ROBERTO ACCA - BRUNO ARTUSO - CLAUDIA BEZZI Geometria 1 ISBN 978-88-268-1511-4 Edizione 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2009 2010 2011 2012 2013 Direzione Editoriale: Roberto Invernici Coordinamento Editoriale: Progetti di Editoria s.r.l. Redazione: Domenico Gesmundo, Mario Scalvini Progetto grafico: Ufficio Tecnico Atlas otocomposizione, impaginazione e disegni: GIERRE, Bergamo Copertina: avassori & avassori Illustrazioni: Bruno Dolif Stampa: L.E.G.O. S.p.A. - icenza Con la collaborazione della Redazione e dei Consulenti dell'i.i.e.a. L'editore si impegna a mantenere invariato il contenuto di questo volume, secondo le norme vigenti. Si ringraziano le prof.sse Barbara anzani ed Elisabetta Zampiceni per la collaborazione editoriale. Il materiale illustrativo proviene dall'archivio iconografico Atlas. L'editore eá a disposizione degli aventi diritto non potuti reperire. Le fotocopie per uso personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall'art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n. 633. Le riproduzioni effettuate per finalitaá di carattere professionale, economico o commerciale o comunque per uso diverso da quello personale possono essere effettuate a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana n. 108, Milano 20122, e-mail segreteria@aidro.orge sito web www.aidro.org Il peso di questo volume rientra nei limiti suggeriti dall'associazione Italiana Editori. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 24123 Bergamo - ia Crescenzi, 88 - Tel. (035) 249711 - ax (035) 216047 www.edatlas.it
2 PREAZIONE inalitaá Questo corso di matematica nasce da una pluriennale esperienza nella scuola, sia sotto il profilo dell'insegnamento che sotto quello della ricerca e dell'aggiornamento. Esso accoglie tutte le esigenze didattiche ed editoriali che il nuovo scenario della Scuola Italiana esige dall'insegnamento della matematica che ha assunto oggi ampie finalitaá educative e costituisce un momento importante nella formazione di ogni ragazzo. La scuola dell'autonomia e la didattica specifica della disciplina, infatti, valorizzano sempre di piuá il ruolo culturale e formativo della matematica, ponendola al centro del curriculum dello studente. In tale contesto, secondo le indicazioni ministeriali e le attese generali, un corso di matematica deve avere alcune caratteristiche indispensabili: l stimolare la comprensione e per questo deve essere scritto in un linguaggio chiaro, semplice, accattivante e soprattutto comprensibile per uno studente di etaá intorno agli 11-14 anni; l far capire percheâ gli strumenti della matematica sono indispensabili nell'affrontare e risolvere problemi; l essere ricco di esempi, dai piuá semplici che servono per imparare ad usare formule o comprendere concetti, a quelli piuá complessi nei quali le formule e i concetti "si applicano"; l proporre un abbondante repertorio di esercizi, opportunamente graduati e non banali, che stimolino il ragionamento e la riflessione; l utilizzare gli strumenti che la tecnologia informatica mette a disposizione della didattica; l mettere in grado lo studente di autovalutare la propria preparazione, di capire gli errori che commette, in modo da renderlo consapevole delle proprie abilitaá e competenze. Struttura Il corso "a scuola di matematica" eá un progetto didattico che favorisce le esigenze legate alla programmazione personale del Docente e tiene conto del problema del peso e del tetto di spesa, secondo le norme vigenti. Per questo si compone di due volumi di Aritmetica, tre di Geometria e uno di Algebra. Ogni volume si articola in capitoli. In ognuno di essi sono espressamente dichiarati i Prerequisiti necessari per affrontare consapevolmente e con successo gli argomenti contenuti e gli Obiettivi che si vogliono raggiungere, suddivisi in Conoscenze e AbilitaÁ. Ogni capitolo si apre con la rubrica Perche studiare... che, attraverso aneddoti e informazioni tratti dalla realtaá di tutti i giorni, ha lo scopo di trovare un collegamento tra i contenuti del capitolo e l'esperienza personale degli alunni. Contenuti e impostazione didattica Nella trattazione teorica si evidenzia la presenza di numerosi Esempi svolti ed Esercizi di verifica che, inseriti al termine di ogni paragrafo, sono volutamente di facile comprensione e soluzione. Il Docente puoá presentarli agli alunni subito dopo la spiegazione per l'accertamento delle conoscenze man mano acquisite. Ogni capitolo eá corredato da un vastissimo repertorio di esercizi, suddivisi in relazione alla scansione dei paragrafi della teoria e, per ciascun paragrafo, in due ulteriori categorie: l l Esercizi di Comprensione della teoria, spesso in forma di test a risposta multipla, di domande a risposta chiusa o di frasi di completamento: servono per verificare le conoscenze teoriche senza le quali non eá possibile applicare i concetti studiati. Esercizi di Applicazione, inseriti dopo quelli di comprensione, sotto forma di esercizi e problemi da svolgere: mirano a sviluppare le capacitaá logico-deduttive, ad acquisire nuove abilitaá di calcolo e ad applicare le procedure piuá adatte a risolvere un problema. Sono esercizi che normalmente vengono svolti a casa come studio individuale.
3 Tutti gli esercizi sono stati suddivisi in tre livelli di difficoltaá (ben riconoscibili dalla grafica) e comunque graduati all'interno di ciascun livello. Allo scopo di facilitare il processo di apprendimento nel testo sono presenti numerosi Esercizi guida, che permettono agli alunni di acquisire le principali tecniche risolutive e sono finalizzati alla comprensione e alla risoluzione delle diverse problematiche presenti. Ogni capitolo si conclude con la proposta di una serie di: l Esercizi di Autovalutazione suddivisi in due livelli: erifica delle conoscenze e erifica delle abilitaá. Tali esercizi possono essere utilizzati dallo studente per testare il proprio livello di apprendimento e diventano un valido strumento per la preparazione della prova di verifica. l AttivitaÁ di Recupero, sono esercizi che servono per puntualizzare e chiarire le nozioni minime di base che devono essere possedute da tutti gli alunni, anche quelli che presentano maggiori difficoltaá nell'apprendimento dei contenuti. A conclusione dell'attivitaá di recupero eá poi presente una scheda di alutazione del recupero per l'accertamento delle conoscenze e delle abilitaá. l AttivitaÁ di Consolidamento, sono esercizi volti a consolidare le conoscenze in precedenza acquisite e, suddivisi per livello di difficoltaá, rappresentano un utile banco di prova per verificare la propria preparazione. l AttivitaÁ di Potenziamento, sono esercizi destinati agli studenti piuá capaci che vogliono mettersi alla prova con esercizi piuá complessi e con proposte piuá creative. l Gare di matematica, sono esercizi assegnati nelle varie competizioni nazionali ed internazionali di matematica e, suddivisi in relazione alle scansioni dei contenuti dei testi, rappresentano un valido strumento per la valorizzazione delle eccellenze. Ogni volume si chiude con la presenza di un Archivio delle attivitaá che indica il percorso effettuato da ogni alunno nell'ambito di ogni capitolo. La raccolta dei risultati eá suddivisa per aree: esercizi, valutazione, individualizzazione e obiettivi. PuoÁ essere compilata direttamente dallo studente con la supervisione del Docente e puoá risultare un utile strumento di comunicazione con le famiglie. A completamento dei volumi di ogni anno eá disponibile on line, sul sito della casa editrice, un abbondante repertorio di esercizi che ripercorre i contenuti essenziali dei capitoli di ogni volume dell'opera. Ogni blocco eá strutturato secondo esercizi di conoscenza e di abilitaá (livello base, livello medio, livello avanzato). Informatica per la Matematica Alla luce delle moderne tecniche d'insegnamento un corso di matematica non puoá fare a meno della presenza parallela, teorica ed applicativa dell'informatica. In ogni volume, infatti, eá presente una rubrica di informatica che tratta in modo completo ed articolato alcuni software didattici, quali Cabri GeÁomeÂtre II Plus ed Excel, che applicati ai capitoli di geometria ed aritmetica, portano progressivamente gli alunni ad integrare e completare i processi di apprendimento. All'interno delle esercitazioni con Excel eá inoltre prevista una parte dedicata al linguaggio di programmazione isual Basic che consente di creare semplici procedure software ed algoritmi di calcolo, dalla fase di scrittura del testo sorgente (editing) fino all'esecuzione del programma. GLI AUTORI I testi dei Giochi Matematici che compaiono alla fine di ogni capitolo sotto la rubrica "Gare di Matematica" sono stati gentilmente forniti dal Centro Pristem-Eleusi dell'universitaá Bocconi di Milano e si riferiscono alle competizioni matematiche organizzate dallo stesso Centro.
4 ë 7.1 Angoli complementari, supplementari, esplementari 45 Matematica e storia Eratostene e la misura della Terra 46 1. La misura delle grandezze 1. Misurare una grandezza 10 1.1 Il sistema internazionale di misura 10 2. La misura della lunghezza 12 3. La misura della superficie 13 3.1 Le misure agrarie 14 4. La misura del volume 15 5. La misura della capacitaá 16 ë Matematica e scienza Relazione fra litri e decimetri cubi 16 6. La misura della massa 17 ë Matematica e scienza La massa e il peso di un corpo 18 7. Il peso specifico 19 7.1 I problemi con il peso specifico 20 8. La misura degli angoli 21 8.1 Le operazioni con le misure angolari 22 9. Le misure di tempo 24 9.1 Le operazioni con le misure di tempo 25 ë Matematica e geografia Le unitaá di misura anglosassoni 26 2. I primi elementi della geometria 1. Gli enti geometrici fondamentali 30 1.1 Il rapporto tra gli enti geometrici fondamentali 31 2. Gli assiomi della geometria 32 ë Approfondimenti Il piano cartesiano 34 3. La semiretta e il segmento 35 3.1 La distanza tra due punti 36 3.2 Il confronto tra due segmenti 37 3.3 Le operazioni con i segmenti 38 ë Approfondimenti Le coordinate cartesiane del punto medio di un segmento 38 4. Gli angoli 39 5. Angoli particolari 41 5.1 Angoli consecutivi, adiacenti e opposti al vertice 41 6. Il confronto fra due angoli 42 6.1 Le operazioni con gli angoli 43 6.2 La bisettrice di un angolo 44 7. Altri angoli particolari 45 3. PerpendicolaritaÁ e parallelismo 1. Le rette perpendicolari 50 2. Le rette parallele 51 3. I criteri di parallelismo 53 ë Matematica e storia Oltre la geometria euclidea 54 4. I poligoni 1. Le caratteristiche dei poligoni 58 1.1 Tipi di poligoni 59 1.2 Le diagonali di un poligono 60 2. Come risolvere un problema 61 ë Approfondimenti Spezzate e poligoni nel piano cartesiano 64 3. Le proprietaá dei poligoni 65 3.1 La relazione fra i lati di un poligono 65 3.2 La somma degli angoli interni di un poligono 66 3.3 La somma degli angoli esterni di un poligono 67 5. I triangoli 1. Gli elementi di un triangolo 70 2. La classificazione dei triangoli 71 3. Linee particolari e punti notevoli del triangolo 73 3.1 Le tre altezze e l'ortocentro 73 3.2 Le tre mediane e il baricentro 74 3.3 Le tre bisettrici e l'incentro 75 3.4 I tre assi e il circocentro 76 ë Approfondimenti La retta di Eulero 77 4. Linee e punti notevoli nei triangoli particolari 77 4.1 Triangolo isoscele 77 4.2 Triangolo equilatero 78 4.3 Triangolo rettangolo 78 5. La congruenza dei triangoli 79 5.1 I criteri di congruenza dei triangoli rettangoli 81
5 ë Matematica e geografia Come si costruisce una cartina geografica 83 6. I quadrilateri 1. Le caratteristiche generali di un quadrilatero 86 2. Il trapezio 87 3. Il parallelogrammo 89 4. Il deltoide 90 7. La circonferenza e il cerchio 1. La circonferenza e il cerchio 94 1.1 Le parti di una circonferenza 94 2. Le proprietaá della circonferenza 95 3. Le parti di un cerchio 96 4. Le condizioni per individuare una circonferenza 97 5. Le posizioni di una retta rispetto ad una circonferenza 98 6. Le posizioni di due circonferenze 100 7. Gli angoli al centro e alla circonferenza 102 8. Le relazioni tra gli angoli al centro e alla circonferenza 103 ë Approfondimenti L'angolo alla circonferenza e il corrispondente angolo al centro 104 8. I poligoni inscritti e circoscritti 1. I poligoni inscritti e circoscritti 108 1.1 I poligoni inscritti in una circonferenza 108 1.2 I poligoni circoscritti ad una circonferenza 108 1.3 I triangoli inscritti e circoscritti 109 1.4 I quadrilateri inscritti e circoscritti 109 2. I poligoni regolari 111 2.1 Osservazioni su alcuni poligoni regolari 112 2.2 La relazione tra il lato e l'apotema nei poligoni regolari 113 1. La misura delle grandezze Esercizi 116 erifica delle conoscenze 151 erifica delle abilitaá 152 AttivitaÁ di recupero 153 Scheda di valutazione del recupero 157 AttivitaÁ di consolidamento 158 AttivitaÁ di potenziamento 160 Gare di matematica 161 2. I primi elementi della geometria Esercizi 163 erifica delle conoscenze 180 erifica delle abilitaá 181 AttivitaÁ di recupero 182 Scheda di valutazione del recupero 185 AttivitaÁ di consolidamento 186 AttivitaÁ di potenziamento 188 Gare di matematica 189 3. PerpendicolaritaÁ e parallelismo Esercizi 190 erifica delle conoscenze 196 erifica delle abilitaá 197 AttivitaÁ di recupero 198 Scheda di valutazione del recupero 200 AttivitaÁ di consolidamento 201 AttivitaÁ di potenziamento 203 Gare di matematica 204 4. I poligoni Esercizi 205 erifica delle conoscenze 220 erifica delle abilitaá 221 AttivitaÁ di recupero 222 Scheda di valutazione del recupero 224 AttivitaÁ di consolidamento 225 AttivitaÁ di potenziamento 226 Gare di matematica 227
6 5. I triangoli Esercizi 228 erifica delle conoscenze 246 erifica delle abilitaá 247 AttivitaÁ di recupero 248 Scheda di valutazione del recupero 251 AttivitaÁ di consolidamento 252 AttivitaÁ di potenziamento 254 Gare di matematica 255 6. I quadrilateri Esercizi 256 erifica delle conoscenze 274 erifica delle abilitaá 275 AttivitaÁ di recupero 276 Scheda di valutazione del recupero 279 AttivitaÁ di consolidamento 280 AttivitaÁ di potenziamento 282 Gare di matematica 283 7. La circonferenza e il cerchio Esercizi 284 erifica delle conoscenze 301 erifica delle abilitaá 302 AttivitaÁ di recupero 303 Scheda di valutazione del recupero 306 AttivitaÁ di consolidamento 307 AttivitaÁ di potenziamento 309 Gare di matematica 311 8. I poligoni inscritti e circoscritti Esercizi 312 erifica delle conoscenze 324 erifica delle abilitaá 325 AttivitaÁ di recupero 326 Scheda di valutazione del recupero 329 AttivitaÁ di consolidamento 330 AttivitaÁ di potenziamento 332 Gare di matematica 333 1. La geometria con Cabri GeÂomeÁtre 1. La geometria con Cabri GeÂomeÁtre II Plus 334 2. I primi elementi con Cabri 1. Disegnare e spostare punti 337 2. Assegnare un nome agli oggetti 337 3. Cancellare gli oggetti inutili 338 4. Disegnare una retta 338 5. Disegnare le "rette intelligenti" 339 6. Disegnare segmenti 339 7. Calcolare la lunghezza di un segmento 340 8. Determinare il punto medio di un segmento 340 9. Determinare l'intersezione di due oggetti 341 10. Disegnare un angolo 341 11. Calcolare l'ampiezza di un angolo 342 12. Costruire la bisettrice di un angolo 342 13. erificare che gli angoli opposti al vertice sono congruenti 343 14. Determinare le coordinare di un punto nel piano cartesiano 343 Esercizi 344 3. Le rette nel piano con Cabri 1. Costruire la retta perpendicolare ad una retta data 345 2. Costruire la parallela per un punto ad una retta data 346 3. Calcolare la distanza di un punto da una retta 346 4. Determinare la distanza fra due rette parallele 346 5. Costruire gli angoli formati da due parallele e una trasversale 347 Esercizi 348 4. I poligoni con Cabri 1. Costruire un poligono 349
7 2. Calcolare il perimetro di un poligono 349 3. Calcolare la somma degli angoli interni di un pentagono 350 4. Calcolare la somma degli angoli esterni di un pentagono 350 5. Costruire un poligono regolare e determinare il numero delle diagonali 350 6. Determinare la distanza tra due punti in un piano cartesiano 351 Esercizi 352 8. I poligoni inscritti e circoscritti con Cabri 1. erificare le proprietaá dei poligoni inscritti 366 2. Costruire un poligono circoscritto 366 3. erificare che la somma degli angoli opposti di un quadrilatero inscritto eá pari ad un angolo piatto 367 4. erificare che la somma di due lati opposti di un quadrilatero circoscritto eá congruente alla somma degli altri due lati 367 Esercizi 368 5. I triangoli con Cabri 1. Costruire un triangolo isoscele e determinarne le proprietaá 353 2. Costruire un triangolo isoscele considerando la congruenza di due lati 353 3. erificare che la somma degli angoli interni di un triangolo eá pari ad un angolo piatto 354 4. Costruire un triangolo rettangolo partendo dai suoi cateti 354 5. Costruire il circocentro di un triangolo 355 Esercizi 356 6. I quadrilateri con Cabri 1. Costruire un parallelogrammo e memorizzare la costruzione in una macro 357 2. Costruire un rettangolo utilizzando la macro precedente 358 3. Costruire un rombo di lato AB assegnato 358 4. Costruire tutti i parallelogrammi 359 5. Costruire un quadrato 360 Esercizi 361 ë Prove Invalsi 369 ë Scheda archivio delle attivitaá - cap. 1 372 ë Scheda archivio delle attivitaá - cap. 2 373 ë Scheda archivio delle attivitaá - cap. 3 374 ë Scheda archivio delle attivitaá - cap. 4 375 ë Scheda archivio delle attivitaá - cap. 5 376 ë Scheda archivio delle attivitaá - cap. 6 377 ë Scheda archivio delle attivitaá - cap. 7 378 ë Scheda archivio delle attivitaá - cap. 8 379 ë Soluzioni schede di verifica 380 ë Soluzioni schede di valutazione del recupero 382 ë Soluzioni gare di matematica 383 ë Soluzioni prove Invalsi 384 7. La circonferenza e il cerchio con Cabri 1. Disegnare la circonferenza passante per tre punti 362 2. Costruire le rette tangenti ad una circonferenza 362 3. Memorizzare la macro delle rette tangenti ad una circonferenza 363 4. erificare le proprietaá degli angoli alla circonferenza e al centro 363 Esercizi 365
in dai tempi antichi l'uomo ha avuto l'esigenza di misurare. Con la nascita delle primitive cittaá iniziarono lentamente a concentrarsi le attivitaá produttive, come la tessitura delle fibre, la lavorazione dei metalli, la produzione della ceramica, la compravendita del sale. Lo sviluppo di queste iniziative fece sorgere una fitta rete di rapporti e scambi commerciali ed economici e quindi la necessitaá di disporre di punti di riferimento comuni per le caratteristiche piuá importanti delle merci di scambio. Nacquero cosõá i primi sistemi di misura di lunghezza, capacitaá e peso. Si cercarono, naturalmente, dei riferimenti che fossero facilmente ritrovabili ovunque e alla portata di tutti ed essendo gli uomini dotati di braccia, mani e piedi, le prime misure di lunghezza furono legate a parti del corpo umano. I cereali e i liquidi vennero invece quasi esclusivamente misurati in volume, mentre le misure di peso furono, all'inizio, riservate esclusivamente alla pesatura dell'oro. Ovviamente non tutte le dita, le mani e i piedi e i recipienti vari erano uguali fra loro ed eá immaginabile che
7 Conoscere le caratteristiche del sistema decimale e operare con esso 7 Conoscere le proprietaá delle quattro operazioni 7 Svolgere calcoli a mente ed in colonna con le quattro operazioni CONOSCENZE 7 I multipli e i sottomultipli del S.I. 7 Il concetto di peso specifico 7 I sistemi di misurazione non decimale ABILITAÁ 7 Trasformare una grandezza in un suo multiplo o sottomultiplo 7 Operare con grandezze omogenee espresse con ordine di grandezza diverso 7 Risolvere problemi inerenti al peso specifico 7 Operare con sistemi di misura non decimali giaá allora i furbi e i disonesti avessero buon gioco e che non mancassero liti e discussioni. Anche due libri sacri come la Bibbia e il Corano affrontarono questo problema. A tal riguardo nella Bibbia (Levitico) leggiamo che MoseÁ scrisse: "Non commetterete ingiustizie nei tribunali, neâ con misure di lunghezza, neâ con i pesi... avrete stadere giuste, pesi giusti... affincheâ i vostri giorni siano prolungati sulla terra che l'eterno vi daá ". Nel Corano invece troviamo: "Nel nome di Dio clemente e misericordioso, guai ai frodatori di peso, guai a coloro i quali, quando richiesti di una misura, la prendono piuá piccola e quando pesano o misurano (per vendere) agli altri, la prendono piuá grande". Col passare dei secoli le misure di lunghezza e di peso vennero definite con maggiore esattezza e si costruirono dei campioni di riferimento che, dotati del sigillo e del nome del signore del luogo, venivano depositati e custoditi, a cura dei sacerdoti, presso i templi sacri delle cittaá e riconosciuti da tutti gli abitanti. Alla fine del 17 mo secolo, soprattutto in Europa, si sentõá la necessitaá di dare a tutte le grandezze misurabili un comune denominatore, un'unificazione dei pesi e delle misure. A tal riguardo basteraá dire che nella sola Europa esistevano ben 22 diverse misure di peso e di lunghezza. Spesso per una stessa grandezza venivano utilizzate unitaá di misura diverse a seconda della materia misurata: grano, birra, profumi. Nacque cosõá il metro a cui eá legato il decimetro cubo che corrisponde al litro (vedi approfondimento) il quale, a sua volta puoá essere fatto corrispondere al chilogrammo.
10 1 Misurare una grandezza esercizi pag. 116 Per chiarire il significato di misura facciamo un esempio. Supponiamo di dover misurare il segmento rappresentato in figura 1. Se non disponiamo di particolari strumenti di misura possiamo sfruttare la quadrettatura del foglio e dire che AB misura 18 quadretti. Se invece possediamo un righello, dobbiamo confrontare il segmento con i centimetri che vi sono segnati: scopriamo che il centimetro "sta" 9 volte nel segmento. Concludiamo che il valore della misura eá 9 cm. Il termine grandezza in matematica indica tutto cioá che puoá essere misurato. igura 1 In generale possiamo dire che nel concetto di misura entrano in gioco tre fattori: a. la grandezza da misurare; b. l'unitaá di misura; c. il valore della misura. Definizione. Misurare una grandezza significa confrontarla con una grandezza dello stesso tipo, assunta come unitaá di misura, per stabilire quante volte quest'ultima eá contenuta nella grandezza che vogliamo misurare. Se per misurare lo stesso segmento avessimo utilizzato come unitaá di misura il millimetro, avremmo concluso che il valore della misura eá di 90 mm. Il valore numerico che esprime la misura della grandezza, quindi, dipende dall'unitaá di misura che si sceglie. E' ovvio che potremo confrontare fra loro solo grandezze che si riferiscono alla stessa caratteristica: cosõá, ad esempio la lunghezza di un temperino puoá essere messa in relazione alla lunghezza di un bastone, il peso di un cellulare con il peso di uno zaino, la superficie di una piastrella con la superficie di un campo di calcio. Diremo dunque che: Regola. Per essere confrontate tra loro due grandezze devono essere omogenee, ovvero della stessa natura. Se due grandezze sono tra loro omogenee saraá inoltre possibile sommarle o sottrarle ottenendo ancora una grandezza omogenea con le due iniziali. 1.1 Il sistema internazionale di misura Affinche le misure abbiano significato eá opportuno che le unitaá di misura siano le stesse in ogni parte del mondo e definite con grande precisione. Per questo motivo eá stato istituito un Sistema Internazionale delle unitaá di misura (abbreviato in S.I.) che stabilisce universalmente le sette unitaá di misura fondamentali. Grandezza UnitaÁ Simbolo Lunghezza metro m Massa Chilogrammo kg Tempo Secondo s IntensitaÁdi corrente elettrica Ampere A Temperatura termodinamica Kelvin K QuantitaÁdi materia Mole mol IntensitaÁluminosa Candela cd Bisogna prestare attenzione alla posizione dei simboli delle unitaá di misura. Le convenzioni internazionali stabiliscono che bisogna porre il simbolo sempre dopo il numero ad esso riferito: ad esempio 10 m e non m 10 a eccezione l'unitaá monetaria. E Á corretto scrivere E 10 000 con il simbolo E prima della cifra. Quando invece si utilizza la parola Euro si scrive dopo la cifra, ad esempio: 10 000 Euro.
11 Nel corso di questi tre anni di scuola utilizzeremo solo tre grandezze fondamentali: il metro, il secondo e il chilogrammo. edremo come molte delle altre grandezze utilizzate (ad esempio il litro) sono derivate da una delle grandezze fondamentali. Come abbiamo fatto per la costruzione dei numeri nel volume di Aritmetica 1, si eá stabilito di utilizzare il sistema decimale anche per la misura delle grandezze e per questo viene chiamato anche sistema metrico decimale (meâtron ˆ misura in greco). In esso i multipli procedono sempre di 10 in 10. Sono, cioeá, 10, 100, 1 000, 10 000... volte piuá grandi dell'unitaá di base. I sottomultipli, allo stesso modo, saranno 10, 100, 1 000, 10 000... volte piuá piccoli dell'unitaá di base (figura 2). igura 2 Ogni ordine di grandezza del sistema metrico decimale eá 10 volte piuá grande del precedente. Una direttiva CEE sancisce che dal 1 gennaio 1990 debbano essere impiegate in Italia solo misure del S.I. La tabella che segue riporta la successione delle denominazioni e dei simboli dei diversi ordini di grandezza relativi a multipli e sottomultipli del sistema metrico decimale in ordine decrescente. Per avere la denominazione completa devi aggiungere il nome dell'unitaá di misura. Ad esempio per la misura della lunghezza useremo il kilometro ˆ 1 000 metri; per la misura del peso useremo il kilogrammo ˆ 1 000 grammi (che nella forma italiana corrente diventano chilometro e chilogrammo). TABELLA GENERALE DEI MULTIPLI E DEI SOTTOMULTIPLI DEL SISTEMA INTERNAZIONALE Nome Simbolo attore moltiplicativo exa E 1000 000 000 000 000 000 1 miliardo di miliardi peta P 1000 000 000 000 000 1 milione di miliardi tera T 1000 000 000 000 1000 miliardi giga G 1000 000 000 1 miliardo mega M 1000 000 1 milione chilo k 1000 mille etto h 100 cento deca da 10 dieci unitaá u 1 uno deci d 0,1 1 decimo centi c 0,01 1 centesimo milli m 0,001 1 millesimo micro 0,000 001 1 milionesimo nano n 0,000 000 001 1 miliardesimo pico p 0,000 000 000 001 0,001 miliardesimi femto f 0,000 000 000 000 001 1 milionesimo di miliardesimo atto a 0,000 000 000 000 000 001 1 miliardesimo di miliardesimo
12 Quali delle seguenti affermazioni sono vere e quale eá falsa: a. l'altezza di una persona e la lunghezza di una riga sono grandezze omogenee b. lo spessore di un tubo e il suo volume non sono grandezze omogenee c. la superficie di una stanza e la distanza tra le due pareti sono grandezze omogenee. Associa gli elementi della prima riga con i rispettivi simboli della seconda riga: a. metro b. micro c. nano d. secondi e. chilogrammi f. mega g. exa h. pico 1. n 2. s 3. kg 4. p 5. 6. E 7. M 8. m Il termine giga corrisponde a: a. 1 000 miliardi; b. 1 miliardesimo; c. 1 miliardo; d. 1 milione di miliardi. Quale delle seguenti scritture esprime grandezze in ordine crescente? a. giga, exa, pico, nano; b. pico, giga, exa, nano; c. etto, mega, tera, exa; d. deci, micro, femto, atto. 2 La misura della lunghezza esercizi pag. 118 L'unitaÁ di misura base della lunghezza eá il metro (simbolo m). In origine venne definito come «La quarantamilionesima parte del meridiano terrestre», ma con il passare degli anni si eá sentita la necessitaá di avere un riferimento sempre piuá preciso. Per questo motivo nel 1983 durante la Conferenza Generale dei Pesi e delle Misure, tenutasi a Parigi, si adottoá la seguente nuova definizione: Definizione. Il metro eá definito come la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo pari a di secondo. 1 299792458 Questa nuova definizione eá "piuá facile" da utilizzare in quanto si ritiene che la velocitaá della luce nel vuoto sia una costante universale; in questo modo, qualunque laboratorio della Terra puoá sempre riprodurre con grandissima precisione il metro campione. Le unitaá di misura della lunghezza procedono per multipli e sottomultipli di 10 secondo lo schema rappresentato nella seguente tabella. SCHEMA DEI MULTIPLI E DEI SOTTOMULTIPLI DEL METRO Multipli Sottomultipli UnitaÁ di misura Simbolo Equivalenze in metri Chilometro km 1kmˆ 10 hm ˆ 100 dam ˆ 1000 m Ettometro hm 1hmˆ 10 dam ˆ 100 m Decametro dam 1 dam ˆ 10 m Metro m UnitaÁ base Decimetro dm 1dmˆ 0,1 m Centimetro cm 1cmˆ 0,1 dm ˆ 0,01 m Millimetro mm 1mmˆ 0,1 cm ˆ 0,01 dm ˆ 0,001 m Un errore frequente nella soluzione delle equivalenze eá non riconoscere con precisione il numero di salti da compiere e pertanto il numero di zeri da considerare. Per ovviare a tale inconveniente puoá essere utile fare la suddivisione in cifre; cosõá ad esempio 25,7 dm corrisponde a: 2m 5dm 7cm Se, ad esempio, devo trasformare la misura in questione in hm devo considerare uno 0 per i dam e uno 0 per gli hm. Pertanto: 25,7 dm ˆ 0,0257 hm.
13 Nelle equivalenze, per trasformare una misura da una unitaá ad un'altra multipla della prima, si divide per 10, 100, 1000... iceversa per trasformare una unitaá in un'altra sottomultipla della prima si moltiplica per 10, 100, 1000... Osserva i seguenti esempi. 25,7 dm ˆ 0,0257 hm; 18 000 cm ˆ 1,8 hm; 0,031 km ˆ 31 000 mm. : 1000 : 10000 1000000 Rispondi alle seguenti domande: a. a quanti dam corrisponde 1 cm? b. a quanti hm corrisponde 1 km? c. a quanti m corrisponde 1 mm? Completa le seguenti equivalenze relative a misure di lunghezza. a. 35 m ˆ... cm; b. 47 dm ˆ... m; c. 8 dam ˆ... cm. a. 34 hm ˆ... km; b. 8 500 mm ˆ... dam; c. 349 m ˆ... hm. igura 3 3 La misura della superficie esercizi pag. 122 L'unitaÁ di misura base di superficie eá il metro quadrato (simbolo m 2 o mq), definito come la superficie di un quadrato con il lato lungo un metro (figura 3). Il metro quadrato eá un'unitaá di misura derivata percheâ si ricava dal metro. Osservando attentamente la tabella dei multipli e dei sottomultipli del metro quadrato, notiamo che per eseguire le equivalenze, cioeá per trasformare una unitaá in un'altra, multipla della prima, occorre dividere per 100, 10 000, 1 000 000, etc., mentre per trasformare una unitaá in un'altra sottomultipla della prima, occorre moltiplicare per 100, 10 000, 1 000 000, etc. SCHEMA DEI MULTIPLI E DEI SOTTOMULTIPLI DEL METRO QUADRATO UnitaÁ di misura Simbolo Equivalenze in metri quadrati Multipli Chilometro quadrato km 2 1km 2 ˆ 100 hm 2 ˆ 10000 dam 2 ˆ 1000000 m 2 Ettometro quadrato hm 2 1hm 2 ˆ 100 dam 2 ˆ 10000 m 2 Decametro quadrato dam 2 1 dam 2 ˆ 100 m 2 Metro quadrato m 2 UnitaÁ di base Sottomultipli Decimetro quadrato dm 2 1dm 2 ˆ 0,01 m 2 Centimetro quadrato cm 2 1cm 2 ˆ 0,01 dm 2 ˆ 0,0001 m 2 Millimetro quadrato mm 2 1mm 2 ˆ 0,01 cm 2 ˆ 0,0001 dm 2 ˆ 0,000001 m 2 Per spiegarne il motivo riconsideriamo la definizione di metro quadrato e disegniamolo dividendo i suoi lati in 10 parti (rivedi la figura 3). Abbiamo cosõá ot-
14 tenuto 100 quadratini, ciascuno dei quali ha il lato lungo 1 dm (cioeá area uguale a 1 dm 2 ). Possiamo quindi dire che: 1m 2 ˆ 100 dm 2. Se volessimo suddividere ulteriormente i lati di ogni quadratino di 1 dm 2 in altri 100 quadratini, otterremmo un totale di 100 100 ˆ 10000 quadratini, ciascuno dei quali ha il lato lungo 1 cm; pertanto: 1dm 2 ˆ 100 cm 2 e 1 m 2 ˆ 100 dm 2 ˆ 10000 cm 2 Per trasformare 25400 m 2 in hm 2 dobbiamo effettuare la scomposizione in cifre a gruppi di due da sinistra: 00 m 2 54 dam 2 2hm 2 pertanto: 25400 m 2 ˆ 2,54 hm 2 25400 m 2 ˆ 2,54 hm 2 ; 0,00235 km 2 ˆ 23500000 cm 2 ; 35 m 2 ˆ 35000000 mm 2. : 10000 10000000000 1000000 3.1 Le misure agrarie Per la misurazione dei terreni agricoli vengono utilizzate altre unitaá di misura che derivano dalle misure di superfici: l'unitaá base eá l'ara. SCHEMA DELLE MISURE AGRARIE UnitaÁ di misura Simbolo Equivalenze in metri quadrati Multipli Ettaro ha 1haˆ 1hm 2 ˆ 100 dam 2 ˆ 10000 m 2 ˆ 100 a UnitaÁ base Ara a 1aˆ 1 dam 2 ˆ 100 m 2 Sottomultipli Centiara ca 1caˆ 1m 2 ˆ 0,01 a 25 ha ˆ 2 500 a; 35 628 ca ˆ 356,28 a; 0,48 ha ˆ 4 800 ca. 100 : 100 10000 Rispondi alle seguenti domande: a. a quanti m 2 corrisponde 1 cm 2? b. A quanti dam 2 corrisponde 1 km 2? c. A quanti dm 2 corrisponde 1 mm 2? Completa le seguenti equivalenze relative a misure di superficie. a. 3,52 m 2 ˆ :::::::::: mm 2 ; b. 47000 dm 2 ˆ :::::::::: m 2 ; c. 0,17 dam 2 ˆ :::::::::: cm 2. a. 54 hm 2 ˆ :::::::::: km 2 ; b. 8100 mm 2 ˆ :::::::::: dm 2 ; c. 3m 2 ˆ :::::::::: hm 2. Rispondi alle seguenti domande: a. qual eá l'unitaá di misura base delle misure agrarie? b. Quali sono i multipli e i sottomultipli delle misure agrarie?
15 c. A quanti metri quadrati equivale l'ettaro? d. A quanti metri quadrati equivalgono 100 centiare? e. Quanti ettari occorrono per formare un chilometro quadrato? Completa le seguenti equivalenze relative a misure agrarie: a. 6,3 ha ˆ ::::: hm 2 ; b. 1432 ca ˆ ::::: a; c. 715,31 a ˆ ::::: m 2 : 4 La misura del volume esercizi pag. 126 L'unitaÁ di misura base del volume eá il metro cubo (simbolo m 3 o mc) definito come il volume di un cubo che ha lo spigolo lungo 1 m (figura 4). Anche il metro cubo eá una unitaá di misura derivata dal metro. Osservando attentamente la tabella dei multipli e dei sottomultipli del metro cubo, notiamo che per passare da una unitaá ad un'altra, multipla della prima, occorre dividere per 1 000, 1 000 000, 1 000 000 000, etc, mentre per trasformare una unitaá in un'altra sottomultipla della prima, occorre moltiplicare per 1 000, 1 000 000, 1 000 000 000, etc. igura 4 SCHEMA DEI MULTIPLI E DEI SOTTOMULTIPLI DEL METRO CUBO UnitaÁ di misura Simbolo Equivalenza in metri cubi Multipli Sottomultipli Chilometro cubo km 3 1km 3 ˆ 1000 hm 3 ˆ 1000 000 dam 3 ˆ 1000 000 000 m 3 Ettometro cubo hm 3 1hm 3 ˆ 1000 dam 3 ˆ 1000 000 m 3 Decametro cubo dam 3 1 dam 3 ˆ 1000 m 3 Metro cubo m 3 UnitaÁ base Decimetro cubo dm 3 1dm 3 ˆ 0,001 m 3 Centimetro cubo cm 3 1cm 3 ˆ 0,001 dm 3 ˆ 0,000001 m 3 Millimetro cubo mm 3 1mm 3 ˆ 0,001 cm 3 ˆ 0,000001 dm 3 ˆ 0,000000001 m 3 Per spiegarne il motivo riprendiamo la definizione di metro cubo e disegniamolo dividendo i suoi spigoli in 10 parti (rivedi la figura 4). Abbiamo ottenuto 10 strati da 100 cubetti ciascuno, cioeá complessivamente 1 000 cubetti, ognuno dei quali ha lo spigolo lungo 1 dm (cioeá volume uguale a 1 dm 3 ), pertanto: 1m 3 ˆ 1000 dm 3. 5dm 3 ˆ 0,005 m 3 ; 9 000 m 3 ˆ 9 dam 3 ; 0,0006 hm 3 ˆ 600 000 dm 3. : 1000 : 1000 1000000000 Rispondi alle seguenti domande: a. a quanti m 3 corrisponde 1 cm 3? b. A quanti m 3 corrisponde 1 hm 3? c. A quanti cm 3 corrisponde 1 mm 3?
16 Completa le seguenti equivalenze relative a misure di volume. a. 58 m 3 ˆ... cm 3 ; b. 37 500 dm 3 ˆ... m 3 ; c. 0,187 dam 3 ˆ... dm 3. a. 249 hm 3 ˆ... km 3 ; b. 9 200 mm 3 ˆ... dm 3 ; c. 3m 3 ˆ... cm 3. 5 La misura della capacitaá esercizi pag. 128 Nella tabella delle sette unitaá di misura fondamentali (vedi paragrafo 1.1) non esiste alcuna misura relativa alla capacitaá. Il motivo di cioá eá legato al fatto che l'unitaá di misura della capacitaá eá il litro (simbolo `), che corrisponde al volume di un decimetro cubo ed eá quindi un'unitaá di misura derivata dal metro (vedi approfondimento a fondo pagina). SCHEMA DEI MULTIPLI E DEI SOTTOMULTIPLI DEL LITRO Multipli Sottomultipli UnitaÁ di misura Simbolo Equivalenze in litri Kilolitro kl 1klˆ 10 hl ˆ 100 dal ˆ 1000 ` Ettolitro hl 1hlˆ 10 dal ˆ 100 ` Decalitro dal 1 dal ˆ 10 ` Litro ` UnitaÁ base Decilitro dl 1dlˆ 0,1 ` Centilitro cl 1clˆ 0,1 dl ˆ 0,01 ` Millilitro ml 1mlˆ 0,1 cl ˆ 0,01 dl ˆ 0,001 ` Nelle equivalenze con le misure di capacitaá devi prestare attenzione al fatto che i multipli e i sottomultipli si ottengono dividendo o moltiplicando per 10, 100, 1 000. Un errore frequente eá considerare anche per la misura di capacitaá salti formati da tre cifre. Ad esempio: 0,5 ` ˆ 5dl e non 500 dl. Per quanto riguarda le equivalenze ricordiamo solo che ogni unitaá corrisponde a 10 unitaá dell'ordine inferiore e ci limitiamo a fare alcuni esempi. 12 ` ˆ 12 000 ml; 0,00037 hl ˆ 37 ml; 15 dl ˆ 0,15 dal. 1000 100000 : 100 Relazione fra litri e decimetri cubi Spesso, nella vita di tutti i giorni, sentiamo parlare indifferentemente di capacitaá odivolumediunrecipiente. Benche volume e capacitaá misurino la stessa grandezza, definiamo il volume come lo spazio occupato dal corpo stesso, considerato quindi pieno; la capacitaá come la quantitaá di liquido che puoá essere contenuta in un corpo, considerato cavo o vuoto. Diciamo infatti: "questa lattina contiene 33 cl di bevanda" o, che eá lo stesso, "la capacitaá di questa lattina eá 33 cl". In termini piuá scientifici avremmo dovuto dire: "il volume di questa lattina eá di 330 cm 3 ". In questa scheda vogliamo proporre i ragionamenti che portano a collegare fra loro due unitaá di misura (litro e metro cubo) apparentemente diverse. Prendi un cartoncino piuttosto spesso e impermeabile dalle dimensioni minime di 25 cm 50 cm e dise-
17 gna su di esso la figura 5 che rappresenta lo sviluppo di un cubo (senza coperchio superiore) con volume di 1 dm 3. igura 5 Con un paio di forbici taglia il contorno della figura; piega quindi le linguette ed unisci con della colla le linguette con i lati corrispondenti (indicati con lo stesso numero). Quando la colla eá asciutta, ripassa gli spigoli con dello scotch adesivo in modo da ridurre al minimo le perdite di acqua. Riempi fino all'orlo il cubo con un liquido qualsiasi (per comoditaá potrebbe essere acqua). ersa ora il liquido contenuto nel cubo all'interno di una bottiglia da litro (o meglio in un cilindro graduato). Se hai svolto correttamente tutta la procedura ti accorgi della corrispondenza esatta tra 1 dm 3 e1`. L'uguaglianza 1 dm 3 ˆ 1` puoá essere estesa ovviamente anche ai multipli e ai sottomultipli. In particolare, 1m 3 ˆ 1kl e 1cm 3 ˆ 1ml: Completa le seguenti equivalenze relative a misure di capacitaá. a. 34 hl ˆ... `; b. 345 cl ˆ... dal; c. 56 800 ml ˆ... dl. a. 0,035 kl ˆ... cl; b. 6,78 ` ˆ... ml; c. 5 893 cl ˆ... dal. Rispondi alle seguenti domande: a. a quanti dm 3 corrispondono 10 dl? b. A quanti m 3 corrispondono 100 `? c. A quanti cm 3 corrispondono 100 ml? 6 La misura della massa esercizi pag. 132 Iniziamo lo studio sulla misura della massa partendo dalla sua definizione: Definizione. La massa di un corpo eá la quantitaá di materia in esso contenuta indipendentemente dalla posizione. Nella tabella delle sette unitaá di misura fondamentali (paragrafo 1) abbiamo riportato che la massa di un corpo si misura in kg. Nell'uso comune la parola massa eá sostituita dalla parola "peso". In realtaá massa e peso di un corpo esprimono due grandezze diverse (vedi approfondimento di pagina seguente). Poiche sulla Terra i due valori si discostano uno dell'altro di pochissimo, possiamo stabilire di utilizzare indifferentemente i due termini. ino a qualche tempo fa il chilogrammo era definito come «il peso di un volume di un decimetro cubo di acqua distillata alla temperatura di 4 C». Il Sistema Internazionale di misura ha adottato la seguente definizione: Nello svolgere le equivalenze devi prestare attenzione al fatto che tra kg e q vi eá un salto di due posti. Questo salto eá in realtaá occupato dai miriagrammi ma tale unitaá di misura eá praticamente inutilizzata: 1 miriagrammo ˆ 10 kg ˆ 0,1 q Definizione. Il chilogrammo eá definito come il peso del prototipo di platinoiridio conservato a SeÁvres in rancia. acendo riferimento alla tabella di pagina seguente notiamo che per passare da una unitaá ad un'altra, multipla della prima, eá necessario dividere la prima per 10, 100, 1 000, etc., mentre per passare da una unitaá ad un'altra, sottomultipla della prima, eá necessario moltiplicare la prima per 10, 100, 1 000, etc. Sempre riguardo ai pesi, sentiamo spesso parlare di quintali (100 kg) e di tonnellate (1 000 kg). Queste misure pur essendo ancora usate non hanno alcun
18 valore per legge. Il modo corretto di esprimersi eá quello di sostituire ai quintali le centinaia di kg e alle tonnellate i megagrammi (equivalente a 1 000 000 di grammi, ovvero a 1 000 kg). SCHEMA DEI MULTIPLI E DEI SOTTOMULTIPLI DEL CHILOGRAMMO Multipli Sottomultipli UnitaÁ di misura Simbolo Equivalenza in chilogrammi Megagrammo (tonnellata) Mg (t) 1Mgˆ 1000 kg Quintale q 1 q ˆ 100 kg Chilogrammo kg UnitaÁ base Ettogrammo hg 1 hg ˆ 0,1 kg Decagrammo dag 1 dag ˆ 0,1 hg ˆ 0,01 kg Grammo g 1gˆ 0,1 dag ˆ 0,01 hg ˆ 0,001 kg Decigrammo dg 1dgˆ 0,1 g ˆ 0,01 dag ˆ 0,001 hg ˆ 0,0001 kg Centigrammo cg 1cgˆ 0,1 dg ˆ 0,01 g ˆ 0,001 dag ˆ 0,0001 hg ˆ 0,00001 kg Milligrammo mg 1mgˆ 0,1 cg ˆ 0,01 dg ˆ 0,001 g ˆ 0,0001 dag ˆ 0,00001 hg ˆ ˆ 0,000001 kg 280 g ˆ 28 000 cg; 67 kg ˆ 67 000 g; 102 dg ˆ 0,102 hg. 100 1000 : 1000 La massa e il peso di un corpo La forza peso esprime una grandezza in relazione con la gravitaá della Terra e si misura con il dinamometro. Questo strumento consiste in un cilindro graduato che contiene una molla cui si collega, tramite un gancio, il peso da misurare. L'allungamento della molla, provocato dall'attrazione di gravitaá esercitata dalla Terra sull'oggetto, indica sulla scala graduata il peso del corpo. Se fossimo in grado di ripetere la misura in un altro punto dell'universo, troveremmo misure diverse (un peso di 50 kg sulla Terra corrisponde a circa 8,3 kg sulla Luna). Approssimativamente possiamo dire che sulla Terra la massa di un corpo e il suo peso vengono descritti dallo stesso numero. Dobbiamo peroá tenere presente che anche sulla Terra il valore numerico varia a seconda della posizione (un peso di 50 kg misurato a Roma corrisponde a 49,9 kg sul Monte Bianco, a 50,1 kg al Polo Nord e a 12,5 kg ad una distanza di 6 400 km dalla Terra). Nella pratica quotidiana spesso usiamo il kg-peso per indicare in realtaá il kg-massa: quando diciamo "Luigi pesa 35 kg", intendiamo dire che Luigi eá attratto dal pianeta Terra con una forza di 35 kg, ma piuá correttamente dovremmo dire che "la massa di Luigi eá 35 kg". Sulla Luna invece il peso di Luigi eá di circa 6 kg (mentre la sua massa resta 35 kg).
19 Completa le seguenti equivalenze relative a misure di peso. a. 15 dag ˆ... cg; b. 0,0056 mg ˆ... g; c. 4Mgˆ... hg. a. 56 dg ˆ... cg; b. 456 g ˆ... kg; c. 56 832 dg ˆ... hg. 7 Il peso specifico esercizi pag. 135 Nel definire le unitaá di misura della massa (paragrafo 6) abbiamo detto che 1 dm 3 di acqua distillata a 4 C pesa 1 kg. Se consideriamo ora tre cubi composti da tre sostanze diverse ma con volume uguale a 1 dm 3 e misuriamo i loro pesi avremo i seguenti valori: l 1dm3 di ferro! pesa 7,8 kg l 1dm3 di piombo! pesa 11,35 kg l 1dm3 di ghiaccio! pesa 0,88 kg Ogni sostanza, a paritaá di volume, ha un suo peso caratteristico che prende il nome di peso specifico (lo indichiamo con Ps). Possiamo quindi dire che: Definizione. Il peso specifico di una sostanza eá il peso per unitaá di volume della sostanza stessa ovvero il rapporto fra peso (in kg) e volume (in dm 3 ); in simboli: Ps ˆ P : Nella tabella seguente sono riportati i pesi specifici di alcuni elementi e materiali tra i piuá comuni. Quando diciamo che il peso specifico del vetro eá 2,5 intendiamo dire che: l 1dm3 di vetro! pesa 2,5 kg
20 l 1cm3 di vetro! pesa 2,5 g l 1m3 di vetro! pesa 2,5 Mg (2 500 kg) Esiste dunque una corrispondenza tra l'unitaá di misura del volume e quella del peso. Ricordando anche (paragrafo 5) che la capacitaá eá un volume, possiamo codificare in una tabella le equivalenze tra volume, capacitaá e peso. OLUME CAPACITAÁ PESO cm 3 Millilitri (ml) Grammi (g) dm 3 Litri (`) Chilogrammi (kg) m 3 Kilolitri (kl) Megagrammi (Mg) Per non confondersi nell'uso della tabella basta pensare a quanto corrispondono le grandezze in gioco. Quando parliamo di cm 3 (o di ml) stiamo trattando oggetti con un volume paragonabile a un polpastrello del tuo dito, un anello, una gomma; eá quindi abbastanza ovvio considerare il grammo come unitaá di misura del peso. Se l'unitaá del volume eá il dm 3 (oppure il litro) stiamo considerando un oggetto grande come una bottiglia ed eá quindi ragionevole assegnare un peso espresso in kg. Un errore frequente nella soluzione dei problemi eá quello di non assegnare la corretta unitaá di misura alla grandezza. La tabella precedente evita questo errore. Devi dunque ricordare l'unitaá di misura relativa alla grandezza da calcolare: dm 3! volume kg! peso 7.1 I problemi con il peso specifico Nei problemi relativi al peso specifico entrano in gioco tre grandezze: volume (), peso (P) e peso specifico (Ps) legati fra loro dalla formula Ps ˆ P :. Da questa eá possibile dedurre le seguenti regole inverse: Regola. Il peso di un corpo si ricava moltiplicando il suo volume () per il relativo peso specifico (Ps); in simboli: P ˆ Ps Regola. Il volume di un corpo si ricava dividendo il suo peso (P) per il relativo peso specifico (Ps); in simboli: ˆ P : Ps Ai cm 3 corrispondono i g essendo il cm 3 la millesima parte del dm 3 e il grammo la millesima parte del kg; ai m 3 corrispondono i megagrammi in quanto il m 3 eá mille volte il dm 3 e il megagrammo eá mille volte il kg. Calcoliamo il peso specifico di un corpo sapendo che 0,56 dm 3 pesano 4,984 kg. Per calcolare il peso specifico dobbiamo trovare il peso di 1 dm 3 di volume, pertanto basta dividere il peso per il volume cioeá: Ps ˆ 4,984 : 0,56 ˆ 8,9: Calcoliamo il peso di una statua di bronzo Ps ˆ 8,75 che ha il volume di 460 dm 3. Sappiamo che 1 dm 3 di bronzo pesa 8,75 kg pertanto, per calcolare il peso di 460 dm 3 della stessa sostanza, dovremo moltiplicare il peso di 1 dm 3 per il numero di dm 3 cioeá: P ˆ 460 8,75 kg ˆ 4025 kg: Calcoliamo il volume di un oggetto d'argento Ps ˆ 10,50 che pesa 21 g. Per calcolare il volume, cioeá quanti cm 3 sono contenuti nei 21 grammi, dobbiamo dividere 21 per il peso di 1cm 3 (peso specifico), quindi: ˆ 21 : 10,50 cm 3 ˆ 2cm 3.
21 Il peso specifico di una sostanza eá: a. il peso per unitaá di volume della sostanza stessa; b. il volume della sostanza in relazione al suo peso; c. il peso di un kg della sostanza stessa. Completa la seguente tabella relativa alle equivalenze tra volume, capacitaá e peso: OLUME CAPACITAÁ PESO metri cubi litri grammi Qual eá il peso specifico di una sostanza che pesa 156 kg e occupa un volume di 20 dm 3? a. 7,8; b. 0,78; c. 78. Quanti litri di acqua distillata a 4 C pesano quanto un litro di mercurio? a. 1,3596; b. 1; c. 13,596. 8 La misura degli angoli esercizi pag. 138 Nel primo paragrafo abbiamo visto che un sistema di misurazione si dice decimale quando le diverse unitaá di misura si ottengono considerando i multipli o i sottomultipli del numero 10; per passare cioeá da una unitaá ad un'altra, sottomultipla o multipla della prima, basta moltiplicare o dividere per 10, 100, 1000... Per misurare l'ampiezza degli angoli si usa un sistema che eá chiamato sessagesimale (da una parola latina che significa «sessanta»), percheâ per formare una unitaá di ordine superiore occorrono 60 unitaá di ordine inferiore. L'unitaÁ di misura base degli angoli eá il grado (simbolo ) che eá definito come la 360-esima parte di un angolo giro. Il grado, a sua volta, viene suddiviso in 60 primi (simbolo 0 ); ogni primo eá diviso in 60 secondi (simbolo 00 ). Sottomultipli UnitaÁ di misura Simbolo Equivalenze Grado UnitaÁ base Primo 0 1 ˆ 60 0 Secondo 00 1 0 ˆ 60 00 ; 1 ˆ 60 60 00 ˆ 3 600 00 La misura di un angolo eá chiamata ampiezza e per indicare, ad esempio, che un angolo ha un'ampiezza di: si scrive Nella scrittura degli angoli eá necessario fare la seguente precisazione: Definizione. La misura di un angolo eá scritta in forma normale quando il valore dei primi e dei secondi eá strettamente inferiore a 60.
22 Ad esempio: l l la misura dell'angolo ˆ 35 45 0 58 00 eá scritta in forma normale; la misura dell'angolo ˆ 230 145 0 78 00 non eá scritta in forma normale poicheâ i primi e i secondi (cioeá 145' e 78 00 ) sono superiori a 60. Lo strumento utilizzato a scuola per misurare gli angoli eá il goniometro, dal greco gonia che significa angolo e metro che significa misura (figura 6). igura 6 8.1 Le operazioni con le misure angolari Per eseguire le operazioni con valori angolari sessagesimali basta prestare attenzione ad alcuni particolari accorgimenti che ora passiamo brevemente in rassegna. La riduzione in forma normale ediamo con un esempio come avviene la riduzione in forma normale. Consideriamo nuovamente l'angolo ˆ 230 145 0 78 00. Partendo dai secondi abbiamo 78 00 > 60 00. Dividiamo dunque 78 00 : 60 ˆ 1 0 (con resto 18 00 ) pertanto 78 00 ˆ 1 0 18 00. Sostituendo tale valore nella misura avremo ˆ 230 145 0 78 00 ˆ 230 145 1 0 18 00 ˆ 230 146 0 18 00. Poiche 146 0 > 60 0 dividiamo 146 0 : 60 ˆ 2 (con resto 26 0 ) pertanto 146 0 ˆ 2 26 0. Sostituendo tale valore avremo dunque ˆ 230 146 0 18 00 ˆ 230 2 26 0 18 00 ˆ 232 26 0 18 00. E Á possibile trasformare una misura angolare scritta nell'unitaá di ordine inferiore nella corrispondente forma normale. La procedura eá descritta nell'esercizio guida n. 439 di pagina 139. La trasformazione di una misura nell'unitaá di ordine inferiore Consideriamo la misura angolare ˆ 18 40 0 34 00. Per trasformarla nell'unitaá di ordine inferiore, in questo caso i secondi, basta ridurre sia i gradi che i primi in secondi ed eseguire poi la somma delle misure ottenute. Sappiamo che 1 0 ˆ 60 00 ; e che 1 ˆ 60 0 ˆ 60 60 00 ˆ 3600 00, pertanto: 18 40 0 34 00 ˆ 18 3600 00 40 60 00 34 00 ˆ 64800 00 2400 00 34 00 ˆ 67234 00. Addizione tra due o piuá misure angolari Per addizionare due o piuá misure di angoli basta disporre le varie unitaá in colonna in modo che le cifre dello stesso ordine occupino la stessa colonna; si devono sommare separatamente i diversi ordini di grandezza. Il risultato ottenuto deve eventualmente essere ridotto in forma normale. Consideriamo, ad esempio, l'addizione 23 24 0 55 00 43 49 0 10 00. Mettiamo in colonna gli addendi ed eseguiamo separatamente la somma per ciascun ordine: 23 24 0 55 00 43 49 0 10 00 ˆ 66 73 0 65 00 che ridotto in forma normale diventa 67 14 0 5 00. Sottrazione tra due misure angolari Per sottrarre due misure angolari basta disporre le varie unitaá in colonna in modo che le cifre dello stesso ordine occupino la stessa colonna; si esegue quindi la sottrazione separando i diversi ordini di grandezza. Nel caso che, per uno o piuá ordini, non si possa eseguire subito la sottrazione, bisogna prendere in pre-