V esercitazione di Matematica Finanziaria Esercizio 1. Dato un debito S=6 000 euro, valutato secondo una legge di capitalizzazione esponenziale al tasso di interesse annuo i=4%, si calcola l importo della rata costante R = 6 000 0.04 1 (1 + 0.04) 5 = 1 347.76 pertanto si compila il seguente piano di ammortamento 0 6 000 0 0 0 1 4 892.24 1 347.76 1 107.76 240 2 3 740.17 1 347.76 1 152.07 195.69 3 2 542.02 1 347.76 1 198.15 149.61 4 1 295.93 1 347.76 1 246.08 101.68 5 0 1 347.76 1 295.93 51.84 Esercizio 2. Si ripete l esercizio precedente ipotizzando un ammortamento a quota capitale costante, calcolata da C = 6 000 5 perciò si ottiene il piano di ammortamento = 1 200, 0 6 000 0 0 0 1 4 800 1 440 1 200 240 2 3 600 1 392 1 200 192 3 2 400 1 344 1 200 144 4 1 200 1 296 1 200 96 5 0 1 248 1 200 48 Esercizio 3. Dato un debito S=5 800 euro da restituire in 3 anni a rata semestrale costante posticipata, per compilare il piano di ammortamento si calcola il valore della rata supponendo di sottostare ad una legge di capitalizzazione esponenziale al tasso di interesse annuo i=2.5%, il cui tasso di interesse su base semestrale equivalente è i 2 = (1 + 0.25) 1/2 1 = 0.012423 1
Il valore della rata è R = 5 800 0.012423 1 (1 + 0.012423) 6 = 1 009.13 da cui segue che il piano di ammortamento è 0 5 800 0 0 0 1 4 862.92 1 009.13 937.08 72.05 2 3 914.20 1 009.13 948.72 60.41 3 2 953.70 1 009.13 960.50 48.63 4 1 981.26 1 009.13 972.44 36.69 5 996.75 1 009.13 984.52 24.61 6 0 1 009.13 996.75 12.38 Esercizio 4. Si ripete l esercizio precedente ipotizzando un ammortamento a quota capitale costante, calcolata da C = 5 800 6 perciò si ottiene il piano di ammortamento = 966.67, 0 5 800 0 0 0 1 4 833.33 1 038.72 966.67 72.05 2 3 866.66 1 026.71 966.67 60.04 3 2 899.99 1 014.70 966.67 48.03 4 1 933.32 1 002.70 966.67 36.03 5 966.65 990.69 966.67 24.02 6 0 978.68 966.67 12.01 Esercizio 5. Una grande azienda concede ad un suo cliente un finanziamento S=25 000 euro da ammortizzare in 5 anni, a rate trimestrali posticipate costanti secondo una legge di capitalizzazione esponenziale con tasso di interesse annuo i=4%; il valore della rata si ottiene da ove il tasso trimestrale è R = 25 000 0.00985 1 (1.00985) 20 = 1 383.29 i 4 = (1 + 0.04) 1/4 1 = 0.00985 e m=20 sono il numero di rate da pagare. Il valore della penultima quota capitale è C 19 = 1 383.29 (1 + 0.00985) (20 19+1) = 1 356.44 2
mentre il valore della quota interessi corrispondente è I 19 = 1 383.29 1 356.44 = 26.85 Il piano di ammortamento relativo alle prime 4 rate è 0 25 000 0 0 0 1 23 862.96 1 383.29 1 137.04 246.25 2 22 714.72 1 383.29 1 148.24 235.05 3 21 555.17 1 383.29 1 159.55 223.74 4 20 384.20 1 383.29 1 170.97 212.32 Se il cliente non è in grado di pagare una rata superiore a X=350 euro, il numero minimo di rate da pagare per ammortizzare il debito è ( ) ln 1 25 000 m = 350 0.00985 ln(1 + 0.00985) 1 = 124.05 = 125 pertanto la nuova rata è data da R 1 = 25 000 0.00985 = 348.64 1 (1.00985) 125 Esercizio 6. Dato un debito S=100 000 euro, rimborsabile in 15 anni a rata costante posticipata semestrale secondo un tasso di interesse annuo i=4.4%, si restituisce pagando una rata pari a ove il tasso di interesse semestrale è R = 100 000 0.02176 1 (1 + 0.02176) 30 = 4 573.77 i 2 = (1 + 0.044) 1/2 1 = 0.02176 Il piano di ammortamento relativo alle prime 4 rate è 0 100 000 0 0 0 1 97 602.23 4 573.77 2 397.77 2 176 2 95 152.28 4 573.77 2 449.95 2 123.82 3 92 649.03 4 573.77 2 503.26 2 070.51 4 90 091.30 4 573.77 2 557.73 2 016.04 Se si suppone di avere un periodo di preammortamento di 2 anni, si paga una rata di preammortamento pari a R pr = 100 000 [(1 + 0.02176) 4 1] = 8 992.24 3
Esercizio 7. Dato un titolo a cedola fissa x di valore facciale C=400 euro quotato alla pari, scadenza in 8 anni, cedola annuale e tasso di interesse nominale annuo 8%, il tasso interno di rendimento è esattamente uguale al tasso nominale. Nello specifico, la cedola è uguale a da cui segue che il tasso cedolare è I = C j nom = 400 0.08 = 32, i c = 32 400 = 0.08 che coincide con il tasso interno di rendimento del titolo. Il valore attuale del titolo è calcolato come W (0, x) = 400 + 32 1 (1.08) 8 0.08 + 400 (1.08) 8 = 0 cioè l operazione valutata secondo il tasso interno di rendimento risulta equa. Esercizio 8. Dato un flusso di importi monetari x/t : { 60, 55, 140}/{0, 1, 2} con scadenzario in anni, il tasso interno di rendimento si ottiene risolvendo 60 55 (1 + i) 1 + 140 (1 + i) 2 = 0; si pone v = (1 + i) 1, per cui l equazione suddetta diventa 60 55 v + 140 v 2 = 0, da cui si ottiene 55 ± 191.376592 v = 280 L unica soluzione accettabile è quella con segno positivo, cioè v = 0.879916 perciò il tasso interno di rendimento è i = 1 1 = 0.1365 = 13.65% 0.879916 Affinché il tasso interno di rendimento risulti pari al 9% annuo, in t=0 bisogna aggiungere una cifra x 0 calcolata risolvendo l equazione di primo grado 60 + x 0 55 (1 + 0.09) 1 + 140 (1 + 0.09) 2 = 0, da cui segue che x 0 = 60 + 50.46 117.84 = 7.38 4
Esercizio 9. Dato un flusso di importi monetari x/t : { 320, 60, 310}/{0, 3, 6} con scadenzario in anni, il tasso interno di rendimento si ottiene risolvendo 320 + 60 (1 + i) 3 + 310 (1 + i) 6 = 0; si pone v = (1 + i) 1 e t = v 3, per cui l equazione suddetta diventa 310 t 2 + 60 t 320 = 0 da cui si ottiene 60 ± 632.77 t = 620 L unica soluzione accettabile è quella di segno positivo, cioè t = 0.9238226 perciò il tasso interno di rendimento è ( ) 1 1/3 i = 1 = 0.02676 = 2.676% 0.9238226 Se il prezzo del titolo è pari a P =318.20, allora il tasso interno di rendimento è maggiore di quello ottenuto in corrispondenza di un prezzo pari a 320, cioè P = 318.20 < 320 = i > 2.676% Aggiungendo un importo x 1 =-40 in t 1 =9 anni e x 2 =60 in t 1 =12 anni e valutando la nuova operazione al tasso calcolato in precedenza, il valore complessivo in t=7 anni è W (7; x) = 320 (1.02676) 7 +60 (1.02676) 4 +310 (1.02676) 40 (1.02676) 2 +60 (1.02676) 5 = 14.64 ed il valore residuo è V (7; x) = 40 (1.02676) 2 + 60 (1.02676) 5 = 14.64 5