I costi. Costi economici vs. costi contabili

I costi Costi economici vs. costi contabili I costi economici connessi alla produzione di una certa quantità di output Y includono tutte le spese per i fattori produttivi. In altre parole, i costi economici corrispondono al costo opportunità dell utilizzo dei fattori produttivi che vengono impiegati dall impresa. I costi contabili di produrre Y unità di output includono invece tutte le spese dell impresa indipendentemente dal fatto che i fattori che generano queste spese possano essere impiegati in un modo alternativo o no. Esempio I: Costi economici ai quali non corrisponde nessuna spesa. Si consideri un imprenditore che è già proprietario di un terreno e che decide di costruire un nuovo edificio dove situare gli uffici della sua impresa. L utilizzo del terreno per I costi 1

questo fine non genera nessuna spesa poichè il terreno è gia proprietà dell imprenditore. Ciò nonostante in termini economici l utilizzo del terreno non è senza costi: utilizzando il terreno per la sua impresa l imprenditore rinuncia all opportunità di affitare/vendere il terreno a qualcun altro. Perciò l affitto al quale l imprenditore rinuncia costituisce il costo economico di utilizzare il terreno per la propria impresa. Per ragioni analoghe anche il lavoro dell imprenditore pur essendo un fattore produttivo che non implica spese è un fattore produttivo che genera costi economici. Esempio II: Spese per fattori produttivi che non sono costi economici. Si consideri un imprenditore che ha firmato un contratto d affitto per un edificio per un intero anno. Se questo contratto non prevede nessuna possibilità di rescissione, allora l impresa dovrà sostenere la spesa (l affitto) per questo fattore produttivo indipendentemente dalle successive decisioni dell imprenditore. In particolare, l affitto dovrà essere pagato I costi 2

anche se l imprenditore decide di chiudere la sua attività e di non produrre niente durante l anno. In altre parole, le risorse che devono essere impiegate per sostenere la spesa per l affitto dell edificio sono fisse e non potranno mai essere impiegate in modo alternativo. Perciò la spesa per l affitto non deve essere considerata come costo economico per le decisioni di produzione che riguardano l orizzonte temporale del contratto d affitto. L esempio II evidenzia l importanza della distinzione tra il breve e il lungo periodo nello studio dei costi di produzione. Nel precedente capitolo abbiamo definito il lungo periodo come l orizzonte temporale abbastanza lungo da poter considerare tutti gli inputs come fattori produttivi variabili. Il fatto che tutti i fattori sono variabili vuol dire che il loro livello d impiego dipende dalle decisioni dell impresa. Perci{o nel lungo periodo le spese per tutti i fattori produttivi devono essere considerate come costi economici. Nel breve periodo invece certi fattori produttivi (per noi il capitale) non sono variabili. Ma se il livello I costi 3

di questi fattori non può essere cambiato allora la spesa per questi input non costituisce un costo economico per le decisioni di produzione che riguardano l orizzonte temporale durante il quale questi inputs sono fissati. I costi nel breve periodo La funzione dei costi di breve periodo indica per ogni livello di output il costo economico minimale per l impresa di produzione. Nel breve periodo il lavoro è l unico input variabile mentre il capitale è fisso. Supponiamo in particolare che il livello di capitale sia K. Se con questo livello di capitale (dato) l impresa vuole produrre Y unità di output deve impiegare almeno L(Y, K) unità di lavoro, dove L(Y, K) soddisfa l equazione o equivalentemente Y = F (L(Y, K), K) L(Y, K) = F 1 (Y, K). I costi 4

La seguente figura mostra la quantità di lavoro necessario per i due livelli di output Y 1 e Y 2 > Y 1 quando il capitale è fissato al livello K. K K F (L, K)=Y 2 L(Y 1, K)L(Y 2, K) F (L, K)=Y 1 L Se indichiamo il prezzo del lavoro (il salario) con w, la funzione dei costi di breve periodo C SR (Y, K) (SR=short run=breve periodo) è definita come C SR (Y, K) = wl(y, K). NB: Con questa definizione assumiamo implicitamente che il prezzo del lavoro non dipende dalla quantità di lavoro che l impresa compra (price taking sui mercati degli input). I costi 5

Il fatto che K appaia come argomento della funzione dei costi di breve periodo indica che i costi di breve periodo dipendono dalla quantità di capitale che è dato. Come possiamo vedere dalla seguente figura un maggiore livello di capitale implica che per ogni possibile livello di output (la figura considera solo il livello di output Y 1 ) è necessaria una minore quantità di lavoro. K K K F (L, K)=Y 1 L(Y 1, K) L(Y 1, K) L K > K L(Y 1, K) < L(Y 1, K) I costi 6

Se la quantità di lavoro necessaria per produrre Y unità di output è decrescente nella quantità di capitale disponibile, allora i costi di breve periodo devono essere più bassi per alti livelli di capitale: cioè per ogni Y abbiamo C SR (Y, K) = wl(y, K) > wl(y, K) = C SR (Y, K). Graficamente: C SR C SR (Y, K) C SR (Y, K) Y Anche se formalmente il costo di breve periodo dipende dal livello di capitale dato, ometteremo spesso (quando è chiaro a quale livello di capitale ci stiamo riferendo) l argomento K e scriveremo semplicemente C SR (Y ). I costi 7

Il costo marginale di breve periodo Il costo marginale di breve periodo al punto Y misura di quanto aumentano i costi all aumentare della produzione di un unità (infinitesimale). Formalmente, il costo marginale di breve periodo è definito come la derivata della funzione dei costi di breve periodo: MC SR (Y ) = dc SR(Y ) = w dl(y ) dy dy [ df 1 ] 1 (Y ) = w = w 1. dy MP L Da quest espressione vediamo che il costo marginale di breve periodo è strettamente legato alla produttività marginale del lavoro. L aumento dell output dovuto ad un aumento del lavoro, dl è dato da dy = MP L dl. I costi 8

Per cui sappiamo che la quantità aggiuntiva di lavoro necessaria per produrre un ulteriore unità di output (dy = 1) è dl = 1 MP L e la spesa generata da quest aumento del lavoro è wdl = w/mp L. La seguente figura mostra il costo marginale per una tecnologia che è caratterizzata da rendimenti marginali di lavoro decrescenti (MP L decrescente in L). MC SR Il costo marginale di breve periodo è crescente in questo caso: Y L MP L MC SR. I costi 9 Y

Il costo medio di breve periodo Il costo medio di breve periodo indica il livello di costi per unità di output. Formalmente AC SR (Y ) = C SR(Y ). Y Mentre il costo marginale al punto Y corrisponde alla pendenza della tangente della curva dei costi al punto Y, il costo medio è uguale alla pendenza del raggio che passa per la curva dei costi al punto Y : C SR (Y ) O b a Ȳ Ŷ Y I costi 10

Nel punto Ȳ il raggio che passa per il punto a ha una pendenza maggiore della tangente in quel punto. Partendo dalla quantità Ȳ il costo medio diminuisce fino al punto Ŷ (i raggi per quantità in questo intervallo sarebbero meno inclinati di quello per la quantità Ȳ ). Oltre il punto Ŷ invece il costo medio inizia a crescere. La ragione per la quale il costo medio è decrescente per quantità inferiori di Ŷ e crescente per quantità maggiori di Ŷ è che in quel punto il raggio che passa per il punto b e la tangente in quel punto coincidono: Il costo medio è decrescente finchè il costo marginale è inferiore al costo medio; quando invece il costo marginale è maggiore del costo medio quest ultimo deve essere crescente. Formalmente: dac SR (Y ) dy = d dy [ CSR (Y ) Y ] = MC SR(Y ) Y C(Y ) Y 2 = 1 Y [MC SR(Y ) AC SR (Y )] > 0 MC SR (Y ) > AC SR (Y ). I costi 11

Dalla discussione precedente segue che i costi medi (di breve periodo) raggiungono un minimo nel punto dove coincidono con i costi marginali (nella figura seguente il punto Ŷ ): MC SR (Y ) AC SR (Y ) Ŷ Y I costi 12

I costi nel lungo periodo Nel lungo periodo anche il capitale è un fattore produttivo variabile. Questo fatto ha due implicazioni importanti: i) Le risorse spese per il capitale diventano costi economici. Il prezzo di un unità di capitale è indicato con r; r rappresenta o il rental rate o la perdita di valore del capitale durante l orizzonte temporale che stiamo considerando (deprezzamento economico), nel caso in cui l impresa acquisti il capitale. ii) Avendo due fattori produttivi variabili a disposizione, nel lungo periodo l impresa deve decidere con quale combinazione di input vuole produrre il suo output. L obiettivo di ogni impresa è quello di produrre la quantità di output desiderata con la combinazione di input che genera i minori costi economici (efficienza economica nella produzione). I costi 13

Il problema della minimizzazione dei costi nel LR Il problema della minimizzazione dei costi dell impresa è tecnicamente simile al problema della massimizzazione dell utilità del consumatore. Nel caso del consumatore abbiamo seguito la seguente procedura. i) prima, abbiamo definito le preferenze del consumatore sull insieme dei panieri introducende la mappa di indifferenza; ii) poi abbiamo definito quali panieri sono ammissibili, cioè quali panieri il consumatore può acquistare, e particolare abbiamo introdotto il vincolo di bilancio; iii) infine, abbiamo individuato il paniere ottimale, cioè il paniere ammissibile (sulla retta di bilancio) che si trovava sulla curva di indifferenza più alta. I costi 14

Nell analisi del problema della minimizzazione dei costi da parte dell impresa procederemo in modo analogo. Inizieremo quindi a definire l analogo delle preferenze dell impresa sull insieme di tutte le combinazioni di input. Le linee di isocosto L obiettivo dell impresa è quello di produrre il suo output con una combinazione di input che genera i costi minori. In altre parole, l impresa vuole minizzare l espressione wl + rk. Graficamente le preferenze dell impresa possono essere rappresentate dalla mappa degli isocosti. La mappa di isocosto è l insieme di tutte le linee di isocosto. Esiste una linea di isocosto per ogni possibile livello dei costi. La linea di isocosto per il livello di costo C è l insieme di tutte le combinazioni di input (L, K) che generano questo livello di spesa, cioè l insieme di tutte le combinazioni di input che soddisfano l equazione C = wl + rk I costi 15

o equivalentemente K = C r w r L. Quest ultima espressione indica la quantità di capitale che l impresa può permettersi se sta già comprando L unità di lavoro e non vuole superare il livello di costo C. La seguente figura mostra le linee di isocosto per i due livelli di costo C e C > C. K C r C r pendenza= w r C w Da questa figura vediamo che le linee di isocosto sono parallele e che spostandoci verso destra (verso l alto) incontriamo linee di isocosto per livelli di costi sempre più alti. I costi 16 C w L

Per un impresa che vuole produrre una quantità di output Y l insieme di tutte le combinazioni ammissibili è dato dall isoquanto che corrisponde a questo livello di output. Tra tutte le combinazioni di input su questo isoquanto, l impresa preferisce quella che genera i minori costi. Perciò, la combinazione ottimale corrisponde a quel punto dell isoquanto che sta sulla linea di isocosto più bassa (come il punto A nella seguente figura). K K L A F (L,K)=Y L I costi 17

La precedente figura evidenzia che un punto ottimale (L, K ) per la produzione di Y unità di output soddisfa le due seguenti condizioni: i) (L, K ) è ammissibile: F (L, K ) = Y e ii) (L, K ) costituisce un punto di tangenza tra l isoquanto per il livello di output Y e la linea di isocosto alla quale (L, K ) appartiene: w r = MRT S(L, K ) = MP L(L, K ) MP K (L, K ). Interpretazione di ii): Il prezzo relativo w/r (che corrisponde al valore assoluto della pendenza della linea di isocosto) indica a quale tasso il mercato permette di sostituire il capitale con il lavoro mantenendo i costi costanti (per un ulteriore unità di lavoro l impresa deve spendere w; con w l impresa potrebbe comprare w/r unità di capitale; per cui se vuole aumentare il lavoro di un unità deve diminuire il capitale di w/r). Il MRTS invece indica a quale tasso la tecnologia di produzione permette all impresa di sostituire capitale con lavoro (se vuole tenere invariato l output). I costi 18

Nell ottimo questi due termini devono essere uguali perchè altrimenti l impresa potrebbe o aumentare l output senza dover spendere di più o ridurre i costi senza dover diminuire l output. Questo diventa ancor più chiaro se riscriviamo la condizione ii) nel seguente modo 1 w MP L(L, K ) = 1 r MP K(L, K ). Il lato sinistro di quest espressione indica il prodotto marginale dell ultima unità di denaro speso per il lavoro: con un unità di denaro si possono comprare 1/w unità di lavoro; questa quantità di lavoro produce (1/w)MP L unità di output). Il lato destro invece rappresenta il prodotto marginale dell ultimo euro investito in capitale. Supponiamo che il lato sinistro sia maggiore del lato destro. In questo caso l ultimo euro investito nel capitale produce meno dell ultimo euro speso per il lavoro. I costi 19

Se riduciamo la spesa per il capitale di un unità e utilizziamo queste risorse per comprare ulteriori unità di lavoro possiamo aumentare l output senza creare ulteriori costi. Ovviamente, se una tale operazione è possibile la situazione originale non poteva essere un ottimo. Variazioni dei prezzi degli input Come cambiano le quantità ottimali degli inputs (per un dato livello di output Y ) se il prezzo del lavoro (salario) aumenta da w a w? Dato che il valore assoluto della pendenza delle linee di isocosto è uguale al prezzo relativo w/r, un aumento del salario implica che l inclinazione delle linee di isocosto aumenta. La seguente figura mostra una situazione dove la combinazione di input A è la combinazione ottimale per i prezzi r e w. Il costo di produzione per questi prezzi è uguale a C. Dopo l aumento del salario l output Y non può più essere prodotto a un costo I costi 20

C (con un salario di w la linea di isocosto per il livello di costo C non ha nessun punto in comune con l isoquanto di Y ). K C r C r B A C w C w C w F (L, K) = Y L Dato il nuovo salario la spesa per gli inputs deve essere aumentata fino al livello C. La nuova combinazione ottimale degli input corrisponde al punto B. Possiamo notare che in seguito all aumento del salario l impresa sostituisce il lavoro che è diventato più caro con il capitale, il cui prezzo è rimasto invariato (B contiene meno lavoro e più capitale di A). I costi 21

Quest osservazione vale in generale. Quando il prezzo di uno dei due input aumenta, l impresa reagirà sostituendo il fattore che è diventato più caro con l altro. Variazioni del livello di output L insieme di tutte le combinazioni di input che sono ottimali per un qualche livello di output (tenendo fissi i prezzi degli input) costituisce il sentiero di espansione. K B A C Sentiero di espansione Y Y Y L I costi 22

La funzione dei costi nel lungo periodo Se indichiamo i livelli ottimali di lavoro e capitale per il livello di output Y rispettivamente con L(Y ) e K(Y ), allora il livello minimo dei costi per produrre Y è C LR (Y ) = wl(y ) + rk(y ). C LR (Y ) è la cosiddetta funzione dei costi di lungo periodo. Come per la funzione dei costi di breve periodo anche per quella di lungo periodo possiamo definire i costi marginali e i costi medi: MC LR (Y ) = dc LR(Y ) dy AC LR (Y ) = C LR(Y ) Y Anche in questo caso il punto di intersezione delle due curve (costi marginale e costi medi) è il minimo della curva dei costi medi. I costi 23

I costi nel lungo periodo e i rendimenti di scala La forma precisa della curva dei costi di lungo periodo dipende dalle proprietà della tecnologia di produzione. In particolare, dipende se la funzione di produzione è caratterizzata da rendimenti di scala crescenti, costanti o decrescenti. Caso I: Rendimenti di scala costanti. Rendimenti di scala costanti implicano che la curva dei costi di lungo periodo è una retta (che passa per l origine). C C(Y ) C(λY ) = λc(y ) C(Y ) Y λy Y I costi 24

Per dimostrare che rendimenti di scala costanti implicano costi marginali (e anche medi) costanti, possiamo mostrare che i costi aumentano in modo proporzionale rispetto alla quantità. Dato un qualsiasi livello di output Y, indichiamo la combinazione ottimale degli input con (L, K ). Per ogni λ > 1 la combinazione ottimale degli input per produrre un output pari a λy è (L λ, K λ ). Quindi possiamo concludere che C(λY ) = λc(y ). Il costo al punto Y è C(Y ) = wl + rk. Siccome la funzione di produzione è caratterizzata da rendimenti di scala costanti sappiamo che la combinazione (λl, λk ) permette all impresa di produrre λy unità di output. Per cui, C(λY ) non può essere superiore a w(λl ) + r(λk ) = λc(y ): C(λY ) λc(y ). Al contrario, se (L λ, K λ ) è una combinazione che permette la produzione di λy unità di output, allora deve essere possibile produrre Y con (L λ /λ, K λ /λ). I costi 25

Il costo di questa combinazione - C(λY )/λ - non può essere minore di C(Y ) (perchè C(Y ) è per definizione il minor costo necessario per produrre Y ); ergo C(λY )/λ C(Y ). Mettendo assieme le due disuguaglianze otteniamo il risultato desiderato C(λY ) = λc(y ). Caso II: Rendimenti di scala decrescenti. In questo caso, se vogliamo aumentare l output di un fattore λ > 1 non basta un aumento degli inputs di un pari ammontare. Gli input devono essere aumentati di un fattore maggiore di λ, quindi i costi aumenteranno più che proporzionalmente. C C(λY ) C(Y ) λc(y ) C(Y ) Y λy Y I costi 26

Nel caso di rendimenti di scala decrescenti i costi marginali sono crescenti nella quantità (produrre un ulteriore unità diventa sempre più costoso). Caso III: Rendimenti di scala crescenti. Applicando un ragionamento analogo a quello dei casi precedenti si può dimostrare facilmente che con una tecnologia con rendimenti di scala crescenti la curva dei costi deve essere concava come la curva nella seguente figura. I costi marginali in questo caso sono decrescenti. λc(y ) C(λY ) C(Y ) Y λy C(Y ) Y I costi 27