1 Misura della costante elastica di una molla Premessa Se si applica una forza F ad una molla inizialmente a riposo, essa si estende, o si comprime, di una lunghezza l fino a raggiungere una nuova posizione di equilibrio, in cui la forza F viene bilanciata dalla forza elastica di richiamo della molla: F = l ove è l a c o s t a n t e e l a s t i c a d e l l a m o l l a. Se la forza applicata è nota, la relazione precedente permette di ottenere il valore di dall allungamento l. Se,peresempio,allamollaapplichiamoun peso mg, sospendendo al suo estremo una massa m, otteniamo: mg = l (1) una relazione lineare tra la massa e l allungamento della molla, che permette di determinare la costante elastica. Se, ora, la massa m viene spostata di un tratto x dalla posizione di equilibrio assunta ( l), la molla esercita sulla molla una forza F = x.l equazione del moto è (supponendo la massa della molla trascurabile rispetto a m): m d2 x dt 2 = x la cui soluzione è la ben nota legge oraria del moto armonico: x = x 0 cos(! t) ove:! = p /m ed ha dimensioni s 1. La massa si muove di moto armonico semplice, oscillando con periodo: r m T =2 (2) Questa relazione permette di dedurre la costante elastica della molla dalla misura del periodo di oscillazione T. Le equazioni 1 e 2 individuano due metodi diversi per la misura di, dei quali il primo si definisce statico ( s )edilsecondo dinamico ( d ). Esecuzione La molla ha l estremità superiore fissa, e all estremità inferiore possono essere applicate delle masse, con le quali si ottengono le forze peso.
2 La molla è sospessa ad un gancio fissato ad uno stativo. Una squadra, con scala graduata verticale, si può avvicinare alla molla per misurare l allungamento per ogni peso sospeso. Si sospende la prima massa nota m all estremità inferiore della molla e si rilevano sperimentalmente l allungamento l della molla (per il metodo statico), dove l sarà dato dalla di erenza di lettura della posizione a riposo e della posizione allungata. Si può procedere a misurare il periodo di oscillazione T del sistema molla-massa (per quello dinamico). La misura di T si e ettua convenientemente rilevando il tempo t necessario per un numero relativamente grande (n almeno 10) di oscillazioni complete: il periodo sarà allora T = t/n. Si ripetono le rilevazioni per una serie di carichi crescenti. Occorre aver cura che i carichi e le conseguenti deformazioni non siano troppo grandi, per non superare i limiti di elasticità della molla. Il limite massimo è dato dall altezza dello stativo, e in caso di necessità sarà indicata l altezza massima da utilizzare. Raccolti i dati sperimentali, si può procedere alla loro elaborazione per la determinazione della costante elastica con i due metodi. Metodo statico Per il metodo statico, la (1) può essere scritta come: l = g m che esprime una relazione lineare tra l allungamento e la massa del carico. Per applicare il metodo dei minimi quadrati ad una relazione lineare del tipo y = A + Bxsi trovi la grandezza con incertezza relativa maggiore, da utilizzare sull asse delle ordinate. Supponiamo di poter fare il MMQ con le variabili, così come fornite nella (1). Dal coe ciente angolare della retta trovata con il MMQ si avrà che B g/, dacuisipuòcalcolareilvaloredi, notal accelerazionedigravità g =9.81ms 2. Metodo Dinamico Per quanto riguarda il metodo dinamico, dobbiamo osservare nel caso di una molla reale nella (2) possiamo fornire delle informazioni empiriche. Se la molla ha una distribuzione uniforme di massa totale m molla,lasoluzione dell equazione di erenziale del moto è simile all equazione sopra riportata a condizione che aggiunga una massa m 0 = m molla /3. Se si trascura l attrito e
3 si considerano anche le masse aggiuntive, dei ganci m ganci e di eventuali pesi aggiuntivi per precaricare la molla m agg,peresempioilpiattelloportamasse, possiamo introdurre una massa M data da M = m agg + m ganci + m molla /3, che non cambia nelle misure successive, per ogni m sospesa oltre a M: La (2) diviene: r M + m T =2, dove abbiamo utilizzato per la massa, che sospendiamo all estremità, inferiore della molla semplicemente m. Essa può essere messa nella forma: T 2 = 4 2 M + 4 2 m, (3) in cui è esplicita la relazione lineare tra il quadrato del periodo di oscillazione T 2 elamassasospesam, messasulpiattello. Anche per questo caso dinamico, dal coe ciente angolare della retta, da determinare sempre con il metodo dei minimi quadrati, applicato ai dati di questo caso, è possibile ricavare la costante elastica della molla, datoche B 4 2 / Anche in questo caso si giustifichi la possibilità dell utilizzo del metodo dei minimi quadrati con considerazioni opportune sulla scelta della variabile da utilizzare sulle ordinate nella (3) Valutazione delle incertezze Incertezze sulle variabili da registrare Per il metodo statico, abbiamosoloincertezzedilettura,lemassesaranno fornite con valore inciso su ognuna, per cui assumeremo tale valore come letto con quindi l incertezza 1/2 dell unità fondamentale, o risoluzione. Per la misura di l leggeremo ogni volta il valore della posizione con precarico, il piattello per poggiare sopra le masse, e le masse appese oltre il precarico. Per il caso dinamico avremo la stessa misura delle masse, e invece per la misura di t, che è l intervallo di un fissato e sempre lo stesso numero n di oscillazioni, ripetuta più volte, forniremo incertezza totale, dedotta dalle varianze delle incertezze casuali e delle incertezze di lettura del cronometro. Tale incertezza sarà da propagare a T dalla relazione T = t/n esuccessivamentea T 2.
4 Metodo dei minimi quadrati e verifica delle leggi fisiche ipotizzate Per il metodo dei minimi quadrati useremo come variabile y la grandezza con incertezza relativa maggiore. Questo si deve fare sia per il caso statico, che per quello dinamico. Fatta la verifica del chi-quadro, ci possiamo trovare davanti a tre scenari, cosa che dipenderà dalla situazione reale. Nel primo scenario, in cui si possa accettare la legge teorica ipotizzata, consideremo come incertezze sul parametro B: B = yr N (4) dove con y intendiamo la media delle incertezze y i. Nel secondo scenario, incuisiabbiailrigettosullacodadisinistra,con- sci che la verifica del chi-quadro ci fa notare che le incertezze sono piuttosto elevate per essere risolutivi, comunque possiamo fornire l incertezza sul parametro B sempre utilizzando la (4), da propagare poi su. Il terzo scenario in cui si abbia il rigetto sulla coda di destra, possiamo fornire previsioni introducendo l incertezza epistemologica: Se consideriamo come incertezza epistemologica la cosiddetta deviazione standard della retta teorica: Y = s PN i (y i A Bx i ) 2 N 2. (5) La Y nella (5) non è altro che la distanza media (statistica, infatti è divisa per i gradi di libertà statistici) dei valori teorici Y i (calcolati con la retta teorica trovata con il MMQ: Y i = A + Bx i )dallemisuresperimentali y i. In quest ultimo scenario, in cui il chi-quadro è elevato, tanto da essere rigettata l ipotesi, la distanza della retta teorica risulta maggiore, in media, delle incertezze y i. Cosa che si può vedere dal confronto tra Y e y, o osservare sul grafico, in cui si siano riportati i dati, le barre delle incertezze elarettateorica. Quindi per fornire una stima appropria dobbiamo sommare in quadratura questa incertezza epistemologica, dovuta alla non conoscenza dei problemi che riguardano la nostra indagine, con le incertezze a noi evidenti, descritte da y, in questo modo possiamo fornire una previsione ancheq per questo scenario, dato che si tiene conto di tutte le incertezze con Y = ( Y ) 2 +( y) 2.Per cui per quest ultimo scenario nel parametro B,dovremmousarequantosegue:
5 B = Y r N. (6) La verifica di significatività sui due valori Avremo ottenuto quindi due misure che etichetto s,costanteelastica misurata con il metodo statico, e d misurata con il metodo dinamico. Possiamo verificare, se le due misure sono da ritenersi appartenenti alla stessa popolazione e quindi fornire la migliore stima di sulla base di tale verifica.