Esame di Ricerca Operativa del 9/0/06 (Cognome) (Nome) (Matricola) Esercizio. Una banca offre ai suoi clienti diversi tipi di prestito: mutuo casa, credito auto, credito famiglia, che rendono un interesse annuo rispettivamente del %, 8% e %. La banca ha a disposizione 0 milioni di euro e deve erogare i prestiti in modo che: il mutuo casa rappresenti almeno il 0% di tutti i prestiti erogati; il credito auto non superi il 0% di tutti i prestiti erogati; il tasso di interesse medio su tutti i prestiti non superi il 6.%. La banca vuole determinare quanti euro erogare per ogni tipo di prestito in modo da massimizzare il suo profitto. variabili decisionali: modello: Esercizio. Completare la seguente tabella considerando il problema di programmazione lineare: max x + x x 0 x + x x +x 6 x x 0 x + x Base Soluzione di base Ammissibile Degenere {, } x = {, } y = Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso primale per il problema dell esercizio. iterazione {,6} iterazione Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante
Esercizio. Si consideri il seguente problema di programmazione lineare intera: min 9 x +x 9 x +x 60 x +8x x 0 x 0 x,x Z a) Calcolare una valutazione inferiore del valore ottimo risolvendo il rilassamento continuo. sol. ottima del rilassamento = v I (P )= b) Calcolare una valutazione superiore del valore ottimo arrotondando la soluzione ottima del rilassamento. sol. ammissibile = v S (P )= c) Calcolare un taglio di Gomory. r = taglio: Esercizio. Si consideri il problema di trovare il ciclo hamiltoniano di costo minimo su una rete di città, le cui distanze reciproche sono indicate in tabella: città 6 9 0 a) Trovare una valutazione inferiore del valore ottimo calcolando il albero di costo minimo. albero: v I (P )= b) Trovare una valutazione superiore applicando l algoritmo del nodo più vicino a partire dal nodo. ciclo: v S (P )= c) Applicare il metodo del Branch and Bound, utilizzando il albero di costo minimo come rilassamento di ogni sottoproblema ed istanziando, nell ordine, le variabili x, x, x.
Esercizio 6. Completare la seguente tabella considerando il problema di flusso di costo minimo sulla seguente rete (su ogni nodo è indicato il bilancio e su ogni arco sono indicati, nell ordine, il costo e la capacità). (6,) (,6) (6,) 6 (0,) (8,8) (8,) (,) (0,6) (,8) Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere (,) (,) (,6) (,6) (,6) (,) (,) x = (,) (,) (,) (,6) (,6) (,) (,6) π =(0, Esercizio. Effettuare due iterazioni dell algoritmo del simplesso su reti per il problema dell esercizio 6. (0,6) iterazione iterazione ArchidiT (,) (,) (,) (,) (,6) Archi di U (,) (,6) x π Arco entrante ϑ +, ϑ Arco uscente 6 0
Esercizio 8. a) Applicare l algoritmo di Dijkstra per trovare l albero dei cammini minimi di radice sulla seguente rete. 6 8 nodo visitato iter iter iter iter iter iter 6 iter π p π p π p π p π p π p π p nodo nodo nodo nodo nodo 6 nodo insieme Q b) Applicare l algoritmo di Ford-Fulkerson (con la procedura di Edmonds-Karp per la ricerca del cammino aumentante) per trovare il flusso massimo tra il nodo ed il nodo sulla seguente rete. 6 9 9 cammino aumentante δ x v Taglio di capacità minima: N s = N t =
SOLUZIONI Esercizio. Variabili decisionali: x = milioni di euro erogati per il mutuo casa x = milioni di euro erogati per il credito auto x = milioni di euro erogati per il credito famiglia Modello: Esercizio. Esercizio. max 0.0 x +0.08 x +0.0 x x + x + x 0 x 0.(x + x + x ) x 0.(x + x + x ) 0.0 x +0.08 x +0.0 x 0.06 (x + x + x ) x,x,x 0 Base Soluzione di base Ammissibile Degenere {, } x =(0, ) SI NO ( ) {, } y =,, 0, 0, 0, 0 Base x y Indice Rapporti Indice uscente entrante SI NO iterazione {, 6} (0, ) (0, 0,, 0, 0, ) 6, iterazione {, } (, 0) Esercizio. ( ) a) sol. ottima del rilassamento =, 0 b) sol. ammissibile = (, 0) v S (P )= c) r = x +x r = 9x +x (, 0, ), 0, 0, 0 v I (P )= Esercizio. a) albero: (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) v I (P )=0 b)ciclo: v S (P )=6 c) 0,6 P x =0 x = 6,6 P, 0,6 P, x =0 x =, P, 0, P, il albero di costo minimo è il ciclo, aggiorno v S (P )= x =0 x =, P, P,8
Esercizio 6. Archi di T Archi di U Soluzione di base Ammissibile Degenere (,) (,) (,6) (,6) (,6) (,) (,) x =(0, 6, 0,, 0,,, 8,, ) NO SI (,) (,) (,) (,6) (,6) (,) (,6) π =(0,, 8,,, ) NO NO Esercizio. Esercizio 8. a) b) iterazione iterazione Archi di T (,) (,) (,) (,) (,6) (,) (,) (,) (,) (,6) Archi di U (,) (,6) (,) (,6) x (, 0,,, 0, 6,,,, 0) (,, 0,, 0, 6,,,, 0) π (0,,, 0, 8, 0) (0,,,, 0, ) Arco entrante (,) (,) ϑ +, ϑ 8, 6, Arco uscente (,) (,) iter iter iter iter iter iter 6 iter π p π p π p π p π p π p π p nodo visitato 6 nodo nodo nodo + nodo + 9 6 6 6 nodo 6 + + + 0 0 0 0 nodo + + + + 6 0 0 insieme Q,,,,, 6, cammino aumentante δ x v --- (,0,0,,0,0,0,,0,0) ---6- (9,0,,,0,0,,,0,) 9 -----6- (9,,,,,0,,,0,) Taglio di capacità minima: N s = {} N t = {,,,, 6, }