1 COMPITI PER IL RECUPERO DELLA CARENZA FORMATIVA (E RIPASSO) MATEMATICA III - A GAT
Scheda 1: Fondamenti di geometria analitica 1. Determina il punto P dell asse y che forma con A(; ) e B(; ) un triangolo isoscele sulla base AB.. Determina per quali valori di a il punto medio del segmento AB, avente per estremi i punti A(a 1; a) e B(5 a; 1 a), ha ascissa uguale all ordinata. A) a B) a C) a =. Di un parallelogramma ABCD si conoscono il vertice A( ; ) e i punti medi M(; 1) ed N( 1; 0), rispettivamente del lato AB e del lato AD. Determina le coordinate dei vertici B e C e l area del parallelogramma.. Determina per quali valori di k il punto P( k; k + k ) appartiene al secondo quadrante. a) k < 0 b) k < c) k > 5. Nel piano cartesiano i punti A(1; 1), B(; 0), C(; ) e D(0; ) sono vertici di: A. un rettangolo B. un quadrato C. un rombo 6. Determina l estremo B del segmento AB, noto l estremo A(; 9) e il punto medio M(6; 6) di AB. 7. Dati i punti A( ; ), B(; k), C(h ; ), D( ; ), determina h e k in modo che il quadrilatero ABCD sia un parallelogramma. Determina poi la sua area. 8. Determina perimetro e area del triangolo ABC di vertici A( 1; ), B(; 1), C(; ). 9. Determina le coordinate del punto A', simmetrico di rispetto a. Determina quindi la distanza tra A e A'. 10. Determina il punto P, appartenente al semiasse delle ascisse negative, la cui distanza dal punto 1 Q ;0 sia uguale a. 11. Il triangolo di vertici A( 1; 1), B(; 0), C(; 6) è rettangolo. Vero Falso A ; 1 1 P ; 1. Stabilisci quali delle seguenti affermazioni sono VERE: A) Se A ha coordinate intere e B ha coordinate intere, anche il punto medio di AB ha coordinate intere. B) Se P' è il simmetrico di P rispetto all asse x, allora il punto medio di PP' appartiene all asse x. C) Se il punto medio del segmento AB è l origine, allora A e B sono simmetrici rispetto all asse x o rispetto all asse y. D) Se P' è il simmetrico di P rispetto all asse y, allora il punto medio di PP' appartiene all asse y.
E) Se A è nel primo quadrante e B è nel primo quadrante, anche il punto medio di AB è nel primo quadrante. Scheda 1: Soluzioni 1.. A. B(6; 0); C(8; ); area = 8. C 5. C 7 P0; 10 6. B(8; ) 7. h =, k = ; area = 18 8. Perimetro = 1 5; area = 15 5 A ;5 9. ; d 1 10. 8 P ;0 11. Vero 1. B-D-E Scheda : Piano cartesiano: retta 1. Ogni retta della prima colonna è perpendicolare a una retta della seconda colonna. Riordina la prima colonna in modo da ottenere le associazioni corrette. a) 6x y 9 = 0 b) y = x c) y =,5x + 1,5 a) x = 10 b) y = x c) x + y + 1 = 0 d) y = d) y 0, x 0,5 e) x + = 0 e) y = 0 f) x = y + 9 x,5y + = 0. Determina le coordinate dei vertici del parallellogramma avente per lati le rette di equazioni: x y = 0; x y + = 0; x + y 1 = 0; x + y + = 0.. Di un triangolo ABC si sa che A(; 1) e C(; ) e che la retta AB ha equazione y = x + 5. Qual è l equazione della retta che congiunge i punti medi di AC e BC? a) y = x + 8 b) y = x + 8 c) y = x. Determina per quale valore di a il punto P(a + 1; a) appartiene alla retta di equazione x + y 1 = 0. 5. Scrivi l equazione della retta r passante per P(0; ) e parallela alla retta s di equazione
x y + 5 = 0. Determina quindi la distanza tra la retta r e la retta s. 6. Scrivi le equazioni delle rette rappresentate nella figura. 7. Determina l area del triangolo formato dal grafico della funzione y x con gli assi cartesiani. 8. Determina l espressione analitica della funzione lineare a tratti di cui è rappresentato il grafico. 9. Una funzione lineare è definita da un equazione in cui il coefficiente angolare è. L angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse è acuto. Vero Falso 10. Determina per quale valore di k le rette di equazioni x y + 1 = 0 e 9x + ky + 1 = 0 sono parallele. 11. Dati i punti A(0; 1) e C(; 1), determina i restanti vertici del rombo ABCD, di diagonale AC, sapendo che B appartiene alla bisettrice del primo e terzo quadrante. Scheda : Soluzioni 1. D-C-F-A-E-B. (1; 0), ( 1; ),,. A. a = 0 10 ; 8 ; 5. d 0 0
6. Retta rossa: x = ; retta verde: y = ; retta blu: 7. 1 y x 1 y x x altrove 8. y x 9. Falso 10. k = B ; 11. ; 8 D ; y x 5 Scheda : Piano cartesiano: parabola 1. Scrivi l equazione della parabola, con asse parallelo all asse y, che ha vertice in V(; ) e passa per P(0; 0).. Determina il fuoco e la direttrice della seguente parabola: y = x +. Scrivi l equazione della retta tangente alla parabola di equazione x = y 6y 1 nel suo punto di intersezione con l asse x.. Nella seguente figura sono stati tracciati i grafici delle parabole di equazioni y = a 1 x, y = a x e y = a x. Quale delle relazioni tra i coefficienti a 1, a, a è corretta? A. a <0< a 1 < a B. a < a < 0 < a 1 C. a < a < a 1 < 0 D. 0 < a < a < a 1
6 5. Che cosa si può dire delle equazioni delle parabole rappresentate in figura? 1. Hanno tutte lo stesso coefficiente di x.. Hanno tutte lo stesso termine noto.. Nessuna delle altre risposte è corretta. Hanno tutte lo stesso coefficiente di x. 6. Una parabola ha come asse la retta di equazione x = e passa per il punto ( ; ); quale dei seguenti è sicuramente un punto della parabola? a) Nessuno degli altri b) (7; ) c) (5; ) d) (6; ) 7. Determina l equazione della parabola rappresentata in figura: 8. Determina la misura della corda AB staccata dalla retta di equazione y = x + sulla parabola di equazione y = x. 9. Determina l equazione della retta tangente alla parabola di equazione y = x x +5 e parallela alla retta di equazione y = x. Determina poi le coordinate del punto di contatto C tra retta e parabola. 10. Determina per quali valori di k la retta di equazione y = x + k è esterna rispetto alla parabola di
equazione y = x x. 7 Scheda : Soluzioni 1.. ; direttrice:.. A 5. C 6. B 7. 8. 9. 5 yx ; 10. k < 1 y x x F 0; 1 1 y x 6 6 1 5 y x x AB 5 C 5 15 ; 5 y Scheda : Piano cartesiano: circonferenza 1. Determina per quali valori di k l equazione x + y kx + = 0: a) rappresenta una circonferenza con il centro sull asse y; b) rappresenta una circonferenza passante per P(1; 1).. Determina l area del quadrilatero avente per vertici i punti di intersezione della circonferenza x + y x = 0 con gli assi cartesiani.. Quale delle seguenti equazioni del tipo x + y + ax + by + c = 0 NON rappresenta una circonferenza? A) x + y x y = 0 B) x + y x y 7 = 0 C) x + y x y +7 = 0 D) x + y x y + = 0. Associa, riordinando la seconda colonna, a ciascun punto della prima colonna l equazione nella seconda colonna che esprime il passaggio della circonferenza di equazione x + y + ax + by + c = 0 per tale punto: a) P O (0; 0) + a + c = 0 b) P(0; ) 8 a + b + c = 0 c) P( ; ) c = 0
d) P(; 0) b + c = 0 5. Scrivi l equazione della circonferenza concentrica alla circonferenza di equazione x + y x + 6y = 0 e passante per P(; ). 8 5 C ; 6. Scrivi l equazione della circonferenza in forma normale che abbia centro in e raggio. 7. Determina quali di queste affermazioni sono VERE: A)Esistono sempre due rette orizzontali tangenti a una circonferenza. B)Se la distanza di una retta dal centro della circonferenza di equazione x + y x = 0 è, allora la retta è esterna alla circonferenza. C)Una retta verticale non può essere tangente a una circonferenza. D)Se la distanza di una retta dal centro della circonferenza di equazione x + y x 5 = 0 è, allora la retta è tangente alla circonferenza. Scheda : Soluzioni 1. a) Impossibile; b). 10. C. D-C-A-B 5. x + y x + 6y + 1 = 0 6. x + y 10x + 6y + 9 = 0 7. A-B-D 5 k Scheda 5: Disequazioni 1. x x 0 ; x<- U x>1/. x 8x 7 0 1<x<7.. 5. x 1 1 x x x x x x< ma x - ;
9 7. 1<x<5/ 8. 1 x 9. x 5x 6 x<-1 ; 0<x< ; <x<5 ; x>6 x 10. 1 x x ; x 1 Scheda 6: Risoluzione grafica di equazioni e disequazioni Risolvi i seguenti esercizio dal libro di testo: pag. 9 dal 0 al pag. 0 dal al 8 pag. 75 dal 9 al 96 Scheda 7: Funzioni circolari, Formule goniometriche 1. Calcola i valori delle restanti funzioni goniometriche di sin. Semplifica la seguente espressione goniometrica: sin ( x) 1sin ( x) 7 sin( x) cos( x) sin( x). Semplifica la seguente espressione goniometrica: [( a b)cos180 ( a b)sin90] b sin 70
. Semplifica la seguente espressione goniometrica: (sin15 cos15 ) (sin150 cos150 ) (sin60 cos60 ) + (sin5 cos5 ) (sin10 cos10 ) 10 5. Calcola i valori delle restanti funzioni goniometriche di 7 cos 8 6. Trasforma la seguente espressione in un altra equivalente che contenga solo sin cos cos 7. Semplifica la seguente espressione goniometrica: [ 1 tan( ) tan( )cos] sin cos( ) cos( ) 8. Determina per quali valori di k esiste un angolo tale che cos k 1. 9. Semplifica la seguente espressione goniometrica: sin cos sin cos tan tan 6 6 Scheda 7: Soluzioni 1. cos ;. sinx cosx. b 5 5 tan 5 5. sin ; 6. 7. 8. 9. 15 8 sin sin cos k tan 15 7 Scheda 8: grafici di funzioni Costruisci il grafico delle seguenti funzioni: y = x x +5
y = x x +5 11 y sin x y sin( x ) y sin x y cos x 1 Scheda 9: goniometria 1. Semplifica la seguente espressione goniometrica: 7 7 sin cos(6 ) tan cos sin sin ( ). Risolvi la seguente equazione: sinx.. Traccia il grafico della funzione y = sinx e quello della retta di equazione y nell intervallo [, quindi determina algebricamente le coordinate dei punti A e B di intersezione tra retta e funzione goniometrica.. Quali delle seguenti sono soluzioni dell equazione: cotx = 0? A) k B) 5 k C) k D) 5 k 5. Determina per quale valore di k l equazione ksinx cosx = sin x + cos x ammette come soluzione x. 6. Determina il dominio (campo di esistenza) della seguente funzione reale di variabile reale: 1 1 y sin x cos x. 7. Risolvi la seguente equazione: 8cosx + = 0. 8. Risolvi la seguente equazione: sin( x) + sinx = 1. 9. Risolvi la seguente equazione: tan x sin cos. 6 10. Risolvi la seguente equazione: sin xcos x 0.
11. Quale tra le seguenti è la soluzione dell equazione 5sinx = 6 nell intervallo [0, ]? A) arcsin 1 B) arcsin 5 6 1 C) arcsin 6 5 D) Nessuna Scheda 9: SOLUZIONI 1. (1 + cos).. x k x k 1 A ; ; 6 5 A ; 6. B-C 5. k = 6. k x 7. x k x k 8. 7 11 x k x k 6 6 9. x k 10. x k 6 11. D Scheda 10: Equazioni goniometriche 1. Quante soluzioni ammette l equazione tanx = nell intervallo [0,? A) Una B) Nessuna C) Infinite D) Due. Risolvi la seguente equazione: tan x 6.. Risolvi la seguente equazione: sin x cos x = 0.
1. Determina le coordinate dei punti A e B di intersezione del grafico della funzione y = sinx con la retta di equazione y nell intervallo [0, 5. Risolvi la seguente equazione: sin xcos x 1 0. 6. Sia [0, una delle soluzioni di un equazione della forma cosx = m, con 1 < m < 1; quale dei seguenti insiemi rappresenta tutte le soluzioni dell equazione? A) [k B) [k C) [k D) [kk 7. Risolvi la seguente equazione: tan tan 0 x x. 8. Risolvi la seguente equazione: sin x + sin(+ x) 1 = 0. 9. Quali delle seguenti sono affermazioni VERE? A) L equazione tanx = non ha soluzioni reali B) L equazione sinx = non ha soluzioni reali C) L insieme delle soluzioni dell equazione tan x è S = k D) L insieme delle soluzioni dell equazione sinx = 1 è S = k E) L equazione sinx = non ha soluzioni reali Scheda 11: SOLUZIONI 1. A... 5. 6. A 7. 8. k 9 1 1 x k x k A ;, 5 B ; 1 x k x k 1 1 x k x k 6 5 1 1 x k x k x k 6 6 9. B-D