III Appello di Calcolo delle Probabilità Cognome: Laurea Triennale in Matematica 013/14 Nome: 16 luglio 014 Email: Quando non è espressamente indicato il contrario, per la soluzione degli esercizi è possibile usare tutti i risultati visti a lezione (compresi quelli di cui non è stata fornita la dimostrazione). Esercizio 1. Un indagine su un ampia popolazione di giovani mostra che il % suona la chitarra, il 60% ama la birra e il 0% fa entrambe le cose. (a) Se scelgo un giovane a caso e scopro che non suona la chitarra, qual è la probabilità che ami la birra? (b) Se scelgo tre giovani a caso, qual è la probabilità che esattamente uno non ami la birra? Soluzione 1. (a) Introdotti gli eventi A := il giovane suona la chitarra e B := il giovane ama la birra, si ha P(A) = 100 = 1, 4 60 P(B) = 100 = 3, 0 P(A B) = 100 = 1. Dato che P(B) = P(A c B) + P(A B), si ha P(A c B) = P(B) P(A B) = 3 1 =. La probabilità (condizionale) richiesta è P(B A c ) = P(Ac B) P(A c = ) 1 1 = 8 1. 4 (b) Introdotti gli eventi B i := l i-esimo giovane non ama la birra, per i = 1,, 3, la probabilità richiesta è ( ) 3 P(B1 c B B 3 ) + P(B 1 B c B 3 ) + P(B 1 B B3) c = 3 = 4 1 43%. Alternativamente, applicando uno schema di prove ripetute e indipendenti con probabilità di successo p = P(B) = 3, dobbiamo calcolare la probabilità di avere esattamente successi in 3 prove, ossia ( ) ( ) 3 3 p (1 p) = 3, ottenendo lo stesso risultato.
Esercizio. A Babilonia ogni giorno il clima può essere di tre tipi (mutuamente esclusivi): piovoso (p) con probabilità 40%, soleggiato (s) con probabilità 40% e coperto (c) con probabilità 0%. Indicando i giorni con i numeri naturali i = 1,, 3,..., sia X i il clima dell i-esimo giorno e assumiamo che (X i ) i N siano variabili aleatorie indipendenti a valori nell insieme {s, p, c}. Indichiamo con σ il primo giorno soleggiato e con τ il primo giorno piovoso, così che σ e τ sono entrambe variabili aleatorie a valori in N. (a) Quali sono le distribuzioni marginali delle variabili aleatorie σ e τ? (b) Si mostri che le variabili aleatorie σ e τ non sono indipendenti. (c) Si determini la densità discreta congiunta di σ e τ. [Sugg. Si esprima l evento {σ = m, τ = n} in termini delle variabili aleatorie (X i ) i N, distinguendo i casi m < n e m > n.] (d) Posto A := min{σ, τ} e B := max{σ, τ} min{σ, τ}, si mostri che A e B sono variabili aleatorie indipendenti e se ne determinino le distribuzioni marginali. [Sugg. Può essere utile distinguere gli eventi {σ < τ} e {σ > τ}.] Soluzione. (a) σ e τ hanno distribuzione geometrica di parametro 40 100 =, perché sono entrambe l istante di primo successo in uno schema di prove ripetute e indipendenti. Più esplicitamente, si ha P(X i = s) = 40 100 =, P(X i = p) = 40 100 =, P(X i = c) = 0 100 = 1, e per costruzione P(τ = n) = P(X 1 s,..., X n 1 s, X n = s) = P(X 1 s) n 1 P(X 1 = s) = e analogamente per σ. ( ) 3 n 1, (b) Basta notare che P(τ = 1, σ = 1) = P(X 1 = s, X 1 = p) = 0, mentre P(τ = 1) = P(σ = 1) = > 0. (c) Per m < n si ha P(σ = m, τ = n) = P(X 1 = c,..., X m 1 = c, X m = s, X m+1 {s, c},..., X n 1 {s, c}, X n = p) ( ) 1 m 1 ( ) 3 n m 1 =. Un conto analogo, scambiando p con s, conduce per m > n a P(σ = m, τ = n) = P(X 1 = c,..., X n 1 = c, X n = p, X n+1 {p, c},..., X m 1 {p, c}, X m = s) ( ) 1 n 1 ( ) 3 m n 1 = = P(σ = n, τ = m). (d) Si noti che sull evento {σ < τ} si ha A = σ e B = τ σ, mentre sull evento {σ > τ} si ha A = τ e B = σ τ. Calcoliamo ora P(A = m, B = ) per m, N: P(A = m, B = ) = P(A = m, B =, σ < τ) + P(A = m, B =, σ > τ) = P(σ = m, τ σ =, σ < τ) + P(τ = m, σ τ =, σ > τ) = P(σ = m, τ = m +, σ < τ) + P(τ = m, σ = m +, σ > τ) = P(σ = m, τ = m + ) + P(τ = m, σ = m + ), dove nell ultimo passaggio abbiamo usato il fatto che {σ = m, τ = m + } {σ < τ} e analogamente {τ = m, σ = m + } {σ > τ}. Osserviamo ora che i due termini nel membro
3 destro sono uguali, per quanto mostrato al punto precedente, quindi ( ) 1 m 1 ( ) 3 1 P(A = m, B = ) = P(σ = m, τ = m + ) = = 4 ( 1 ) m 1 ( ) 3 1. Nel membro destro riconosciamo il prodotto delle densità discrete di una variabile geometrica di parametri 1 e 3 rispettivamente. Segue facilmente che P(A = m) = 4 ( ) 1 m 1, P(B = ) = ( ) 3 1, dunque A e B sono indipendenti con distribuzioni marginali geometriche, di parametri 1 e 3 rispettivamente.
4 Esercizio 3. Siano X, Z variabili aleatorie reali con distribuzione congiunta assolutamente continua, con densità f X,Z (x, z) = e z 1 {0 x z}. (a) Si determinino le distribuzioni marginali delle variabili aleatorie X e Z. Esse sono indipendenti? (b) Si calcoli Cov(X, Z). (c) Si determini la distribuzione di Y := Z X e si mostri che X e Y sono indipendenti. Soluzione 3. (a) Per x < 0 si ha f X (x) = 0, mentre per x 0 f X (x) = f X,Z (x, z) dz = e z dz = e x, R da cui X Exp(1). Analogamente, f Z (z) = 0 se z < 0, mentre per z 0 z f Z (z) = f X,Z (x, z) dx = e z dx = z e z, R ossia Z Gamma(, 1). Le variabili aleatorie X e Z non sono indipendenti, perché f X,Z (x, z) f X (x)f Z (z) per q.o. (x, z) (basta verificarlo per (x, z) = (1, 1) e usare la continuità di entrambi i membri). (b) Si ha E[XY ] = xz e z 1 {0 x z} dx dz = R = 1 0 x 0 z 3 e z dz = 1 Γ(4) = 1 3! = 3. 0 z e z ( z 0 ) x dx dz D altro canto E[X] = 1 e E[Y ] = per le proprietà delle leggi Exp(1) e Gamma(, 1), quindi Cov(X, Y ) = E[XY ] E[X]E[Y ] = 3 = 1. (c) Scrivendo (X, Y ) = ϕ(x, Z) con ϕ(x, z) := (x, z x) e notando che ϕ è una trasformazione lineare con determinante 1, si ha che il vettore aleatorio (X, Y ) è assolutamente continuo con densità f X,Y (x, y) = f X,Z (ϕ 1 (x, y)) = f X,Z (x, x + y) = e x y 1 {0 x x+y} = e x 1 {x 0} e y 1 {y 0}. Notando che il membro destro è il prodotto di due densità Exp(1), si ottiene immediatamente che X Exp(1) (come già sapevamo) e Y Exp(1) e inoltre X e Y sono variabili aleatorie indipendenti.
Esercizio 4. Siano (X n ) n N variabili aleatorie reali i.i.d. con distribuzione Exp(1): f Xn (x) = e x 1 {x 0}. Introduciamo le variabili (Y n ) n N definite da Y n := 1/X n e poniamo M n := max { Y 1,..., Y n }. Per quali α R la successione di variabili aleatorie Z n := M n /n α converge in legge per n? Soluzione 4. La funzione di ripartizione di M n è data da F Mn (t) = P(M n t) = 0 se t 0, mentre per t > 0, usando il fatto che le variabili aleatorie (Y n ) n N sono i.i.d., F Mn (t) = P(M n t) = P(Y 1 t,..., Y n t) = P(Y 1 t) n = P(X 1 1/t) n = e n/t, perché P(X 1 > s) = s e x 1 {x 0} dx = e s per s > 0. Quindi la funzione di ripartizione di Z n è data da F Zn (z) = 0 se z 0, mentre per z > 0 F Zn (z) = P(Z n z) = P(M n zn α ) = F Mn (zn α ) = e n1 α /z. Questo mostra che lim n F Zn (z) = 0 se z 0, mentre per z > 0 0 se α < 1 lim F Z n n (z) = e 1/z se α = 1. 1 se α > 0 Nel caso α < 1 la funzione limite non coincide q.o. con una funzione di ripartizione, perché ha limite 0 a +, quindi Z n non converge in legge. Nel caso α 1 invece Z n converge in legge verso una variabile aleatoria con funzione di ripartizione { e 1/z 1 F (z) := {z 0} se α = 1 1 {z 0} se α > 0, perché lim n F Zn (z) = F (z) per ogni z R nel caso α = 1, e per ogni z R \ {0} per α > 1 (in questo caso 0 è l unico punto di discontinuità di F ).
6 Esercizio. Siano (X n ) n N variabili aleatorie indipendenti, ma non identicamente distribuite: assumiamo infatti che X n abbia distribuzione uniforme (discreta) nell insieme {1,,..., n}. Definiamo le variabili aleatorie (Z n (i) ) i,n N mediante Z (i) n := =i 1 A (i), dove poniamo A (i) := {X = i} per ogni i, N. (In altri termini, Z n (i) conta quante tra le variabili X 1,..., X n assumono il valore i. Si noti che la somma potrebbe equivalentemente partire da = 1, perché l evento A (i) è vuoto per < i.) (a) Si mostri che, per i N fissato, gli eventi (A (i) ) N sono indipendenti. Viceversa, per N fissato con, si mostri che gli eventi (A (i) ) i N non sono indipendenti. (b) Fissiamo i N. Si calcoli P(A (i) ) per ogni N, si determini P(lim sup N A (i) ) e si deduca che q.c. lim n Z n (i) =... (c) Fissiamo i, j N con i > j. Si calcoli Cov(1 (i) A, 1 (j) A ), per i e j, e si deduca che Cov(Z n (i), Z n (j) 1 ) =, n i. Che cosa si può dire riguardo all indipendenza delle variabili aleatorie (Z (i) n ) i,n N? =i Soluzione. (a) Per i N fissato, gli eventi (A (i) ) N sono indipendenti, perché le variabili aleatorie (X ) N sono indipendenti. Viceversa, per fissato, gli eventi (A (i) ) i N non sono indipendenti: infatti P(A () A( 1) ) = P(X =, X = 1) = 0 mentre P(A () ) > 0, P(A ( 1) ) > 0. (b) Si ha P(A (i) ) = P(X = i) = 1 se i mentre P(A(i) ) = 0 se i >. Di conseguenza P(A (i) ) = 1 =. N =i Essendo gli eventi (A (i) ) N indipendenti, applicando il lemma di Borel-Cantelli si ottiene P(lim sup N A (i) ) = 1. Questo significa che q.c. si verificano infiniti degli eventi (A(i) ) N e dunque lim n Z n (i) =. In altri termini, l evento {lim n Z n (i) = } = { =i 1 A (i) = } coincide proprio con l evento lim sup N A (i). (c) Si noti che Cov(1 (i) A, 1 (j) A ) = P(A (i) A(j) ) P(A (i) )P(A(j) ). Se, per il punto (a) si ha P(A (i) A(j) ) = P(A (i) )P(A(j) D altro canto, se =, essendo i > j per ipotesi, si ha P(A (i) j) = 0 e dunque Cov(1 (i) A, 1 (j) A ) = P(A (i) )P(A(j) della covarianza si ottiene la formula richiesta: Cov(Z (i) n, Z (j) n ) = =i =j ) = 1 Cov(1 (i) A, 1 (j) A ) = ), dunque Cov(1 A (i), 1 A (j) ) = 0. A(j) ) = P(X = i, X = 1 = 1. Usando la bilinearità Le variabili aleatorie (Z n (i) ) i,n N non sono indipendenti, perché in tal caso sarebbero scorrelate, ossia Cov(Z n (i), Z n (j) ) = 0 per ogni n, i, j N, mentre così non è, per quanto appena mostrato. =i 1.
7 Esercizio 6. Data una successione (q n ) n N0 a valori in [0, 1], definiamo la successione (r i ) i N0 ponendo i r 0 := q 0, r 1 := q 0 q 1,... r i := q j = q 0 q 1 q i,... (a) Si spieghi perché esiste il limite r := lim i r i [0, 1]. Si mostri quindi che r i 1 (1 q i ) = r 0 r. i N Consideriamo ora il seguente problema. Marta si trova alla base di una scalinata (infinita), in cui i gradini sono etichettati (dal basso verso l alto) con i numeri 0, 1,,.... Su ogni gradino i è appoggiata una moneta che dà testa con probabilità q i e croce con probabilità 1 q i ; assumiamo che q 0 = 1, mentre q i (0, 1) per i 1. Ad ogni istante, Marta lancia la moneta del gradino su cui si trova: se esce testa, sale di un gradino, mentre se esce croce ritorna al gradino di partenza, il numero 0. Indicando con X n la posizione di Marta nell istante n, il processo (X n ) n 0 è un opportuna catena di Marov sull insieme E = {0, 1,,...} (con X 0 = 0). (b) Si scriva il valore p ij della matrice di transizione della catena di Marov, per ogni i, j E. Si disegni quindi il grafo corrispondente, completando la figura seguente con frecce e numeri. Si mostri che la catena è irriducibile e se ne determini il periodo. j=0 0 1 3 4 (c) Assumiamo che r = 0 (vedi punto (a)). Si determini la misura invariante per la catena, esprimendola in termini della successione (r i ) i N0 e mostrando che essa è unica a meno di multipli. Si mostri quindi che la catena è ricorrente positiva se e solo se i 1 r i <. Soluzione 6. (a) La matrice di transizione è data da { p ij = 1 1 (δ i i+1 + δ i 0 ) = se j = i + 1 oppure j = 0 0 altrimenti Il grafo corrispondente è. 1 q 1 q q 3 q 4 0 1 3 4 1 q 1 1 q 1 q 3 1 q 4 Chiaramente 0 1 3..., quindi 0 i per ogni i E. D altro canto i 0, dunque 0 i per ogni i E, da cui segue che i j per ogni i, j E. C è dunque una sola classe di comunicazione, l intero spazio E, ossia la catena è irriducibile. In particolare, tutti
8 gli stati hanno lo stesso periodo e basta calcolare quello dello stato 0. Dato che p (1) 01 p(1) 10 > 0 e p (1) 01 p(1) 1 p(1) 0 > 0, si ha che p() 00 > 0 e p(3) 00 > 0; il periodo della catena è il massimo comune divisore di un insieme che contiene e 3, pertanto vale 1, ossia la catena è aperiodica. (b) Il limite esiste perché la successione è decrescente. La serie è telescopica. (c) Il sistema di equazioni soddisfatto da una misura invariante (µ i ) i E è µ j = i E µ i p ij, j E. (1) Per j 1 tale sistema dà µ j = µ j 1 p j 1,j = µ j 1 q j 1. Di conseguenza, induttivamente, µ j = µ j 1 q j 1 = µ j q j q j 1 =... = µ 0 q 0 q 1 q j q j 1 = µ 0 r j 1, j 1. Questo mostra che, se una misura invariante esiste, essa è unica a meno di multipli ed è data da µ j = µ 0 r j 1 per j 1. Resta solo da verificare che (1) è soddisfatta anche per j = 0: applicando la relazione dimostrata nel punto (a), e ricordando che r 0 = 1 e r = 0 per ipotesi, si ottiene µ 0 = i 1 µ i p i0 = i 1 µ 0 r i 1 (1 q i ) = µ 0 (r 0 r ) = µ 0. La catena è ricorrente positiva se e solo se la misura invariante ha massa totale finita, e la condizione i E µ i < è equivalente a i 1 r i <, essendo µ i = µ 0 r i 1 per i 1.
9 Tavola della distribuzione normale La tabella seguente riporta i valori di Φ(z) := z e 1 x π dx, la funzione di ripartizione della distribuzione normale standard N(0, 1), per 0 z 3.. Ricordiamo che I valori di Φ(z) per z < 0 possono essere ricavati grazie alla formula Φ(z) = 1 Φ( z). z 0.00 0.01 0.0 0.03 0.04 0.0 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.000 0.040 0.080 0.10 0.160 0.199 0.39 0.79 0.319 0.39 0.1 0.398 0.438 0.478 0.17 0.7 0.96 0.636 0.67 0.714 0.73 0. 0.793 0.83 0.871 0.910 0.948 0.987 0.606 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.617 0.6 0.693 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.617 0.4 0.64 0.691 0.668 0.6664 0.6700 0.6736 0.677 0.6808 0.6844 0.6879 0. 0.691 0.690 0.698 0.7019 0.704 0.7088 0.713 0.717 0.7190 0.74 0.6 0.77 0.791 0.734 0.737 0.7389 0.74 0.744 0.7486 0.717 0.749 0.7 0.780 0.7611 0.764 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.783 0.78 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.799 0.803 0.801 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.819 0.8186 0.81 0.838 0.864 0.889 0.831 0.8340 0.836 0.8389 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.848 0.808 0.831 0.84 0.877 0.899 0.861 1.1 0.8643 0.866 0.8686 0.8708 0.879 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1. 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.89 0.8944 0.896 0.8980 0.8997 0.901 1.3 0.903 0.9049 0.9066 0.908 0.9099 0.911 0.9131 0.9147 0.916 0.9177 1.4 0.919 0.907 0.9 0.936 0.91 0.96 0.979 0.99 0.9306 0.9319 1. 0.933 0.934 0.937 0.9370 0.938 0.9394 0.9406 0.9418 0.949 0.9441 1.6 0.94 0.9463 0.9474 0.9484 0.949 0.90 0.91 0.9 0.93 0.94 1.7 0.94 0.964 0.973 0.98 0.991 0.999 0.9608 0.9616 0.96 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.966 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.976 0.973 0.9738 0.9744 0.970 0.976 0.9761 0.9767.0 0.977 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.981 0.9817.1 0.981 0.986 0.9830 0.9834 0.9838 0.984 0.9846 0.980 0.984 0.987. 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.987 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916.4 0.9918 0.990 0.99 0.99 0.997 0.999 0.9931 0.993 0.9934 0.9936. 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.994 0.9946 0.9948 0.9949 0.991 0.99.6 0.993 0.99 0.996 0.997 0.999 0.9960 0.9961 0.996 0.9963 0.9964.7 0.996 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.997 0.9973 0.9974.8 0.9974 0.997 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981.9 0.9981 0.998 0.998 0.9983 0.9984 0.9984 0.998 0.998 0.9986 0.9986 3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.999 0.999 0.999 0.999 0.9993 0.9993 3. 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.999 0.999 0.999 3.3 0.999 0.999 0.999 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998