Argomenti trattati nella settimana 23-27 novembre 2009 Il libro cui faccio riferimento, se non specificato altrimenti, è Lang, Algebra lineare 1 Sistemi lineari; 2 applicazioni lineari; Sistemi lineari; apllicazioni lineari pag 77-102 3 applicazione lineare determinata da una matrice A Mat m n (K) fra gli spazi K n e K m ; 4 composizione di applicazioni lineari; monomorfismi, epimorfismi, isomorfismi; 5 isomorfismo tra uno spazio vettoriale di dimensione n su K e K n associato alla scelta di una base B (la funzione che porta un vettore v nel vettore delle sue coordinate); 6 teorema nullità + rango (legame tra la dimensione del nucleo e dell immagine di una funzione o applicazione lineare) COMPLEMENTI 01 Metodo di Gauss Il metodo di Gauss consiste nel trasformare un generico sistema Ax = B in un sistema equivalente in cui la matrice S dei coefficienti ha una particolare forma 0 p i1 a 1,i1 +1 a 1,n 0 p i2 a 2,i2 +1 a 2,n S = 0 p ir a r,ir+1 a 1n 0 0 0 0 0 dove gli elementi p is sono diversi da 0 e tutti gli elementi nella colonna i j - esima al di sotto di p ij sono nulli Una matrice S siffatta si dice matrice a scala e i p ij si dicono pivot 1
Esempio 1 Sia 3x + 2y z + 2t = 1 x + y z + t = 2 x + 2z + 2t = 1 (1) un sistema di tre equazioni in quattro incognite Si inizi a considerare il sistema a esso equivalente ottenuto scambiando le prime due equazioni (questo è un passaggio del tutto inutile da un punto di vista computazionale, anzi probabilmente dannoso, se si usa il computer, ma utile se si fanno i conti a mano) Si ottiene il sistema x + y z + t = 2 3x + 2y z + 2t = 1 x + 2z + 2t = 1 Sostituiamo allora alla seconda equazione la seguente combinazione lineare delle prime due: 3x + 2y z + 2t 3(x + y z + t) = 1 6 Si ottiene il sistema equivalente x + y z + t = 2 0x y + 2z 2t = 5 x + 2z + 2t = 1 Sommando alla terza equazione la prima si ottiene x + y z + t = 2 y + 2z 2t = 5 y + z + 3t = 3 ancora equivalente a 1 Infine, sostituendo alla terza equazione la somma della seconda con la terza, si ottiene x + y z + t = 2 y + 2z 2t = 5 3z + 2t = 2 Si è così trovato un sistema equivalente a quello di partenza in cui la matrice dei coefficienti è data da 1 1 1 1 S = 0 1 2 1 0 0 3 2 2 (2)
dove i pivot sono 1, 1, e 3 Il sistema, ora, è facile da risolvere: si può infatti scrivere x + y z = 2 t y + 2z = 5 + t 3z = 2 2t Per ogni valore α K, dato a t si ottiene la soluzione ( t 7 3 + 2 3 α, 11 3 7 ) 3 α, 2 (1 + α), α 3 Vediamo ora di descrivere il metodo di Gauss in generale Cominciamo prima con l osservare perché è comodo avere la matrice dei cofficienti sotto forma di matrice a scala: dato il sistema lineare a 1,1 x 1 + + a 1,n x n = b 1 0 + + a 2,j2 x j2 + + a 2,n x n = b 2 0 + a r,jr x jr + + a r,n x n = b r 0 + 0 = 0 (3) dove i pivot sono a 11 = a 1j1, a 2j2,, a rjr Il Sistema (3) è equivalente a a 1,1 x 1 = a 1,2 x 2 + b 1 a r,jr x jr = a r 1,jr 1 x jr 1 + b r Quindi per risolvere un sistema risolubile con matrice dei coefficienti a scala, si parte dall ultima riga, si danno dei valori arbitrari alle incognite x jr+1,, x n e si trova l incognita x r (corrispondente all ultimo pivot a r,jr 0) Poi si trova x jr 1 (corrispondente al pivot a r 1,jr 1 ) in funzione delle rimanenti incognite x jr 1 +1 e così via fino a risalire alla prima equazione In pratica, è come se si risolvesse un sistema quadrato a 1,1 x 1 + a 1,j2 x j2 + + a 1,jr x jr = f 1 a 2,j2 x j2 + + a 2,jr x jr = f 2 a r,jr x jr = f r 3
dove f 1, f 2,, f r fanno le veci dei termini noti e sono dei valori di K ottenuti fissando valori arbitrari alle variabili x i, i 1, j 2,, j r Siamo ora pronti a descrivere il procedimento di Gauss Sia dato il sistema a 1,1 x 1 + + a 1,n x n = b 1 a m,1 x 1 + + a m,n x n = b m Supponendo che a 1,1 0 se il sistema lineare non ha la matrice dei coefficienti nulla, si può sempre supporre a 1,1 0, eventualmente cambiando l ordine delle incognite e/o delle equazioni Si operi quindi sulla matrice completa A B del sistema nel seguente modo Si sostituisca alla riga i-esima la riga ottenuta sommando alla prima la i-esima moltiplicata per a i,1 a 1,1 1, in simboli: alla riga A i della matrice A dei coefficienti si sostituisce il vettore A i a i,1 a 1,1 1 e al termine noto b i l elemento b i a i,1 a 1,1 1 Si ottiene così una matrice del tipo a 1,1 a 1,2 a 1,n b 1 1 0 b 2 a 2,1 a 1,1 A 1 0 b m a m,1 a 1,1 dove A è una matrice di m 1 righe e n 1 colonne Il sistema che ha come matrice completa (4) è equivalente al sistema dato Si procede in modo analogo su A Se A 0, nella prima riga di A si sceglie un elemento a 2,j2 0 (si può fare eventualmente scambiando l ordine delle equazioni) e si sostituiscono alla riga i-esima A i di A il vettore (4) e al termine noto A i = a 1,j 2 a 2,j 2 1 A 2 b i = a i,1 a 1,1 1 a 1,j 2 a 2,j 2 1 = C i Così facendo si arriva a avere un sistema equivalente al sistema dato, in cui la matrice dei coefficienti è una matrice a scala S 4
Il procedimento ha termine quando si ottiene un sistema in cui la riga r-esima ha un termine a r,jr 0, e tutte le righe di indice superiore della matrice dei coefficienti sono nulle Ci si accorge ora che il metodo descritto permette di dire se il Sistema (3) è risolubile Infatti se nella colonna dei termini noti, chiamandoli d 1,, d m, si ha d i 0 per qualche i > r, si ottiene una equazione del tipo 0x 1 + 0x 2 + + 0x n = d i 0 e questo è impossibile Risulta facile verificare che le r righe della matrice S sono linearmente indipendenti Abbiamo il seguente teorema Teorema 1 Il rango di una matrice A è il numero di pivot di una sua qualsiasi riduzione a scala Dimostrazione Il rango di A è stato definito indipendentemente dal procedimento di Gauss e se si considera l applicazione lineare L A : x Ax si ottiene ImL A = dim[a 1,, A n ] = r(a) e Ax = B ha soluzione se e solo se B ImL A Questo comporta che qualunque sia la riduzione a scala effettuata il numero di pivot è sempre r(a) Osservazione 1 Nell enunciato del Teorema?? si è parlato di una qualsiasi riduzione a scala Infatti nel procedimento indicato ci sono diverse scelta che possono essere effettuate Osserviamo che ci sono questioni relative a quale sia la scelta ottimale (che permette di fare piú in fretta!) Non sempre è quella che sembra piú comoda: per esempio la scelta come pivot iniziale dell elemento della matrice A di valore assoluto 1 sembra quella che evita piú conti, ma può non essere vero dal punto di vista dei tempi di calcolo Finiamo con un teorema che descrive come sono fatte le soluzione di un sistema lineare risolubile Teorema 2 L insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo Ax = 0 di m equazioni e n incognite è un sottospazio vettoriale dello spazio K n Inoltre, l insieme delle soluzioni del sistema lineare Ax = B (5) è dato da X = {ξ + ɛ, ξ : Aξ = b; ɛ : Aɛ = 0} 5
In altre parole, tutte e solo le soluzioni del Sistema (5) sono della forma ξ + ɛ dove ξ è una soluzione generica del sistema lineare omogeneo associato Ax = 0 e ɛ è una soluzione particolare di Ax = b Dimostrazione La dimostrazione della prima parte è immediata, in quanto la soluzione del sistema Ax = 0 altro non è che il nucleo dell applicazione lineare L A : x Ax Dimostriamo ora la seconda parte del teorema Ax = B, se ne considera un altra t Allora da Aξ = B e At = B Fissata la soluzione ξ di segue A(ξ t) = 0; da cui ξ t = ɛ è soluzione del sistema omogeneo Ax = 0 Viceversa, ogni vettore del tipo ξ + ɛ con ɛ soluzione di Ax = 0 è soluzione del Sistema (5) dato Osservazione 2 La situazione appena descritta risulta più chiara da un esempio geometrico: data la retta passante per l origine r di equazione ax + by = 0 b 0 (6) i cui punti sono quindi le soluzioni di un equazione lineare, tutte e sole le rette parallele a r sono rappresentate da equazioni del tipo ax + by + c = 0 e geometricamente sono le rette traslate di r tramite un vettore di coordinate (0, cb 1 ), che è un punto di r Osservazione 3 Se il Sistema lineare (5) è risolubile, per quanto si è visto ammette una e una sola soluzione se e solo se il rango r di A è uguale al numero di incognite n Altrimenti, come si vede facilmente per esempio utilizzando il procedimento di Gauss, il sistema ha più di una soluzione e le soluzioni dipendono da n r parametri In questo caso, se il sistema è a coefficienti in un campo infinito K, 5 ha infinite soluzioni: allora si dice che ha n r soluzioni Se invece K è finito di cardinalità q, le soluzioni sono sempre in numero finito Se r < n, le soluzioni dipendono ancora da n r parametri e sono q n r 6