POLITECNICO DI TOINO a Facoltà di Ingegneria A.A. 0/0 Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Civile Progetto di Infrastrutture Viarie prof. Marco Bassani ing. oberto Melotti
Esercizio : Progetto di una clotoide di transizione Calcolare e rappresentare graficaente una clotoide di transizione per una curva di raggio pari a 300, di una strada extraurbana di categoria F, che presenta le seguenti caratteristiche: V p in = 40 k/h V p ax = 00 k/h
Soluzione: Le incognite del problea sono: - x M e y M = coordinate del centro dell arco di cerchio; - x e y = coordinate del punto finale della clotoide; - L = lunghezza dell arco di clotoide; - = angolo di deviazione della clotoide; - = raggio dell arco di cerchio; - = scostaento rettifilo-cerchio; - T l = tangente lunga; - T k = tangente corta. Traite l abaco di progetto si osserva che la velocità di progetto di percorrenza della curva, dovrà essere copresa tra 80 e 90 k/h, e che la pendenza trasversale dovrà assuere il valore assio pari a 0,07. 300 Per trovare l esatto valore della velocità si utilizza la seguente forula di equilibrio per il oto in curva: v g tan f t da cui: 3
v g q l f t dove l unico terine incognito è f t (quota parte del coefficiente di aderenza ipiegato trasversalente), che viene ricavato dalle seguenti tabelle e viene assunto coe prio tentativo pari a 0,. Sostituendo i valori si ottiene: v g ql ft 300 9,8 (0,07 0,) 3, 6 s k V 3,6 3,6 85, h È ora possibile ricavare il fattore di scala A della clotoide, attraverso le tre verifiche indicate dalla norativa italiana (D.M. 679/0): - criterio : Liitazione del contraccolpo; - criterio : Sovrapendenza longitudinale delle linee di estreità della carreggiata; - criterio 3: Ottico. Criterio : Liitazione del contraccolpo Affinché lungo un arco di clotoide si abbia una graduale variazione dell accelerazione trasversale non copensata nel tepo (contraccolpo c), fra il paraetro A e la assia velocità di progetto V, desunta dal diagraa di velocità, per l eleento di clotoide deve essere verificata la relazione: A A in v 3 c g v c q f qi 3,6 3 9,8 3,6 300 0,07 0,05 0,59 0,59 37,3 dove: - c è il contraccolpo assio pari a c 50,4 ax V ; - V è la velocità in k/h; - v è la velocità in /s; - q f è la pendenza trasversale nel punto finale della clotoide; - q i è la pendenza trasversale nel punto iniziale della clotoide e vale,5% (rettifilo). 4
La norativa perette di utilizzare un equazione seplificata: A 0,0V 0,085,3 5, 7 Criterio : Sovrapendenza longitudinale delle linee di estreità della carreggiata Nelle sezioni di estreità di un arco di clotoide la carreggiata stradale presenta differenti assetti trasversali, che vanno raccordati longitudinalente, introducendo una sovrapendenza nelle linee di estreità della carreggiata rispetto alla pendenza dell asse di rotazione. Nel caso in cui il raggio iniziale sia di valore infinito (rettilineo o punto di flesso), il paraetro deve verificare la seguente disuguaglianza: A Ain 00 B i dove: ax q f q i - B = distanza (in ) fra l asse di rotazione e l estreità della carreggiata all inizio della curva a raggio variabile, in questi caso pari alla larghezza della corsia (3,5 ); - i ax è la sovrapendenza longitudinale assia della linea costituita dai punti che distano B dall asse di rotazione; in assenza di allargaento tale linea coincide con l estreità della carreggiata: i ax dove: dq Bi dt v 8 B 83,5 00 0,74% V 85,3 dq = variazione della pendenza trasversale nel tepo pari a 0,05 rad/s dt 5
Sostituendo i valori nella forula si ottiene: A A in i ax 00 B 300 0,74 q q 003,5 (0,07 0,05) l i 6 Criterio 3: Ottico Per garantire la percezione ottica del raccordo deve essere verificata la relazione: A 3 e quindi si ottiene: 300 A 00 3 3 Inoltre, per garantire la percezione dell arco di cerchio alla fine della clotoide, deve essere verificata la seguente condizione: A 300 6
A' MIN MIN A'' MIN A''' A = MAX A* A () 00 6 5 A*=00 300 A () A questo punto si può scegliere un qualsiasi valore del fattore di scala copreso tra 5 e 300. In questo caso si è scelto A* = 00. Costruzione della clotoide di transizione È ora possibile procede con il vero e proprio diensionaento della clotoide di transizione, di cui si riporta di seguito una figura: Bisogna innanzitutto calcolare l angolo di deviazione con la seguente forula: s A 00 0, rad A 300 C 4,47 7
A questo punto si utilizzano le tabelle della clotoide unitaria per ricavare gli altri paraetri di diensionaento della clotoide. Dato che nella tabella non è presente un valore dell angolo di deviazione uguale a quello ricavato, se ne prende uno leggerente superiore (oppure si procede interpolando linearente i valori): = 4,89 C Questo coporta che il raggio dell arco di cerchio sarà leggerente inferiore a 300, a le verifiche iposte dal D.M. 679/0 sono counque soddisfatte. I valori ricavati per la clotoide unitaria sono i seguenti: r, 49537 x 0, 666636 y 0, 049947 x M 0, 334438 0, 05093 Moltiplicandoli per il fattore di scala A, si ottiene:,4953700 98, 507 L 0,66663600 33, 36 y 0,04994700 9, 989 x M 0,33443800 66, 888 0,0509300, 5086 y M,5086 98,507 30, 00886 8
Per il tracciaento della clotoide si ricavano dalla tabella i valori delle coordinate x e y e li si oltiplica per il fattore di scala A: n x y x* y* 0,0 0,000000 0,00004 0,05 0,000008 0 0,0046 3 0, 0,000667 9,99996 0,03334 4 0,49998 0,000565 9,9996 0,5 5 0,9999 0,003333 39,9984 0,6666 6 0,49976 0,00604 49,995 0,508 7 0,3997 0,0066 79,94,3 8 0,499 0,008 99,84 4,6 9 0,5388 0,06 07,76 5,4 0 0,5783 0,0345 5,66 6,49 0,598 0,0359 9,6 7,8 0,677 0,0396 3,54 7,9 3 0,675 0,0455 5,5 8,3 4 0,6373 0,0435 7,46 8,7 5 0,647 0,0456 9,4 9, 6 0,6568 0,0477 3,36 9,54 7 0,666633 0,049947 33,3650 9,98940 9
Esercizio : Tracciaento di una clotoide di flesso È fornita la poligonale d asse di una strada extraurbana secondaria (tipo C) di cui si richiede il diensionaento ed il tracciaento dei raccordi di transizione e flesso. V p in = 60 k/h V p ax = 00 k/h Sono dati la sezione trasversale e gli angoli di deviazione tra i rettifili. Si richiede il tracciaento planietrico copleto di assi e cigli (indicazione delle pendenze trasversali e delle differenze di quota tra ciglio e asse). Si richiede inoltre il tracciaento per punti delle clotoidi progettate rispetto a un sistea di riferiento stabilito. 0
Soluzione: Per la risoluzione del problea sarà seguito questo percorso: - Definizione del rapporto raggio velocità di progetto pendenza; - Deterinazione del fattore di scala A*; - Diensionaento della clotoide di flesso; - Progetto delle clotoidi di transizione; - Caratteristiche del raccordo circolare. Definizione del rapporto raggio velocità di progetto pendenza Traite l abaco di progetto, in base ai raggi delle curve, è possibile ottenere: - velocità; - pendenza trasversale (q f ). Dall abaco di progetto si ottengono le seguenti pendenze trasversali: = 450 q f, = 0,067 = 380 q f, = 0,07
Sepre dallo stesso abaco si ricava la velocità di progetto della curva, pari a: k V 00 h Per trovare l esatto valore della velocità di progetto della curva si utilizza la seguente forula di equilibrio per il oto in curva: v g tan f t da cui: v g q l f t dove l unico terine incognito è f t (quota parte del coefficiente di aderenza ipiegato trasversalente), che viene ricavato dalle seguenti tabelle e viene assunto coe prio tentativo pari a 0,5. v g ql, ft 3809,8(0,07 0,5) 6, s k V 6, 3,6 94, 5 h È ora possibile ricavare il fattore di scala A della clotoide, attraverso le tre verifiche indicate dalla norativa italiana (D.M. 679/0): - criterio di liitazione del contraccolpo; - criterio di sovrapendenza longitudinale delle linee di estreità della carreggiata; - criterio 3 ottico. Dato che le verifiche sono le stesse dell esercizio n, di seguito saranno riportati solaente i risultati delle tre verifiche.
Criterio : Liitazione del contraccolpo 3 v g v q f, q i, A Ain, 6,9 c c 3 v g v q f, q i, A Ain, 45, c c A 0,0V 0,000 0 in, A 0,0V 0,094,54 87, 6 in, Criterio : Sovrapendenza longitudinale delle linee di estreità della carreggiata i ax, 8 B V 83,75 0,675% 00 i ax, 8 B 83,75 0,74% V 94,5 A in, i ax, 00 B, 450 0,675 q q 003,75(0,067 0) 9, l i 4 A in, i ax, 00 B, 380 0,74 q q 003,75(0,07 0) 8, l i Criterio 3: Ottico 450 Ain, 50 3 3 380 Ain, 6, 6 3 3 3
Aax, 450 Aax, 380 A' MIN A'' MIN A''' MIN MAX A = A* A () Caso per : 9,4 50 0 450 Caso per : 8, 6,67 87,69 380 A () A () iepilogo : 50 A*=0 380 A () Si deve a questo punto scegliere se progettare una clotoide di flesso sietrica oppure asietrica: si opta per la pria opzione per cui: A = A = 0 Diensionaento della clotoide di flesso È ora possibile procede con il vero e proprio diensionaento della clotoide di flesso, di cui si riporta di seguito una figura: 4
Noti i valori di, ed A, il prio passo consiste nel ricavare dall abaco di Osterlock la distanza D tra i due cerchi: 380 450 0,844 A* 0 0,467 450 5
Traite l abaco si ricava: D 0,005 e quindi: D 0,005 450 9, 6
È quindi possibile calcolare la distanza tra i centri dei due cerchi e gli angoli di deviazione, : M M D 450 380 9, 839, A 0 0,09 rad 450 A 0 0,53 rad 380 C 6,93 C 9,7 Si utilizzano ora le tabelle della clotoide unitaria per ricavare i paraetri di diensionaento della clotoide; poiché non sono presenti valori degli angoli di deviazione uguale a quelli ricavati, si procede interpolando linearente i due valori: Clotoide : tab, (cent) L () () x () y () x M, () r () 6,735437 0,46,7393 0,459485 0,06097 0,994 0,004054 6,93 0,466648,4388 0,466089 0,06965 0,339 0,00433 7,034654 0,47,766 0,46947 0,07888 0,34905 0,00434 tab, (cent) L* () * () x* () y* () x* M, () *r () 6,735437 96,6 456,57 96,4993 3,404037 48,898 0,8534 6,93 97,99498 450,0695 97,87877 3,55457 48,978 0,88908 7,03465 98,7 446,8086 98,57967 3,630648 49,3995 0,90806 Clotoide : tab, (cent) L () () x () y () x M, () r () 9,68874 0,55,888 0,548743 0,0768839 0,7479 0,00697 9,7 0,5564,809695 0,5536 0,080885 0,7609 0,00707 9,9898 0,56,78574 0,55865 0,098 0,7977 0,0073 tab, (cent) L* () * () x* () y* () x* M, () *r () 9,68874 5,5 38,88 5,36 5,8456 57,70598,454586 9,7 6,049 380,0358 5,7785 5,89853 57,97938,475683 9,9898 7,6 374,9999 7,3 6,3578 58,7585,53589 7
È possibile ora ricavare le coordinate dei due centri dei cerchi e l angolo che è l angolo forato tra la congiungente i centri dei cerchi e l asse y. Le forule da utilizzare sono le seguenti (i valori vanno inseriti in segno): x M, xf,, Sen, y M, yf,, Cos, arctan x y M M x y M M Andando a sostituire i valori si ottiene: xm xf Sen 97,8 450 Sen0,09 48, 9 y y Cos 3,5 450Cos0,09 450, x y M F 8 xf Sen 5,7 380 Sen0,53 57, y Cos 5,8 380Cos0,53 38, M 9 M F 4 xm xm 48,9 57,9 arctan arctan 0,78rad y y 450,8 38,4 M M C 8,355 A valle di ciò si deterina la posizione dell asse x, che di fatto coincide con il secondo lato della poligonale. Per il tracciaento della clotoide si ricavano dalla tabella della clotoide unitaria i valori delle coordinate x e y e li si oltiplica per il fattore di scala A. Clotoide : n x y x* y* 0,05 0,000008 0,5 0,004368 0,0999998 0,000667 0,99996 0,035007 3 0,49998 0,000565 3,4996 0,85 4 0,9999 0,003333 4,9983 0,79993 5 0,39980 0,003039 50,3958 0,48389 6 0,79957 0,0036583 58,79097 0,76843 7 0,3996 0,0054603 67,838,46663 8 0,3498687 0,007439 73,4743,5009 9 0,37980 0,00949 79,7584,99799 0 0,399744 0,00668 83,9466,38978 0,496734 0,034 88,34,5963 0,49636 0,0343 90,85,7805 3 0,4395879 0,04878 9,3346,979438 4 0,4495389 0,05764 94,4037 3,87044 5 0,4594854 0,06097 96,4993 3,404037 6 0,466089 0,06965 97,87869 3,554569 8
Clotoide : n x y x* x* 0,05,08E-05 0,5 0,004368 0,0999998 0,00067 0,99996 0,035007 3 0,49998 0,000563 3,4996 0,85 4 0,9999 0,00333 4,9983 0,79993 5 0,39980 0,00304 50,3958 0,48389 6 0,79957 0,003658 58,79097 0,76843 7 0,3996 0,00546 67,838,46663 8 0,3498687 0,00744 73,4743,5009 9 0,37980 0,0094 79,7584,99799 0 0,399744 0,0066 83,9466,38978 0,496734 0,034 88,34,5963 0,4395879 0,0488 9,3346,979438 3 0,4594854 0,06 96,4993 3,404037 4 0,4793634 0,0845 00,6663 3,867045 5 0,49993 0,008 04,836 4,370 6 0,50938 0,008 06,99 4,63778 7 0,590503 0,03404 09,0006 4,9486 8 0,589555 0,04778,0807 5,03359 9 0,538853 0,0604 3,59 5,5088 0 0,548743 0,07684 5,36 5,8369 0,5536 0,08085 5,7785 5,897835 9