Controlli Automatici - Prima parte Aprile 8 - Esercizi Si risolvano i seguenti esercizi. Nome: Nr. Mat. Firma: C.L.: Info. Elet. Telec. Altro. a.) Calcolare la trasformata di Laplace X(s) dei seguenti segnali temporali x(t): x (t) = [3 e 3t ] cos(2t), x 2 (t) = [t 2 +2 sin(3t)]e 4t Soluzione: X (s) = 3s s 2 +4 (s+3) (s+3) 2 +4, X 2(s) = (s+4) + 6 3 (s+4) 2 +3 2. a.2) Calcolare la risposta impulsiva g i (t) delle seguenti funzioni di trasferimento G i (s): G (s) = s(s+2) 2, G 2(s) = 2+ (s 3) (s 3) 2 +49 Soluzione: g (t) = e 2t te 2t, Infatti, per la funzione G (s) si ha: [ ] L - [G (s)] = L - s(s+2) 2 g 2 (t) = 2δ(t)+e 3t cos(7t) [ = L - s (s+2) ] = e 2t te 2t (s+2) 2 b) Relativamente allo schema a blocchi di figura, calcolare la funzione di trasferimento G(s) = Y(s) R(s) : G(s) = AB +DB(+AC) +AC +BE +ABF +ACBE c) I diagrammi riportati sotto sono relativi a due sistemi a fase minima G (s) e G 2 (s). Per ciascuno dei due sistemi e nei limiti della precisione consentita dai grafici, calcolare: c.) il margine di ampiezza M a del sistema; c.2) il margine di fase M ϕ del sistema; c.3) il guadagno K ϕ per cui il sistema K ϕ G(s) ha un margine di fase M ϕ = 3; c.4) il guadagno K α per cui il sistema K α G(s) ha un margine di ampiezza M α = ;
I parametri richiesti hanno il seguente valore: G (jω) Diagramma di Nichols G 2 (jω) Diagramma di Nyquist.2. /Mα. Mag [db] 3.3 2.7 2.2 M ϕ.8 M α Kp2 K α Imag. 3.3 3.9 Kα Mϕ 4.7 6.8 8.2.6 Kp2 3.9 4.7. 2.7.6 23 2 2 9 8 7 6 4 3 Phase [degrees] c.) M a = 7. db =.42 c.2) M ϕ =.62 c.3) K ϕ = 4.7 db =.82 2 3 2. 2... Real c.) M a = c.2) M ϕ = c.3) K ϕ =.384 c.4) K α = 27. db =.42 d) Sia dato il seguente sistema retroazionato: r(t) e(t) K c.4) K α =. G(s) 2(s+) s(+s)(s 2 +s+) y(t) d.) Determinare per quali valori di K il sistema retroazionato è asintoticamente stabile. Soluzione. L equazione caratteristica del sistema retroazionato è: + K(s+) s(+s)(s 2 +s+) = s4 +6s 3 +6s 2 +(K +)s+k = La tabella di Routh ha la seguente struttura: 4 6 K 3 6 K + 2 3 K 3K (3 K)(K +) 8K 3K Dalla tabella di Routh si ricavano i seguenti vincoli: K < 3 6, K2 +4K 3 <, K >. In base alla regola dei segni dei coefficienti di una equazione di secondo grado, è possibile affermare che le due soluzioni K e K 2 dell equazione di secondo grado della riga sono reali e di segni opposti: K < e K 2 > : K,2 = 4± 4 2 4()( 3) = { K = 3 K 2 =.2 2
La disequazione è negativa all interno dei valori K e K 2. Quindi il sistema retroazionato è asintoticamente stabile per: < K < K 2 = K =.2. La pulsazione ω corrispondente al valore limite K è: ω = K + 6 =.2 6 =.447. d.2) Tracciare i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s). Soluzione. I diagrammi asintotici di Bode della funzione G d (s) sono mostrati in Fig.. Diagramma asintotico dei moduli 4. β... 4. 6. 8.. G (s) x..2 2 2x. 4 o. G (s) 3 γ Diagramma a gradoni delle fasi 9. ϕ x. 2x. o. 8. 27. ϕ 36..2 Figura : Diagrammi asintotici di Bode della funzione G d (s). I diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s) sono mostrati in Fig. 2. Le funzioni approssimanti G (s) e G (s) per ω ed ω sono le seguenti: G (s) = s, G (s) = s 3. Le corrispondenti fasi ϕ e ϕ hanno il seguente valore: ϕ = π 2, ϕ = 3π 2. Sul diagramma asintotico delle ampiezze il guadagno β alla pulsazione ω =.2 e il guadagno γ alla pulsazione ω = sono: β = G (s) s=.2 = 2 = 27.96 db, γ = G (s) s= = 62 Il coefficiente di smorzamento della coppia di poli instabili è δ = /(2ω n ) =.. =.92 db. d.3) Disegnare qualitativamente il diagramma di Nyquist completo della funzione G(s). Calcolare esattamente la posizione σ a di un eventuale asintoto verticale, le eventuali intersezioni σ i con l asse reale e i corrispondenti valori delle pulsazioni ω i. Soluzione. Il diagramma di Nyquist della funzione G(s) è mostrato in Fig. 3. 3
Mag (db) 6 4 4 6 8 Diagramma dei moduli G (s) β γ G (s) 2 2 Diagramma delle fasi 9 ϕ Phase (deg) 8 27 ϕ 36 2 2 Frequency [rad/s] Figura 2: Diagrammi di Bode della funzione G(s). Diagramma di Nyquist Sa.8.22.33.39.47.6.82.2.27. Imag 3 4..2.82 6.68 7 8 4 3 3 2 Real Figura 3: Diagramma di Nyquist della funzione G(s) per ω [, ]. 4
La fase iniziale del sistema è ϕ = π 2. Per ω + il diagramma parte in ritardo rispetto a tale fase in quanto la somma delle costanti di tempo del sistema è negativa: τ = =.8 <. Il sistema é di tipo per cui esiste un asintoto: σ a = K τ = (.8) = 29. La variazione di fase che il sistema subisce per ω ], [ è: ϕ = π 2 π 2 π = π NeseguecheilvettoreG(jω)ruotadi π insensoorarioperraggiungerelafasefinaleϕ = 3π. 2 Per ω il diagramma arriva in ritardo rispetto alla fase finale ϕ = π in quanto la somma 2 p delle pulsazioni critiche del sistema è negativa: p = + + = 3.8 <. Esiste una sola intersezione con il semiasse reale negativo. L intersezione avviene nel punto: in corrispondente della pulsazione ω =.447. e) Sia dato il seguente sistema retroazionato: r(t) e(t) K σ =.2 = G e (s) (s+) 2 s 2 (s ) y(t) e.) Determinare per quali valori di K il sistema retroazionato è asintoticamente stabile. Soluzione. L equazione caratteristica del sistema retroazionato è: + K(s+)2 s 2 (s ) = s3 +(K )s 2 +2Ks+K = La tabella di Routh ha la seguente struttura: 3 2K 2 (K ) K 2K(K ) K K Il sistema retroazionato è stabile quando tutti i coefficienti della prima colonna della tabella di Routh hanno lo stesso segno: (K ) > K(2K 3) > K > La pulsazione ω corrispondente al valore limite K è : K > K =. ω = 2K = 3.732
4.. G (s) 2 Diagramma asintotico dei moduli X2o. β.. G (s) γ 4. Diagramma a gradoni delle fasi. X2o. 9. ϕ 8. 27. 36. ϕ Figura 4: Diagrammi asintotici di Bode della funzione G d (s). 4 Diagramma dei moduli G (s) Mag (db) β G (s) γ 4 Diagramma delle fasi 9 Phase (deg) 8 27 36 Frequency [rad/s] Figura : Diagrammi di Bode della funzione G e (s). 6
e.2) Tracciare i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G e (s). Soluzione. I diagrammi asintotici di Bode della funzione G d (s) sono mostrati in Fig. 4. I diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G e (s) sono mostrati in Fig.. Le funzioni approssimanti G (s) e G (s) per ω ed ω sono le seguenti: G (s) = s 2, G (s) = s Le corrispondenti fasi ϕ e ϕ hanno il seguente valore: ϕ = 2π, ϕ = π 2. Sul diagramma asintotico delle ampiezze il guadagno β alla pulsazione ω = e il guadagno γ alla pulsazione ω = sono: β = G (s) s= = = db, γ = G (s) s= = = db. e.3) Disegnare qualitativamente il diagramma di Nyquist completo della funzione G e (s). Calcolare esattamente la posizione σ a di un eventuale asintoto verticale e le eventuali intersezioni σ i con l asse reale. Soluzione. Il diagramma di Nyquist della funzione G e (s) è mostrato in Fig. 6. La fase iniziale Diagramma di Nyquist..22.8.33.27 Imag.47.6.82..39 3 4 Real Figura 6: Diagramma di Nyquist della funzione G e (s) per ω [, ]. del sistema è ϕ = 2π. Per ω + il diagramma parte in anticipo rispetto alla fase iniziale: τ = 2+ = 3 >. Il sistema é di tipo 2 per cui non esistono asintoti. La variazione di fase ϕ = π + π 2 = 3π 2 indicacheilvettoreg(jω)ruotadi 3π 2 insensoantiorarioperraggiungerelafasefinaleϕ = π 2. Esiste una sola intersezione σ con l asse reale: σ = K =. =.666 in corrispondenza della pulsazione ω =.732. 7
f) Si faccia riferimento ai diagrammi di Bode della funzione G(s) mostrati in figura. f.) Nei limiti della precisione consentita dal grafico, ricavare l espressione analitica della funzione G(s). G(s) = (s.3)(s2 +9s+8) s(s+2)(s+) 2. Stimare in modo approssimato eventuali valori di δ. f.2) Calcolare la risposta a regime y (t) del sistema G(s) quando in ingresso è presente il segnale: x(t) = 2 sin(.6t)+cos(3t π 4 ). f.2) La risposta a regime del sistema G(s) al segnale dato è la seguente: Mag (db) Phase (deg) 3 4 9 6 3 3 6 9 Diagramma dei moduli 2 3 Diagramma delle fasi 2 3 Frequency [rad/s] y (t) = 3 G(8j) sin(8t+ π 6 +argg(8j)). 3 sin(8t+ π 6 36 ). Infatti si ha che G(8j) e 36 j. Soluzione: f.) La funzione di trasferimento del sistema è la seguente: G(s) = (s.3)(s2 +9s+8) s(s+2)(s+) 2. Il valore K = si determina, per esempio, calcolando il modulo β dell approssimante G (s) in corrispondenza della pulsazione ω = : G (s) s=j = K s = K = β db K. s=j Il coefficiente di smorzamento della coppia di zeri complessi coniugati stabili è il seguente: δ = 2M ωn 2 =.. La distanza M ωn db si legge dal diagramma di Bode dei moduli. Controlli Automatici - Prima parte Aprile 8 - Domande Si risponda alle seguenti domande. Nome: Nr. Mat. Firma: C.L.: Info. Elet. Telec. Altro. 8
. Scrivere, in funzione dei segnali x(t) e y(t), l equazione differenziale corrispondente alla seguente funzione di trasferimento: G(s) = Y(s) X(s) = (s+3) 2 3s 4 +s 3 +6s 2 + s+4 3... y +... y +6ÿ + ẏ +4y = ẍ+6ẋ+9x Applicare il Criterio di Routh al polinomio a denominatore della funzione G(s): 4 3 6 4 3 2 3 4 4 2. Sia dato il diagramma di Nyquist della funzione G(s) =.(s+) s(s ). Il sistema G(s) é stabile Il sistema G(s) é instabile Il sistema G(s) é a fase minima In base al criterio di Nyquist è possibile affermare che il sistema retroazionato K G(s) è stabile per i seguenti valori di K: K > K =. = 2 Calcolare dal grafico, in modo approssimato, i valori limite dell intervallo di ammissibilità Imag....33.39.47.6.68.82 Diagramma di Nyquist.2.2.2 3.9 8 del parametro K...... 2 Real 3. Per un sistema del 2 o ordine privo di zeri, scrivere le funzioni S(δ) e M R (δ) che legano la massima sovraelongazione S% e il picco di risonanza M R al coefficiente di smorzamento δ: S(δ) = e πδ δ 2, M R (δ) = 2δ δ 2 4. Utilizzando i teoremi del valore iniziale e del valore finale, disegnare l andamento qualitativo y (t) della risposta al gradino del seguente sistema: G(s) = 6s 3 3s+2 Calcolare il valore iniziale y, il valore finale y e il tempo di assestamento T a della risposta al gradino y (t): y(t) 2.... 2 2. Risposta al gradino y 3 y = 2, y.s, T a 4.s. 2 3 4 6 7 8 9. Calcolare l evoluzione libera del sistema 4ẏ(t) + 3y(t) = con condizione iniziale y() =. Applicando la trasformata di Laplace si ha: 4[sY(s) ]+3Y(s) = Y(s) = s+ 3 4 T a Time [s] y(t) = e.7t. 6. Calcolare la risposta a regime y(t) del sistema G(s) quando in ingresso è presente il seguente segnale sinusoidale x(t): 9
x(t) = 4+4cos ( 2t π 3 ) 2 (s+2) 2 ( y(t) 2+6cos 2t π 9 ) 3 Infatti si ha che: 2 G(j2) = (j2+2) 2 G(j2) = 2 (4+4) = 3 2, argg(j2) = 2arctan 2 2 = π 2 7. Calcolare il valore iniziale y = lim t +y(t) e il valore finale y = lim y(t) del segnale y(t) t corrispondente alla seguente trasformata di Laplace Y(s): Y(s) = 2(3+s)(s 4) s(2s+)(7s+3) y = 4 y = 8 8. Disegnare l andamento qualitativo y (t) della risposta al gradino unitario del seguente sistema: G(s) = Calcolare inoltre: a) il valore a regime y della risposta al gradino per t ; b) il tempo di assestamento T a della risposta al gradino y (t); c) il periodo T ω dell eventuale oscillazione smorzata presente sul segnale y (t): 3(+.s)(s+)(s 2 +6s+6 2 ) (3s+8)(s+)(s 2 +3s+9)(s 2 +s+64) y =.432, T a s, T ω 2π 6 =.s.. T a 2 3 y(t).7.6..4.3.2 T ω Risposta al gradino 9. In figura sono mostrati i diagrammi di Bode di un sistema lineare G(s) a fase minima. Nei limiti della precisione del grafico, calcolare: a) la posizione del polo dominante p del sistema G(s): p.2. b) il tempo di assestamento T a della risposta al gradino del sistema G(s): T a 3.2 s = s. c) i margini di stabilità del sistema G(s): M ϕ, M a. d) il guadagno statico K del sistema G(s): Mag (db) Phase (deg) 3 4 3 6 9 Time [s] Diagramma dei moduli y 2 Diagramma delle fasi K 2 db 4 8 2 Frequency [rad/s]. Scrivere il modulo M(ω) = G(jω) e la fase ϕ(ω) = argg(jω) della funzione di risposta armonica del seguente sistema G(s) supponendo t > : G(s) = (3s 2)(+2s) s 2 (s+) 2 e 4t s M(ω) = 9ω 2 +4 4ω 2 + ω 2 (ω 2 +2) ϕ(ω) = π arctan 3ω 2 +arctan2ω 4t ω π 2arctan ω