REALTÀ E MDELLI SCHEDA DI LAVR La clessida ad acqua Ipotizziamo che la clessida ad acqua mostata in figua sia fomata da due coni pefetti sovapposti La clessida impiega,5 minuti pe svuotasi e supponiamo che il volume di acqua che passa da C s a C i in un secondo sia costante Detemina quanta acqua scoe in un secondo Espimi il volume V e l altezza h dell acqua scesa in C i in funzione del tempo t, consideando come istante iniziale quello in cui C s è pieno Considea la funzione V(t) tovata al punto pecedente non pe un solo passaggio di acqua, ma tenendo conto del fatto che, appena il cono supeioe si è svuotato, la clessida viene giata; in un sistema di ifeimento catesiano appesenta il gafico di tale funzione e descivine le caatteistiche C s C i 8 cm 7 cm Calcoliamo innanzitutto il volume del cono C s, e quindi quello dell acqua inizialmente contenuta; in cm è: $ $ $ 7 = - 7 cm L inteo volume d acqua contenuto inizialmente in C s scoe in,5 minuti = secondi, peciò il volume d acqua che scoe in un secondo è: $ = - cm/s, 70 Il volume dell acqua che si tova nel cono infeioe è dato dal volume che scoe in un secondo pe il tempo tascoso: Vt () = $ t-, $ t, con 0 # t # 70 Man mano che l acqua scende, detemina un tonco di cono in cui il aggio della base maggioe è cm e l altezza è h; il aggio della base minoe si ottiene dalla similitudine dei tiangoli, ovveo dalla popozione : = (7 - h) : 7, peciò: 7 ( - h) = 7 7 h h Figua Copyight 0 Zanichelli editoe SpA, Bologna
Il volume del tonco di cono V(t) =, $ t è dato dalla diffeenza ta il volume totale del cono C i e il volume del cono che imane senza acqua; si ottiene così la seguente equazione: 6( 7 - h) 6 [ -( 7 -h) ] $ t = - (7 - h) = - ( 7 - h) =, 70 9 7 da cui si può icavae h in funzione di t: $ t (7 - h) = - " 7 - h = - $ t " h( t) = 7 - - $ t con 0 # t # Si tatta di una funzione peiodica di peiodo ; al temine di ogni peiodo ( t = k, k! N -{ 0} ) c è un punto di discontinuità; all inteno di ogni peiodo il gafico è un tatto di etta con coefficiente angolae, volume (cm ) 0 00 80 0 0 80 70 tempo (s) Figua L oologio Considea un oologio analogico (a lancette) e costuisci la seguente funzione: la vaiabile indipendente coisponde all oa (dall oa all oa ), la vaiabile dipendente è l angolo (in gadi) che la lancetta delle oe foma con la posizione veticale delle Rappesenta tale funzione in foma tabulae, in foma analitica e nel piano catesiano, quindi analizza le sue caatteistiche Se si collegano i punti del gafico con tatti lineai, che cosa cambia nelle caatteistiche della funzione? Costuisci una funzione analoga consideando la lancetta dei minuti nell aco di un oa; appesentala analiticamente e nel piano catesiano e analizza le sue caatteistiche L angolo che la lancetta delle oe descive spostandosi da un oa alla successiva coisponde alla dodicesima pate dell angolo gio, cioè 0 a 5 6 7 8 9 0 Angolo (gadi) 0 0 50 80 0 0 70 00 0 a 5 6 7 8 9 0 Angolo (gadi) 0 0 50 80 0 0 70 00 0 Copyight 0 Zanichelli editoe SpA, Bologna
La foma analitica della funzione è: 0h se # h # a ( h) = (, con h! N 0( h- ) se # h # Il suo gafico è il seguente angolo (gadi) 00 0 80 0 6 oe 8 Figua Si tatta di una funzione da N in N con: Dominio = { h! N # h # } e Codominio = { y! N y = 0h, con # h # } La funzione è suiettiva se la si considea istetta al codominio, ma non è iniettiva (infatti ad ogni angolo coispondono due oe della gionata), peciò non è invetibile Diventa una funzione da R in R con Dominio = { x! R # x # } e Codominio = { y! R 0 # y # } ; la funzione imane non iniettiva e quindi non invetibile L angolo ta un minuto e l alto coisponde alla sessantesima pate dell angolo gio, cioè 6 La foma analitica della funzione è: b ( m) = 6m, con m! N, # m # Dominio = { m! N # m # }, Codominio = { y! N y = 6m, con # m # } ; la funzione è iniettiva (infatti ad ogni angolo coisponde un solo minuto all inteno della stessa oa) e suiettiva se la si considea istetta al codominio, peciò è invetibile Il suo gafico è il seguente angolo (gadi) 00 0 80 0 0 0 minuti 0 0 50 Figua Copyight 0 Zanichelli editoe SpA, Bologna
La diffusione dell influenza Un modello matematico pevede che il vius dell influenza si diffonda all inteno di una popolazione di P pesone con una velocità (numeo di nuovi casi giono pe giono) che dipende in modo popozionale sia dal numeo di pesone che già hanno contatto la malattia, sia da quelle che non sono state infettate Mosta che (nell ipotesi che la popolazione esti costante nel tempo) la velocità massima di diffusione si ha quando il numeo di pesone potenzialmente infette coisponde alla metà della popolazione stessa Calcola il valoe della costante di popozionalità nell ipotesi che, su un campione di 00 000 pesone, 750 siano ammalate il giovedì e, il venedì, ci siano 70 nuovi casi Stima il numeo di nuovi casi infetti il sabato Se P indica il numeo delle pesone della popolazione e x il numeo di quelle già infette, alloa P - x è il numeo di pesone non infette Il modello che espime la velocità di diffusione della malattia giono pe giono è espimibile attaveso la seguente funzione quadatica: f(x) = k $ x $ (P - x) In questo modello k è la costante di popozionalità ed è positiva La funzione f(x) = kpx - kx, nell ipotesi P costante, appesenta una paabola con concavità ivolta veso il basso (poiché k 0) e asse di simmetia x x P = (ascissa del vetice) ed è: f max kp = P = Il valoe massimo aggiunto dalla funzione si ha popio pe Poiché f(x) appesenta la apidità di diffusione della malattia, si può concludee che la diffusione è molto apida nella fase iniziale, e aggiunge il suo massimo quando metà della popolazione è infetta Con i dati del poblema si ha: f(750) = k $ 750 $ (00 000-750) = 7 97 500 $ k Sapendo che l incemento elativo al numeo di ammalati è di 70, l equazione da impostae è la seguente: 70 = 7 97 500 $ k " k = 0,00000 =, $ 0-6 Il giovedì i malati sono 750 e il venedì ci sono 70 nuovi casi, quindi il venedì ci sono in totale 750 + 70 = 0 malati I nuovi casi di malattia del sabato sono peciò dati da: f(0) =, $ 0-6 $ 0 (00 000-0) - 57 Copyight 0 Zanichelli editoe SpA, Bologna
Le montagne usse In un luna pak, un tatto delle otaie delle montagne usse ha la taiettoia descitta dal gafico di y = sen( x ), con - # x # Disegna il gafico della funzione, quindi: stabilisci in quali tatti i vagoni salgono e in quali scendono (i vagoni si spostano, in ifeimento al gafico, da sinista veso desta); descivi le popietà della funzione appesentata (dominio, codominio, pai o dispai) Disegniamo il gafico della funzione nell intevallo - # x # Nell intevallo consideato la funzione è sempe positiva; i punti di minimo sono quelli in cui la funzione si annulla: x =- 0x = 0 0x = I punti di massimo coispondono ai punti in cui la funzione assume il valoe : y = sen( x ) = " x = " x =! La funzione avà un gafico del seguente tipo: y π π π π x Figua 5 Pe calcolae in quali tatti i vagoni salgono o scendono, utilizziamo i punti in cui la funzione y = sen( x ) assume valoe minimo e massimo I vagoni salgono nei tatti compesi nell intevallo D - ; - :, D 0; :, mente scendono nei tatti D ; ; 0 - :, D : Il dominio della funzione è l intevallo assegnato [- ; ] (mente il suo dominio natuale è R); il codominio è [0; ], quindi la funzione è sempe positiva La funzione è pai in quanto f(x) = f(- x), infatti: f( - x) = sen[( - x) ] = sen( x ) = f( x) Copyight 0 Zanichelli editoe SpA, Bologna 5