Geometria piana euclidea Presentazione n. 1 Enti geometrici Prof. Daniele Ippolito Itcs Pacini di Pistoia
Il metodo deduttivo in matematica In matematica ci sono dei concetti, detti termini primitivi, che non si possono definire. Per tutti gli altri concetti, occorre fornire delle definizioni. Analogamente, esistono affermazioni che non si possono dimostrare, dette postulati (o assiomi). Ogni altra affermazione va dimostrata con un teorema. Un teorema contiene un'ipotesi e una tesi, a cui bisogna giungere tramite una dimostrazione di carattere deduttivo.
Il metodo deduttivo della geometria piana Il metodo deduttivo di Euclide della geometria piana (rivisto con un linguaggio moderno) si basa su: a) 3 termini primitivi: Punto. P Retta r Piano α
b) 5 postulati: 1) Per ogni coppia di punti distinti passa una ed una sola retta. A. r. B 2) Ogni retta si estende infinitamente. 3) Si può descrivere una circonferenza con qualsiasi centro e qualsiasi raggio.
4) Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro. 5) Data una retta r ed un punto ad essa esterno, esiste una ed una sola retta r' parallela ad r. r. P r'
Figure geometriche del piano Si dice figura geometrica un qualunque sottoinsieme di punti del piano.. A r
Porzioni di retta Data una retta orientata e un punto su di essa detto origine, chiamiamo semiretta l'insieme dei punti della retta formati dall'origine e da quelli che la seguono (o precedono) rispetto al verso fissato. Fissati due punti A e B su una retta, chiamiamo segmento di estremi AB l'insieme dei punti della retta compresi tra A e B.
Due segmenti si dicono consecutivi se hanno in comune un solo estremo. Due segmenti si dicono adiacenti se sono consecutivi e appartengono alla stessa retta. Un segmento si dice nullo se i suoi estremi coincidono.
Porzioni di piano Dato un piano e una retta su di esso, chiamiamo semipiano l'insieme dei punti della retta e di una delle due regioni in cui essa divide il piano. Date due semirette aventi l'origine in comune, chiamiamo angolo l'insieme dei punti delle semirette e di una delle due regioni di piano delimitate dalle semirette. Le semirette sono dette lati dell'angolo.
Figure convesse e concave Una figura geometrica si dice convessa se, per ogni coppia di suoi punti A e B, il segmento AB è contenuto nella figura.. A. B. A. B. A. B Se ciò non vale, la figura si dice concava. A.. B A..B
Angoli particolari Dei due angoli individuati da due semirette, generalmente uno è convesso, altro concavo. Se le due semirette coincidono, abbiamo un angolo nullo (formato dalle sole semirette) e un angolo giro (coincide con l'intero piano). Se le due semirette sono opposte, abbiamo due angoli piatti, pari a due semipiani opposti.
Due angoli si dicono consecutivi se hanno in comune il vertice e uno dei lati. Due angoli si dicono adiacenti se sono consecutivi e i lati non in comune sono semirette opposte. Due angoli si dicono opposti al vertice se i lati di uno sono le semirette opposte dell'altro.
Figure geometriche congruenti Due figure geometriche si dicono congruenti se, mediante un movimento rigido, è possibile sovrapporle punto per punto.
Poligonale Una poligonale è un insieme ordinato di segmenti a due a due consecutivi non adiacenti, tali che segmenti non successivi non abbiano estremi in comune. L'estremo del primo segmento non in comune con il secondo e quello dell'ultimo segmento non in comune con il penultimo si dicono estremi della poligonale. A B 3 1 2 C Non è una poligonale D
Una poligonale si dice chiusa se i suoi estremi coincidono. Altrimenti, si dice aperta. Una poligonale si dice intrecciata se segmenti non consecutivi hanno un punto in comune.
Poligono Un poligono è l'insieme dei punti di una poligonale chiusa non intrecciata e dei suoi punti interni. In generale, un poligono può essere concavo o convesso. Noi ci riferiremo sempre a poligoni convessi.
I segmenti della poligonale si dicono lati del poligono; i loro estremi sono detti vertici. Gli angoli convessi formati da lati consecutivi sono detti angoli (interni) del poligono. Gli angoli adiacenti agli angoli interni sono detti angoli esterni del poligono. Per ciascun angolo interno ci sono due angoli esterni. I segmenti aventi per estremi due vertici del poligono non appartenenti allo stesso lato sono detti diagonali.