Dimostrazioni Risoluzione 1) Le circonferenze Γ e Γ' (e Γ'') sono tangenti P appartiene alla retta tangente comune t PA, PB (e PB*) sono tangenti PA = PB (= PB*) Non ha importanza se le due circonferenze sono tangenti esternamente o internamente. La dimostrazione segue dalla proprietà transitiva. Dal teorema delle tangenti ad una circonferenza condotte da un punto esterno si ricava che PA = PT e PB = PT (PB* = PT). Quindi PA = PB (= PB*) Risoluzione 2) Le circonferenze sono concentriche e con raggi uno il doppio dell altra P appartiene alla circonferenza esterna PT è tangente alla circonferenza interna OQ è il raggio che passa per T POQ è un triangolo equilatero Innanzitutto, il triangolo POQ è isoscele (OP = OQ). Poi si ha che OT = TQ (per l ipotesti dei raggi) e OT perpendicolare a PT (per la tangenza) Ne segue che anche OP = PQ (solo nei triangoli isosceli l altezza è anche mediana) 1/6
Risoluzione 3) Le circonferenze sono concentriche e la retta AB le interseca. AC = DB Tracciare dal centro la perpendicolare alle corde. Per il teorema fondamentale delle corde, H è punto medio sia di AC che di CD. La tesi segue per differenza di segmenti congruenti. Risoluzione 4) le circonferenze sono tangenti r passa per il punto di tangenza T r interseca le circonferenze in A e B. AO // BO' La congiungente i due centri passa per T. I triangoli AOT e BO'T sono isosceli, hanno gli angoli ATO = BTO' perché opposti al vertice. Di conseguenza sono congruenti gli angoli OAT = TBO' e per il teorema delle retta parallele AO è parallelo a BO' (angoli alterni interni congruenti). Notare che la tesi è vera anche nel caso che le due circonferenze sono tangenti internamente (seconda figura). In questo caso, invece che due angoli opposti al vertice congruenti) i due triangoli isosceli hanno un angolo in comune. 2/6
Risoluzione 5) le circonferenze sono secanti in A le circonferenze sono congruenti O, A e B sono allineati BO'C = 3 BOC. Tracciamo il raggio AO. Detto α l angolo AOO', la tesi si ricava trovando, in funzione di α, tutti gli angoli dei triangoli AOO' e AO'B (i quali sono isosceli!). Risoluzione 6) le circonferenze sono secanti nei punti A e B AC e AD sono diametri. i punti C, B e D sono allineati. Tracciamo il segmento AB. Il triangoli ABC è inscritto nella semirconferenza di diametro AC e quindi è rettangolo in B. Analogamente per il triangolo ABD. L'angolo CBD risulta quindi piatto e i punti C, B e D risultano dunque allineati. 3/6
Risoluzione 7) le circonferenze sono tangenti le rette r ed s passano per il punto di tangenza T r interseca le circonferenze in A e B s interseca le circonferenze in C e D AC // BD Si veda la seconda figura Congiungendo i centri delle circonferenze con il punto di tangenza e con gli estremi delle corde si ottengono sei triangoli isosceli. Gli angoli di ciascuno dei tre triangoli nella prima circonferenza sono congruenti agli angoli di ciascuno dei tre triangoli della seconda circonferenza. Per dimostrare ciò, due coppie di triangoli si utilizza il teorema degli angoli opposti al vertice. Per dimostrare che CAO 1 = O 2 BD si utilizza il fatto che AO 1 C = DO 2 B per differenza e che gli angoli alla base dei triangoli isosceli CAO 1 e O 2 BD sono quindi congruenti, sempre per differenza. Sommando gli angoli congruenti in A e B, si ricava che le rette AC e DB formano angoli alterni interni congruenti se tagliati da r e perciò AC e BD sono rette parallele. O 1 4/6
Risoluzione 8) le circonferenze sono tangenti esternamente nel punto M MD e ME sono due corde perpendicolari dalla stessa parte di OO'. DE // OO' Detto α l angolo DMO trovare in funzione di α gli angoli dei due triangoli isosceli DOM e EO M (tenere presente l ipotesi che DME è un angolo retto). Si ricava che gli angoli DOM e EO M sono supplementari e che di conseguenza i raggi DO e EO' sono paralleli. Poiché è anche DO = EO' in quanto raggi di circonferenze congruenti, si ha quindi che il quadrilatero DOO'E è un parallelogramma (una coppia di lati opposti congruenti e paralleli). Perciò si ha la tesi DE // OO' Risoluzione 9) le circonferenze sono tangenti esternamente nel punto M i raggi DO e EO sono paralleli e nello stesso semipiano rispetto OO. DME è retto Detto α l angolo DOM trovare in funzione di α gli angoli dei due triangoli isosceli DOM e EO M (tenere presente l ipotesi che i raggi sono paralleli e che quindi DOM e EO M sono supplementari in quanto coniugati interni. Dal calcolo si ricava che DME è retto. 5/6
Risoluzione 10) le circonferenze sono tangenti internamente nel punto T la circonferenza interna passa per il centro di quella esterna. TB è una semiretta per T A è l intersezione di TB con la circonferenza interna A è punto medio di TB Vedere la seconda figura. Tracciare il diametro TS e le corde OA e SB. Poiché i triangoli OTA e STB sono inscritti nelle semicirconferenze, allora sono rettangoli gli angoli OAT e SBE. Ne segue che OA e SB sono parallele. Poiché OT = OS (raggi) per il Teorema di Talete ne segue che AT = AB. 6/6