Lezione Tecnica delle Costruzioni 1
Flessione
Comportamento ultimo M 1 r M E I M ε σ E ε M σ da E I /r M 1 r M EI 1/r 1/r
Comportamento ultimo -ε -f M el M 1 el r el E I M ε ε σ E ε f M el M σ da el W el f W el I h/2 (1/r) el 1/r h altezza sezione
Comportamento ultimo -ε -f M 1 r ε ε σ f M M Mel + M 1/r 1/r 1 r 1 r + M el EI el I el nucleo elastico
Comportamento ultimo -f M pl 1/r tende all infinito f M pl M pl S σ da (2 S ) f momento statico di mezza sezione 1/r
Comportamento ultimo -f M pl 1/r tende all infinito f M pl 1/r M σ da pl S W 2 S pl W pl f momento statico di mezza sezione
Comportamento ultimo n n M pl -f N c Per trovare l asse neutro: N c + N t 0 (equilibrio alla traslazione) f N s N c -f A c L asse neutro divide la sezione A c A t N t f A in due parti di area uguale t
Comportamento di aste reali Classe 1 M supera M pl e la sezione è molto duttile Classe 2 M supera M pl ma la sezione è meno duttile M M pl M el Classe 3 Classe 2 Classe 1 Classe 4 1/r
Comportamento di aste reali Classe 3 La rottura avviene per M M el Classe 4 La rottura avviene per M < M el M M pl M el Classe 2 Classe 1 Classe 3 Classe 4 1/r
Verifica di resistenza Stato limite ultimo Classe 1 e 2 -f M pl M pl pl W f Classe 3 -f f M el M el el W f f
Verifica di resistenza Stato limite ultimo Classe 1 e 2 M pl,rd γ f M0 M Ed Wpl M pl,rd γ M0 f f γ M0 Classe 3 M el,rd γ f M0 M Ed Wel M el,rd γ M0 f f NTC 08, punto 4.2.4.1.2 γ M0
Verifica di resistenza Esempio HE 240 A (Acciaio S235) M Ed M Ed 125 knm 1. Si determina la classe del profilato (la peggiore tra quella dell anima e della flangia). 2. Si calcola il momento resistente M Rd. 3. Si verifica che M Ed < M Rd.
Verifica di resistenza Esempio c f t f HE 240 A (Acciaio S235) c w M Ed M Ed 125 knm t w 1. Classe del profilato c w 164 mm c f 95.3 mm t w 7.5 mm t f 12 mm Anima: Flangia: cw tw 164 7. 5 21. 9 c t 95. 3 12 7. 9 f f
Parti interne compresse c t 21 9 w w. c f c w t w t f Classe Parte soggetta a flessione Parte soggetta a compressione Parte soggetta a compressione e flessione Distribuzione delle tensioni (compress. +) f k f k - + c f k f k - f k + αc + c c - 1 c/t 72 ε c/t 33 ε 2 c/t 83 ε c/t 38 ε α> 0 5. c t 396ε ( 13α 1) α 0 5. c t 41 5. εα α> 0 5. c t 456ε ( 13α 1) α 0 5. c t 41 5. εα Distribuzione delle tensioni (compress. +) ε f k f k c/2 3 c/t 124 ε c/t 42 ε 235 f k c f k + + c c ψ 1 c t 42c ( 0 67. + 0 33. ψ) ψ 1* c t 62g( 1 ψ) ψ f k 235 275 355 420 460 ε 1.00 0.92 0.81 0.75 0.71 ψf k f k * ψ -1 si applica se la tensione σ f k o la deformazione a trasione ε > f k /E NTC08, tab. 4.2.I
Parti esterne compresse c t 79. f f c f t w c w t f Classe Distribuzione delle tensioni (compress. +) Parte soggetta a compressione + c Parte soggetta a compressione e flessione Fine in compressione Fine in trazione αc αc + + - c c - 1 c/t 9 ε c/t 9 ε/α 2 c/t 10 ε c/t 10 ε/α Distribuzione delle tensioni (compress. +) + c ct 9εα α ct 9εα α - + - c c + ε 3 c/t 14 ε ct 21ε k e 235 f k f k 235 275 355 420 460 ε 1.00 0.92 0.81 0.75 0.71 NTC08, tab. 4.2.II
Verifica di resistenza Esempio t f c f HE 240 A (Acciaio S235) c w M Ed M Ed 125 knm t w 1. Classe del profilato Anima: Flangia: cw tw 164 7. 5 21. 9 72ε 72 c t 95. 3 12 7. 9 9 ε 9 f f ( ε 235/ f 1) La sezione è di classe 1
Verifica di resistenza Esempio M Ed HE 240 A (Acciaio S235) M Ed 125 knm 2 e 3. Momento resistente e verifica Dal sagomario: W pl, 744.6 cm 3 W f 744.6 235 1.05 10 pl M pl,rd 3 γm0 166.6 knm Sezione verificata
Verifica di resistenza Esempio sezione composta 14 14 280 c w c f 14 140 10 280 10 M Ed Sezione saldata M Ed -250 knm (Acciaio S235) 1. Classe del profilato c w 260 mm c f 53 mm t w 14 mm t f 14 mm Anima: Flangia: c 260 14 18 5 w tw. c t 53 14 3. 8 f f
Parti interne compresse c w tw. A FAVORE DI SICUREZZA 18 5 c f c w Classe Parte soggetta a flessione Parte soggetta a compressione Parte soggetta a compressione e flessione Distribuzione delle tensioni (compress. +) f k f k - + c f k f k - f k + αc + c c - 1 c/t 72 ε c/t 33 ε 2 c/t 83 ε c/t 38 ε α> 0 5. c t 396ε ( 13α 1) α 0 5. c t 41 5. εα α> 0 5. c t 456ε ( 13α 1) α 0 5. c t 41 5. εα Distribuzione delle tensioni (compress. +) ε f k f k c/2 3 c/t 124 ε c/t 42 ε 235 f k c f k + + c c ψ 1 c t 42c ( 0 67. + 0 33. ψ) ψ 1* c t 62g( 1 ψ) ψ f k 235 275 355 420 460 ε 1.00 0.92 0.81 0.75 0.71 ψf k f k * ψ -1 si applica se la tensione σ f k o la deformazione a trasione ε > f k /E NTC08, tab. 4.2.I
Parti esterne compresse c t 38. f f c f c w Classe Distribuzione delle tensioni (compress. +) Parte soggetta a compressione + c Parte soggetta a compressione e flessione Fine in compressione Fine in trazione αc αc + + - c c - 1 c/t 9 ε c/t 9 ε/α 2 c/t 10 ε c/t 10 ε/α Distribuzione delle tensioni (compress. +) + c ct 9εα α ct 9εα α - + - c c + ε 3 c/t 14 ε ct 21ε k e 235 f k f k 235 275 355 420 460 ε 1.00 0.92 0.81 0.75 0.71 NTC08, tab. 4.2.II
Verifica di resistenza Esempio sezione composta 14 14 280 c w c f 14 140 10 280 10 M Ed Sezione saldata M Ed -250 knm (Acciaio S235) 1. Classe del profilato Anima: Flangia: c 260 14 18 5 < 33ε 33 w tw. c t 53 14 3. 8 < 9 ε 9 f f ( ε 235/ f 1) La sezione è di classe 1
Verifica di resistenza Esempio sezione composta 14 14 280 14 140 Sezione saldata 10 c w 280 M c f Ed 10 M Ed -250 knm (Acciaio S235) 2. Momento resistente M W f γ Wpl pl,rd 2S pl M0 S momento statico di mezza sezione (parte tesa o compressa) Bisogna trovare l asse neutro ed il baricentro
Verifica di resistenza Esempio sezione composta 14 G 280 n X M Ed Sezione saldata (Acciaio S235) M Ed -250 knm 2.1 Asse neutro (per la sezione tutta plasticizzata) La sezione è divisa in due parti di area uguale 2 A 9800 mm A t 14 280 + 14 X A 2 X 70 mm
Verifica di resistenza Esempio sezione composta d G,sup Sezione saldata G M Ed MEd -250 knm (Acciaio S235) 2.2 Baricentro Momento statico della sezione rispetto al bordo sup. S 1221080 sup mm 3 S sup A d G,sup d G, sup 124.7 mm
Verifica di resistenza Esempio sezione composta X G M Ed Sezione saldata (Acciaio S235) MEd -250 knm 2.3 Modulo di resistenza Calcolo il momento statico della parte tesa o della parte compressa rispetto all asse baricentrico W 2 2 S 535.1 cm S 1070. 2 pl
Verifica di resistenza Esempio sezione composta X G M Ed Sezione saldata (Acciaio S235) MEd -250 knm 2.4 e 3 Momento resistenza e verifica M pl,rd W f pl 1070.2 235 239.5 γ 1.05 10 knm 3 M0 La sezione non è verificata
Progetto per flessione Stato limite ultimo 1. Si assume la classe della sezione (1, 2 o 3). 2. Invertendo l espressione di verifica si ottiene la formula di progetto della sezione. Classe 1 e 2: Classe 3: M M Ed Ed M 3. Si sceglie la sezione. pl,rd el,rd W γ W pl M0 f M0 4. Si verifica la classe della sezione. M γ el f W W pl el f f M Ed / γ M Ed / γ M0 M0
Progetto per flessione Esempio G d +Q d 2.56 kn/m Sezione HEA M ed 19.5 knm (S235) L 7.8 m 1. Classe della sezione. Suppongo che la sezione appartenga alla classe 1 o 2. 2. Determinazione del modulo plastico minimo. M 19 5. 10 f/ γ 235/ 1 05. 3 Ed W pl,min. M0 87 1 cm 3
Progetto per flessione Esempio G d +Q d 2.56 kn/m L 7.8 m Sezione HEA (S235) M ed 19.5 knm W pl 87.1 cm 3 3. Scelta della sezione. Si potrebbe usare un HE 120 A W pl 119.4 cm 3
Progetto per flessione Esempio t f c f c w G d +Q d 2.56 kn/m Sezione HEA 120 t w (S235) L 7.8 m c w 74 mm c f 60 mm t w 5 mm t f 8 mm 4. Determinazione della classe della sezione. Anima: Flangia: ct 74 5 14. 8 72ε 72 w ct 4058. 51. 9ε 9 f La sezione è realmente di classe 1 ( ε 235/f 1)
Progetto per flessione Esempio Si deve verificare anche lo stato limite di esercizio Si puo`dimostrare che, a causa della deformabilita`, è necessaria una sezione più grande (HE 160 A, HE 140 B, IPE 180) Si consiglia di procedere sempre effettuando contemporaneamente le due verifiche (o meglio usando le due condizioni per il progetto)
Instabilità flesso-torsionale Le travi inflesse possono sbandare trasversalmente, con rotazione intorno al loro asse (torsionale) L ala compressa sbanda lateralmente
Instabilità flesso-torsionale Le travi inflesse possono sbandare trasversalmente, con rotazione intorno al loro asse (torsionale) L instabilità può essere evitata con opportuna disposizione di elementi strutturali Un solaio rigido evita lo sbandamento laterale
Instabilità flesso-torsionale Le travi inflesse possono sbandare trasversalmente, con rotazione intorno al loro asse (torsionale) L instabilità può essere evitata con opportuna disposizione di elementi strutturali Se non può essere evitata, bisogna ridurre il momento resistente M b,rd χ LT W γ pl M1 f
Instabilità flesso-torsionale Le travi inflesse possono sbandare trasversalmente, con rotazione intorno al loro asse (torsionale) L instabilità può essere evitata con opportuna disposizione di elementi strutturali Espressioni simili a quelle dell instabilità Euleriana Se non può essere evitata, bisogna ridurre il momento resistente Ulteriori fattori intervengono per distribuzioni di momento non uniforme e per sezioni non compatte λ LT W M cr f
Taglio
Comportamento ultimo V τ V I S b In campo lineare le tensioni si valutano con la formula di Jouraski: S momento statico della sezione al di sopra (o al di sotto) della corda rispetto all asse baricentrico; I momento d inerzia della sezione rispetto all asse baricentrico; b ampiezza della corda.
Comportamento ultimo V τ f 3 τ V I S b Facendo crescere il taglio la fibra che sta sull asse baricentrico (la più sollecitata) si plasticizza.
Comportamento ultimo V τ f 3 La plasticizzazione si propaga fino a che
Comportamento ultimo V pl τ f 3 si plasticizza tutta l anima. f Vpl Aanima per sezioni a doppio T 3 f Vpl A v in generale 3 dove A v è l area resistente a taglio
Verifica di resistenza Stato limite ultimo Per profili a doppio T V pl,rd si plasticizza tutta l anima ed i raccordi circolari Taglio resistente secondo l Eurocodice 3 V pl,rd A v f / 3 γ M0 A v area resistente a taglio
Area resistente a taglio Precedenti versioni suggerivano di valutare l area resistente a taglio in maniera approssimata A v 1.04 h t w Ora sono suggerite formule più dettagliate: per travi a doppio T, caricate nel piano dell anima A A 2 b t + (t + 2 r) v f w t f
Verifica di resistenza Esempio Sezione HEA 120 (S235) V V Ed 10 kn (dalla trave progettata) Procedura 1. Si determina l area resistente a taglio A V 2. Si calcola il taglio resistente V pl,rd. 3. Si verifica che V Ed < V pl,rd.
Verifica di resistenza Esempio 1. Area resistente a taglio A V A A 2bt + (t + 2r) t v b t w t f V f b 120 mm t f 8 mm h 114 mm t w 5 mm r 12 mm A 2534 mm 2 w h f Sezione HEA 120 V Ed 10 kn (dalla trave progettata) (S235) A 2534 2 120 8 + (5 + 2 12) 8 v 846 mm 2
Verifica di resistenza Esempio Sezione HEA 120 (S235) V V Ed 10 kn (dalla trave progettata) 2. e 3. Taglio resistente e verifica ( 3) 0 V A f/ γ pl,rd v M 846 235/ 3 10 3 109 3 V. kn pl,rd 1. 05 Sezione verificata
Taglio Considerazioni In genere i profilati sono tali da avere una resistenza a taglio più che sufficiente Procedimento usuale: progettare a flessione verificare a taglio
Interazione Taglio - Momento Stato limite ultimo V Ed M Ed La sezione impegna parte delle sue risorse per portare il taglio Il momento resistente risulterà ridotto rispetto al valore di progetto in assenza di taglio e pari a M V,Rd Pertanto, si dovra` verificare che M Ed M V,Rd Ma come calcolare M V,Rd?
Momento resistente ridotto Stato limite ultimo V Ed M Ed Faccio crescere il momento fino al collasso della sezione (Se la sezione è di classe 1 o 2, il momento considerato corrisponde alla completa plasticizzazione della sezione) σ τ
Momento resistente ridotto Stato limite ultimo -f V Ed M pl σ È possibile ottenere questo diagramma delle σ? f τ NO! Dove le τ sono elevate lo snervamento avverrà per valori di σ più bassi e pari a: σ (1-ρ) f con ρ < 1
Momento resistente ridotto Stato limite ultimo (1-ρ) f V Ed M pl,v σ f τ Per una sezione a doppio T la tensione và ridotta nell anima? M pl, V σ da
Momento resistente ridotto Stato limite ultimo t w -f -ρ f t w h 2 w ρ f h w h w /2 V Ed M pl,v σ f σ ρ f M W pl pl f t w h 4 2 w ρ f M pl,v W pl ρ t w h 4 2 w f se si considera che h w t w A V
Momento resistente ridotto Stato limite ultimo t w -f -ρ f t w h 2 w ρ f h w h w /2 V Ed M pl,v σ f σ ρ f M W pl pl f t w h 4 2 w ρ f se si considera che h w t w A V M pl,v W pl ρ A 2 V 4 t w f Questo è il W pl dell anima
Taglio Considerazioni Finché il taglio sollecitante è piccolo rispetto a quello resistente (meno della metà) non c è problema di interazione flessione-taglio Se il taglio è più grande occorre ridurre la resistenza a flessione
Interazione Taglio Momento Prescrizioni di normativa Quando V Ed > 0.5 V pl,rd Questo è il W pl dell anima M V,Rd W pl ρ γ M0 A 4t 2 V w f con ρ 2 V V Ed pl,rd 1 2 e A V Area resistente a taglio NTC 08, punto 4.2.4.1.2
Verifica a taglio e momento Esempio V Ed M pl,v? Sezione HEA 120 (S235) V Ed V pl,rd 109.3 kn (dalla trave progettata) t w 5 mm A V 8.46 cm 2 W pl 119.4 cm 3 2 2 2 V Ed ρ 1 2 109.3 1 1 M V,Rd V pl,rd W pl ρ A 4 t γ M0 2 V w f 109.3 2 1 8.46 235 119.4 3 4 0.5 10 1.05 18.7 knm
Verifica a taglio e momento Esempio V Ed M pl,v? Sezione HEA 120 (S235) V Ed V pl,rd 109.3 kn (dalla trave progettata) t w 5 mm A V 8.46 cm 2 W pl 119.4 cm 3 M V,Rd 2 2 V W f pl 4 t 119.4 3 w 4 0.5 10 18.7 knm γ ρ M0 Solo flessione A W f 1 8.46 1.05 119.4 235 1.05 10 235 pl M pl,rd 3 γm0 26.7 knm Riduzione del 30% per un taglio molto forte
Taglio Resistenza dell anima ad azioni locali In presenza di azioni concentrate o di taglio molto elevato si può avere: Schiacciamento dell anima in prossimità della piattabanda caricata Imbozzamento dell anima sotto forma di instabilità localizzata e schiacciamento dell anima in prossimità della piattabanda caricata
Taglio Resistenza dell anima ad azioni locali In presenza di azioni concentrate o di taglio molto elevato si può avere: Instabilità dell anima estesa a gran parte dell altezza della membratura
Taglio Resistenza dell anima ad azioni locali Il problema si può risolvere disponendo costole di irrigidimento in corrispondenza dell applicazione del carico o degli appoggi La necessità cresce all aumentare del taglio e della snellezza dell anima In alternativa, occorre verificare la trave nei confronti dei fenomeni innanzi citati (vedere Eurocodice 3, parte 1-5).
FINE