ESERCIZI IN PIÙ I NUMERI COMPLESSI L equazione x x 0 non ha soluzioni nell insieme dei numeri reali; infatti, applicando la formula ridotta, si ottiene x, 3. Interpretando come numero immaginario, cioè 4i, le soluzioni precedenti possono essere riscritte come somma o differenza di un numero reale e di un numero immaginario, ossia x, 3 4i. Si chiama numero complesso la somma di un numero reale e di un numero immaginario: a bi, con a, b R. Il numero a si dice parte reale del numero complesso, mentre bi si dice parte immaginaria. L insieme dei numeri complessi è indicato con C. Se a 0, il numero complesso coincide con il numero immaginario bi; viceversa, se la parte immaginaria è nulla, il numero complesso coincide con il numero reale a. Perciò l insieme dei numeri reali R e l insieme dei numeri immaginari I possono essere considerati dei sottoinsiemi dell insieme dei numeri complessi C. Due numeri complessi si dicono coniugati se hanno la stessa parte reale e la parte immaginaria opposta. Per esempio, 3 i e 3 i sono coniugati. Nell insieme C le equazioni di secondo grado ammettono sempre due soluzioni distinte oppure coincidenti. Data l equazione ax bx c 0, si possono verificare i seguenti casi: 0: due soluzioni reali distinte; 0: due soluzioni reali coincidenti; 0 e b 0: due soluzioni immaginarie opposte, cioè del tipo ki; 0 e b 0: due soluzioni complesse coniugate, cioè del tipo h ki, con la stessa parte reale h e parte immaginaria opposta, ki e ki. Nell insieme C le operazioni di addizione e di moltiplicazione sono definite utilizzando regole analoghe a quelle dell addizione e moltiplicazione di binomi. Addizione e sottrazione (a bi ) (c di ) (a c) (b d)i. ( 3i) (3 4i) 7i. L addizione gode delle proprietà commutativa e associativa. Esiste l elemento neutro, lo zero, e per ogni elemento esiste l elemento opposto. La somma di due numeri complessi coniugati è un numero reale doppio della parte reale degli addendi. (4 3i) (4 3i) 8. L operazione di sottrazione è definita in modo analogo all addizione: (a bi ) (c di ) (a c) (b d)i. Moltiplicazione e divisione (abi)(cdi)(acbd)(adbc)i. ( 3i) (3 4i) 8i 9i i i () 8 i. Anche la moltiplicazione gode delle proprietà commutativa e associativa, ed esiste l elemento neutro,. Vale inoltre la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all addizione. Il prodotto di due numeri complessi coniugati è un numero reale dato dalla somma del quadrato della parte reale e del quadrato del coefficiente della parte immaginaria. ( i) ( i) 4 9. Per definire la divisione, il quoziente di due numeri complessi può essere pensato come una frazione algebrica avente per numeratore il dividendo e per denominatore il divisore: (a bi ) (c di ) a bi. c di Eseguiamo la divisione moltiplicando numeratore e denominatore per c di (il coniugato del denominatore): a c bi di (a bi) (c di) (c di) (c di) ac bd (bc ad)i a c bd c b c ad i. c d d c d (3 i) (4 i) 3 i 4 i ( 3 i) ( ( 4 i) ( 4 i) 4 i) 0 i. 7 7 Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [8 der]
I numeri complessi e le equazioni di secondo grado Calcola il valore dei seguenti radicali nell insieme dei numeri immaginari. 9; 3; b ; b. [ 3i; 3i; ib; ib ] 48; ; ; 3 9. [ 4i3; i; i ; i] Risolvi le seguenti equazioni di secondo grado in C. 3 x x 0 [ i ] 7 x 8x 0 4 3 i 4 x 4 0 [ i ] 8 x 4x 7 0 [ 3i ] x 7 0 [ 7i ] 9 x 4x 0 [ i ] x 4x 0 0 [ 4i] 0 x 0ax 9a 0 [a ai ] L addizione e la sottrazione di numeri complessi Eseguiamo l addizione e la sottrazione fra i numeri complessi 4 3i e i. Addizione Scriviamo l addizione, mettendo i due numeri tra parentesi: (4 3i) ( i) Sommiamo tra loro le parti reali e le parti immaginarie: (4 ) (3i i) i. Più rapidamente: (4 3i) ( i) 4 3i i i. Sottrazione Scriviamo la sottrazione, mettendo i due numeri tra parentesi: (4 3i) ( i) Trasformiamo la sottrazione in un addizione, cambiando il segno del sottraendo: (4 3i) ( i) Procediamo come nel caso dell addizione: (4 ) (3i i) 9 i. Più rapidamente: (4 3i) ( i) 4 3i i 9 i. Esegui le seguenti addizioni e sottrazioni fra numeri complessi. (4 i) (4 i); ( 3i) ( 3i). 3 4 3 i 3 i ; 3 i 3 i. ( 3i) 7 i ; 3 4 i 3 i. i i ; 3 i 3 i. Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [8 der]
La moltiplicazione di numeri complessi Moltiplichiamo i seguenti numeri complessi: a) 3i e i; b) 3 i e 3 i. a) Scriviamo la moltiplicazione, mettendo i fattori tra parentesi: ( 3i)( i) Utilizziamo la regola di moltiplicazione di due binomi (senza dimenticare che i è un numero e i ): i 8i 3i 0i 3 9 0i. b) I numeri dati sono complessi coniugati. Il loro prodotto è un numero complesso reale: (3 i)(3 i) Poiché (a b)(a b) a b : 9 4i 9 4 3. Esegui le seguenti moltiplicazioni fra numeri complessi. 7 8 ( i)( i); ( 3i)( 3i). 9 ( 3i)( i); ( 7 i)(7 i). ( i)( i); (8 i)( 4 i). 3 i ( 3i); 4 3 i 4 3 i. 0 La divisione di numeri complessi Eseguiamo la divisione fra i numeri complessi i e i. Scriviamo il quoziente sotto forma di frazione: i i Moltiplichiamo numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore, ossia i: i i i i Moltiplichiamo i due numeratori e, al denominatore, applichiamo il prodotto notevole (a b)(a b) a b : i i i i Sommiamo i termini simili e sostituiamo a i il valore (al denominatore otteniamo i ( ) ): 3i 3i Separiamo la parte reale dalla parte immaginaria. Il quoziente cercato è: 3 i. Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [8 der] 3
Calcola i seguenti quozienti fra numeri complessi. 73 40 i ( i) i; i; (3 i). 4 ; ;. 8 3i 4 i 3 i 3 4i ; i ; 8 3i. i i 3 i 3 ; ;. i i i i 3i 3 i La potenza di numeri complessi Quadrato Calcoliamo il quadrato di i. ( i) Applichiamo la regola del quadrato del binomio (a b) a b ab: 4 i 4i Sostituiamo a i : 4 4i Eseguiamo la somma nella parte reale; il risultato è: 3 4i. Osservazione. Si ottiene lo stesso risultato se invece di calcolare ( i) si calcola ( i). Formalmente possiamo pensare ai seguenti passaggi algebrici: ( i) [ ( i)] ( i). Calcola il quadrato dei seguenti numeri complessi. 7 8 i; i; i. 9 i; 4 i; i. i; i; i. 30 3 4 i; 4 i; 3 3 i. Cubo 3 Calcoliamo il cubo di i. ( i) 3 Sviluppiamo il cubo del binomio, applicando la regola (a b) 3 a 3 3a b 3ab b 3 : 3 3( )(i)3()(i) (i) 3 0i 4i 8i 3 Teniamo presente che i e i 3 i: 0i 0 8i Sommiamo i termini reali e i termini immaginari, ottenendo il risultato: 4i. Calcola il cubo dei seguenti numeri complessi. 3 3 i ; i ; i. 34 3 i ; 4 i ; 3 i. 3i; 3 i; i. 3 i ; 3 i ; 3 4 i. Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [8 der] 4
Espressioni con i numeri complessi Calcola il valore delle seguenti espressioni. i i ; 3 3 37 38 i 40 i i 7 (3 i ) ( 3 i ); i 3 i 9 i. 3 i; i 3 8 [] i. [4 3 i; 4i] 39 40 4 4 43 4 i i 3 3 i ; i 3 ; 3 i i. 3 i 3 3 i. 4 3 7 i; 0 3 7i ; 4 3 3 i 3 i 3 i ; (3 i)( 3 i). ;0 i 4i ; 3 3i 3 ; i 3 i 3 i 3. i; 3 (3 i ); 3 i ( 3i) ; (3 4i) ; ( i). [ 7 i; 3 8 3 i;3 0 i] 44 i ; 3 4 i ; 3 i. i ; 3 4 i; 7 4 3 i 4 4 47 48 49 0 3 ( i) 3 ; (3 3 i) 3 ; (3 i ) 3. [ i; 4 3 i;7i 3 3 ] 3 i 4 3 i i 4 3i (3 i)(3 i) ( 4i)3i ( i) [ (7 8i)] ( 3i) 3 4 3 (4 3i) 3i i [0] i 39i 9 i 3i i i [ 9 i ] (i8 i 4 ) i 4 3 i 8i 8 7i 4i ( i i 3 i [4 3i] 3 ) (i 8 i 7 i0 0 ) i 3 9 i i 3 9 ( i ) i 8 3 i i 7 3 i ( i 3 ) i 3 (3 i) 3 i 7 ( i 3) i 3 4i 3 i Copyright 00 Zanichelli editore SpA, Bologna [8 der]