Esercizi sulla conversione tra unità di misura Autore: Enrico Campanelli Prima stesura: Settembre 2013 Ultima revisione: Settembre 2013 Per segnalare errori o per osservazioni e suggerimenti di qualsiasi tipo, potete contattarmi al seguente indirizzo email: info@studiobells.it Il titolare dei diritti d autore di quest opera è lo studio didattico Studio Bells nella persona di Enrico Campanelli (www.studiobells.it). Quest opera è rilasciata secondo i termini della licenza: Creative Commons 3.0 Italia Attribuzione - Non Commerciale - Condividi Allo Stesso Modo (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/it/)
Premessa Questa è una piccola raccolta di esercizi sulla conversione del valore di una grandezza fisica tra diverse unità di misura. Capita spesso di dover calcolare il valore di una grandezza fisica espresso nelle unità del SI (Sistema Internazionale) a partire da una serie di dati non espressi nel SI oppure di dover semplicemente esprimere una grandezza in una diversa unità di misura. In alcuni casi particolarmente semplici e comuni (come ad esempio il passaggio da m/s a km/h e viceversa) questo passaggio avviene applicando un fattore di conversione che si ricorda a memoria ma in generale bisogna svolgere tutti i calcoli necessari. I passaggi da svolgere sono basati sulla seguente osservazione:ogni misura può essere vista come il prodotto tra il valore numerico e l unità di misura. Ciò significa che, ad esempio, l espressione della lunghezza L = 10 m può essere vista come il prodotto tra il numero 10 e l unità di misura 1 m, cioè L = 10 1 m. Analogamente la velocità v = 15 m/s può essere vista come il prodotto tra il numero 15 e l unità di misura 1 m/s che, a sua volta, è il rapporto tra le unità di misura 1 m ed 1 s, per cui si ha v = 15 1 m. In base a 1 s questa osservazione, la conversione si esegue seguendo queste due regole: si sostituisce a ciascuna unità di misura da convertire il suo valore espresso nell unità di misura voluta; tutte le grandezze omogenee si devono esprimere con la stessa unità di misura (ad esempio tutte le lunghezze in metri, tutti i tempi in secondi e così via). Fatto ciò, si eseguono tutti i prodotti e le divisioni tra i vari fattori numerici e si semplificano eventuali unità di misura. Facciamo, ad esempio, la conversione della velocità di 120 km/h in m/s: 120 km/h = 120 1 km 1 h = 120 1000 m 3600 s 1000 = 120 3600 m s = 120 m/s 33, 3 m/s 3, 6 Nel penultimo passaggio si vede bene che si è ottenuto il ben noto fattore di conversione 3,6 per il quale, nel caso del passaggio da km/h a m/s, si deve dividere il valore della velocità. 2
Esercizio 001 Determinare la velocità v espressa in m/s usando la seguente formula: nei seguenti casi: a) s = 12 km e t = 0, 2 h b) s = 12 km e t = 15 min c) s = 12 cm e t = 2 s d) s = 120 km e t = 3 giorni v = s t Dobbiamo sostituire a ciascuna unità di misura l equivalente valore espresso nell unità di misura richiesta dal problema: a) poiché 1 km = 10 3 m e 1 h = 60 60 s, si ha: v = 12 km 0, 2 h = 12 103 m 0, 2 60 60 s = 12000 m 17 m/s 720 s b) poiché 1 km = 10 3 m e 1 min = 60 s, si ha: v = 12 km 15 min = 12 103 m 15 60 s = 12000 m 900 s 13 m/s c) poiché 1 cm = 10 2 m, si ha: v = 12 cm 2 s = 12 10 2 m 2 s = 0, 12 m 2 s 0, 06 m/s d) poiché 1 km = 10 3 m e 1 giorno = 24 60 60 s, si ha: v = 120 km 3 giorni = 120 103 m 3 24 60 60 s = 120000 m 0, 46 m/s 259200 s 3
Esercizio 002 Un oggetto che viene lanciato verso l alto con una velocità v raggiunge un altezza massima h data da: h = v2 2g dove la costante g = 9, 81 m/ è l accelerazione di gravità. Calcolare h espressa in m nei seguenti casi: a) v = 5 cm/s; b) v = 10 km/h. Dobbiamo sostituire a ciascuna unità di misura l equivalente valore espresso nell unità di misura richiesta dal problema: a) poiché 1 cm = 10 2 m, si ha: h = (5 cm s )2 2 9, 81 m/s = (5 10 2 m) 2 10 4 m2 25 s s 25 = 2 10 4 = m 0, 0001 m 2 2 9, 81 m/s2 2 9, 81 m/s2 2 9, 81 b) Qui, oltre a convertire i km in m, dobbiamo anche convertire le ore (presenti nella velocità) in s poiché nella costante g il tempo è espresso in s (ricordiamo che tutte le grandezze omogenee devono essere espresse con la stessa unità di misura). Si ha dunque, essendo 1 km = 10 3 m e 1 h = 60 60 s: h = (10 km h )2 2 9, 81 m/s = (10 103 m 60 60 s )2 106 m2 100 1296 10 = 4 2 2 9, 81 m/s2 2 9, 81 m/s 0, 4 m 2 4
Esercizio 003 Un oggetto di massa m e velocità v ha un energia cinetica data da: E c = 1 2 mv2 Calcolare E c espressa nelle unità del SI nei seguenti casi: a) v = 5 cm/s e m = 2 tonnellate; b) v = 100 km/h e m = 200 g. Dobbiamo sostituire a ciascuna unità di misura l equivalente valore espresso nell unità di misura richiesta dal problema: a) poiché 1 cm = 10 2 m, e 1 tonnellata = 10 3 kg, si ha: E c = 1 tonnellata (5 2 2 1 cm s )2 = 10 3 kg (5 10 2 m ) 2 = 10 3 kg 25 10 4 m 2 s b) poiché 1 km = 10 3 m, 1 h = 60 60 s = 3, 6 10 3 s e 1 g = 10 3 kg, si ha: E c = 1 2 200 1 g (100 km h )2 = 100 10 3 10 3 m kg (100 3, 6 10 3 s )2 = = 10 1 kg 10 4 10 6 m 2 12, 96 10 6 s = 103 kg m 2 2 12, 96 77 kg m2 = 2, 5 kg m2 5
Esercizio 004 Un oggetto che scende senza attrito lungo un piano inclinato di lunghezza l ed altezza h, ha un accelerazione a lungo il piano data da: a = g h l dove la costante g = 9, 81 m/ è l accelerazione di gravità. Calcolare a espressa nelle unità del SI nei seguenti casi: a) h = 50 cm e l = 2 m; b) h = 150 mm e l = 750 mm. In questo esercizio dobbiamo osservare che la formula contiene il rapporto tra due grandezze omogenee, infatti sia h che l sono lunghezze. In questi casi non ha importanza esprimere entrambe le lunghezze in m ma ciò a cui dobbiamo fare attenzione è che entrambe le lunghezze siano espresse nella stessa unità di misura, qualunque essa sia. Il rapporto tra due grandezze omogenee, infatti, non dipende certo dall unità usata: se una lunghezza è ad esempio doppia dell altra, ciò resta vero qualsiasi sia l unità di misura usata. a) In questo caso dobbiamo rendere uguali le unità usate per le due lunghezze. Possiamo ad esempio convertire h in m: oppure possiamo convertire l in cm: a = 9, 81 m 50 10 2 m 2 m a = 9, 81 m ottenendo, come si vede, lo stesso risultato. 2, 5 m 50 cm 2 100 cm 2, 5 m b) in questo caso h ed l non sono espresse nel SI ma sono comunque espresse nella stessa unità di misura, per cui possiamo usare i dati forniti senza nessuna conversione: a = 9, 81 m 150 mm s2 750 mm 0, 2 m 6
Esercizio 005 Si esprima in km/h 2 ed in cm/ l accelerazione di gravità sulla superfice terrestre che nel SI vale: g = 9, 81 m/ Nel primo caso, tenendo conto che 1 m = 10 3 km e che 1 s = 1 h, si ha: 3600 g = 9, 81 m s = 9, 81 10 3 km 2 ( 1 = 9, 81 10 3 12, 96 10 6 km 3600 h)2 h 2 km 1, 27 105 h 2 Nel secondo caso, si ha 1 m = 10 2 cm e quindi: g = 9, 81 m = 9, 81102 cm = 981 cm 7
Esercizio 006 Il tempo t c che impiega un corpo a cadere a terra partendo da fermo da una altezza h è dato da: t c = 2h g dove la costante g = 9, 81 m/ è l accelerazione di gravità. Si calcoli: a) t c in ore sapendo che h = 2 km b) t c in ore sapendo che h = 200 m c) t c in minuti sapendo che h = 2 km a) In questo caso possiamo usare il risultato dell esercizio precedente, infatti: t c = Ì 2 2 km 1, 27 10 5 km h 2 = 2 2 1, 27 10 5 h2 5 10 3 h b) In questo caso invece, dobbiamo esprimere il secondo in ore: Ì 2 200 m 2 200 t c = m 9, 81 9, 81 3600 2 h2 2 10 3 h = 1 ( 3600 h)2 c) Qui dobbiamo esprimere il secondo in minuti ed il km in m: Ì 2 2000 m 2 2000 t c = m = 9, 81 9, 81 60 2 min2 0, 3 min ( 1 60 min)2 8