S). S

9.1. Integrzione lungo curve Teorem 9.9. Si : J C un curv regolre e [, ] J; llor l() = (t) dt. Si or : [, ] C un curv regolre e si f : Ω C un funzione continu, con Ω perto che contiene il supporto di. Definimo f(z)dz := f((t)) (t)dt; È semplice verificre, utilizzndo l (9.6) che l definizione ppen dt non dipende dll prmetrizzzione dell curv. Inoltre vle l seguente roposizione 9.10. L integrle di un funzione lungo un curv regolre gode delle seguenti proprietà: (λf(z) + µg(z))dz = λ f(z)dz + µ g(z)dz; (9.11) Re f(z)dz = Re f(z)dz Im f(z)dz = Im f(z)dz (9.12) f(z)dz mx f(z) l(); (9.13) Se supp() Ω perto ed esiste F O(Ω) tle che f = F llor f(z)dz = F (()) F (()). (9.14) Dimostrzione. Le prime due proprietà e l ultim seguono dlle nloghe proprietà viste nell roposizione 9.1. er dimostrre l (9.13) utilizzimo l (9.4) e il Teorem 9.9: f(z)dz = f((t)) (t)dt f((t)) (t) dt mx f(z) (t) dt = mx f(z) l() 103

9. Integrzione lungo curve Osservzione 9.15. Qunto visto finor per l integrzione lungo curve regolri si estende l cso delle curve regolri trtti: l integrle di un funzione lungo un curv regolre trtti è l somm degli integrli dell funzione lungo i trtti regolri dell curv. D or in vnti, per curv intenderemo curv regolre trtti. Esempio 9.16. Si f(z) = (z ) n, con n intero nonnegtivo; tle funzione h come primitiv l funzione F (z) = (z )n+1, olomorf su tutto C; pertnto n+1 l integrle di f lungo qulsisi curv chius è nullo. Se n 2 vle l stess conclusione per l integrle lungo qulsisi curv chius che non pss per. Clcolimo direttmente l integrle di f(z) = (z ) 1 lungo un circonferenz di rggio unitrio centrt in prmetrizzt nel modo seguente: (ϑ) = +e iϑ, con ϑ [0, 2π]. Allor f(z)dz = 2π 0 ie iϑ dϑ = i eiϑ 2π 0 dϑ = 2πi. 9.2 il teorem di cuchy - versione locle Teorem 9.17 (Gourst). Si Ω C un perto, si f O(Ω), e si R un rettngolo contenuto in Ω. Allor f(z)dz = 0, R ove con R si denot il ordo del rettngolo, prmetrizzto con lunghezz d rco e percorso in senso ntiorrio. Dimostrzione. er ogni rettngolo R Ω, definimo η(r ) = R f(z)dz ; suddividimo il rettngolo R in quttro rettngoli uguli, R (1),..., R (4) ; chirmente l integrle di f sul ordo di R è ugule ll somm degli integrli di f sui ordi dei quttro rettngoli, perchè i lti comuni sono percorsi in verso opposto. 104

R 1 R 2 9.2. Il teorem di Cuchy - versione locle R (2) R (1) R (3) R (4) ertnto per uno dei quttro rettngoli chimimolo R 1 si vrà η(r 1 ) η(r)/4. rendimo or il rettngolo R 1, suddividimolo in quttro rettngoli uguli e ripetimo il rgionmento, trovndo un rettngolo R 2 tle che η(r 2 ) η(r 1) 4 η(r) 16. Continundo in questo modo costruimo un successione di rettngoli R R 1 R 2 R n... tli che η(r n ) η(r) 4 n. (9.18) L intersezione j=1r j è non vuot perché gli R j sono comptti, ed è costituit d un solo punto perché il dimetro dei rettngoli tende zero. Si z = j=1r j ; l funzione f è olomorf in z, quindi ε > 0 δ > 0 tle che f(z) f(z ) f (z )(z z ) < ε z z (9.19) se z z < δ, e ciò ccde per ogni punto di R n, se n >> 0. er l (9.14) - si ved l esempio 9.16 - si h che R n (f(z ) + (z z )f (z ))dz = 0. 105

9. Integrzione lungo curve ertnto η(r n ) = R n f(z)dz = [f(z) f(z ) (z z )f (z )]dz R n d cui, utilizzndo l 9.18, l 9.13, e l 9.19 ottenimo η(r n ) ε dim(r n )l( R n ) ε dim(r) 2 n l( R) 2 n = ε K 4 n. ertnto η(r) εk. Dll ritrrietà di ε segue l tesi. Corollrio 9.20 (Teorem di Cuchy - versione locle). Si D un disco perto, si f O(D) e si un curv chius il cui supporto è contenuto in D. Allor f(z)dz = 0. Dimostrzione. Si z 0 il centro del disco; preso z D, si R il rettngolo con i lti prlleli gli ssi i cui vertici opposti sono z 0 e z, si R l curv d z 0 z costituit dl lto orizzontle del rettngolo che pss per z 0 e dl lto verticle del rettngolo che pss per z, e si R + l curv d z 0 z costituit dl lto verticle del rettngolo che pss per z 0 e dl lto orizzontle del rettngolo che pss per z. z z 0 Definimo F (z) = f(w)dw R Clcolimo l derivt przile di F rispetto y nel punto z 106 F F (z + ri) F (z) (z) = lim y r 0 r 1 = lim r 0 r z+ir z f(w)dw,

9.2. Il teorem di Cuchy - versione locle dove l integrle è sul segmento che unisce z z + ir; prmetrizzndo tle segmento come (t) = z + it trovimo che z+ir f(w)dw = r if(z + it)dt = i r r u(z + it)dt + i v(z + it)dt, z 0 = ri (u(z + ir 0 ) + iv(z + ir 1 )) 0 0 dove 0 r 0, r 1 r e l ultim uguglinz è ottenut utilizzndo il Teorem del vlor medio. Al tendere di r zero nche r 0 e r 1 tendono zero, e F (z) = if(z). y Usimo or il Teorem 9.17 per ottenere che F (z) = f(w)dw e utilizzimo tle espressione per clcolre l derivt przile rispetto x R + F F (z + r) F (z) (z) = lim x r 0 r = lim r 0 z+r z f(w)dw; con rgionmento nlogo l precedente trovimo che quest ultim espressione è ugule f(z). Segue che F z = 1 ( ) F 2 x + i F = 0 y e quindi F è olomorf per l Osservzione 8.12. Inoltre F z = 1 ( ) F 2 x i F = f, y quindi F è un primitiv di f e concludimo per l (9.14). Corollrio 9.21. Si D un disco perto, si f O(D) e sino 1, 2 curve con lo stesso punto inizile e lo stesso punto finle, il cui supporto è contenuto in D. Allor 1 f(z)dz = f(z)dz. Le ipotesi del Teorem 9.17 possono essere indeolite, nel modo seguente: 2 107

9. Integrzione lungo curve Teorem 9.22. Si f O(Ω \ { 1,..., n }), tle che lim (z i )f(z) = 0 z i per ogni i, e si R un rettngolo contenuto in Ω il cui ordo è contenuto in Ω \ { 1,..., n }. Allor R f(z)dz = 0. Dimostrzione. A meno di suddividere il rettngolo R in più rettngoli, possimo ssumere che esso conteng solo uno dei punti i, che indicheremo con. Dividimo il rettngolo in otto rettngoli e un qudrto Q centrto in, come in figur. Q Applicndo il Teorem 9.17 gli otto rettngoli esterni ottenimo che l integrle di f sul ordo esterno di R è ugule ll integrle sul ordo di Q. er ipotesi, per ogni ε > 0 esiste δ tle che f(z)(z ) < ε se z < δ. Dto ε sceglimo Q in modo tle che si contenuto nel disco centrto in e di rggio δ, e quindi, per tutti i suoi punti vlg f(z)(z ) < ε. Si l(q) l lunghezz del lto di Q. Si h f(z)dz ε4l(q) mx 1 z = 8ε Q e dll ritrrietà di ε segue l tesi. Utilizzndo Il Teorem 9.22 e modificndo opportunmente l dimostrzione del Corollrio 9.20 si può mostrre che Corollrio 9.23. Si D un disco perto, si f O(D \ { 1,..., n }) tle che lim (z i )f(z) = 0 z i per ogni i e si un curv chius il cui supporto è contenuto in D \ { 1,..., n }. Allor f(z)dz = 0. 108

9.3. Indice di un punto rispetto un curv 9.3 indice di un punto rispetto un curv Definizione 9.24. Si : [, ] C un curv chius e si Ω = C \ supp(). Si dice indice di z Ω rispetto il numero Ind (z) := 1 dw 2πi w z. Lemm 9.25. Si : [, ] C un curv chius e si Ω = C \ supp(). Si Ind (z) l indice di z Ω rispetto. Allor Ind (z) è un numero intero. Dimostrzione. er definizione di integrle lungo un curv, si h: Ind (z) := 1 2πi (t) (t) z dt. er provre che l indice è un numero intero utilizzeremo il ftto che e 2πiα = 1 se e solo se α è un numero intero. Definimo perciò g(h) = h (t) (t) z dt e ϕ(h) = e g(h) e mostrimo che ϕ() = 1. L derivt di ϕ è dt d pertnto si h che ϕ = e g z = ϕ z ; Derivndo l (9.26), e riutilizzndol, ottenimo: ( ) ϕ = ϕ ( z) ϕ = ϕ z ( z) 2 z e quindi ϕ/( z) è costnte. D ottenimo ϕ(h) (h) z = ϕ z = ϕ. (9.26) ϕ z ϕ() () z = 1 () z ϕ(h) = (h) z () z, e quindi ϕ() = ϕ() = 1 poiché è chius. z = 0, 109

9. Integrzione lungo curve Lemm 9.27. Si Ω C un perto, si un curv il cui supporto è contenuto in Ω e si g : Ω C un funzione tle che l su restrizione l supporto di si continu. Allor l funzione g(w) f(z) = w z dw è olomorf in Ω \ supp(). Dimostrzione. Comincimo mostrre che f è continu. Si z 0 un punto di Ω\supp(), e si δ l distnz di z 0 dl supporto di. Si prend or z B z0 (δ/2). Chirmente per un tle z si h z (t) > δ/2 per ogni t. er cui, se w supp() g(w) w z g(w) w z 0 = g(w)(z z 0 ) (w z)(w z 0 ) < 2 δ mx g(w) z z 2 0 ertnto f(z) f(z 0 ) = ( g(w) w z g(w) ) dw w z 0 2 δ z z 0 mx g(w) l(). 2 e il secondo memro tende 0 per z che tende z 0. Considerimo or il rpporto incrementle di f, che, con semplici pssggi lgerici possimo scrivere come r(z) = f(z) f(z 0) = z z 0 g(w) (w z)(w z 0 ) dw; l funzione r(z) è continu per l prte già dimostrt del lemm, pplict ll funzione g(w)/(w z 0 ), che è continu su supp(), quindi e l funzione f è olomorf in z 0. lim r(z) = r(z 0 ) = z z 0 g(w) (w z 0 ) 2 dw, Corollrio 9.28. Si un curv chius e si Ω = C \ supp(). L funzione Ind (z) è continu su Ω. Corollrio 9.29. Ind (z) è un funzione costnte sulle componenti connesse di Ω. Dimostrzione. discreto Z. Segue dl ftto che Ind (z) è continu vlori nello spzio 110

9.4. Formul integrle e ppliczioni Osservzione 9.30. Sull componente conness illimitt di C \ supp() l indice vle zero. Inftti per ogni ε > 0, per z >> 0 e per w supp() si h 1 w z < ε, e quindi 2πi Ind (z) < εl(). Esempio 9.31. Si : [0, 2π] C, (ϑ) = + re iϑ l circonferenz di centro e rggio r; come nell esempio 9.16 possimo clcolre l indice del centro di : Ind () := 1 2πi dw w = 1 2πi 2π 0 ire iϑ dϑ = 1. reiϑ Grzie l Corollrio 9.29 e ll Osservzione 9.30 imo quindi { 1 z < r Ind (z) = 0 z > r 9.4 formul integrle e ppliczioni Teorem 9.32 (Formul integrle di Cuchy, versione locle). Si D un disco perto, si f O(D) e si un curv chius il cui supporto è contenuto in D. Allor, per ogni z supp(), f(z) Ind (z) = 1 2πi Dimostrzione. Considerimo l funzione F (w) = f(w) w z dw. f(w) f(z) ; w z tle funzione è olomorf in D\{z} e lim(w z)f (w) = 0, quindi, per il Corollrio w z 9.23 si h d cui si deduce che Ricordndo che segue l tesi. 0 = F (w)dw = f(z) f(w) w z dw dw w z = Ind (z) = 1 2πi f(w) w z dw. dw w z f(z) w z dw, 111

9. Integrzione lungo curve Osservzione 9.33. Se esistono un numero finito di punti,..., n D tli che f O(D \ { 1,..., n }), e lim (z i )f(z) = 0 per ogni i l tesi del Teorem 9.32 z i è ver purché z i. Singolrità eliminili Teorem 9.34. Si Ω C un perto, Ω un suo punto e f O(Ω \ {}), tle che lim z (z )f(z) = 0. Allor esiste un unic funzione f O(Ω) tle che f Ω\{} = f. Dimostrzione. Si un circonferenz centrt in e contenut in Ω. L funzione g(z) = 1 f(w) 2πi w z dw è olomorf nel disco perto di ordo per il Lemm 9.27, e coincide con f in tutti i punti per l formul integrle, e quindi, ponendo { f(z) z Ω \ {} f(z) = g(z) z = si ottiene l estensione cerct. Definizione 9.35. Si Ω C un perto, Ω un suo punto e f O(Ω \ {}), tle che lim z (z )f(z) = 0. Si dice che f h un singolrità eliminile in. Esempio 9.36. L funzione Teorem di Weierstrss cos z 1 z h un singolrità eliminile nell origine. Teorem 9.37. Si Ω C un perto, f O(Ω) e z 0 Ω. Allor esiste un intorno B z0 (r) di z 0 tle che, in tle intorno f(z) = n=0 n(z z 0 ) n, con n = 1 f(w) dw, 2πi (w z 0 ) n+1 dove è il ordo di B z0 (r). Dimostrzione. Si D un disco perto centrto in z 0 tle che l su chiusur si contenut in Ω, si il suo ordo e si r il suo rggio. Utilizzimo l formul integrle di Cuchy per z D: 112 f(z) = 1 2πi = 1 2πi f(w) w z dw = 1 2πi f(w) dw = (9.38) (w z 0 ) (z z 0 ) f(w) ( (w z 0 ) 1 z z ) dw. (9.39) 0 w z 0

9.4. Formul integrle e ppliczioni Osservimo or che w z 0 = r, mentre z z 0 < r, perciò z z 0 w z 0 < 1 e l (9.39) si può riscrivere come 1 2πi f(w) (w z 0 ) ( ) n z z0 dw. n=0 w z 0 oiché l serie converge uniformemente e f è limitt su possimo integrre termine termine ( ) n 1 f(w) z z0 f(z) = dw 2πi (w z n=0 0 ) w z 0 1 f(w) = dw 2πi (w z 0 ) n+1 (z z 0) n, e il teorem è dimostrto. n=0 Corollrio 9.40. Un funzione olomorf è C. Formul delle derivte Corollrio 9.41. Si Ω C un perto, f O(Ω) e z 0 Ω; llor se B z0 (r) Ω e è il ordo di B z0 (r) si h f (n) (z 0 ) = n! 2πi f(w) dw (w z 0 ) n+1 Dimostrzione. Segue immeditmente dl Teorem 9.37; inftti, derivndo l serie, ottenimo f (n) (z 0 ) = n! n. Mggiorzione di Cuchy Corollrio 9.42. Si Ω C un perto, f O(Ω), z 0 Ω e il ordo di un disco chiuso centrto in z 0 e contenuto in Ω. Si r il rggio di tle disco e M = mx f. Allor f (n) (z 0 ) n!m r n. Dimostrzione. Utilizzndo l formul delle derivte, ottenimo f (n) (z 0 ) = n! f(w) 2π (w z 0 ) n+1 n! Ml() = n!m 2π r n+1 r n 113

9. Integrzione lungo curve Teorem di Liouville Teorem 9.43. Si f O(C). Se f è limitt, llor è costnte. Dimostrzione. Supponimo che esist un costnte K tle che f(z) < K per ogni z C. Si r un circonferenz centrt nell origine di rggio r. Applicndo l mggiorzione di Cuchy per ogni n 1 ottenimo, per ogni r > 0 f (n) (0) n!k r ; n poiché l disugulinz è ver per ogni r necessrimente f (n) (0) = 0 per ogni n 0 e f(z) = f(0). Corollrio 9.44. Si f O(C). Se l prte rele (o l prte immginri) di f è limitt, llor è costnte. Dimostrzione. Si pplichi il Teorem 9.43 ll funzione F (z) = e f(z) (ll funzione F (z) = e if(z) rispettivmente). Teorem fondmentle dell lger Corollrio 9.45. Si p(z) C[z] un polinomio di grdo positivo. Allor esiste z 0 C tle che p(z 0 ) = 0. Dimostrzione. Supponimo, per ssurdo, che p(z) non i zeri, e considerimo l funzione f(z) = 1/p(z), che è quindi olomorf su tutto C. er z si h che f(z) 0, quindi f è limitt. er il Teorem 9.43 f è costnte, contrddicendo le ipotesi. Teorem di Morer Teorem 9.46. Si D C un disco perto, e si f C(D) tle che, per ogni rettngolo R D si i f(z)dz = 0. Allor f è olomorf in D. R Dimostrzione. L dimostrzione del Corollrio 9.20 può essere ripetut, fornendo l esistenz di un primitiv olomorf F di f. er il Teorem 9.37 ogni punto di D h un intorno tle che in esso F si può scrivere come serie di potenze; f è quindi ugule ll serie derivt, ed è pertnto olomorf. 114

Cpitolo 10 Il Teorem dell integrle nullo di Cuchy 10.1 ctene omologhe Sino i : J C curve chiuse regolri trtti. Un somm formle finit coefficienti interi = n i=1 m i i è dett cten. Si definisce f(z)dz := n m i i=1 i f(z)dz. É possiile nlogmente definire l indice di un punto rispetto d un cten: Ind (z) = n m i Ind i (z). i=1 Definizione 10.1. Si Ω C un perto, e si un cten il cui supporto è contenuto in Ω. L cten si dice omolog zero in Ω, e si scrive Ω 0 se per ogni punto z Ω si h Ind (z) = 0. Si dice che due ctene ed η sono omologhe in Ω se η Ω 0. Osservzione 10.2. Si può dimostrre che Ω 0 se e solo se l clsse [] H 1 (Ω) è nle. roposizione 10.3. Si Ω C un perto, e si un cten tle che Ω 0. Sino z 1,..., z n punti di Ω, sino D i, per i = 1,... n, dischi centrti in z i, l cui chiusur è contenut in Ω e due due disgiunti e sino i, per i = 1,... n, le circonferenze ordo dei dischi D i. Sino m i = Ind (z i ), per i = 1,... n e denotimo con Ω l perto Ω \ {z 1,..., z n }. Allor Ω mi i. Dimostrzione. Se z Ω, llor Ind (z) = 0 perché Ω 0, e Ind i (z) = 0 perché z non è contenuto nei cerchi di ordo i. Se invece z = z i llor Ind j (z i ) = δ ij, mentre Ind (z i ) = m i. 1 2 3 115

10. Il Teorem dell integrle nullo di Cuchy 10.2 il teorem di cuchy - dimostrzione di dixon Lemm 10.4. Si Ω C un perto, f O(Ω) e g : Ω Ω C definit ponendo f(w) f(z) w z g(z, w) = w z. f (z) w = z Allor g è un funzione continu. Dimostrzione. Si z 0 Ω; per l continuità di f, dto ε > 0 esiste δ tle che f (ξ) f (z 0 ) ε se ξ z 0 < δ. Assumimo, meno di restringerci, che il disco B z0 (δ) si contenuto in Ω. resi z, w in tle disco si h g(z, w) g(z 0, z 0 ) = = 1 w z (f(w) f(z) f (z 0 )(w z)) = 1 w w f (ξ)dξ f (z 0 )dξ w z Clcolimo gli integrli lungo il segmento che congiunge z w, prmetrizzndolo come ξ(t) = (1 t)z + tw (e quindi dξ = (w z)dt). z z g(z, w) g(z 0, z 0 ) = = 1 w z 1 1 0 (f (ξ(t)) f (z 0 ))(w z)dt (f (ξ(t)) f (z 0 ))dt Quindi, 0 1 g(z, w) g(z 0, z 0 ) f (ξ(t)) f (z 0 ) dt < ε se (z, w) B δ (z 0 ) B δ (z 0 ). 0 Teorem 10.5. Si Ω C un perto, un cten tle che Ω 0 e f O(Ω). Allor i) Teorem dell integrle nullo: f(z)dz = 0 ii) Formul integrle: per ogni z Ω \ supp() si h f(z) Ind (z) = 1 f(w) 2πi w z dw. 116

10.2. Il Teorem di Cuchy - Dimostrzione di Dixon Dimostrzione. Definimo g : Ω Ω C ponendo f(w) f(z) g(z, w) = w z f (z) w z w = z Tle funzione è continu per il Lemm 10.4; inoltre, per w 0 fissto, g(z, w 0 ) è un funzione olomorf. Si Ω C l insieme dei punti che hnno indice zero rispetto ; Ω è un unione di componenti connesse di C \ supp(), e quindi è perto. Inoltre, per ipotesi, Ω c Ω ; in prticolre C = Ω Ω. Si h : C C definit ponendo 1 2πi h(z) = 1 2πi g(z, w) dw z Ω f(w). w z dw z Ω Nell intersezione Ω Ω le due espressioni sono uguli; inftti 1 2πi g(z, w)dw = 1 2πi = 1 2πi = 1 2πi f(w) w z dw f(z) w z dw f(w) w z dw f(z) Ind (z) f(w) w z dw er il Lemm 9.27, h è olomorf in Ω ; dimostrimo che è olomorf nche in Ω. Si z Ω, di D un disco perto centrto in z e contenuto in Ω e si R un rettngolo contenuto in D. Si h R h(z)dz = 1 2πi = 1 2πi R R g(z, w)dw dz = g(z, w)dz dw = 0 per il Teorem di Gourst (9.17). erciò h è olomorf in D per il Teorem di Morer (9.46). Quindi h è olomorf in Ω Ω = C, cioè è un funzione inter. 117

10. Il Teorem dell integrle nullo di Cuchy er z >> 0 si h w z z w e inoltre z Ω ; pertnto h(z) = 1 2π ( ) f(w) w z dw f(w) mx l(), (10.6) z w e quindi h tende zero per z, ed è perciò limitt, e dunque costnte per il Teorem 9.43. Ancor dll (10.6) si deduce or che h 0. Si z Ω \ supp(). D 0 = h(z) = 1 2πi g(z, w)dw = 1 2πi f(w) w z dw f(z) Ind (z) si deduce l (ii). Si or z 0 un punto di Ω \ supp(), e si F (z) = f(z)(z z 0 ). Applicndo l (ii) F ottenimo 0 = F (z 0 ) Ind (z 0 ) = 1 2πi e il teorem è dimostrto. f(w)(w z 0 ) dw = 1 w z 0 2πi f(w)dw, Esercizio 10.7. Si clcoli cos(πz) (z 1)z 2 dz, ove : [0, 2π] C è l curv di equzione (ϑ) = 1/2 + e iϑ. Osservimo che l funzione integrnd è olomorf su Ω = C\{0, 1}, e che l curv è omolog in Ω ll cten 1 + 2, con 1 e 2 circonferenze di rggio r < 1/2 centrte in 0 e 1, rispettivmente. 118

10.2. Il Teorem di Cuchy - Dimostrzione di Dixon Definimo le seguenti funzioni: g(w) = cos(πw) cos(πw), h(w) =. (w 1) w 2 ossimo riscrivere l integrle come cos(πz) (z 1)z dz = 2 1 1 g(z) z dz + 2 2 h(z) z 1 dz; utilizzndo l formul delle derivte e l formul integrle, scrivimo g(z) z dz = h(z) 2 2πig (0) dz = 2πih(1) z 1 Clcolndo h(1) = 1, 2 g (z) = π sin(πz)(z 1) cos(πz) (z 1) 2, e quindi g (0) = 1 trovimo che cos(πz) dz = 2πi( 1 1) = 4πi. (z 1)z2 119

Cpitolo 11 Altre ppliczioni dell formul integrle 11.1 successioni di funzioni olomorfe Teorem 11.1. Si Ω C un perto e {f n } un successione di funzioni f n : Ω C tli che f n O(Ω). Se l successione converge puntulmente f e uniformemente sui comptti di Ω llor f O(Ω). Dimostrzione. Si z 0 Ω, e si B z0 (R) un disco chiuso centrto in z 0 e contenuto in Ω, di ordo R. Si or z B z0 (R/2). er l formul integrle di Cuchy, imo che f n (z) = 1 2πi R f n (w) w z dw. oiché l successione f n converge uniformemente sui comptti e vendo scelto z tle che w z R/2 l successione delle funzioni integrnde converge uniformemente su R per ogni z fissto in B z0 (R/2) e possimo pssre l limite sotto il segno di integrle, ottenendo f(z) = 1 2πi R f(w) w z dw. Dll formul integrle di Cuchy segue il Teorem di Weierstrss, che sserisce che f è scriviile come serie di potenze con centro z 0, e quindi f è olomorf in tle punto. Esempio 11.2. Considerimo l serie di funzioni 1 e mostrimo che, per n z Re(z) > 1 definisce un funzione olomorf. Ogni termine f n (z) = 1 log n = e z nz è un funzione olomorf su tutto C; poiché f n (z) = e z log n = e x log n e iy log n = e x log n = n x, per ogni c > 1, se x c imo f n (z) n c e l serie + i=1 1 n c 121

11. Altre ppliczioni dell formul integrle converge. erciò, per il Test di Weierstrss (8.16) l serie + 1 i=1 converge n z ssolutmente e uniformemente e definisce quindi un funzione olomorf. 11.2 serie di lurent Definizione 11.3. Un serie di Lurent (o serie ilter di potenze) è un serie del tipo + n (z z 0 ) n. n= Si Ω C; dicimo che l serie di Lurent n= n(z z 0 ) n converge ssolutmente (uniformemente) in Ω se le due serie + m=1 ( ) 1 + m z m n z n n=0 convergono ssolutmente (uniformemente) in Ω. Teorem 11.4. Si A l coron circolre: A = {z C r z z 0 R} e si f O(Ω), con Ω perto che contiene A; llor in A l funzione f si può scrivere come un serie di Lurent f(z) = n (z z 0 ) n, n= che converge ssolutmente e uniformemente in r < s z z 0 S < R. I coefficienti n sono dti d 1 f(w) dw n 0 2πi (w z 0 ) n+1 R n =, 1 f(w) dw n < 0 2πi (w z 0 ) n+1 r ove R e r sono rispettivmente le circonferenze di rggio R ed r centrte in z 0. Dimostrzione. Il ordo Γ = R r di A è omologo zero in Ω. Applicndo l formul integrle di Cuchy 10.5 ii) un punto z nell interno di A ottenimo f(z) = f(z)(ind R (z) Ind r (z)) = 1 2πi R f(w) w z dw r f(w) w z dw Il primo integrle è trttto come nell dimostrzione del Teorem 9.37, e fornisce l prte positiv dell serie di Lurent. Il secondo è trttto in mnier simile: 122

11.3. Singolrità isolte di funzioni olomorfe r f(w) w z dw = = r r f(w) (w z 0 ) (z z 0 ) dw = f(w) 1 ( z z 0 1 w z ) dw = 0 z z 0 Osservimo or che w z 0 = r, mentre z z 0 > r, perciò w z 0 z z 0 < 1 e quindi l ultim espressione può essere riscritt come f(w) ( ) m w z0 dw = f(w) ( ) n+1 z z0 dw r z z 0 m=0 z z 0 r z z 0 n= 1 w z 0 oiché l serie converge uniformemente e f è limitt su r possimo integrre termine termine r e il teorem è dimostrto. f(w) w z dw = n= 1 r { } f(w) (z z (w z 0 ) n+1 0 ) n dw 11.3 singolrità isolte di funzioni olomorfe Definizione 11.5. Si D un disco perto centrto in z 0, e si f O(D \ z 0 ). Un tle f si dice vere un singolrità isolt nel punto z 0. Aimo già incontrto le singolrità eliminili, come le singolrità isolte con l proprietà che lim z z0 f(z)(z z 0 ) = 0; è immedito vedere che f h un singolrità eliminile in z 0 se e solo se tutti i termini negtivi del suo sviluppo di Lurent sono nulli. Il prossimo risultto fornisce un condizione sufficiente ffinché un singolrità isolt si di questo tipo. roposizione 11.6. Si Ω un perto che contiene z 0, e si f O(Ω \ z 0 ); se esistono un disco chiuso D centrto in z 0 e K > 0 tle che f(z) < K in D \ z 0, llor f h un singolrità eliminile in z 0. Dimostrzione. Considerimo lo sviluppo di Lurent di f in un coron circolre centrt in z 0 e contenut in D; si r l circonferenz più piccol che definisce l coron circolre. I coefficienti delle prte negtiv dello sviluppo sono dti d m = 1 2πi r f(w) dw, (w z 0 ) m+1 123

11. Altre ppliczioni dell formul integrle e quindi si h m K 2π rm 1 l( r ) = Kr m, e tle diguguglinz sussiste per ogni r > 0, pertnto tutti i termini dell prte negtiv dello sviluppo di Lurent di f sono nulli. oli Definizione 11.7. Si f O(Ω), z 0 Ω e n (z z 0 ) n lo sviluppo in serie di f in un intorno di z 0 ; diremo che z 0 è uno zero di ordine m per f, o che l ordine di f in z 0 è m se equivlentemente m 0 e n = 0 se n < m; f(z 0 ) = f (z 0 ) = = f (m 1) (z 0 ) = 0 e f (m) (z 0 ) 0; lim z z0 f(z) (z z 0 ) m esiste finito e non nullo. Definizione 11.8. Si z 0 un singolrità isolt per un funzione f olomorf in un intorno di z 0. Diremo che f h un polo di ordine m > 0 in z 0, o che l ordine di f in z 0 è m se equivlentemente m 0 e n = 0 se n > m; lim z z0 f(z)(z z 0 ) m esiste finito e non nullo. Un polo di ordine uno è detto polo semplice. Esempio 11.9. L funzione f(z) = h un polo di ordine tre nell origine. z (cos z 1) 2 Osservzione 11.10. Si f O(Ω); llor f h uno zero di ordine m in z 0 Ω se e solo se l funzione 1/f(z) h un polo di ordine m in z 0. Definizione 11.11. Si Ω C perto, S Ω sottoinsieme discreto di Ω e f O(Ω \ S), con poli nei punti di S; un tle funzione è dett meromorf in Ω, e si scrive f M(Ω). Esempio 11.12. Sino p(z), q(z) C[z] due polinomi; llor f(z) = q(z)/p(z) è un funzione meromorf su C. 124

11.3. Singolrità isolte di funzioni olomorfe Esempio 11.13. Un funzione meromorf può essere nche definit d un serie che converge uniformemente; per esempio considerimo f(z) = 1 z + + n=1 z z 2 n 2. Tle funzione è meromorf su C, h poli semplici negli interi ed è olomorf in C\Z. Mostreremo che f è meromorf con poli semplici negli interi in ogni disco centrto nell origine. Si R > 0 e si N > 2R; scrivimo f(z) = g(z) + h(z) con g(z) = 1 z + N n=1 z z 2 n 2 h(z) = n=n+1 z z 2 n 2 L funzione g si scrive come quoziente di polinomi, ed è perciò meromorf su C, con poli semplici negli interi n tli che n < N. Mostrimo or che l funzione h(z) è olomorf nel disco centrto dell origine di rggio R utilizzndo il Teorem 11.1. er z < R e n > N imo z z 2 n 2 < R n 2 R 2 = R n 2 (1 (R/n) 2 ) < 4R 3n ; 2 per il Test di Weierstrss (8.16) l serie che definisce h converge uniformemente in z < R, e quindi h è olomorf in tle disco per il Teorem 11.1. Singolrità essenzili Definizione 11.14. Si z 0 un singolrità isolt per un funzione f olomorf in un intorno di z 0, e si n= n(z z 0 ) n l su serie di Lurent in un coron circolre centrt in z 0. Il punto z 0 è detto singolrità essenzile se n 0 per infiniti n < 0. Esempio 11.15. L funzione e 1/z = + n=0 h un singolrità essenzile nell origine. 1 n!z = 1 n ( n)! zn Il prossimo risultto descrive il comportmento di un funzione in un intorno di un singolrità essenzile. Teorem 11.16 (Csorti -Weierstrss). Si z 0 un singolrità essenzile per f, e si D un disco centrto in z 0 tle che f O(D \ z 0 ). Allor f(d \ z 0 ) è denso in C. n=0 125

11. Altre ppliczioni dell formul integrle Dimostrzione. Supponimo per ssurdo che esistno δ > 0 e α C tle che f(z) α δ per ogni z D \ z 0. Considerimo l funzione g(z) = 1 f(z) α ; tle funzione è olomorf e limitt in D \ z 0, quindi, per l roposizione 11.6 l funzione g h un singolrità eliminile in z 0, quindi può essere estes d un funzione olomorf su D. Si m 0 il primo coefficiente non nullo dello sviluppo di g in serie di potenze in un intorno di z 0. Se m = 0 llor l funzione 1/g(z) è olomorf, mentre, se m > 0 l funzione 1/g(z) h un polo di ordine m. ertnto f(z) α, e quindi f, h l più un polo in z 0, contrddicendo le ipotesi. Corollrio 11.17. Si f : C C un funzione olomorf e iunivoc, con invers olomorf; llor f(z) = z +, con, C. Dimostrzione. A meno di un trslzione possimo ssumere che f(0) = 0. Si h(w) = f(1/w) per w 0. Mostrimo che h non può vere un singolrità essenzile nell origine. Dlle ipotesi segue che f è un ppliczione pert. Dto δ > 0 l immgine vi f del disco B 0 (1/δ) è un intorno perto dell origine, quindi esiste c > 0 tle che f(b 0 (1/δ)) B 0 (c). ertnto, se z > 1/δ llor f(z) > c. erciò h(w) > c se w < δ, e quindi l origine non può essere un singolrità essenzile per h per il Teorem 11.16. Si f(z) = + 0 n z n ; llor h(w) = + 0 n (1/w) n ; poichè l origine non è un singolrità essenzile per h esiste m tle che n = 0 per n > m, e quindi f(z) è un polinomio. Se f vesse due rdici distinte non potree essere iunivoc, quindi f(z) è del tipo f(z) = z n, m per n > 1 tle funzione non è iniettiv, quindi concludimo che f(z) = z. Comportmento ll infinito Definizione 11.18. Si Ω C un perto che contiene il complementre di un sottoinsieme limitto di C - diremo che un tle perto è un intorno di - e si f : Ω C un funzione; dicimo che f h un singolrità isolt (risp. è olomorf) in se l funzione g(w) = f(1/w) h un singolrità isolt (risp. è olomorf) in 0; dicimo che f h un polo o un singolrità essenzile in se g h un polo o un singolrità essenzile in 0. Se g h un singolrità eliminile in 0 diremo che f è olomorf in. 126

Cpitolo 12 Residui 12.1 teorem dei residui Si Ω un perto di C, z 0 un suo punto, f O(Ω \ z 0 ) e f(z) = l sue serie di Lurent centrt in z 0. n= n (z z 0 ) n Definizione 12.1. Il residuo di f in z 0 è il coefficiente 1 dell serie di Lurent di f centrt in z 0 : Res z0 (f) := 1. Lemm 12.2. Si Ω un perto di C, z 0 un suo punto, f O(Ω \ z 0 ), e un circonferenz centrt in z 0 tle che supp() Ω. Allor Res z0 (f) = 1 f(z)dz. 2πi Dimostrzione. oiché l serie di Lurent di f converge uniformemente sull circonferenz è possiile integrrl termine termine 1 2πi f(z)dz = 1 2πi n= n (z z 0 ) n dz = 1 2πi n= Concludimo quindi ricordndo che (Cf. l Esempio 9.16) { (z z 0 ) n 0 n 1 dz = 2πi n = 1 n (z z 0 ) n dz Definizione 12.3. Si Ω un intorno di, si f O(Ω) e si g(w) = f(1/w). Si definisce ( Res (f) = Res 0 g(w) ). w 2 127

12. Residui Osservzione 12.4. Dll definizione notimo che il residuo ll infinito di f può essere non nullo nche se f è olomorf in. Si ved nche il Corollrio 12.10. Lemm 12.5. Si Ω un intorno di, si f O(Ω) e si un circonferenz centrt nell origine il cui supporto si contenuto in Ω. Allor Res (f) = 1 f(z)dz; 2πi Dimostrzione. Con l sostituzione w = 1/z si h 1 2πi f(z)dz = 1 2πi g(w) ( w dw = Res 2 0 g(w) ) = Res w 2 (f), ove è l immgine di per l inversione w = 1/z, ed è quindi percors in senso orrio, e l second uguglinz è ver perché l unic eventule singolrità di g(w)/w 2 ll interno di è l origine per le ipotesi ftte su f. Teorem 12.6 (Dei Residui). Si Ω C un perto, si f O(Ω \ {z 1,..., z n }) e si un cten in Ω, tle che z i supp() e Ω 0. Allor n f(z)dz = 2πi Ind (z i ) Res zi (f). i=1 Dimostrzione. Sino i circonferenze ordo di dischi D i centrti in z i, l cui chiusur è contenut in Ω e due due disgiunti e si m i = Ind (z i ). er l roposizione 10.3 imo che n Ω i=1 m i i, quindi per il Teorem di Cuchy e il Lemm 12.2 imo che n n f(z)dz = m i f(z)dz = 2πi Ind (z i ) Res zi (f). i=1 i Dl Lemm 12.5 e dl Teorem dei Residui si deduce immeditmente che Corollrio 12.7. Si f O(C \ {z 1,..., z m }) e si un circonferenz centrt nell origine che rcchiude tutti i punti singolri di f; llor 12.2 clcolo dei residui Res (f) + i=1 n Res zi (f) = 0. j=1 In quest sezione vedremo lcune tecniche per il clcolo dei residui. 128

12.2. Clcolo dei residui Lemm 12.8. Se f h un polo semplice in z 0 e g è olomorf in z 0 llor Res z0 (fg) = g(z 0 ) Res z0 (f). Dimostrzione. Scrivendo f e g in serie come f(z) = + + 1 + n (z z 0 ) n g(z) = n (z z 0 ) n, z z 0 n=0 n=0 trovimo che l serie del prodotto delle due funzioni è del tipo f(z)g(z) = 1 0 + + c n (z z 0 ) n ; z z 0 n=0 per concludere st osservre che g(z 0 ) = 0. Esempio 12.9. Clcolre il residuo in z = 1 di Sino h(z) = f(z) = 1 z 1 z2 z 2 1. g(z) = z2 z + 1 ; f h un polo semplice in z = 1, mentre g è olomorf in tle punto. Il residuo di f in 1 è evidentemente 1, pertnto, per il Lemm 12.8 Res 1 (h) = Res 1 (fg) = g(1) Res 1 (f) = 1 2 1 = 1 2. Corollrio 12.10. Se f h uno zero semplice ll infinito llor il residuo ll infinito è ugule lim z zf(z). Dimostrzione. Si g(w) = f(1/w). er ipotesi il limite lim w 0 g(w)/w esiste finito e non nullo (Cf. Definizione 11.7), quindi g(w)/w 2 h un polo semplice nell origine. er il Lemm 12.8, (pplicto ll estensione olomorf di g(w)/w) imo Res (f) = Res 0 ( g(w) w 2 ) ( = Res 0 1 ) g(w) lim w w 0 w = lim z zf(z). Lemm 12.11. Se f è olomorf in z 0 e h ivi uno zero semplice (f(z 0 ) = 0 e f (z 0 ) 0) llor 1/f h un polo semplice in z 0 e ( ) 1 Res z0 = 1 f f (z 0 ) 129

12. Residui Dimostrzione. Le ipotesi su f si trducono nel ftto che nell su serie di potenze centrt in z 0 si h 0 = 0 e 1 0. ossimo quindi scrivere f(z) = 1 (z z 0 ) + n=0 c n (z z 0 ) n = 1 (z z 0 )(1 + h(z)), con h(z) olomorf in z 0 e tle che h(z 0 ) = 0. osto g(z) = 1/(1 + h(z)) si h che g è olomorf in z 0 e g(z 0 ) = 1. Scrivimo or ( ) 1 g(z) = f 1 (z z 0 ) e pplichimo il Lemm 12.8, ottenendo ( ) 1 Res z0 = 1 ; f 1 per concludere st osservre che f (z 0 ) = 1. Esempio 12.12. Clcolre il residuo in z = π di h(z) = 1 sin z. L funzione f(z) = sin z è olomorf in π e h ivi uno zero semplice in qunto f (π) = cos(π) 0, quindi ( ) 1 Res π = 1 sin z cos(π) = 1. Lemm 12.13. Se f h un polo di ordine m in z 0 Res z0 (f) = 1 (m 1)! lim z z 0 (((z z 0 ) m f(z)) (m 1) ). Dimostrzione. ossimo scrivere lo sviluppo di Lurent di f come quindi vremo che f(z) = m (z z 0 ) + + + 1 m (z z 0 ) + n (z z 0 ) n ; (z z 0 ) m f(z) = m + m+1 (z z 0 ) + + 1 (z z 0 ) m 1 + e quindi 130 n=0 [(z z 0 ) m f(z)] (m 1) = (m 1)! 1 + m! 0 (z z 0 ) +... + n=0 n (z z 0 ) n+m

12.2. Clcolo dei residui Esempio 12.14. Clcolre il residuo in z = 1 di h(z) = z 2 (z + 1)(z 1) 2. L funzione h h un polo doppio in 1; usimo il Lemm 12.13, ottenendo che ( ) z Res 1 (h) = lim[(z 1) 2 h(z)] (1) 2 = (1); z 1 z + 1 Clcolndo l derivt ( z 2 z + 1 trovimo che il residuo cercto è 3/4. ) = z2 + 2z (z + 1) 2, Lemm 12.15 (di Jordn). Si Ω un perto, e f O(Ω \ z 0 ); si δ > 0 tle che B z0 (δ) Ω, si S = {z C 0 < z z 0 < δ e ϑ 1 rg(z z 0 ) ϑ 2 } e si suppong che esist finito lim z z0 (z z 0 )f(z) =. Allor, se τ δ, denotto con τ l rco di rggio τ come in figur, si h lim f(z)dz = i(ϑ 2 ϑ 1 ) τ 0 τ θ 2 τ δ θ 1 Dimostrzione. ossimo supporre che z 0 = 0. L serie di Lurent di zf(z) è del tipo + + 1 n z n, cioè f(z) = z + η(z) dove η(z) è un funzione olomorf. ossimo quindi scrivere τ f(z)dz = ϑ 2 ϑ 1 τe iϑ iτeiϑ dϑ + τ η(z)dz; il primo dei due integrli vle i(ϑ 2 ϑ 1 ). Mostrimo che il secondo tende zero per τ 0. Si M = mx Bδ (0) η(z). η(z)dz mx η(z) l( τ ) M(ϑ 2 ϑ 1 )τ, τ d cui l tesi. τ 131

12. Residui 12.3 ppliczioni l clcolo di integrli indefiniti Appliczione 12.16. Si f : R R un funzione restrizione di un funzione f : Ω C, che si olomorf in {Im(z) 0}, slvo l più per un numero finito di poli z 1,... z n contenuti in {Im(z) > 0}. Supponimo inoltre che esistno K e > 0 tli che f(z) K se z +. z 1+ Allor + f(x)dx = 2πi z i Res zi (f). Osservimo che, per le ipotesi ftte su f, esistono finiti i limiti quindi lim R + R + f(x)dx e lim R + f(x)dx = lim R R + R R f(x)dx. f(x)dx, Considerimo l intervllo I R = [ R, R] R e l semicirconferenz Γ R di rggio R centrt nell origine e gicente nel semipino superiore, come in figur. Considerimo l curv chius regolre trtti Γ ottenut percorrendo I R nel verso delle scisse crescenti e poi Γ R in senso ntiorrio, per R >> 0 tle che tutti i poli di f giccino nell interno di Γ. Γ R I R e utilizzimo il teorem dei residui, ottenendo 2πi Res zi (f) = f(z)dz = f(z)dz + z i Γ I R Γ R R = f(x)dx + f(z)dz. f(z)dz R Γ R 132

12.3. Appliczioni l clcolo di integrli indefiniti er concludere è or sufficiente mostrre che dl ftto che Γ R f(z)dz lim R + Γ R f(z)dz = 0, e ciò segue K R 1+ l(γ R) = πk R. Esercizio 12.17. Clcolre il seguente integrle: + 1 1 + x 4 dx. Le rdici qurte di 1 sono i numeri complessi ω j = e π 4 +j π 2, per j = 0,..., 3. ertnto l funzione f(z) = 1 è olomorf sull sse rele, e nel semipino superiore 1+z 4 h due poli, ω 0 = e i π 4 e ω 1 = e i 3π 4. Inoltre f(z) 2 z 4 se z +, quindi, come nell ppliczione 12.16 ottenimo che + 1 1 + x 4 dx = 2πi(Res ω 0 (f) + Res ω1 (f)). Clcolimo il residuo di f in ω 0 ; per il Lemm 12.11 pplicto z 4 + 1 imo che Res ω0 (f) = 1 = 1 3π e i 4 = = 1 i 4w0 3 4e i 3π 4 4 4 2 ; nlogmente, per ω 1 trovimo che Res ω1 (f) = 1 4w 3 1 Quindi il vlore dell integrle è = 1 4e i π 4 = e i π 4 4 = 1 i 4 2. + 1 dx = 2πi 1 + x4 ( ) i 2 = π. 2 2 Appliczione 12.18. Si f : R R un funzione restrizione di un funzione f : Ω C, che si olomorf in {Im(z) 0}, slvo l più per un numero finito di poli z 1,... z n contenuti in {Im(z) > 0}. Supponimo inoltre che esist K e tle che f(z) K z se z +. 133

12. Residui Allor + f(x)e ix dx = 2πi z i Res zi (f(z)e iz ). Considerimo il circuito qudrto come in figur, con A, B stnz grndi in modo che il qudrto conteng tutti i poli di f che gicciono nel semipino superiore: B+i(A+B) A+i(A+B) B A onimo T = A + B; sul lto superiore L +, prmetrizzto come z = x + it, con x [ A, B] imo L + e iz f(z)dz = B A e ix T f( x + it )dx K e T T l(l+ ) = Ke T, quindi l integrle sul lto superiore tende zero per T +. Sul lto destro L d, prmetrizzto come z = A + iy, con y [0, T ] imo L d e iz f(z)dz = i K A T 0 T 0 e y+ia f(a + iy)dy e y dy = K A (1 e T ). T 0 e y+ia f(a + iy) dy Sul lto sinistro vle un stim nlog (con B denomintore), quindi nche gli integrli sui lti verticli tendono zero per A, B +. ertnto 2πi Res zi (f(z)e iz ) = z i Q f(z)e iz dz = + f(x)e ix dx. 134

12.3. Appliczioni l clcolo di integrli indefiniti Osservndo che + f(x)e ix dx = + f(x) cos x dx + i + f(x) sin x dx, ci rendimo conto dell utilità di qunto ppen visto per il clcolo di integrli del tipo + + f(x) cos x dx oppure f(x) sin x dx Esercizio 12.19. Clcolre il seguente integrle: Si f(z) = Sppimo che I = + 0 x sin x 1 + x 2 dx. z ; tle f soddisf le ipotesi di 12.18, pertnto 1+z 2 + + xe ix 1 + x 2 dx = xe ix 1 + x 2 dx = 2πi z i Res zi (f(z)e iz ); + x cos x 1 + x 2 dx + i + x sin x 1 + x 2 dx = I 1 + ii 2. Osservimo che I 1 è nullo perché l integrnd è dispri, e che I 2 = 2I perché l integrnd è pri. Inoltre l unico polo presente nel semipino superiore è nel punto z 1 = i. Quindi + 0 x sin x 1 + x 2 dx = π Res z 1 (f(z)e iz ). Scrivendo f(z) = eiz 1 z + i z i e utilizzndo il Lemm 12.8 ottenimo e finlmente Res z1 (f(z)e iz ) = ie 1 2i + 0 x sin x 1 + x 2 dx = π 2e. = e 1 2, 135

12. Residui Osservzione 12.20. Nell situzione dell Appliczione 12.18, se l funzione f h poli semplici sull sse rele, che coincidono con zeri di sin x o cos x può essere ncor possiile clcolre l integrle, usndo il Lemm di Jordn. Ne vedimo or un esempio. Esercizio 12.21. Clcolre il seguente integrle: I = + sin x x Si f(z) = 1 ; tle f soddisf le ipotesi dell Osservzione 12.20; inoltre z + e ix x dx = + cos x x dx + i + dx. sin x x dx = I 1 + ii 2. Osservndo che I 1 è nullo perché l integrnd è dispri, e utilizzndo il circuito dell Appliczione 12.18, modificto come in figur, B+i(A+B) A+i(A+B) B A ottenimo che i ε sin x x dx + ε e iz z dz + i + ε sin x x dx = 0, ε è l semicirconferenz centrt in 0 di rggio ε e l somm degli integrli è null perché e iz /z è olomorf ll interno del circuito. Clcolimo il limite per ε 0, utilizzndo il Lemm di Jordn, osservndo che = 1, ϑ 1 = π,ϑ 2 = 0, e ottenendo così: + sin x x dx = π. 136

12.3. Appliczioni l clcolo di integrli indefiniti Appliczione 12.22. Si Q(x, y) = g(x,y) un funzione rzionle tle che h(x, y) h(x,y) non si nnull nei punti dell circonferenz unitri x 2 + y 2 = 1, e si Allor f(z) = 2π Q ( 1 2 ( z + 1 z ), 1 2i iz Q(cos ϑ, sin ϑ)dϑ = 2πi z i ( z 1 z )). Res zi (f), 0 ove gli z i sono i poli di f ll interno dell circonferenz unitri. Inftti, osservndo che f(e iϑ Q(cos ϑ, sin ϑ) ) = ie iϑ segue immeditmente che f(z)dz = 2π Q(cos ϑ, sin ϑ)dϑ. Esercizio 12.23. Clcolre il seguente integrle: 2π 0 0 dϑ 3 cos ϑ. L funzione integrnd è del tipo sopr descritto, con Q(x, y) = 1 3 x ; considerimo perciò l funzione f(z) = 3 1 2 1 ( z + 1 ) 1 iz = z 2z 1 6z z 2 1 iz = 2i z 2 6z + 1. Il denomintore di f si nnull in z 1,2 = 3 2 2; solo il punto z 1 = 3 2 2 gice ll interno dell circonferenz di rggio unitrio, ed è un polo semplice per f. er clcolre il residuo in tle punto, utilizzndo il Lemm 12.11 clcolimo l derivt di g = 1/f e vlutimol in tle punto. Avremo perciò e quindi g (z) = 2z 6 2i 2π 0 g (z 1 ) = 4 2 2i Res z1 (f) = 1 g (z 1 ) = i 2 2, dϑ 3 cos ϑ ( dϑ = 2πi = 2 2. i i ) 2 = π. 2 2 137

12. Residui 12.4 ppliczioni l clcolo di somme di serie Voglimo or mostrre come si possiile utilizzre il Teorem dei Residui per clcolre l somm di serie numeriche del tipo + n= L ide è l seguente: supponimo che f si un funzione olomorf su C, slvo per singolrità isolte, e tle che f(n) = n per ogni intero n; si t l funzione t(z) := n π tn(πz) ; tle funzione è olomorf su C\Z, con poli semplici negli interi, e i suoi residui nei punti di Z vlgono 1 (verificre!). Allor l somm dei residui di f(z)t(z) negli interi è esttmente l somm dell serie; con ulteriori ipotesi su f è possiile utilizzre il Teorem dei Residui per clcolre tle somm. Teorem 12.24. Si r(z) un funzione rzionle senz poli nei numeri interi tle che per qulche K, > 0. Allor r(z) + n= K z 1+ se z +. r(n) = Res(r(z)t(z)) dove l somm secondo memro è ftt sui poli di r. Dimostrzione. er ogni intero m > 1 si consideri il circuito qudrto Γ m, centrto nell origine e di lto 2m + 1. 138

12.4. Appliczioni l clcolo di somme di serie Si m >> 0 tle che tutti i poli di r sino contenuti in Γ m. Osservimo che, per n intero, poiché r è olomorf e t h un polo semplice con residuo +1, per il Lemm 12.8 si h Res n (r(z)t(z)) = r(n). Allor, per il Teorem dei Residui si h 1 r(z)t(z)dz = 2πi Γ m m n= m r(n) + Res(r(z)t(z)), dove l ultim somm è sui poli di r. er mostrre l tesi è quindi sufficiente mostrre che Γ m r(z)t(z) 0 per m +. Con semplici pssggi lgerici possimo scrivere t(z) = iπ 1 + e 2πiz 1 e 2πiz = iπ e2πiz + 1 e 2πiz 1. Sul lto verticle m 1 del qudrto z = m + 1 + iy, utilizzndo l second espressione trovimo che t(z) = π 1 e 2πy 1 + e 2πy = π tnh(πy) < 2 π. L stess stim può essere ottenut sul lto verticle 3 m utilizzndo l prim espressione per t(z). Sul lto orizzontle 2 m del qudrto z = x + i(m + 1 2 ), e quindi e 2πiz = e 2πix e π(2m+1) = e π(2m+1), pertnto, su 2 m, utilizzndo l prim espressione di t(z) ottenimo t(z) π eπ(2m+1) + 1 ( π ) e π(2m+1) 1 = π coth(πm + π/2) < π coth < 2π 2 Anlog stim si ottiene sul lto 4 m. ossimo quindi concludere che Γ m r(z)t(z)dz 2π e il secondo memro tende zero per m +. 4K(2m + 1) m +1, Esercizio 12.25. Si rele positivo. Clcolre l somm dell serie + n=1 1 n 2 + 2. Si r(z) = 1/(z 2 + 2 ); i poli di r sono nei punti i; utilizzndo il Lemm 12.8 si clcolno Res i (r(z)t(z)) = Res i (r(z)t(z)) = π (coth π). 2 139

12. Residui oiché r( n) = r(n) per l 12.24 imo che e quindi 1 + 2 + 1 2 n 2 + = π (coth π), 2 + n=1 n=1 1 n 2 + = π 1 (coth π) 2 2 2. 2 Esercizio 12.26. Clcolre l somm dell serie + n=1 L funzione r(z) = 1/z 2 non soddisf le ipotesi di 12.24, perché h un polo doppio nell origine. ossimo comunque considerre il circuito Γ m, come nell dimostrzione di 12.24, e l integrle su di esso di r(z)t(z) v ncor zero per m. er il Teorem dei Residui 1 m r(z)t(z) = 2 r(n) + Res 0 (r(z)t(z)). 2πi Γ n=1 m Doimo quindi clcolre Res 0 (r(z)t(z)); l funzione r(z)t(z) h un polo di ordine tre nell origine. utilizzimo il Lemm 12.13 per clcolrne il residuo Clcolndo l derivt second 1 n 2. Res 0 (r(z)t(z)) = 1 [ ] (2) 2 lim πz. z 0 tn(πz) [ ] (2) πz 2 πz cos (πz) sin (πz) = 2π tn(πz) sin 3 (πz) πz (πz)3 πz + (πz)3 = 2π 2 2 6 (πz) 3 + o(z 3 ) + o(z 3 ), trovimo che Res 0 (r(z)t(z)) = π2 3, e quindi possimo concludere che + n=1 1 n 2 = π2 6. 140

Cpitolo 13 Zeri di funzioni olomorfe (e meromorfe) 13.1 principio d identità Teorem 13.1. Si Ω C un perto connesso, f O(Ω) non identicmente null e Z(f) = { Ω f() = 0} l insieme degli zeri di f. Allor Z(f) non h punti di ccumulzione in Ω. Dimostrzione. Si z 0 Z(f) uno zero di ordine m e si δ > 0 tle che B z0 (δ) Ω; in B z0 (δ) possimo sviluppre f come serie di potenze centrt in z 0 : L funzione f(z) = + n=1 n (z z 0 ) n ; f(z) g(z) = (z z 0 ) z z m 0 m z = z 0 è olomorf in Ω, e non è null in z = z 0 ; pertnto non è null in un intorno di z 0, e quindi z 0 è uno zero isolto di f. In prticolre ciò mostr che, se z 0 è uno zero non isolto per f, llor f dev essere identicmente null in un intorno di z 0. Si A Ω l insieme dei punti di ccumulzione di Z(f) in Ω; per l continuità di f, chirmente si h A Z(f). Un punto di A è uno zero non isolto di f, quindi, se z 0 A, llor f è identicmente null in un intorno di z 0. In prticolre A è un insieme perto. Essendo un insieme di punti di ccumulzione è immedito verificre che A è nche chiuso; pertnto se A fosse non vuoto, coincideree con Ω e f sree identicmente null, contro le ipotesi ftte. Corollrio 13.2 (rincipio d identità). Si Ω C un perto connesso, e sino f, g O(Ω). Se esiste S Ω tle che f S = g S e S h un punto di ccumulzione in Ω, llor f g in Ω. Corollrio 13.3. Se Ω è connesso e f O(Ω), llor 1/f M(Ω). Definizione 13.4. Si Ω C un perto e f M(Ω); si z 0 in Ω, e si n (z z 0 ) n l serie di Lurent di f centrt in z 0 ; si m il primo coefficiente non nullo di tle serie. Allor si dice che l ordine di f in z 0 è m. 141

13. Zeri di funzioni olomorfe (e meromorfe) 13.2 principio dell rgomento Teorem 13.5 (rincipio dell rgomento). Si Ω C perto e un cten in Ω tle che Ω 0; si f M(Ω) con un numero finito di zeri e di poli in Ω, nessuno dei quli pprteng supp(). Allor ove l somm è sui poli e gli zeri di f. f (z) f(z) dz = 2πi Ind (z i ) ord zi (f), Dimostrzione. Sino z 1,..., z n i punti in cui f h uno zero o un polo. Sino i circonferenze ordo di dischi D i centrti in z i, l cui chiusur è contenut in Ω e due due disgiunti, si m i = Ind (z i ) e Ω = Ω \ {z 1,..., z n }. er l roposizione 10.3 imo che n Ω i=1 m i i, quindi per il Teorem di Cuchy (10.5), essendo f /f O(Ω ) imo che f (z) f(z) dz = n m i i=1 i f (z) f(z) dz. Bst dunque mostrre che ord zi (f) = 1 2πi i f (z) f(z) dz = Res z i ( f f ), dove l second uguglinz segue dl Teorem dei Residui. Scrivimo f in serie di Lurent in un intorno di z i, e denotimo con m il suo ordine in tle punto. f(z) = m (z z i ) m (1 + + n=1 m+n (z z i ) n ) = m (z z i ) m (1 + g(z)), con g olomorf in un intorno di z i e tle che g(z i ) = 0. Osservimo che, se ϕ e ψ sono due funzioni, dll regol di Leiniz segue che (ϕψ) ϕψ = ϕ ϕ + ψ ψ ; Scrivendo f come ϕψ, con ϕ = m (z z i ) m e ψ = (1 + g(z)), ottenimo che f (z) f(z) = m z z i + g (z) 1 + g(z). oiché il secondo ddendo è olomorfo in z i segue che Res zi (f) = m. 142

13.3. Teorem di Rouché Corollrio 13.6. Si Ω C un perto, si un circonferenz in Ω, e si f M(Ω) che non h zeri o poli sul supporto di. Allor 1 2πi f (z) f(z) dz = N 0 N, ove N 0 e N sono rispettivmente il numero di zeri ed il numero di poli di f ll interno di, contti con i loro ordini. 13.3 teorem di rouché Definizione 13.7. Si un curv chius semplice (cioè senz utointersezioni); si dice che h un interno se, per ogni z supp() si h Ind z () = 0, 1. L interno di è costituito di punti che hnno indice uno rispetto. Teorem 13.8 (Rouché). Si Ω C un perto, sino f, g O(Ω) e si un curv chius semplice, omolog zero in Ω e che h un interno. Se f(z) g(z) < f(z) in tutti i punti di llor f e g hnno lo stesso numero di zeri nell interno di. Dimostrzione. onimo F (z) = g(z)/f(z); d f(z) g(z) f(z) < 1 ottenimo F (z) 1 < 1. ertnto F : [, ] C è un curv contenut nel cerchio di centro 1 e di rggio 1; in prticolre l origine è contenut nell regione illimitt di C\supp(F ), e perciò Ind 0 (F ) = 0. Quindi 0 = F 1 z dz = F ((t)) (t) dt = F ((t)) F (z) F (z) dz. D ltr prte, per il Corollrio 13.6, ricordndo che f e g sono olomorfe in Ω, si h che d cui l tesi. 2πi(N 0 (g) N 0 (f)) = g (z) g(z) dz f (z) f(z) dz = F (z) F (z) dz, Esempio 13.9. Qunti zeri h il polinomio p(z) = z 87 + 36z 57 + 71z 4 + z 3 z + 1 ll interno del cerchio centrto nell origine di rggio uno? Si f(z) = 71z 4 ; sull circonferenz di rggio uno si h che f(z) p(z) 1 + 36 + 1 + 1 + 1 = 40 < 71 = f(z), quindi, pplicndo il Teorem, p(z) e 71z 4 hnno lo stesso numero di zeri (quttro) ll interno del cerchio. 143

13. Zeri di funzioni olomorfe (e meromorfe) 13.4 comportmento locle e ppliczioni Teorem 13.10. Si Ω C un perto, f O(Ω) e z 0 Ω, tle che ord z0 (f) = m > 0. Allor, dto 0 < ε << 1 esiste δ > 0 tle che w 0 B 0 (δ) l equzione f(z) = w 0 h m soluzioni in B z0 (ε). Dimostrzione 1. Sceglimo ε in modo tle che nel disco chiuso centrto in z 0 e di rggio ε non ci sino zeri di f diversi d z 0 e che B 0 (ε) Ω. Si il ordo di tle disco e si δ = min f(z). Dto w 0 B 0 (δ) si g(z) = f(z) w 0 ; chirmente g O(Ω); inoltre sull circonferenz è verifict l disuguglinz f(z) g(z) = w 0 < δ f(z). Quindi per il teorem di Rouché f e g hnno lo stesso numero di zeri ll interno di, cioè l equzione f(z) = w 0 h m soluzioni in B z0 (ε). Corollrio 13.11. Si f olomorf in un intorno di z 0, si f(z 0 ) = α e ord z0 (f(z) α) = m. Allor, per ogni 0 < ε << 1 esiste δ tle che per ogni w 0 B α (δ) l equzione f(z) = w 0 h m soluzioni in B 0 (ε). Dimostrzione. Bst pplicre il Teorem 13.10 ll funzione f(z) α. Corollrio 13.12. Si f olomorf in un intorno di z 0, e con un polo di ordine m in z 0. Allor, per ogni 0 < ε << 1 esiste δ tle che per ogni w 0 B 0 (1/δ) l equzione f(z) = w 0 h m soluzioni in B 0 (ε). Dimostrzione. Bst pplicre il Teorem 13.10 ll funzione 1/f(z). Teorem dell mpp pert Corollrio 13.13. Si f : Ω C un funzione olomorf in Ω. Allor f è un ppliczione pert. Dimostrzione. Si α f(ω) e si z 0 Ω tle che f(z 0 ) = α; Sceglimo ε in modo tle che nel disco chiuso centrto in z 0 e di rggio ε non ci sino zeri di f(z) α diversi d z 0 e che B 0 (ε) Ω. Allor per il Corollrio 13.11 esiste δ tle che, se w B α (δ) llor w f(ω), cioè α è un punto interno di f(ω). rincipio del Mssimo Corollrio 13.14. Si Ω C un perto connesso, e f O(Ω) non costnte. Allor f non h mssimo in Ω. Dimostrzione. Si z 0 Ω; se esiste un intorno di z 0 in cui f è costnte, llor f è costnte in Ω per il principio di identità. Altrimenti, detto w 0 = f(z 0 ), per il Corollrio 13.13 esiste un intorno di w 0 contenuto in f(ω); in tle intorno chirmente esistono punti il cui modulo è mggiore di w 0. 1 Suggerit d Luc Tmnini 144

Cpitolo 14 Complementi 14.1 prolungmento nlitico Definizione 14.1. Un elemento nlitico di centro z 0 e rggio r è un coppi (f, U) con U disco perto di C centrto in z 0 e f(z) = 0 n(z z 0 ) n è un serie di potenze di centro z 0 convergente in U. Si (f 0, U 0 ) un elemento nlitico; si prend un punto z 1 U 0 e si consideri lo sviluppo dell funzione olomorf definit d f 0 in z 1 ; si ottiene così un nuovo elemento nlitico (f 1, U 1 ); chirmente si h f 0 U0 U 1 = f 1 U0 U 1. In U 0 U 1 è en definit un funzione olomorf ϕ(z) tle che ϕ Ui = f i. Il cerchio di convergenz U 1 può si contenere punti che non stnno in U 0 si essere contenuto in U 0. Vedimo due esempi Esempi 14.2. 1. Si U 0 il cerchio centrto nell origine e di rggio uno, e si f 0 (z) = 0 zn ; si trtt dello sviluppo in 0 dell funzione f(z) = 1. 1 z reso un punto di C diverso d 1 lo sviluppo di f in tle punto h un disco di convergenz il cui rggio è pri ll su distnz dl punto 1. In prticolre prendendo il punto z 1 = i/2, contenuto in U 0 si ottiene come disco di convergenz U 1 il disco centrto in i/2 di rggio 5, che contiene 2 punti che non stnno in U 0. 2. Si U 0 il cerchio centrto nell origine e di rggio uno, e si f 0 (z) = 0 zn!. Ogni elemento dedotto d (f 0, U 0 ) h cerchio di convergenz U 1 contenuto in U 0. er mostrrlo, si consideri l insieme E = {e 2πip/q p, q interi e primi fr loro}. 145

14. Complementi Tle insieme è denso nell circonferenz di rggio unitrio. Si z = ρe 2πi p q, con ρ < 1; per tle punto si h f 0 (z) = + n=0 q 1 ρ n! e 2πi p q n! = ρ n! e 2πi p q n! + er ρ 1 il secondo termine diverge. Inftti, dti ε > 0 e m >> 0, scelto ρ tle che ρ (m+q)! > 1 ε (e quindi tle che per n m + q si ρ n! > 1 ε) si h + q n=0 m+q ρ n! > ρ n! > (1 ε)m. q Sull circonferenz di rggio unitrio esiste quindi un insieme denso E tle che f 0 (z) + se z tende un punto di E. ertnto l elemento nlitico (f 0, U 0 ) non può essere esteso l di fuori dl cerchio centrto nell origine di rggio unitrio. Definizione 14.3. Diremo che un elemento nlitico (f 1, U 1 ) è un prolungmento nlitico diretto di (f 0, U 0 ) se U 0 U 1 e f 0 U0 U 1 = f 1 U0 U 1. Ripetendo il procedimento un numero finito di volte si costruisce un cten di elementi nlitici (f 0, U 0 ), (f 1, U 1 ),..., (f m, U m ), ognuno prolungmento nlitico diretto del precedente. iù in generle, possimo dre l seguente Definizione 14.4. Dti due elementi nlitici (f 0, U 0 ),..., (f m, U m ) diremo che l elemento (f m, U m ) si ottiene per prolungmento nlitico d (f 0, U 0 ) se esistono elementi nlitici (f 1, U 1 ),..., (f m 1, U m 1 ) tli che, per ogni i = 0,... m 1 si i U i U i+1 + n=q ρ n!. f i Ui f i+1 Ui+1 Si può mostrre che il prolungmento nlitico definisce un relzione di equivlenz tr elementi nlitici. Nel cso m 2 non è detto che esist un funzione olomorf ϕ(z) in U i tle che ϕ Ui = f i, come mostr il seguente esempio Esempio 14.5. Si U 0 il disco centrto nell origine di rggio uno e f 0 = ( 1 ) 2 0 n z n. Si trtt dello sviluppo nell origine di un delle possiili funzioni ssocite z + 1; operndo il prolungmento nlitico con un cten di elementi nlitici che circond il punto 1 si torn l punto di prtenz con l ltr determinzione, f m = ( 1 ) 2 0 n z n. 146

14.1. rolungmento nlitico Definizione 14.6. Un elemento nlitico (f m, U m ) si dice ottenuto per prolungmento nlitico di (f 0, U 0 ) lungo un cmmino α : I C se (f m, U m ) è un prolungmento nlitico di (f 0, U 0 ) ed esistono numeri reli 0 = t 0 < t 1 < < t m < t m+1 = 1 tli che α([t i, t i+1 ]) U i. Osservzione 14.7. Se l elemento nlitico (f m, U m ) è prolungmento nlitico di (f 0, U 0 ) esiste sempre un cmmino α : I C tle che (f m, U m ) è ottenuto per prolungmento nlitico di (f 0, U 0 ) lungo il cmmino α. Bst inftti considerre l spezzt che unisce i centri degli elementi nlitici dell cten, opportunmente prmetrizzt. Definizione 14.8. Un funzione nlitic F è un clsse di equivlenz di elementi nlitici rispetto ll relzione di prolungmento nlitico. L insieme di definizione di F, indicto con E(F ), è l insieme dei centri di convergenz degli elementi nlitici di F. Indicheremo, con uso di linguggio, ncor con F l ppliczione F : E(F ) (C) che ssoci d un punto z E(F ) l insieme dei vlori in z degli elementi nlitici di F. Lemm 14.9. Si F un funzione nlitic. Allor il suo insieme di definizione E(F ) è perto e connesso. Dimostrzione. Se z 0 E(F ), llor esiste (f 0, U 0 ) elemento nlitico di F centrto in z 0 ; per ogni z in U 0 lo sviluppo di f in z definisce un elemento nlitico di F di centro z. L unione dei dischi di un cten è un insieme connesso, in qunto ogni disco è connesso e h intersezione non vuot con il successivo. E(F ) può essere descritto come l insieme dei punti di C che stnno in un cten che prte d (f 0, U 0 ); si trtt perciò di unione di connessi intersezione non vuot, e quindi di un connesso. Lemm 14.10. Si F un funzione nlitic e z 0 E(F ); llor F (z 0 ) è l più numerile. Dimostrzione. Segue dl ftto che, per l loro densità, è possiile utilizzre solo dischi di centro complesso rzionle e rggio rzionle per effetture il prolungmento nlitico. 147

14. Complementi Definizione 14.11. Si F un funzione nlitic. Un cmmino : I C di punto inizile z 0 e punto finle z si dice critico per F se per ogni t < 1 è possiile prolungre un elemento nlitico (f 0, U 0 ) di F lungo [0,t], m non è possiile prolungre (f 0, U 0 ) lungo. Se esiste un tle cmmino con (I) Ω E(F ), llor z si dice critico per F in Ω. Esempio 14.12. er l funzione nlitic definit d 0 zn ogni cmmino che congiunge 0 1 è critico, mentre per l funzione nlitic definit d n=1 ( 1 ) 2 z n 1, n che, nel cerchio di convergenz, h some somm (1 + z) 1/2 1 z un cppio di punto se 0 in C \ { 1} contriile in C \ { 1} non è critico, mentre un cppio di punto se 0 l cui clsse di equivlenz si un genertore di π(c \ { 1}) è critico. Si F un funzione nlitic e Ω un perto connesso contenuto in E(F ) tli che in Ω non ci sono cmmini critici per F ; si z 0 Ω e α un cppio in Ω di punto se z 0. Definimo S α : F (z 0 ) F (z 0 ) ssocindo l vlore in z 0 di un elemento (f 0, U 0 ) di centro z 0 il vlore di (f m, U m ), ottenuto d (f 0, U 0 ) per prolungmento nlitico lungo α. roposizione 14.13. L corrispondenz sopr definit induce un omomorfismo di gruppi, detto omomorfismo di monodromi, M z0 : π(ω, z 0 ) Sost(F (z 0 )). Teorem 14.14. Si F un funzione nlitic e Ω perto connesso contenuto in E(F ) tli che 1. In Ω non ci sono cmmini critici per F ; 2. Esiste z 0 Ω tle che M z0 è l omomorfismo nle. Allor, scelto un elemento nlitico (f 0, U 0 ) di F con centro in Ω, esiste un funzione f O(Ω) tle che f U0 = f 0. In questo cso si dice che l funzione F è monodrom in Ω, e che f è un determinzione di F. Corollrio 14.15. Si F un funzione nlitic e Ω perto connesso e semplicemente connesso contenuto in E(F ) tli che in Ω non ci sono cmmini critici per F ; llor, scelto un elemento nlitico (f 0, U 0 ) di F di centro z 0 Ω, esiste un funzione f O(Ω) tle che f U0 = f 0. 148

14.1. rolungmento nlitico Esempio 14.16. Si consideri l funzione nlitic f(z) = (1 z 2 ) 1/2 in C \ [ 1, 1]. Considerimo il punto 2, e l circonferenz di centro nell origine e rggio 2. Indichimo con ρ 1 e ϑ 1 modulo e rgomento di z 1 e con ρ 2 e ϑ 2 modulo e rgomento di z + 1 e scrivimo G(z) = e 1 2 (log(1 z2 )) = e 1 2 (log(ρ 1ρ 2 e i(ϑ 1 +ϑ 2 +π )) = ρ 1 ρ 2 e i 2 (ϑ 1+ϑ 2 +π+2kπ). I vlori di G in 2, che corrisponde ϑ 1 = ϑ 2 = 0 sono i 3. Considerimo il primo di essi, w 1 = i 3 = 3e 3 2 πi, che corrisponde k dispri. Dopo ver percorso in senso ntiorrio un volt ϑ 1 e ϑ 2 vlgono 2π, e quindi G h lo stesso vlore che ll inizio. Lo stesso ccde prtendo dl vlore w 2. Il gruppo π(c \ [ 1, 1], 2) è isomorfo Z e generto dll clsse di, pertnto l omomorfismo M 2 : π(c \ [ 1, 1], 2) Sost(G(2)) è nle, quindi G è monodrom in C \ [ 1, 1] e dà origine due distinte funzioni olomorfe: g 1, che corrisponde scegliere k dispri e g 2, che corrisponde scegliere k pri. Esercizio 14.17. Clcolre il seguente integrle I := + 0 x 1 + x dx, con (0, 1). Considerimo il circuito Γ in figur, costituito d due rchi di circonferenz Γ R di rggio R >> 0 e Γ ρ di rggio ρ << 1 e di due segmenti L +, L che formno con l sse delle scisse ngoli ϕ e 2π ϕ. Sceglimo l determinzione del logritmo complesso definit in C meno l semirett delle scisse non negtive. Quindi log z = ln z + i rg(z) con rg(z) (0, 2π). R + L 1 L 149

14. Complementi Si f(z) = z 1 + z = e log z 1 + z = e (ln z +i rg(z)). 1 + z L funzione f(z) è olomorf nell interno del circuito, slvo per un polo semplice nel punto 1; il residuo di f(z) in tle punto si clcol fcilmente utilizzndo il Lemm 12.8 ed è pri e iπ. er il Teorem dei Residui imo dunque f(z)dz = 2πie iπ. (14.18) Γ rmetrizzndo il segmento L + come z = xe iϕ, con x [ρ, R] e il segmento L come z = xe i(2π ϕ) con x [ρ, R] possimo scrivere Γ f(z)dz = Γ R R f(z)dz ρ ln x i(2π ϕ) e e i(2π ϕ) dx 1 + xe i(2π ϕ) Γ ρ R f(z)dz+ er R l integrle su Γ R tende zero, in qunto f(z)dz 2R 4(π ϕ) 2(π ϕ)r =. R R Γ R er ρ 0 l integrle su Γ ρ tende zero, in qunto f(z)dz ρ ρ1 2(π ϕ)ρ = 2(π ϕ). 1 ρ 1 ρ Γ ρ ertnto, fcendo tendere R, ρ 0 e ϕ 0 ottenimo Γ R f(z)dz = e quindi dll (14.18) ottenimo ρ ln x 2πi e R dx + 1 + x ρ I = 2πie iπ 1 e 2πi = 2πi e πi e πi = Esercizio 14.19. Clcolre il seguente integrle 1 1 x 2 I := 1 + x dx. 2 1 ln x e 1 + x dx = I( e 2πi + 1), π sin(π). ρ ln x iϕ e 1 + xe iϕ eiϕ dx 1 z 2 Considerimo l funzione nlitic F (z) = = G(z) ; nell regione in 1 + z 2 1 + z2 figur tle funzione è monodrom, e h due determinzioni, g 1 e g 2. 150

14.1. rolungmento nlitico R i + L 1 L 1 i Simo interessti ll determinzione di G tle che, ll pprossimrsi di L + ll intervllo [ 1, 1] tend l vlore positivo di 1 x 2 ; l pprossimrsi suddetto corrisponde l tendere di ϑ 1 + ϑ 2 π, e quindi si ottiene per k dispri; possimo scegliere k = 1, ottenendo g 1 (z) = ρ 1 ρ 2 e i 2 (ϑ 1+ϑ 2 π) Clcolimo i residui di f(z) = g 1 (z)/(1 + z 2 ) nei punti ±i, che sono poli semplici; Nel punto i il residuo è dto dl vlore dell funzione g 1 (z)/(z + i), che è 2. 2i Spostndosi d i i con un cmmino contenuto nell regione, l somm ϑ 1 + ϑ 2 ument di 2π, quindi il vlore di g 1 (z) in i è 2 e il residuo, clcolto in modo nlogo è 2. 2i Si M j il mssimo di f(z) sull circonferenz j, centrt in 1 e di rggio ε. Allor f(z)dz M2πε 0 i Aimo scelto g 1 (z) in modo che, l tendere di L + [ 1, 1] l funzione f(z) tend f(x). Cos succede invece l tendere di L [ 1, 1]? ssndo d sopr sotto rimnendo nell regione, l somm ϑ 1 + ϑ 2 si increment di 2π, quindi f(z) tende f(x); ossevndo che L è percorso in verso opposto trovimo che il limite per ε 0 dell integrle sul circuito interno è ugule due volte l integrle I. er il Teorem dei residui vremo dunque Γ R f(z)dz + 2I = 2πi ( 2 2i + ) 2 = 2π 2 2i Doimo quindi clcolre Γ R f(z)dz; osservimo che tle integrle è ugule 2πi Res (f(z)) 151

14. Complementi Ricordndo che, se f h uno zero semplice ll infinito llor il suo residuo ll infinito è ugule lim z zf(z). osservimo che, per ρ = z si h ρ 1, ρ 2 e ϑ 1, ϑ 2 ϑ, e quindi i ρe 2 (2ϑ π) lim zf(z) = lim ρeiϑ z ρ ρ 2 e i2ϑ + 1 = lim ρ eiϑ e dunque Γ R f(z)dz = 2π. ossimo dunque concludere che I = π + π 2 = π( 2 1) 14.2 superfici di riemnn - cenni introduttivi ieiϑ e 2iϑ + 1 = i, ρ 2 Definizione 14.20. Si X un superficie topologic; un crt locle compless per X è un omeomorfismo z α : U α D, con U α perto di X e D C disco perto. L perto U α è detto dominio dell crt locle. L crt locle si dice centrt in p X se z α (p) = 0. Definizione 14.21. Due crte locli (U α, z α ) e (U β, z β ) si dicono comptiili se U α U β = oppure se è un funzione olomorf. z βα := z β z 1 α : z α (U α U β ) z β (U α U β ) Definizione 14.22. Dto un superficie topologic X, un tlnte complesso per X è un collezione di crte locli {(U α, z α )} α A due due comptiili tle che X = α A U α. Definizione 14.23. Due tlnti complessi si dicono equivlenti se l loro unione è ncor un tlnte complesso. Un clsse di equivlenz di tlnti complessi è dett struttur compless su X. L unione di tutti gli tlnti di un struttur compless è ncor un tlnte, detto tlnte universle. Definizione 14.24. Un superficie di Riemnn è un superficie topologic dott di un struttur compless. Osservzione 14.25. Si può dimostrre che l condizione di comptiilità delle crte implic che, se X è un superficie comptt, llor X è omeomorf un superficie T g. L sfer di Riemnn C Considerimo l sfer S 2 R 3, con coordinte (x, y, t) e definimo U α = S 2 \ {N = (0, 0, 1)} e U β = S 2 \ {S = (0, 0, 1)}; identifichimo il pino t = 0 con C e considerimo l proiezione stereogrfic d N 152

14.2. Superfici di Riemnn - Cenni introduttivi ( ) x z α : U α C : (x, y, t) 1 t + i y 1 t e l proiezione stereogrfic d S seguit dll coniugzione ( ) x z β : U β C : (x, y, t) 1 + t i y 1 + t z α è continu e l su invers (continu) è e nlogmente z 1 β z 1 α : C U α : z : C U β : w L composizione z β zα 1 ugule ( 2Re z z 2 + 1, 2Im z ) z 2 + 1, z 2 1 z 2 + 1 ( 2Re w w 2 + 1, 2Im w w 2 + 1, 1 ) w 2 w 2 + 1 : z α (U α U β ) = C z β (U α U β ) = C è dunque w = z β zα 1 (z) = Re z z iim z = 1 2 z 2 z, che è olomorf in C := C \ {0}. L sfer con l struttur compless individut dll tlnte ppen descritto è dett sfer di Riemnn e indict con C. L rett proiettiv compless C 1 L rett proiettiv compless C 1 è definit come il quoziente di C 2 \ {(0, 0)} rispetto ll relzione di equivlenz che identific due vettori non nulli di C 2 che differiscono per uno sclre complesso. Un punto di C 1 è individuto d coordinte omogenee [z 0 : z 1 ]. Considerimo gli perti U i = {p C 1 z i (p) 0} e gli omeomorfismi ϕ i : U i C definiti come ϕ 0 (p) = z 1 /z 0 e ϕ 1 (p) = z 0 /z 1. E semplice mostrre che le funzioni di trnsizione sono definite su C e hnno espressione locle w = 1/z, e sono quindi olomorfe. Tori complessi Sino ω 1, ω 2 due numeri complessi linermente indipendenti su R, e si Λ = {mω 1 + nω 2 m, n Z}; Il quoziente X = C/Λ è un superficie di Riemnn, che è omeomorf d un toro. er mostrrlo si costruisce un tlnte come nell esempio 1.8 d). Le funzioni di trnsizione sono trslzioni, e sono quindi olomorfe. 153

14. Complementi Definizione 14.26. Si X un superficie di Riemnn e p X un suo punto, U un intorno di p e f : U C un funzione; f si dice olomorf in p se, pres un crt locle (U α, z α ) il cui dominio contiene p, l funzione f α = f zα 1 : z α (U α U) C è olomorf in z α (p). Tle funzione si dice espressione locle di f nell crt (U α, z α ). f z f Osservzione 14.27. L definizione è en post: se (U β, z β ) è un ltr crt locle il cui dominio contiene p, llor f β = f z 1 β = f zα 1 z α z 1 β = f α z αβ è olomorf in qunto composizione di funzioni olomorfe. Definizione 14.28. Anlogmente f si dice meromorf in p se un su espressione locle f α h un polo in p. Osservimo che il Teorem 13.1 vle nche per un perto connesso di un superficie di Riemnn (con l stess dimostrzione), e quindi vle nche il Corollrio 14.29 (rincipio d identità). Si X un superficie di Riemnn, si Ω X un perto connesso, e sino f, g O(Ω). Se esiste S Ω tle che f S = g S e S h un punto di ccumulzione in Ω, llor f g in Ω. Teorem 14.30. Si X un superficie di Riemnn comptt, e f O(X); llor f è costnte. Dimostrzione. oiché X è comptt, f h mssimo su X; si M tle mssimo, e si p un punto dove tle mssimo è ssunto. Si U un intorno perto e connesso di p, contenuto nel dominio di un crt locle; per il rincipio del Mssimo (13.14) f deve essere costnte su U. Allor, per il principio d identità, f è costnte su X. Definizione 14.31. Se X e Y sono due superfici di Riemnn un ppliczione continu F : X Y si dice olomorf in p X se, dte due crte locli (U α, z α ) e (V, w ) che contengono p ed F (p), l espressione locle F α = w F zα 1 : z α (U α F 1 (V )) C è olomorf in z α (p). 154

14.2. Superfici di Riemnn - Cenni introduttivi Osservzione 14.32. Anche in questo cso l definizione è en post. Inftti è semplice verificre che l relzione tr due diverse espressioni locli di F è l seguente: F β = w F α z αβ. Si X un superficie di Riemnn e f un funzione meromorf su X; possimo pensre f come un funzione d X C 1 ponendo { [f(x) : 1] se x non è un polo F (x) = [1 : 0] se x è un polo E semplice verificre che F è un ppliczione olomorf d X C 1. Vicevers, dt un ppliczione olomorf F : X C 1, divers dll ppliczione costnte di vlore [1 : 0], F è possiile ssocire un funzione meromorf su X. Definizione 14.33. Due superfici si Riemnn X e Y sono isomorfe se esiste un ppliczione olomorf F : X Y che i un invers G : Y X olomorf. Esempio 14.34. L rett proiettiv compless C 1 è isomorf ll sfer di Riemnn. er verificrlo si consideri l ppliczione F : C 1 C così definit: ( ) 2Re(z w) 2Im(z w) F ([z : w]) =, z 2 + w 2 z 2 + w, z 2 w 2. 2 z 2 + w 2 Alcune superfici di Riemnn iperellittiche Avvertenz: l presente sezione h volutmente crttere nrrtivo, e non contiene dimostrzioni rigorose di qunto enuncito. Si h(z) un polinomio complesso di grdo 2g + 2, con rdici distinte e h(0) 0. Rggruppimo le rdici del polinomio coppie (z 1, z 1,..., z g+1, z g+1) in modo tle che i segmenti L i che uniscono i due punti di un coppi sino due due disgiunti. Considerimo l funzione nlitic F (z) = h(z); in ogni punto di C che non è rdice di h tle funzione h due vlori, e tli vlori vengono scmiti percorrendo un cmmino che gir intorno un numero dispri di rdici. 155

14. Complementi In C \ { L i } l funzione è quindi monodrom e h due determinzioni, f 1, f 2, olomorfe in C \ { L i }. Nell figur di destr imo rppresentto C come l sfer di Riemnn C meno un punto. Sino Y 1 e Y 2 due copie di C, tglite lungo i segmenti L i : su Y i possimo definire funzioni g j : Y j C nel modo seguente: nei punti interni Y j l funzione g j coincide con f j, mentre sui ordi del tglio ess è definit come limite di f j e quindi ssume vlori diversi sui due ordi di ciscun tglio ordi indicti con L + i e L i. Considerimo il quoziente X ottenuto ttccndo Y 1 e Y 2 lungo i ordi dei tgli identificndo L + i su Y 1 con L i su Y 2 e L i su Y 1 con L + i su Y 2. oiché ttrversndo uno dei segmenti L i le determinzioni si scmino le funzioni g i ssumono lo stesso vlore sui punti che vengono identificti nel quoziente, e quindi su X è en definit un funzione olomorf G indott d g 1 e g 2. X è dett l superficie di Riemnn ssocit ll funzione nlitic h(z). Esiste un ppliczione nturle ψ : X C che, ristrett ll controimmgine di Ω := C \ {z 1, z 1,..., z g+1, z g+1} è un rivestimento due fogli, e un digrmm commuttivo 156

14.2. Superfici di Riemnn - Cenni introduttivi C ψ X F tle che, se z Ω, G(ψ 1 (z)) = {F (z)} L superficie X può essere compttifict, considerndo l superficie di Riemnn X ssocit h(1/z) e incollndole nell prte comune. L superficie ottenut è topologicmente un superficie comptt di genere g. G C 157

Indice nlitico G-spzio, 50 q-ordi, 60 q-ordi reltivi, 79 q-cicli, 60 q-cicli reltivi, 79 q-simplesso singolre, 61 lfeto, 31 zione di un gruppo, 49 lier, 50 proprimente discontinu, 50 crt locle, 3 complessi di ctene, 60 morfismi, 60 condizioni di Cuchy-Riemnn, 92 coppi di spzi, 78 complesso singolre, 79 omologi, 79 successione estt lung, 80 CW-complesso finito, 18 esempi, 18 sottocomplesso, 20 equivlenz omotopic, 15 formul integrle per un disco, 111 funzione olomorf, 93 un serie di potenze convergente è olomorf, 95 gruppo delle ctene singolri, 61 elinizzto di un, 33 con presentzione, 32 fondmentle, 23 dell ottigli di Klein, 40 dell circonferenz, 56 di S n, con n 2., 37 di un ouquet di circonferenze, 38 indipendenz dl punto se, 25 morfismo indotto, 25 liero, 31 gruppo elino liero, 57 sistem di genertori, 57 sottogruppo di torsione, 58 sottoinsieme liero, 57 Indice, 109 proprietà, 110 integrle lungo un curv, 103 proprietà, 103 numeri complessi form lgeric, 89 form esponenzile, 90 form trigonometric, 90 rdici n-esime, 91 omologi di complessi di ctene, 60 di un coppi, 79 locle, 83 ridott, 66 singolre, 63 omotopi, 13 di ppliczioni continue, 13 di cmmini, 14 reltiv, 14 opertori fcci, 62 orit, 49 Residuo ll infinito, 127 159

Indice nlitico definizione, 127 retrtto, 16 di deformzione, 16 proprietà dei morfismi indotti, 27 rivestimenti, 50 serie di Lurent, 122 singolrità isolte, 123 poli, 124 singolrità eliminili, 112 singolrità essenzili, 125 sollevmento, 52 di cmmini, 53 di omotopie, 55 unicità, 53 somm conness, 8 sottogruppo dei commuttori, 33 spzio topologico contriile, 15 loclmente euclideo, 3 dimensione, 3 dimensione locle, 3 stilizztore, 49 successione estt di complessi, 69 di gruppi elini, 58 lung, 69 reve, 59 spezznte, 59 Superfici T g, 8 Superfici U h, 8 di Morer, 114 di Rdò, 42 di Rouché, 143 di Seifert-Vn Kmpen, 36 di Weierstrss, 112 fondmentle dell lger, 114 rincipio d identità, 141 rincipio dell rgomento, 142 tringolzione, 42 tringolo geometrico, 41 vrietà topologic, 4 esempi, 5 Teorem dei residui, 128 dell mpp pert, 144 di Cuchy, 116 di Cuchy, versione locle, 106 di clssificzione delle superfici comptte, 42 di escissione, 83 di Gourst, 104 di Hurewicz, 67 di invrinz dell dimensione, 3, 86 di invrinz per omotopi, 28 di Liouville, 114 160

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