Indice Notazioni generali XIII 1 Derivati e arbitraggi 1 1.1 Opzioni 1 1.1.1 Finalità 3 1.1.2 Problemi 4 1.1.3 Leggi di capitalizzazione 4 1.1.4 Arbitraggi e formula di Put-Call Parity 5 1.2 Prezzo neutrale al rischio e valutazione d'arbitraggio 7 1.2.1 Prezzo neutrale al rischio 7 1.2.2 Probabilità neutrale al rischio 8 1.2.3 Prezzo d'arbitraggio 8 1.2.4 Una generalizzazione della Put-Call Parity 10 1.2.5 Un esempio di mercato incompleto 11 2 Elementi di probabilità ed equazione del calore 15 2.1 Spazi di probabilità 15 2.1.1 Variabili aleatorie e distribuzioni 20 2.1.2 Valore atteso e varianza 22 2.1.3 Alcuni esempi 26 2.1.4 Disuguaglianza di Markov 30 2.1.5 a-algebre e informazioni 31 2.2 Indipendenza 33 2.2.1 Misura prodotto e distribuzione congiunta 36 2.3 Equazioni paraboliche a coefficienti costanti 38 2.3.1 II caso ò = 0 e a = 0 40 2.3.2 II caso generale.. 44 2.3.3 Dato iniziale localmente sommabile 45 2.3.4 Problema di Cauchy non omogeneo 46 2.3.5 Operatore aggiunto 47 2.4 Distribuzione multi-normale e funzione caratteristica 49
Vili Indice 2.5 Teorema di Radon-Nikodym 53 2.6 Attesa condizionata 54 2.6.1 Proprietà dell'attesa condizionata 57 2.6.2 Attesa condizionata in L 2 60 2.6.3 Attesa condizionata e cambio di misura di probabilità.. 61 2.7 Processi stocastici discreti e martingale 62 2.7.1 Tempi d'arresto 66 2.7.2 Disuguaglianza di Doob 70 3 Modelli di mercato a tempo discreto 75 3.1 Mercati discreti e arbitraggi 75 3.1.1 Arbitraggi e strategie ammissibili 79 3.1.2 Misura martingala 80-3.1.3 Derivati e prezzo d'arbitraggio 83 3.1.4 Prova dei teoremi fondamentali della valutazione 86 3.1.5 Cambio di numeraire 90 3.2 Modello binomiale 91 3.2.1 Proprietà di Markov 93 3.2.2 Misura martingala 95 3.2.3 Completezza v 98 3.2.4 Algoritmo binomiale 104 3.2.5 Calibrazione 109 3.2.6 Modello binomiale e formula di Black&Scholes 112 3.2.7 Equazione differenziale di Black&Scholes 119 3.3 Modello trinomiale 122 3.3.1 Valutazione in un mercato incompleto 125 3.4 Opzioni Americane 128 3.4.1 Prezzo d'arbitraggio 129 3.4.2 Relazioni con le opzioni Europee 135 3.4.3 Algoritmo binomiale per opzioni Americane 137 3.4.4 Problema a frontiera libera per opzioni Americane 140 3.4.5 Put Americana e Put Europea nel modello binomiale.. 143 4 Processi stocastici a tempo continuo 147 4.1 Processi stocastici e moto Browniano reale 147 4.1.1 Legge di un processo continuo 150 4.1.2 Equivalenza di processi 153 4.1.3 Processi adattati e progressivamente misurabili 155 4.2 Proprietà di Markov 155 4.2.1 Moto Browniano ed equazione del calore 157 4.2.2 Distribuzioni finito-dimensionali del moto Browniano.. 158 4.3 Integrale di Riemann-Stieltjes 160 4.3.1 Funzioni a variazione limitata 161 4.3.2 Integrazione di Riemann-Stieltjes e formula di Ito 165 4.3.3 Regolarità delle traiettorie di un moto Browniano 168
Indice 4.4 Martingale 171 4.4.1 Alcuni esempi 172 4.4.2 Disuguaglianza di Doob 173 4.4.3 Spazi di martingale: ^# 2 2 e ^# c 175 4.4.4 Ipotesi usuali 177 4.4.5 Tempi d'arresto e martingale 180 4.4.6 Variazione quadratica e decomposizione di Doob-Meyer 185 4.4.7 Martingale a variazione limitata 188 Integrale stocastico 191 5.1 Integrale stocastico di funzioni deterministiche 192 5.2 Integrale stocastico di processi semplici 194 5.3 Integrale di processi in L 2 198 5.3.1 Integrale di Ito e integrale di Riemann-Stieltjes 202 5.3.2 Integrale di Ito e tempi d'arresto 204 5.3.3 Processo variazione quadratica 207 5.4 Integrale di processi in L 2 OC 208 5.4.1 Martingale locali 210 5.4.2 Localizzazione e variazione quadratica 212 5.5 Processi di Ito 215 5.6 Formula di Itò-Doeblin 217 5.6.1 Formula di Ito per il moto Browniano 218 5.6.2 Formulazione generale 222 5.6.3 Martingale ed equazioni paraboliche 223 5.6.4 Moto Browniano geometrico 224 5.7 Processi e formula di Ito multi-dimensionale 227 5.7.1 Formula di Ito multi-dimensionale 230 5.7.2 Alcuni esempi 234 5.7.3 Moto Browniano correlato e martingale 236 5.8 Estensioni della formula di Ito 239 5.8.1 Formula di Ito e derivate deboli 239 5.8.2 Tempo locale e formula di Tanaka 242 5.8.3 Formula di Tanaka per processi di Ito 246 5.8.4 Tempo locale e formula di Black&Scholes 246 Equazioni paraboliche a coefficienti variabili: unicità 249 6.1 Principio del massimo e problema di Cauchy-Dirichlet 252 6.2 Principio del massimo e problema di Cauchy 254 6.3 Soluzioni non-negative del problema di Cauchy 259 Modello di Black&Scholes 263 7.1 Strategie autofinanzianti 264 7.2 Strategie Markoviane ed equazione di Black&Scholes 266 7.3 Valutazione 269 7.3.1 Dividendi e parametri dipendenti dal tempo 272 IX
X Indice 7.3.2 Ammissibilità e assenza d'arbitraggi 273 7.3.3 Analisi di Black&Scholes: approcci euristici 275 7.3.4 Prezzo di mercato del rischio 277 7.4 Copertura 279 7.4.1 Le greche 280 7.4.2 Robustezza del modello 288 7.4.3 Gamma e vega hedging 290 7.5 Opzioni Asiatiche 292 7.5.1 Media aritmetica 293 7.5.2 Media geometrica 295 8 Equazioni paraboliche a coefficienti variabili: esistenza 297 8.1 Soluzione fondamentale e problema di Cauchy 298 8.1.1 Metodo della parametrice di Levi 30Ù 8.1.2 Stime Gaussiane e operatore aggiunto 302 8.2 Problema con ostacolo 303 8.2.1 Soluzioni forti 305 8.2.2 Metodo della penalizzazione 308 8.2.3 Problema con ostacolo sulla striscia di R iv+1 313 9 Equazioni differenziali stocastiche 315 9.1 Soluzioni forti 316 9.1.1 Unicità 318 9.1.2 Esistenza 320 9.1.3 Proprietà delle soluzioni 323 9.2 Soluzioni deboli 326 9.2.1 Esempio di Tanaka 326 9.2.2 Esistenza: il problema delle martingale 327 9.2.3 Unicità 330 9.3 Stime massimali 332 9.3.1 Stime massimali per martingale 333 9.3.2 Stime massimali per diffusioni 336 9.4 Formule di rappresentazione di Feynman-Kac 338 9.4.1 Tempo di uscita da un dominio limitato 340 9.4.2 Equazioni ellittico-paraboliche e problema di Dirichlet. 341 9.4.3 Equazioni di evoluzione e problema di Cauchy-Dirichlet 345 9.4.4 Soluzione fondamentale e densità di transizione 346 9.4.5 Problema con ostacolo e arresto ottimo 348 9.5 Equazioni stocastiche lineari 353 9.5.1 Condizione di Kalman 357 9.5.2 Equazioni di Kolmogorov e condizione di Hormander... 362 9.5.3 Esempi 365
Indice XI 10 Modelli di mercato a tempo continuo 367 10.1 Cambio di misura di probabilità 367 10.1.1 Martingale esponenziali 367 10.1.2 Teorema di Girsanov 370 10.2 Rappresentazione delle martingale Browniane 373 10.3 Valutazione 378 10.3.1 Misure martingale e prezzi di mercato del rischio 379 10.3.2 Esistenza di una misura martingala equivalente 382 10.3.3 Strategie ammissibili e arbitraggi 386 10.3.4 Valutazione d'arbitraggio 389 10.3.5 Formule di parity 391 10.4 Mercati completi 392 10.4.1 Caso Markoviano 394 10.5 Analisi della volatilità 397 10.5.1 Volatilità locale e volatilità stocastica 401 11 Opzioni Americane 407 11.1 Valutazione e copertura nel modello di Black&Scholes 407 11.2 Cali e put Americane nel modello di Black&Scholes 413 11.3 Valutazione e copertura in un mercato completo 416 12 Metodi numerici 421 12.1 Metodo di Eulero per equazioni ordinarie 421 12.1.1 Schemi di ordine superiore 425 12.2 Metodo di Eulero per equazioni stocastiche 426 12.2.1 Schema di Milstein 429 12.3 Metodo delle differenze finite per equazioni paraboliche 430 12.3.1 Localizzazione 430 12.3.2 ^-schemi per il problema di Cauchy-Dirichlet 432 12.3.3 Problema a frontiera libera 437 12.4 Metodo Monte Carlo 438 12.4.1 Simulazione 441 12.4.2 Calcolo delle greche 443 12.4.3 Analisi dell'errore 444 13 Introduzione al calcolo di Malliavin 447 13.1 Derivata stocastica 448 13.1.1 Esempi 450 13.1.2 Regola della catena 452 13.2 Dualità 456 13.2.1 Formula di Clark-Ocone 459 13.2.2 Integrazione per parti e calcolo delle greche 460 13.2.3 Altri esempi 465
XII Indice Appendice 469 A.l Teoremi di Dynkin 469 A.2 Topologie e «r-algebre 473 A.3 Generalizzazioni del concetto di derivata 475 A.3.1 Derivata debole in IR 476 A.3.2 Spazi di Sobolev e teoremi di immersione 479 A.3.3 Distribuzioni 480 A.3.4 Mollificatori 485 A.4 Trasformata di Fourier 487 A.5 Convergenza di variabili aleatorie 490 A.5.1 Funzione caratteristica e convergenza 491 A.5.2 Uniforme integrabilità 495 A.6 Separazione di convessi 497 Bibliografia 499 Indice analitico 511