Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito A del -6-9 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle. Esercizio. punti Data la funzione fx, y = + xy x +y, se x, y,, se x, y =, i determinare in quali punti del dominio naturale è continua; ii determinare massimo e minimo di fx, y su Ω = x, y R : x, x + y }. Esercizio. punti Dato il campo di vettori Fx, y = i dire se è conservativo nel suo dominio naturale; x + + e x + y x e y ii calcolare il lavoro di Fx, y lungo la curva γ, I con I = [, π ] e γ : [, π ] R, γt = sin t, cos t Esercizio. punti Data la superficie Σ = x, y, z R : x + y sin z =, π z π } i fare un disegno approssimativo di Σ e scriverne una parametrizzazione globale; ii dato l insieme = x, y, z R : x + y sin z, π z π }, x + y calcolare l integrale x + y dxdydz
Svolgimento Esercizio. Data la funzione fx, y = + xy x +y, se x, y,, se x, y =, i determinare in quali punti del dominio naturale è continua; Il dominio naturale della funzione è R, e per tutti i punti di R \, } la funzione si può scrivere come somma e rapporto di polinomi, dunque è continua. Rimane da studiare la continuità in,. Dobbiamo quindi determinare se lim fx, y = f, x,y, Iniziamo studiando il limite lungo alcune direzioni. Iniziamo con le rette y = λx} con λ R. Si trova λ x lim fx, λx = lim + x x x + λ x =, λ Passando alle curve della forma y = x α } con α >, si trova lim x + + x+α =, se α > x +ox lim fx, x xα = lim + x+α + x + x + x α = lim x + + x+ =, se α = x lim x + + x+ =, se < α < x α +ox α Avendo ottenuto sempre lo stesso limite, proviamo a dimostrare l esistenza del limite applicando il Teorema del Confronto. Possiamo scrivere fx, y = xy x + y x + y y x + y y =: gx, y Poiché la funzione gx, y trovata è definita in un intorno di,, verifica la disuguaglianza vista sopra e lim gx, y = x,y, per i teoremi di carattere generale, abbiamo dimostrato che lim fx, y = x,y, isto che f, = si ha che la funzione fx, y è continua anche in,. In conclusione, la funzione fx, y è continua in tutto il suo dominio naturale R.
ii determinare massimo e minimo di f x, y su Ω = x, y R : x, x + y. L insieme Ω e rappresentato nella figura..... -. -. -....... Figure : L insieme Ω. Per studiare massimo e minimo assoluto di f su Ω dobbiamo considerare i valori che la funzione assume su eventuali punti di non differenziabilita, sui punti critici liberi interni a Ω, sugli eventuali spigoli del bordo e sui punti critici vincolati al bordo di Ω. La funzione f e certamente differenziabile in R \, } per i teoremi di carattere generale. Poiche Ω non contiene,, non ci sono punti di eventuale non differenziabilita in Ω. Quindi possiamo anche cercare i punti critici liberi interni a Ω come punti in cui si annulla il gradiente di f, che in Ω e dato da f x, y = y x +y x +y xy 6x y x +y per ogni x, y 6=,. Dobbiamo quindi risolvere il sistema y x +y x +y = xy 6x y x +y = x, y 6=, Dalla prima equazione troviamo y = oppure y = x. Ci riduciamo quindi a y 6= y = y = x [ xy 6x y x +y = x, y 6=, xy 6x y x +y = x, y 6=,
Nel primo sotto-sistema si trova che tutti i punti della forma x, con x sono soluzioni, quindi annotiamo i punti critici liberi interni a Ω x C =, x, Nel secondo sotto-sistema, la seconda equazione si riduce a x x =, che non è compatibile con le prime due equazioni. Ci rimane da studiare il comportamento di f sul bordo di Ω. Gli spigoli sono i punti S =, S =, S = e S =. Il bordo lo dividiamo in quattro parti: } Γ = x =, y } Γ = x =, y Γ = x + y =, x } Γ = x + y =, x }. Per quanto riguarda Γ possiamo usare la parametrizzazione ] γ t =, t, t [,, e componendo con f troviamo la funzione di una variabile ] g t = fγ t =, t [,. Essendo g una funzione costante, tutti i punti di Γ sono punti critici vincolati, e per i valori della funzione possiamo usare gli spigoli S e S. Per quanto riguarda Γ possiamo usare la parametrizzazione [ ] γ t =, t, t,, e componendo con f troviamo la funzione di una variabile g t = fγ t =, t [ ],. Essendo g una funzione costante, tutti i punti di Γ sono punti critici vincolati, e per i valori della funzione possiamo usare gli spigoli S e S. Per quanto riguarda Γ usiamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange con G x, y = x +y, per cui cerchiamo soluzioni x, y, λ del sistema y x +y = xλ x +y xy 6x y x +y = y λ x + y = x >
Innanzitutto poniamo x +y = nella prima e nella seconda equazione. Studiando poi la seconda equazione, riscriviamo il sistema come y x + y = xλ y x + y = xλ y y = λ = x x + y y 6x y = x + y = x > x > Dal primo sotto-sistema otteniamo l unica soluzione,,, e quindi il punto critico vincolato Q = Dal secondo sotto-sistema, sostituendo il valore di λ dalla terza equazione nella prima equazione, abbiamo y x + y = x 6x y Usando infine y = x, arriviamo all equazione x =, e quindi troviamo due punti critici vincolati Q = e Q = Per quanto riguarda Γ potremmo utilizzare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange come fatto per Γ, oppure usiamo la parametrizzazione γ t = t ], t, t [,, e componendo con f troviamo la funzione di una variabile g t = fγ t = + t t [ ], t,. Poiché g t = t 6 t, troviamo i punti critici t = e t = ± 6, tutti nell intervallo,. t Otteniamo quindi altri tre punti critici vincolati Q =, Q = 6 I valori che dobbiamo confrontare sono dunque e Q 6 = 6 fc = fs = fs = fs = fs = fq = fq = fq = +, fq =, fq = +, fq6 =
Poiché >, il massimo di f è + e il minimo è. Esercizio. Dato il campo di vettori Fx, y = i dire se è conservativo nel suo dominio naturale; x + + e x + y x e y Il dominio naturale del campo F è l insieme X = x, y R : x }. Calcoliamo innanzitutto il rotore del campo. Si ha rotfx, y = F x x, y F x, y = = y quindi il campo è irrotazionale. Poiché X è semplicemente connesso, per il Lemma di Poincaré il campo F è conservativo nel suo dominio naturale. ii calcolare il lavoro di Fx, y lungo la curva γ, I con I = [, π ] e [ γ :, π ] R, γt = sin t, cos t La curva γ, I è di classe C e il suo sostegno è contenuto nel dominio naturale del campo, visto che γ t = sin t per ogni t [, π ]. isto che il campo è conservativo possiamo cercare un potenziale del campo, oppure usare che il lavoro di due curve con sostegno contenuto in X è uguale se le due curve hanno lo stesso punto iniziale e lo stesso punto finale. Abbiamo che il punto iniziale di γ, I è P = γ =,, mentre il suo punto finale è Q = γ π =,. Quindi se scegliamo γ : [, ] R, γt = t, t abbiamo P = γ e Q = γ, e quindi t + + e t + t LF, γ = LF, γ = < t e t, > dt = t + + t dt = = t + + t = + Esercizio. Data la superficie Σ = x, y, z R : x + y sin z =, π z π } 6
i fare un disegno approssimativo di Σ e scriverne una parametrizzazione globale; L insieme Σ si può interpretare come superficie di rotazione ottenuta facendo ruotare il grafico della funzione y = gz, con g : [ π, π ] R data da gz = sin z, intorno all asse z. Si ottiene quindi il disegno in figura. Figure : La superficie Σ. Possiamo poi scrivere la parametrizzazione globale σ : D R, σt, θ = sin t cos θ, sin t sin θ, t. con D = t, θ R [, π] : π t π } ii dato l insieme = x, y, z R : x + y sin z, π z π }, x + y calcolare l integrale x + y dxdydz L insieme si può scrivere nella forma = x, y, z R : π z π }, x, y z dove z = x, y R : x + y sin z, x + y }. Possiamo quindi calcolare l integrale utilizzando la formula di integrazione per strati, da cui π x + y dxdydz = x + y dxdy dz z Esprimendo lo strato z in coordinate polari come z = ψs z dove π ψρ, θ = x, y con x = ρ cos θ y = ρ sin θ e det J ψ ρ, θ = ρ 7
e S z = ρ, θ, + [, π] : ρ sin z, ρ cos θ + ρ sin θ } = [ ] [, sin z π, π ], otteniamo x + y dxdy = ρ cos θ + sin θ dρdθ = z S z π π sin z ρ cos θ + sin θ dρ dθ = Quindi = sin z π π x + y dxdydz = cos θ + sin θ dθ = π π sin z π sin θ cos θ π x + y dxdy dz = z π π = sin z. sin z dz = = π sin z dz = cos z + π cos z = 9 8. 8
Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito B del -6-9 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle. Esercizio. punti Data la funzione + x y, se x, y, x fx, y = +y, se x, y =, i determinare in quali punti del dominio naturale è continua; ii determinare massimo e minimo di fx, y su Ω = x, y R : y, x + y }. Esercizio. punti Dato il campo di vettori sin e x + xy Fx, y = x + y + + sin e y i dire se è conservativo nel suo dominio naturale; ii calcolare il lavoro di Fx, y lungo la curva γ, I con I = [, π ] e [ γ :, π ] R, γt = sin t, cos t Esercizio. punti Data la superficie Σ = x, y, z R : x + y cos z =, π z π } i fare un disegno approssimativo di Σ e scriverne una parametrizzazione globale; ii dato l insieme = x, y, z R : x + y cos z, π z π }, x y calcolare l integrale x y dxdydz 9
Svolgimento Esercizio. edi Esercizio del compito A. Basta scambiare x e y. Esercizio. Dato il campo di vettori sin e x + xy Fx, y = x + y + + sin e y i dire se è conservativo nel suo dominio naturale; Il dominio naturale del campo F è l insieme X = x, y R : y }. Calcoliamo innanzitutto il rotore del campo. Si ha rotfx, y = F x x, y F x, y = x x = y quindi il campo è irrotazionale. Poiché X è semplicemente connesso, per il Lemma di Poincaré il campo F è conservativo nel suo dominio naturale. ii calcolare il lavoro di Fx, y lungo la curva γ, I con I = [, π ] e γ : [, π ] R, γt = sin t, cos t La curva γ, I è di classe C e il suo sostegno è contenuto nel dominio naturale del campo, visto che γ t = cos t per ogni t [, π ]. isto che il campo è conservativo possiamo cercare un potenziale del campo, oppure usare che il lavoro di due curve con sostegno contenuto in X è uguale se le due curve hanno lo stesso punto iniziale e lo stesso punto finale. Abbiamo che il punto iniziale di γ, I è P = γ =,, mentre il suo punto finale è Q = γ π =,. Quindi se scegliamo γ : [, ] R, γt = t, t abbiamo P = γ e Q = γ, e quindi sin e t t LF, γ = LF, γ = < t +, > dt = t + + sin e t t + t + dt = = t + t + = +
Esercizio. Data la superficie Σ = x, y, z R : x + y cos z =, π z π } i fare un disegno approssimativo di Σ e scriverne una parametrizzazione globale; L insieme Σ si può interpretare come superficie di rotazione ottenuta facendo ruotare il grafico della funzione y = gz, con g : [ π, π ] R data da gz = cos z, intorno all asse z. Si ottiene quindi il disegno in figura. Figure : La superficie Σ. Possiamo poi scrivere la parametrizzazione globale σ : D R, σx, y = cos t cos θ, cos t sin θ, t. con D = t, θ R [, π] : π t π } ii dato l insieme = x, y, z R : x + y cos z, π z π }, x y calcolare l integrale x y dxdydz L insieme si può scrivere nella forma = x, y, z R : π z π }, x, y z dove z = x, y R : x + y cos z, x y }.
Possiamo quindi calcolare l integrale utilizzando la formula di integrazione per strati, da cui x y dxdydz = π π x y dxdy dz z Esprimendo lo strato z in coordinate polari come z = ψs z dove ψρ, θ = x, y con x = ρ cos θ y = ρ sin θ e det J ψ ρ, θ = ρ e S z = ρ, θ, + [, π] : ρ cos z, ρ cos θ ρ sin θ } = [ ] [, cos z π, π ], otteniamo x y dxdy = ρ cos θ sin θ dρdθ = z S z π π cos z ρ cos θ sin θ dρ dθ = Quindi = cos z π π x y dxdydz = = π π cos θ sin θ dθ = π π cos z dz = cos z π sin θ + cos θ π x y dxdy dz = z sin z π sin z π π = π = cos z. cos z dz = 8 6 9.
Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito C del -6-9 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle. Esercizio. punti Data la funzione + x y, se x, y, x fx, y = +y, se x, y =, i determinare in quali punti del dominio naturale è continua; ii determinare massimo e minimo di fx, y su Ω = x, y R : y, x + y }. Esercizio. punti Dato il campo di vettori log + e x + y Fx, y = xy + y + + log + e y i dire se è conservativo nel suo dominio naturale; ii calcolare il lavoro di Fx, y lungo la curva γ, I con I = [, π ] e [ γ :, π ] R, γt = sin t, + cos t Esercizio. punti Data la superficie Σ = x, y, z R : x + y cos z =, π z π } i fare un disegno approssimativo di Σ e scriverne una parametrizzazione globale; ii dato l insieme = x, y, z R : x + y cos z, π z π }, x y calcolare l integrale x y dxdydz
Svolgimento Esercizio. edi Esercizio del compito A. Basta scambiare x e y. Esercizio. Dato il campo di vettori log + e x Fx, y = xy + y + + log i dire se è conservativo nel suo dominio naturale; + y + e y Il dominio naturale del campo F è l insieme X = x, y R : y }. Calcoliamo innanzitutto il rotore del campo. Si ha rotfx, y = F x x, y F x, y = y y = y quindi il campo è irrotazionale. Poiché X è semplicemente connesso, per il Lemma di Poincaré il campo F è conservativo nel suo dominio naturale. ii calcolare il lavoro di Fx, y lungo la curva γ, I con I = [, π ] e [ γ :, π ] R, γt = sin t, + cos t La curva γ, I è di classe C e il suo sostegno è contenuto nel dominio naturale del campo, visto che γ t = + cos t per ogni t [, π ]. isto che il campo è conservativo possiamo cercare un potenziale del campo, oppure usare che il lavoro di due curve con sostegno contenuto in X è uguale se le due curve hanno lo stesso punto iniziale e lo stesso punto finale. Abbiamo che il punto iniziale di γ, I è P = γ =,, mentre il suo punto finale è Q = γ π =,. Quindi se scegliamo γ : [, ] R, γt = t, t abbiamo P = γ e Q = γ, e quindi log + e t + t LF, γ = LF, γ = < t +, > dt = t + + log + e t = t + t = + t t dt = Esercizio. edi Esercizio del compito B.
Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito D del -6-9 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle. Esercizio. punti Data la funzione fx, y = + xy x +y, se x, y,, se x, y =, i determinare in quali punti del dominio naturale è continua; ii determinare massimo e minimo di fx, y su Ω = x, y R : x, x + y }. Esercizio. punti Dato il campo di vettori e x +x + y Fx, y = x + y + e y +y i dire se è conservativo nel suo dominio naturale; ii calcolare il lavoro di Fx, y lungo la curva γ, I con I = [, π ] e γ : [, π ] R, γt = sin t, cos t Esercizio. punti Data la superficie Σ = x, y, z R : x + y sin z =, π z π } i fare un disegno approssimativo di Σ e scriverne una parametrizzazione globale; ii dato l insieme = x, y, z R : x + y sin z, π z π }, x + y calcolare l integrale x + y dxdydz
Svolgimento Esercizio. edi Esercizio del compito A. Esercizio. Dato il campo di vettori e x +x + y Fx, y = x + y + e y +y i dire se è conservativo nel suo dominio naturale; Il dominio naturale del campo F è l insieme X = x, y R : y }. Calcoliamo innanzitutto il rotore del campo. Si ha rotfx, y = F x x, y F x, y = = y quindi il campo è irrotazionale. Poiché X è semplicemente connesso, per il Lemma di Poincaré il campo F è conservativo nel suo dominio naturale. ii calcolare il lavoro di Fx, y lungo la curva γ, I con I = [, π ] e [ γ :, π ] R, γt = sin t, cos t La curva γ, I è di classe C e il suo sostegno è contenuto nel dominio naturale del campo, visto che γ t = sin t per ogni t [, π ]. isto che il campo è conservativo possiamo cercare un potenziale del campo, oppure usare che il lavoro di due curve con sostegno contenuto in X è uguale se le due curve hanno lo stesso punto iniziale e lo stesso punto finale. Abbiamo che il punto iniziale di γ, I è P = γ =,, mentre il suo punto finale è Q = γ π =,. Quindi se scegliamo γ : [, ] R, γt = t, t abbiamo P = γ e Q = γ, e quindi e t +t + t LF, γ = LF, γ = < t +, > dt = t + e t +t = t + t + = + t + t + dt = Esercizio. edi Esercizio del compito A. 6