PROVA SCRITTA DI CONTROLLO DIGITALE A.A. 005/006 8 giugno 006 TESTO E SOLUZIONE
Eserciio Domanda. Si consideri il sistema dinamico a tempo continuo descritto dalla funione di traferimento G(s) = 5 3 s 6 ( s s ) Si determini l espressione della FdT G BE () ottenuta per discretiaione tramite il metodo di Eulero all indietro (o delle differene all indietro), con periodo di campionamento pari a T S = 0.0 s. La formula per la discretiaione con la formula di Eulero all indietro (o tecnica delle differene all indietro ) è s = T S dove T S è il periodo di campionamento utiliato. Per il periodo di campionamento assegnato la formula diventa s = 50 Per sostituione diretta nell espressione della funione di trasferimento assegnata si ottiene allora: ( ) ossia G BE () = 56 303 G BE = 0.848 ( ) 5 8 ( 00 0 ) ( 0.899) ( ) ( 0.990)
Domanda. Assumendo periodo di campionamento pari a T S = s, come si trasformano i seguenti punti del piano s s = 3, s = j utiliando la trasformaione di Eulero in avanti (o delle differene in avanti)? E con Eulero all indietro? Commentare i risultati. Utiliando la discretiaione con la formula di Eulero in avanti s = i seguenti punti trasformati: T S si ottengono s = 3 = s = j = j mentre facendo uso della formula di Eulero all indietro s = T S si arriva a s = 3 = 4 s = j = j Commenti: come si nota la discretiaione con la formula delle differene in avanti trasforma i punti considerati del piano s, con parte reale negativa o nulla, in punti del piano della variabile complessa entrambi esterni alla circonferena di raggio unitario e centro l origine degli assi. Ciò non succede invece con la formula delle differene all indietro. In questo caso entrambi i punti trasformati si trovano all interno della circonferena di raggio unitario e centro l origine degli assi del piano della variabile complessa. Domanda.3 Assumendo periodo di campionamento pari a T S = s, come si trasformano i seguenti punti del piano s s = j, s = j π j utiliando la trasformaione di Tustin? Ed utiliando la trasformaione descritta dalla relaione Commentare i risultati. = e s Ts La trasformata di Tustin, con il periodo di campionamento T S assegnato, diventa ( s T ) S ( s ) = ( s T ) = = ( S s ) Applicandola ai due punti in questione quindi si ottiene s = j = j j = j s = j π j = j ( π) 0.89 j 0.46 j ( π)
I due punti del piano della variabile complessa s vengono mappati tramite la trasformata di Tustin in due punti distinti del piano della variabile complessa. Applicando invece la relaione del campionamento = e s Ts si ottengono = e j = e j πj = e j I due punti considerati nel piano della variabile complessa s danno origine al medesimo punto nel piano della variabile complessa. Ciò è dovuto al fenomeno di aliasing a causa del periodo di campionamento scelto. Per T S = s infatti il punto s si trova nella striscia primaria nel piano di s, mentre il punto s si trova ad una distana dal punto s pari proprio all ampiea di ciascuna striscia, quindi è situato in una striscia adiacente a quella primaria. Ecco quindi spiegato perché, una volta applicato il campionamento, i punti trasformati coincidano.
Eserciio w - L() y Si consideri il sistema in figura, dove: e K R. 0.5 L() = K ( )( 0.8) Domanda. Si analii la stabilità asintotica a ciclo chiuso del sistema, al variare di K, facendo uso del criterio di Jury. L equaione caratteristica di ciclo chiuso è Riordinando l espressione si ottiene: p() = ( ) ( 0.8) K ( 0.5) = 0 (K.8) (0.8 0.5K) = 0 La tabella di Jury avrebbe solamente una riga, quindi non la si riporta in ciò che segue. Le condiioni da imporre aono allora soltanto le condiioni accessorie (non quelle derivanti dalla tabella, che non si considera): 0.8 0.5K < (K.8) (0.8 0.5K) > 0 (K.8) (0.8 0.5K) > 0 Dopo alcuni passaggi si ottengono le seguenti relaioni 5 < K 8 5 K > 0 oppure 8 5 < K < 8 5 K > 0 K < K < 5 5 L unione delle soluioni di questi due sistemi porta a trovare l intervallo dei valori di K che garantiscono stabilità asintotica per il sistema 0 < K < 5
Domanda. Si analii la stabilità asintotica a ciclo chiuso del sistema, al variare di K, facendo uso della trasformaione bilineare e del criterio di Routh-Hurwit. Commentare i risultati, confrontandoli con quelli forniti dalla risposta alla domanda precedente.. L equaione caratteristica è la stessa trovata in precedena: (K.8) (0.8 0.5K) = 0 alla quale va adesso applicata la trasformaione bilineare Applicando la trasformaione si ottiene K.8 0.8 0.5K = w w K K 5 4 K 0.8 K 3 K 5 K 0.8 0.5 K [ 0 ] = K 3 K 5 K [ ] [ K 0. ] K K 5 cioè in definitiva l equaione da analiare col criterio di Routh Hurwit è ( K w K ) ( 8 w 5 5 3 ) K = 0 8 5 3 K La tabella di Routh è K 8 5 3 K K 5 8 0 5 3 K Imponendo costana di segno per i termini della prima colonna della tabella si arriva al seguente sistema di disequaioni: K > 0 K > 5 K < 5 In definitiva, la condiione di asintotica stabilità è ancora una volta data da: 0 < K < 5 Si lascia per eserciio la verifica al fatto che quello analiato è l unico sistema di disequaioni che ammette soluioni nel caso considerato: imporre che i termini della prima colonna dello schema abbiano tutti segno negativo non porta ad avere soluioni ammissibili per il problema.
Eserciio 3 Si faccia riferimento allo schema a blocchi in figura, dove G(s) = e s s(s ), H 0 (s) = e st s T u(k) H (s) 0 G(s) T y(k) * G () Domanda 3.. Per T = 0. s, si determini l espressione della funione di trasferimento G () equivalente alla cascata dei blocchi rappresentati in figura. Si noti che il periodo di campionamento scelto è sottomultiplo intero del ritardo finito e quindi applicando la relaione del campionamento soltanto a tale termine si otterrebbe: e s =e st 0 Considerando la cascata del blocco di mantenimento H 0 (s) e della funione di trasferimento G(s) è possibile scrivere allora G() = { } 0 Z s (s ) Per il calcolo del termine Z { } conviene far uso della seguente relaione { } { Z s = Res (s ) λ (λ ) poli di λ (λ) Per quanto riguarda il calcolo dei residui, vale quanto segue: e per l altro residuo Res λ = = d Res λ=0 = lim λ 0 dλ lim λ [ λ λ e 0. λ = ] e 0. λ = e λ T e 0.4 5 } ( ) In definitiva G() = 0 { e 0.4 5 } ( ) ossia G() = 0 0.035( 0.8753) ( 0.6703)( )
Eserciio 4 Si faccia riferimento allo schema a blocchi in figura, dove R() = 0. 0., G() =.5( 0.8) w - d d e R() G() y Domanda 4.. Calcolare la risposta di regime permanente nel caso in cui vengano applicati i seguenti ingressi: w(k) = k (k), d (k) = (k), d (k) = (k), k N Le funioni di trasferimento da utiliare sono le seguenti: da w a y: F w () = R() G() R()G() = ( 0.8) ( 0.7 0.) da d a y: F d () = G() R()G() =.5( 0.8)( 0.) ( 0.7 0.) da d a y: F d () = R()G() = ( )( 0.) ( 0.7 0.) Le FdT appena determinate sono BIBO stabili, quindi nel caso degli ingressi a gradino d (k) e d (k) è possibile determinare il termine di regime della risposta y(k) applicando il teorema del valore finale alla Z trasformata Y () corrispondente: yreg d = lim yreg d = lim.5( 0.8)( 0.) ( 0.7 0.) ( )( 0.) ( 0.7 0.) = 4 = 0
Per determinare la risposta a regime al segnale d ingresso w(k), che è un segnale a rampa, non è possibile utiliare il teorema del valore finale. Considerando però la Z trasformata della risposta a tale segnale è possibile fare le seguenti consideraioni: - la funione di trasferimento che descrive il sistema al quale viene applicato il segnale w(k) è una FdT BIBO stabile; - la risposta al segnale w(k) allora conterrà dei termini che si estingueranno (almeno asintoticamente) [termini responsabili del transitorio della risposta alla rampa] associati ai poli asintoticamente stabili della FdT considerata - nella risposta compariranno anche dei termini a carattere permanente, come segnali a gradino e/o rampa di ampiea/pendena opportuna. - questi ultimi sono i termini da determinare. Per farlo è utile fare ricorso allo sviluppo in fratti semplici dell espressione della Z trasformata della risposta del sistema alla rampa w(k), mettendo in evidena i termini con poli associabili a segnali con caratteristiche di regime permanente ( in sostana i termini associabili al polo in = ). Y w () = 0.8 0.7 0. ( ) = A B 0.7 0. C D ( ) Il primo termine dello sviluppo in fratti semplici di Y w () è quello associato al transitorio di risposta, mentre gli altri due sono i termini da determinare. Per determinare i valori dei coefficienti C, D conviene far uso della formula per il calcolo dei residui applicandola all espressione Yw() D = lim 0.8 ( 0.7 0.) d C = lim d Graie a quanto appena calcolato è possibile scrivere [ 0.8 ] ( 0.7 0.) yreg w(k) = 8 (k) k (k) = = 8 La risposta a regime cercata, a fronte degli ingressi w(k), d (k), d (k) è in definitiva y regime (k) = k (k) 4 (k)
Eserciio 5 Si faccia riferimento allo schema a blocchi in figura, dove G () = 0.00906(.543)( 0.768) ( 0.887)( 0.6703)( 0.3679) è stata ottenuta per discretiaione da un sistema a tempo continuo, con periodo di campionamento T = 0. s. w(t) T e(k) R() u(k) H (s) 0 * G () G(s) T y(k) Domanda 5.. Facendo uso della tecnica di progetto nel piano w e servendosi eventualmente della carta logaritmica della pagina seguente, si progetti un regolatore R() tale che siano soddisfatte le seguenti specifiche: errore a regime nullo per ingressi w(t) = A (t) con A che può assumere qualsiasi valore reale margine di fase di almeno 40. Riscrivendo in forma non fattoriata la FdT G() si ha G() = 0 3 9.06 4.64 4.07 3.857.097 0.0 A questo punto non rimane che applicare la trasformata di Tustin, per ottenere una FdT equivalente nel piano w con la quale portare a termine il progetto del regolatore: = Applicando i vari passi dell algoritmo si ottiene: w T w T = 0.w 0.w. G( ) = 0 3 9.06 4.64 4.07 3.857.097 0.0