GRUPPO DELLA CLASSE 1 AT IL DISPOSITIVO CHE PRESENTIAMO LA BILANCIA ENIGMATICA: una particolare bilancia a bracci Il principio della LEVA viene comunemente utilizzato nelle bilance a bracci per la determinazione del peso dei corpi. In questa esperienza viene presentata una particolare bilancia con quattro bracci, non tutti i bracci però ubbidiscono al principio della LEVA. DOCENTI COORDINATORI Prof. SPADA EMANUELE (Matematica/Fisica) Prof. POLETTI ENNIO (Matematica/Fisica) ASSISTENZA TECNICA Perito BONORA MARIO (Ass. Tec. Laboratorio)
N COGNOME NOME 1 Bailo Selene 2 Cristofolo Fabio 3 Dartora Cristina 4 Gajo Paolo 5 Nicale Riccardo 6 Nubile Antonio Cesare 7 Pozzebon Alice 2
INTRODUZIONE La leva è una macchina semplice composta essenzialmente da una barra rigida capace di ruotare attorno ad un punto di appoggio detto fulcro. Agli estremi di questa barra vengono applicate due forze, una detta potenza e l altra resistenza, che tendono a farla ruotare in direzioni opposte. MATERIALI E STRUMENTI UTILIZZATI: barre di alluminio; viti a brugola; sostegno composto da tavole di legno; pesetti vari; involucro in alluminio; scale graduate. 3
DESCRIZIONE DELLA BILANCIA ENIGMATICA Per effettuare questa esperienza abbiamo realizzato una bilancia piuttosto strana. La struttura fondamentale della bilancia, rappresentata nella figura soprastante, è composta da un quadrilatero formato da quattro barre di alluminio, fissate con dei perni in modo tale che il quadrilatero che ha come vertici questi perni abbia i lati opposti di uguale lunghezza e dunque sia un parallelogramma, di angoli interni variabili. I punti medi di due lati opposti sono stati quindi vincolati lungo una direzione verticale, in modo tale che il parallelogramma si possa deformare, mantenendo sempre due dei suoi lati verticali. Il lato superiore del parallelogramma è prolungato in modo da formare i bracci superiori della bilancia, mentre i bracci inferiori sono formati da altre due aste in alluminio fissate rigidamente ai lati verticali del parallelogramma. I bracci sono stati quindi graduati in modo da poter effettuare le misure in modo accurato. SVOLGIMENTO DELL ESPERIENZA di LABORATORIO Le misure effettuate in laboratorio si possono raggruppare in due fasi. Nella prima fase (bracci n 1 e 2) abbiamo utilizzato entrambi i bracci superiori, nella seconda invece (bracci n 1 e 4) abbiamo sostituito il braccio superiore n 2 con il braccio inferiore n 4 In ciascuna fase abbiamo effettuate tre tipi di misura: 1. EQUILIBRIO DI UN PESO UTILIZZANDO PESI DIFFERENTI. In questa serie di misure abbiamo appeso sul braccio n 2 (oppure n 4) un pesetto, ad una fissata distanza e l abbiamo più volte equilibrato utilizzando differenti pesi posti sul braccio n 1; 2. DETERMINAZIONE DELLA DISTANZA INCOGNITA b. In questa serie di misure abbiamo equilibrato vari pesi posti sempre nella stessa posizione del braccio n 2 (oppure n 4), posizionando altri pesi noti P a sul braccio n 1. 3. DETERMINAZIONE DEL PESO INCOGNITO P b. Quest ultima serie di misure è stata effettuata variando la posizione del peso incognito sul braccio n 2 (oppure n 4) e posizionando dei pesi noti P a sul braccio n 1, in modo da equilibrare il peso incognito. 4
FASE n 1. Le tre esperienze relative a questa fase sono state eseguite allo scopo di indagare le proprietà della leva tradizionale. ANALISI DEI DATI Prima esperienza: EQUILIBRIO DI UN PESO UTILIZZANDO PESI DIFFERENTI In questa esperienza abbiamo fissato in una particolare posizione del braccio n 2 un peso P b e lo abbiamo bilanciato più volte, utilizzando di volta in volta pesi diversi, agganciati al braccio n 1. I dati misurati sono riportati in Tab. 1 ed in Fig. 1. a (cm) Pa (g) Pa*a (g*cm) 27, 1 27 35,5 75 2663 31,5 84 2646 45,5 59 2685 21, 125 2625 Tab. 1 Equilibrio di un dato peso, con pesi differenti. Pa (g) Pa in funzione di a 14 12 1 8 6 4 2 1 2 3 4 5 a (cm) Fig. 1 Equilibrio di un dato peso, con pesi differenti. Dati relativi alla Tab.1 L esperienza dimostra che è possibile trovare vari pesi che possono equilibrare un fissato peso. L importante è individuare per ognuno di questi la distanza corretta. Il grafico evidenzia che al diminuire del peso, aumenta la distanza dal fulcro, necessaria per raggiungere l equilibrio. Per determinare in modo preciso, il tipo di andamento abbiamo linearizzato il grafico, calcolando il valore 1/a relativo alle varie misure, come illustrato nella tabella sottostante. P a *a 1/a (cm -1 ) P a (g) (g*cm),3737 1 27,28169 75 2662,5,31746 84 2646,21978 59 2684,5,47619 125 2625 Riportando ora nel grafico il peso P a al variare di 1/a si ottiene un andamento lineare. 5
Pa in funzione di (1/a) 14 12 y = 2655,8x 1 Pa (g) 8 6 4 2,1,2,3,4,5 1/a (cm) 2656 Possiamo quindi concludere che in questo esperimento vale la legge P a = che può a essere riscritta nella forma: P a a=k dove k=2656 g cm Vediamo dunque che la condizione di equilibrio si ha ogniqualvolta il prodotto del peso per il braccio assume lo stesso valore. Seconda esperienza: DETERMINAZIONE DEL PESO INCOGNITO Pb In questa esperienza abbiamo mantenuto fisso il peso P b =1 g, spostandolo in varie posizioni b del braccio n 2. Per ogni fissata posizione abbiamo equilibrato la bilancia spostando opportunamente il peso P a lungo il braccio n 1 ed abbiamo calcolato il prodotto P a a. I valori sono riportati nella Tab. 2. a (cm) Pa (g) b (cm) Pa*a (g cm) 35, 75 26 2625 29,5 75 22 2213 25, 75 19 1875 45, 75 34 3375 41,5 75 31 3113 Tab. 1 Equilibrio di un dato peso, con pesi differenti. Pa*a (g*cm) (Pa*a) in funzione di b y = 99,997x 4 35 3 25 2 15 1 5 5 1 15 2 25 3 35 4 b (cm) In questo grafico si nota un andamento di proporzionalità diretta. Il coefficiente della retta fornisce, il peso incognito P b 6
Terza esperienza: DETERMINAZIONE DELLA DISTANZA INCOGNITA b In quest ultima esperienza abbiamo tenuto fissa la posizione b=32 cm del peso P b nel braccio n 2, variando il peso P b ed equilibrando la bilancia con opportuni pesi P a appesi al braccio n 1. Pa*a a (cm) Pa (g) Pb (g) (g*cm) 22 58 58 1276 45 58 83 261 2 177 18 354 28,5 177 158 544,5 38 177 28 6726 (Pa*a) in funzione di Pb y = 31,826x Pa*a (g*cm) 8 7 6 5 4 3 2 1 5 1 15 2 25 Pb (g) Il grafico indica una proporzionalità diretta tra il prodotto P a a ed il peso P b. Ancora una volta il coefficiente angolare della retta rappresenta l invariante dell esperienza, infatti coincide, entro l errore sperimentale con il braccio b. 7
FASE n 2. Abbiamo ripetuto le stesse esperienze svolte precedentemente, utilizzando in questo caso il braccio normale n 1 ed il braccio anomalo n 4. ANALISI DEI DATI Prima esperienza: EQUILIBRIO DI UN PESO UTILIZZANDO PESI DIFFERENTI Dopo aver fissato un peso P b in un particolare punto del braccio n 4, abbiamo determinato le posizioni di equilibrio di vari pesetti P a. I dati sono riportati nella seguente tabella: Pa (g) a (cm) 5 45,5 68,5 32,5 66,8 33,5 75 29 89 25,5 Pa (g) 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Pa in funzione di a 1 2 3 4 5 a (cm) Anche in questo caso abbiamo linearizzato il grafico calcolando i valori 1/a e riportando Pa in funzione di di 1/a. 1/a Pa (g) Pa*a,21978 5 2275,3769 68,5 2226,25,29851 66,8 2237,8,34483 75 2175,39216 89 2269,5 8
Pa in funzione di (1/a) y = 2234,1x Pa (g) 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1,1,2,3,4,5 1/a (cm) L andamento lineare del grafico evidenzia di nuovo il fatto che prodotto (Pa*a) è costante (entro l errore sperimentale). In questo caso quindi non c è nessuna differenza tra la leva normale e quella anormale. Seconda esperienza: DETERMINAZIONE DEL PESO INCOGNITO Pb? In questa esperienza è stato agganciato un peso fisso P b =59,2 g nel braccio n 4 e si è cercato l equilibrio al variare della sua posizione b. I valori misurati con le rispettive elaborazioni, sono riportate nella seguente tabella. (Pa*a) min (g*cm) (Pa*a) max (g*cm) min dei max (g*cm) max dei min (g*cm) Pa (g) a (cm) b (cm) Pa*a (g*cm) Pa*a/Pb (cm) 25, 33,5 21,5 837,5 825, 85, 85, 842,5 14,1 35,3 24, 15, 847,2 829,6 864,9 85, 842,5 14,3 3, 28, 3, 84, 825, 855, 85, 842,5 14,2 4, 21,5 1, 86, 84, 88, 85, 842,5 14,5 45, 19, 18, 855, 832,5 877,5 85, 842,5 14,4 2,3 42, 4, 852,6 842,5 862,8 85, 842,5 14,4 A partire dai dati abbiamo riprodotto i seguenti grafici: 7 9
(Pa*a) in funzione di b costanza del prodotto (Pa*a) Pa*a (g*cm) 1, 8, 6, 4, 2,,, 1, 2, 3, 4, b (cm) Pa*a (g*cm) 9, 85, 8, 75, 7, 65, 6, 55, 5, 1 2 3 4 5 6 n della misura Nel primo grafico si nota che il prodotto P a a non dipende dalla posizione b in cui è appeso il peso P b. Il secondo grafico evidenzia che tutti i prodotti calcolati sono tra loro compatibili in quanto è possibile osservare una fascia comune a tutti. La costanza del prodotto P a a non ci permette in questo caso di calcolare il peso incognito P b. Terza esperienza: DETERMINAZIONE DELLA DISTANZA INCOGNITA b? Durante questa esperienza abbiamo fissato la posizione del peso b=18 cm ed abbiamo ricercato l equilibrio al variare del peso P b. I dati misurati sono riportati in tabella: Pa (g) a (cm) Pb (g) Pa*a 5 27 1 135 43,6 25,5 75 1111,8 3 24 5 72 25 29,5 54,3 737,5 Il grafico riporta il valore del prodotto P a a in funzione del peso P b. (Pa*a) in funzione di Pb y = 13,972x Pa*a (g*cm) 16 14 12 1 8 6 4 2 2 4 6 8 1 12 Pb (g) 1
Si nota che esiste tra le due grandezze una relazione lineare, esattamente come nel caso in cui abbiamo utilizzato il braccio n 2. Il valore del coefficiente angolare è di circa 14 cm che potremo assumere corretto entro un incertezza di ±1 cm. Questo valore non corrisponde alla distanza b=18 cm in cui era agganciato P b. È compatibile invece con la distanza d=15 cm pari a metà del lato non verticale del parallelogramma che costituisce il cuore della nostra bilancia. L effetto anomalo del braccio n 4, come pure del braccio n 3, si può spiegare facilmente osservando come questi siano stati fissati alla bilancia. Essi sono fissati rigidamente a due aste di alluminio verticali, vincolate a loro volta con dei perni sui bracci 1 e 2, alla distanza fissata d=15 cm. In questo modo il peso che viene applicato, in un punto qualsiasi del braccio 3 o 4, viene sempre ad esercitare tutto il suo effetto alla distanza d dal fulcro. In altre parole ad indicare l equilibrio non è il prodotto P b b bensì il prodotto P d, indipendentemente dalla posizione b in cui è appeso il corpo. CONCLUSIONI Nella leva normale quello che determina l equilibrio della bilancia è il prodotto del peso per il suo braccio: P a a. Nella leva anomala, invece, ciò che determina l equilibrio è soltanto il peso applicato, in quanto risulta indipendente dal braccio. Utilizzando un braccio normale ed uno anomalo, si può risalire al peso incognito dalla relazione P b = (P a a)/d. Il vantaggio di una bilancia di questo tipo è proprio quello che il risultato è indipendente dalla posizione precisa in cui si mette il peso incognito. 11
SOMMARIO INTRODUZIONE... 3 MATERIALI E STRUMENTI UTILIZZATI:... 3 DESCRIZIONE DELLA BILANCIA ENIGMATICA... 4 SVOLGIMENTO DELL ESPERIENZA DI LABORATORIO... 4 ANALISI DEI DATI... 5 PRIMA ESPERIENZA: EQUILIBRIO DI UN PESO UTILIZZANDO PESI DIFFERENTI... 5 SECONDA ESPERIENZA: DETERMINAZIONE DEL PESO INCOGNITO PB... 6 TERZA ESPERIENZA: DETERMINAZIONE DELLA DISTANZA INCOGNITA B... 7 ANALISI DEI DATI... 8 PRIMA ESPERIENZA: EQUILIBRIO DI UN PESO UTILIZZANDO PESI DIFFERENTI... 8 SECONDA ESPERIENZA: DETERMINAZIONE DEL PESO INCOGNITO PB?... 9 TERZA ESPERIENZA: DETERMINAZIONE DELLA DISTANZA INCOGNITA B?... 1 CONCLUSIONI... 11 12