Iiuzioni di Probabilià Laurea magirale in Maemaica prova cria del 0/6/03 Exercie. (puni 8 circa) Sia W un moo browniano reale. Sia ϕ : 0, + 0, + una funzione crecene, ia c : 0, + 0, + una funzione miurabile; i auma che ϕ e c iano reamene poiive u ]0, + e che ϕ(0) = 0.. Si dimori che, e ϕ è α-hölderiana u ogni inieme limiao di 0, +, allora il proceo X() = W (ϕ()) è β-hölderiano, u ogni inieme limiao di 0, +, per ogni β < α/.. Ipoizziamo che Y () = c()w (ϕ()) ia un moo browniano (ripeo alla ua filrazione naurale). Si dimori che, per ogni 0 <, c() = e i deduca che eie C > 0 ale che, per ogni, c() = C, ϕ() = /C. c()ϕ() Exercie. (puni circa) Sia M = (M n ) n una upermaringala nonnegaiva (ripeo ad una filrazione (F ) ), con M 0 coane e ale che M n+ M n C per ogni n, per qualche C > 0. Fiao λ > M 0 ed N i ponga τ = inf{n M n > λ} N (empo d arreo, con aociaa σ-algebra F τ ).. Si dimori che, u {M τ > λ}, M τ C+λ e i deduca che P ( up n=0,...,n M n > λ ) C+λ M τ dp.. Si dimori (dalla definizione di F τ ) che l eveno {M τ > λ} appariene a F τ. 3. Si dimori che P ( up n=0,...,n M n > λ ) C+λ M NdP. Exercie 3. (puni circa) Si conideri la eguene SDE, dx = X d + + X db, X 0 = 0, dove B è un moo browniano reale.. Si dicua eienza ed unicià delle oluzioni.. Si dimori che inh(b ) è la oluzione (inh(x) = ex e x ). 3. Siano ora W, W due moi browniani reali indipendeni, e i conideri il proceo Z = exp(w ()) Uando il fao (eorema di Lévy) che 0 exp( W ())dw (). dw 3 () = Z dw () + dw () + Z definice un alro moo browniano, i concluda che Z riolve la ea equazione di X, ma ripeo ad un differene moo browniano.
Soluzioni Eercizio. i) Sia (Ω, F, P ) lo pazio u cui è definio W. Eie un inieme miurabile Ω 0 F con P (Ω 0 ) =, con la eguene proprieà: per ogni γ ( 0, ), ogni T > 0 ed ogni ω Ω 0 eie una coane C γ,t (ω) > 0 ale che Quindi W (a, ω) W (b, ω) C γ,t (ω) a b γ per ogni a, b 0, T ]. X(, ω) X(, ω) = W (ϕ(), ω) W (ϕ(), ω) Da qui i deduce C γ,ϕ(t ) (ω) ϕ() ϕ() γ per ogni, 0, T ]. X(, ω) X(, ω) C γ,ϕ(t ) (ω) αγ per ogni, 0, T ]. Queo mora che X ha raieorie q.c. hölderiane di eponene αγ, per qualiai γ ( 0, ), quindi β-hölderiane per ogni β < α/. ii) Dev eere, per 0 <, E Y ()Y ()] =, ovvero E c()w (ϕ())c()w (ϕ())] = che ignifica c()c()e W (ϕ())w (ϕ())] = ed ancora c()c()ϕ() =. Quea è la rada più breve. Oppure, innanzi uo E Y () ] =, ovvero E c() W (ϕ()) ] =, ma E c() W (ϕ()) ] = c() ϕ() quindi c() ϕ() =. Poi dev eere E (Y () Y ()) ] =, ovvero E (c()w (ϕ()) c()w (ϕ())) ] = ma E (c()w (ϕ()) c()w (ϕ())) ] = c() ϕ() + c() ϕ() c()c()ϕ() quindi c() ϕ() + c() ϕ() c()c()ϕ() =. Unendo al condizione precedene, roviamo + c()c()ϕ() = ovvero cioè c() = c()ϕ(). c()c()ϕ() =
Queo implica dc() d = 0 (u (, ), e quindi u (0, ) con facile ragionameno). Ne egue che eie C > 0 ale che c() = C. Quindi ϕ() = /C. Eercizio. i) Ueremo peo il fao che {M τ > λ} = {up n=0,...,n M n > λ}. Abbiamo M τ λ (i ricordi che τ ), quindi dalla relazione M n+ (ω) M n (ω) C (q.c.) deriva M τ (ω) M τ (ω) + C C + λ q.c. Quindi M τ dp (C + λ) P (M τ > λ) = (C + λ) P ( up M n > λ n=0,...,n ). ii) Dobbiamo verificare che {M τ > λ} {τ } F per ogni 0 inero non negaivo (vale inolre {M τ > λ} F, ralaicamo la verifica). Per N vale {M τ > λ} {τ } = { up M n > λ} n=0,..., (i verifica facilmene la doppia incluione) quindi appariene a F. Se > N, {M τ > λ} = { up M n > λ} F N F n=0,...,n ed anche {τ } F, quindi {M τ > λ} {τ } F. iii) Proponiamo due dimorazioni. La prima, baaa ulla proprieà di upermaringala ed un corollario del eorema d arreo (M τ E M N F τ ]), più il riulao del puno (ii), conie nelle diuguaglianze M τ dp E M N F τ ] dp = M N dp da cui dicende la ei. La econda, baaa ul eorema d arreo, inizia oervando che per la proprieà di upermaringala, eendo il empo τ limiao, Inolre E M N ] E M τ ]. M N dp = E M N ] E M τ ] = M τ dp + = M τ dp M N dp M N dp (M τ M N ) dp 3
perché u {M τ λ} vale M τ = M N. Baa ora uare il puno. Eercizio 3. i) I coeffi cieni ono globalmene lipchiziani. Per il drif, l affermazione è ovvia. Per il coeffi ciene di diffuione σ (x) = + x abbiamo che σ (x) = x + x quindi anche σ è globalmene lipchiziana. Allora i applica un eorema noo. ii) Poo f (x) = inh(x) = ex e x, è ben noo che vale f (x) = coh(x) = ex +e x f (x) = inh(x). Quindi, per la formula di Iô, d inh(b ) = coh(b )db + inh(b )d. Vale poi coh(x) = + inh(x), quindi X := inh(b ) è oluzione, e per unicià è la oluzione. Per maggior preciione, avendo nel coro dimorao il eorema di unicià nella clae delle oluzioni di quadrao inegrabile, verifichiamo che X := inh(b ) lo ia. Vale X ex +e x ex +, quindi dobbiamo verificare che E e B] ia finio (uniformemene in 0, T ]) e queo è vero per l inegrabilià eponenziale delle v.a. gauiane (volgendo il cono i vede ubio l uniformià in ). iii) Inano, come noa a margine, i applica il eorema di Lévy a W 3 () in quano W 3 () è una maringala (è inegrale ocaico di un proceo che i verifica facilmene are in M, eendo maggiorao da Z +, che ci a - di nuovo per inegrabilià eponenziale delle gauiane) e la ua variazione quadraica è Z W 3, W 3 ] = 0 + Z d + 0 + Z d =., Verifichiamo ora che Z riolve la ea equazione, con un nuovo moo browniano. Abbiamo Z = Z () Z (), con Z () = exp(w ()), e Z () ed infine dz () = Z () dw () + Z() d = 0 exp( W ())dw (), ovvero dz () = exp( W ())dw (), quindi dz = Z () dz () + Z () dz () + d Z (), Z ()] = Z () exp( W ())dw () + Z () Z () dw () + Z () = dw () + Z dw () + Z d Z dw () + dw () = Z() d + 0 + Z Z dw () + dw () = + Z + Z dw 3(), 4
quindi dz = Z d + + Z dw 3(). Il nuovo moo browniano è W 3.. 5