FENOMENI DI RASPORO (QANIÀ DI MOO, CALORE, MAERIA, CARICA ELERICA) Abbiamo visto che i fenomeni di attito viscoso deteminano un taspoto di quantità di moto. La dv ( z) legge di Newton τ z η ci dice che la densità di flusso di quantità di moto nella diezione dz z ( τ z ) è popozionale al tasso di vaiazione della componente della velocità di flusso valutato nella diezione z. Il segno negativo ci dice che la quantità di moto fluisce in veso opposto a quello del gadiente di velocità. La legge di Newton è un esempio di una elazione che si tova in fenomeni di taspoto pesenti in divesi domini della fisica: nei fenomeni di taspoto si ha spesso una elazione lineae ta la densità di flusso della gandezza che viene taspotata ed il gadiente di una vaiabile intensiva associata al fenomeno. Questa semplice elazione di popozionalità appesenta un compotamento macoscopico che, almeno pe alcuni sistemi, può essee deivato, pedetto, da una modellizzazione micoscopica del sistema stesso, come abbiamo fatto pe spiegae la viscosità nei gas e nei liquidi. uttavia va detto che, se una semplice elazione di popozionalità appesenta il compotamente nomale di un sistema, possono esistee impotanti eccezioni, come ad esempio il compotamento non newtoniano di molte sostanze, che tova in genee una spiegazione micoscopica nella loo natua composita (emulsioni, sospensioni, etc) o come il compotamento non ohmico nella conduzione elettica di ceti mateiali. Legge di Fouie Consideiamo oa un sistema temodinamico pe il quale una vaiabile intensiva non abbia valoe unifome, ma vai da punto a punto. n sistema del genee non è in equilibio e si assiste al taspoto di una quantità fisica associata alla vaiabile intensiva, tendente al aggiungimento o al ipistino di una condizione di equilibio. Se, ad esempio, la tempeatua non è unifome si ha passaggio di enegia dalla zona calda a quella fedda: Popietà fisica taspotata: enegia (caloe) Causa del taspoto: gadiente di tempeatua La legge fenomenologica del taspoto di caloe pe conduzione fu fomulata da Fouie (768-83) nel 85. La legge di Fouie affema che la quantità di caloe che fluisce attaveso un elemento di supeficie isotema di aea S in un intevallo di tempo t vale: d Q S t () dn d dove è la deivata diezionale della tempeatua, valutata lungo la nomale alla supeficie, dn oientata nel veso delle tempeatue cescenti e quindi appesenta la componente del gadiente della tempeatua, in valoe e segno, lungo la diezione individuata dal gadiente stesso. La quantità è detta conducibilità temica (o conduttività temica) ed è una popietà del mateiale e dipende dalla tempeatua. La legge di Fouie può essee iscitta come Q d J S t dn La quantità a pimo membo appesenta la densità di flusso del caloe. Essa è popozionale al gadiente della tempeatua: la legge di Fouie ha quindi la foma tipica di una elazione di taspoto. Essa può essee espessa vettoialmente come: (3) J Pe intensità di flusso di una ceta gandezza si intende la quantità della gandezza consideata che fluisce nell unità di tempo attaveso una supeficie di aea unitaia disposta otogonalmente alla diezione del flusso. M. Masea Complementi di Fisica A.A. 6/7 46
In abella sono ipotati i valoi della conducibilità temica pe alcuni mateiali. Si nota una gande vaiabilità pe questo paameto che ha valoi distibuiti su cinque odini di gandezza. abella aloi di conducibilità temica Sono cattivi conduttoi di caloe i gas e gli amofi, mente i metalli sono ottimi conduttoi. La conducibilità temica non vaia molto con la tempeatua pe i liquidi, pe i mateiali amofi e pe i gas, pe i quali è del tipo. Nei metalli pesenta un massimo a bassa tempeatua che è di due o te odini di gandezza maggioe del valoe iscontato a tempeatua ambiente. Pe il ame ad W W esempio, a K, che scende a 387 a 73 K. mk mk La legge di Fouie può essee utilizzata pe dedue una elazione che leghi la vaiazione spaziale della tempeatua con quella tempoale. Pima di dedue questa elazione nella sua foma geneale, consideiamo un esempio paticolamente semplice ed impotante: quello legato alla tasmissione del caloe attaveso una paete indefinita, come quella schematizzata in Figua. Supponiamo che la paete sia fomata da un mateiale omogeneo di densità ρ e caloe specifico c. Consideiamo una pozione infinitesima della paete, costituita da un paallelepipedo di base ds, altezza d e massa dm ρdsd (anch esso schematizzato in figua). Questo volumetto scambia caloe con il esto della paete attaveso le basi situate ispettivamente a e a +d. Pe la simmetia del poblema non scambia caloe attaveso la sua supeficie lateale: il flusso di caloe è paallelo all asse. In paticolae esso assobe il caloe dq ds dalla pozione di paete che gli sta a sinista e cede il caloe dq ds a desta. Complessivamente, quindi, il paallelepipedo +d assobe una quantità di caloe pai a: M. Masea Complementi di Fisica A.A. 6/7 47
M. Masea Complementi di Fisica A.A. 6/7 48 dds ds d ds ds dq dq d + + + + Di consequenza la sua tempeatua vaia secondo la elazione t c ddsd c c dm d dds ρ ρ Questa equazione diffeenziale alle deivate paziali egola la vaiazione di tempeatua in funzione della posizione e del tempo. Essa è nota come equazione di Fouie e, come vedemo, può essee genealizzata al caso in cui la tempeatua sia funzione di tutte e te le coodinate spaziali. Figua asmissione del caloe attaveso una paete indefinita In condizioni di egime, la paete aggiungeà una situazione in cui la tempeatua saà ancoa funzione di ma non vaieà più al tascoee del tempo. La situazione a egime è quindi caatteizzata dalle seguenti condizioni: ( ) ( ) t s La teza condizione implica quindi ( ) α+β. Applicando le pime due condizioni, si detemina completamente il pofilo di tempeatua all inteno della paete, che vale: ( ) s La tempeatua scende lineamente (quindi a gadiente costante) da a s.
Pe aivae ad un espessione geneale dell equazione di Fouie, consideiamo un mateiale omogeneo, di caloe specifico c, all inteno del quale non vi siano sogenti di caloe. Se isoliamo una supeficie chiusa Σ, che acchiuda un volume di mateiale (cf. Figua ), il pincipio di consevazione dell enegia implica che il flusso di enegia che esce da essa sia pai ed opposto al tasso di vaiazione di enegia acchiuso al suo inteno. Questo fatto è sintetizzato nella elazione: dq J ˆ n ds d (4) Σ dove q è l enegia temica pe unità di volume. Questa equazione pende il nome di equazione di continuità in foma integale. Essa può essee ulteiomente elaboata, applicando il teoema di Gauss, che dice che l integale di flusso di un campo vettoiale esteso ad una supeficie chiusa è uguale all integale della divegenza del campo stesso, esteso al volume acchiuso dalla supeficie. Nel caso nosto, questo significa che: J nds ˆ J d (5) Σ Figua Flusso di caloe attaveso una supeficie chiusa Combinando la (4) e la (5) si ottiene: dq dq Jd d J + d Data l abitaietà di, la nullità dell integale di volume implica la nullità della funzione integanda: dq J (6) La (6) ha lo stesso contenuto fisico della (4), ma è un espessione puntuale, locale della consevazione dell enegia. Il pimo membo della (6) dipende dalla tempeatua attaveso la legge di Fouie (3): J ( ) + + (7) y z dove si è intodotto l opeatoe laplaciano. Pe il secondo membo della (6), invece, vale la elazione M. Masea Complementi di Fisica A.A. 6/7 49
q dq mcd dq ρ cd ρc (8) t t Sostituendo la (7) e la (8) nella (6) si ottiene l equazione di Fouie o equazione diffeenziale della conduzione temica: ρc + + (9) y z t Si noti che questa equazione non è invaiante ispetto alla sostituzione di t con t, ispecchiando con ciò l ievesibilità del fenomeno. Resistenza temica Si considei la paete composita appesentata in Figua 3 e si assuma che > n. Il caloe fluisce da sinista veso desta, mente la tempeatua vaia lineamente all inteno di ciascuno degli n elementi che costituiscono la paete. Il gadiente temico vaia da un elemento all alto dato che sono fomati da mateiali con conducibilità temiche divese. Figua 3 Flusso di caloe attaveso una paete composta da n stati divesi In condizioni stazionaie la tempeatua è funzione soltanto di e non vaia con il tempo. La quantità di caloe che fluisce nell unità di tempo attaveso una sezione qualsiasi della paete (ossia pe qualunque valoe di ) vale: dq d J iˆ ds J S S (si è usata la (3)). d S isto che l enegia si conseva, il pimo membo di questa elazione ha lo stesso valoe indipendentemente da dove lo si valuti, quindi il podotto ta il gadiente temico valutato nell i-mo stato della paete moltiplicato pe la conducibilità temica del mateiale di quello stato deve avee il medesimo valoe pe tutti gli stati che costituiscono la paete: dq i i i dq dq is i i Ri () i i is Quindi la caduta di tempeatua agli estemi di una paete è pai al podotto ta la quantità di caloe che fluisce attaveso di essa nell unità di tempo pe una quantità che è data dal appoto ta lo spessoe della paete e la sua sezione etta moltiplicata pe la conducibilità temica. Questa quantità M. Masea Complementi di Fisica A.A. 6/7 5
pende il nome di esistenza temica e si misua in W K. In effetti la () ha la stessa foma della legge di Ohm: in questo caso abbiamo il flusso di enegia temica al posto del flusso di caica elettica e la caduta di tempeatua al posto della caduta di tensione. Anche la esistenza temica dipende dai paameti geometici del mateiale in modo identico a quanto accade pe la esistenza elettica: è popozionale allo spessoe del mateiale ed invesamente popozionale all aea della sezione tasvesa. In entambi i casi la costante di popozionalità e il ecipoco della conduttività (temica o eletica a seconda del caso). La esistenza temica di una seie di conduttoi temici è data dalla somma delle esistenze dei singoli elementi. Infatti pe la paete composita abbiamo: n n dq n i i Ri i i A paità di caduta di tempeatua, il flusso temico è tanto minoe quanto è maggioe la esistenza temica. Quindi, se la paete deve assolvee a funzioni di isolamento temico, occoe utilizzae mateiali coibentanti ad elevata esistenza temica, cioè di elevato spessoe e bassa conduttività temica. Figua 4 Meccanismi di tasmissione del caloe ( > A ) Abbiamo studiato come vaia la tempeatua all inteno di una paete pe effetto della conduzione temica. Se la paete è a contatto con un fluido (l aia ad esempio), la tempeatua sulla supeficie della paete non coincide con la tempeatua del fluido ad una ceta distanza da essa A. Questo peché i pocessi di taspoto di enegia da solido a fluido sono complessi: infatti olte al fenomeno della conduzione abbiamo pocessi di convezione (natuali o fozati) e di iaggiamento. na descizione puntuale di tutti questi pocessi è piuttosto complessa e va al di là degli scopi di questo coso. In pima appossimazione il fenomeno è descitto da una elazione empiica fomulata da Newton: Q h S t J h ( ) ( ) A A W dove h è una costante che pende il nome di conducibilità temica estena (u.m. ). A titolo di m K W esempio, nel caso di un filo caldo in aia h. m K Se, nell esempio pecedente sulla paete composita, questa sepaa due ambienti a tempeatue A > e < ispettivamente (cf. Figua 5), abbiamo che: B n M. Masea Complementi di Fisica A.A. 6/7 5
A B dq Sh A + Sh B + n i R i Figua 5 Caduta di tempeatua ta due ambienti sepaati da una paete Conduzione di caloe in un filo pecoso da coente elettica Abbiamo consideato finoa casi di taspoto di caloe in assenza di sogenti di caloe. alutiamo adesso un esempio in cui il caloe viene podotto e taspotato. Facendo ifeimento alla Figua 6, consideiamo un filo pecoso da coente elettica. In ealtà limiteemo la nosta attenzione ad una pozione di filo di lunghezza L, tascuando effetti di bodo (filo indefinito). Pe effetto Joule, al passaggio di coente elettica è associata una poduzione di caloe pai a: L J W I R J S σs σ Qui abbiamo supposto che la densità di coente elettica J sia unifome sulla sezione del filo e L abbiamo usato la elazione R dove σ è la conducibilità elettica del mateiale di cui è σ S costituito il filo. Questo caloe è podotto unifomemente su tutto il volume del filo. Il temine di sogente di caloe che useemo nel seguito saà quindi la quantità di caloe podotta pe unità di W volume e unità di tempo (u.m. ): m W J S e σ Indichiamo con la distanza dall asse del cilindo. alutiamo il bilancio enegetico elativo ad una coona cilindica avente pe base una coona cicolae di aggi e +. In condizioni stazionaie la tempeatua ha una dipendenza da ma non dal tempo, quindi deve valee la elazione: POENZA PRODOA POENZA ENRANE POENZA SCENE + NELLA CORONA NELLA CORONA DALLA CORONA La potenza podotta nella coona cilindica è π LS e Pe la simmetia del poblema il caloe fluisce dall asse del cilindo veso l esteno, con simmetia adiale in tutte le sezioni ette del cilindo. Quindi il flusso di caloe attaveso la supeficie lateale intena della coona è quello entante, mente il flusso attaveso la supeficie lateale estena è quello uscente. Queste due quantità valgono ispettivamente M. Masea Complementi di Fisica A.A. 6/7 5
πl ( J) πl( J) ( J) + πl Il bilancio enegetico è petanto: π LS + πl e [( J ) ( J ) ] + S e ( J ) ( J ) + Figua 6 Pozione di filio pecoso da coente elettica Nel limite di il secondo membo è la deivata di J : d( J ) S e d Questa equazione diffeenziale è a vaiabili sepaabili e fonisce un espessione pe la densità di flusso di enegia: C J Se+ () La costante di integazione C deve essee nulla peché in caso contaio avemmo una singolaità pe, coispondente ad una densità di flusso enegetico infinita. Quindi J Se : la densità di flusso temico aumenta lineamente con. Come veifica del isultato, possiamo valutae il flusso temico complessivo sulla supeficie lateale del filo: esso deve essee pai alla potenza podotta pe effetto Joule W. In effetti: M. Masea Complementi di Fisica A.A. 6/7 53
SeR J ( R) πrl πrl Se W Pe ottenee l andamento della tempeatua con, occoe combinae la legge di Fouie d J con la (): d d Se Se Se d d ( ) C d + 4 La costante di integazione si detemina imponendo la condizione al contono ( R). Il isultato è: S e R ( ) 4 R S L andamento della tempeatua è paabolico e il temine e appesenta il massimo incemento 4R temico ispetto alla tempeatua misuata sulla supeficie del conduttoe. Si noti l analogia fomale con il pofilo di velocità in un tubo di flusso in egime di Hagen-Poiseuille: avevamo tovato infatti p LR v( ). 4η R Diffusione La diffusione è un fenomeno di taspoto popio di tutti gli stati di aggegazione della mateia. Due sostanze, mutuamente solubili, se messe a contatto diffondono l una nell alta fino a quando la concentazione di ciascuna delle due sostanze diventa unifome sull inteo sistema. Figua 7 Mutua diffusione di due sostanze La legge fenomenologica che egola questo fenomeno è la legge di Fic che può essee espessa come: J D c con i, () ci i dni dove l indice i indica la sostanza che si considea, ci (, y, z, t) indica la sua concentazione d espessa in moli al meto cubo (oppue in numeo di molecole al meto cubo), J c la densità di i flusso di mateia, ifeita alla sostanza i espessa in moli al meto quado al secondo (oppue numeo di molecole al meto quado al secondo) e D è il coefficiente di diffusione o diffusività, che M. Masea Complementi di Fisica A.A. 6/7 54
si espime in m s -. La diffusione è la conseguenza del moto di agitazione temica delle molecole, ed avviene con meccanismi divesi a seconda dello stato di aggegazione del mateiale. La diffusività è maggioe pe la fase gassosa, dato l elevato cammino libeo medio delle molecole ed è minima nei solidi, dove avviene pe meccanismi paticolai ed è appezzabile a tempeatue non distanti dal punto di fusione. abella Coefficienti di diffusione Il fenomeno della diffusione ha luogo anche quando si mettono a contatto due campioni della stessa sostanza. Si pala in questo caso di autodiffusione. Essa è misuabile utilizzando isotopi divesi dello stesso elemento, iconoscibili pe diffeenza di massa ed eventualmente pe fenomeni di decadimento adioattivo, se si usano isotopi instabili. aloi del coefficiente di autodiffusione e mutua diffusione sono ipotati in abella. Nel caso dei fluidi, la deteminazione della diffusività deve essee effettuata al netto dei fenomeni convettivi che contibuiscono al pocesso di taspoto. Nei gas la diffusività dipende dalla adice quadata della tempeatua ed è invesamente popozionale alla pessione. Anche pe i liquidi D cesce con la tempeatua, in modo più macato che pe i gas. Figua 8 Coefficiente del cabonio nel feo in funzione della tempeatua (C. Wet, 95) M. Masea Complementi di Fisica A.A. 6/7 55
Nel caso dei solidi, la dipendenza dalla tempeatua può essee paametizzata come: ED D D ep con D e ED costanti (3) B In Figua 8 è ipotato il isultato di una seie di misue effettuate da C. Wet nel 95 sulla diffusione del cabonio nel feo. I dati sono in ottimo accodo con l andamento esponenziale (3) ed il paameto E D può essee icavato dalla pendenza della cuva. Questo paticolae fenomeno di diffusione in fase solida ha impotanza nella lavoazione degli acciai. In geneale, come del esto si evince dalla abella, i coefficienti di diffusione nei solidi sono estemamente bassi. Anche pe il fenomeno del taspoto di mateia, come pe quello del taspoto di caloe, si può aivae ad una equazione che fonisce una elazione ta la vaiazione spaziale e quella tempoale della concentazione. Se Σ è una supeficie chiusa, il flusso di mateia che esce dal volume acchiuso da Σ è, in assenza di sogenti dn d dc J ˆ c nds cd d (4) Σ dove n è il numeo di moli contenute nel volume. L integale di supeficie che figua a pimo membo della (4) può essee tasfomato in integale di volume gazie al teoema di Gauss: Σ J c nds ˆ J c d dc d J c dc La (5) espime in foma locale la consevazione della mateia. tilizzando la () pe la densità di flusso di mateia abbiamo: dc dc ( D c) D c D c Questa equazione diffeenziale è identica all equazione di Fouie (9). Conduzione elettica Accenniamo bevemente ad un alto fenomeno di taspoto, quello della caica elettica. Abbiamo già avuto modo di notae l analogia ta la esistenza temica e quella elettica. In effetti la legge di Ohm non è alto che un ulteioe esempio di elazione lineae ta la densità di flusso di una gandezza, la caica elettica in questo caso, ed il gadiente di una popietà intensiva del sistema studiato, il potenziale elettico. Facendo ifeimento alla pozione di conduttoe cilindico mostata in Figua 9, la legge di Ohm viene usualmente pesentata come RI dove è la caduta di potenziale elettico, R la esistenza elettica della pozione di conduttoe dq consideata e I J q nds ˆ J qs è la coente elettica (espessa in ampee), ossia la quantità S di potatoi di caica che attavesano una qualunque sezione del conduttoe nell unità di tempo. Nella elazione pecedente abbiamo assunto che la densità di flusso di caica elettica J abbia lo stesso valoe pe tutti i punti di una sezione etta del conduttoe. Questa assunzione è agionevole pe coenti continue o a bassa fequenza. Il veso della coente è quello dei potatoi di caica positivi. Ogni mateiale è caatteizato da una specifica conducibilità elettica σ che ne detemina la esistenza: l R σs σs σs q (5) M. Masea Complementi di Fisica A.A. 6/7 56
Figua 9 Pozione di conduttoe elettico pecoso da una coente elettica I La legge di Ohm può quindi essee iscitta in temini della densità di flusso di caica elettica come: d J qs J q σ σs d che può essee estesa allo spazio tidimensionale come J q σ Questa espessione è fomalmente identica alla legge di Fouie e alla legge di Fic. La legge di Ohm ha oigine fenomenologica, ma può essee deivata nell ambito dei modelli che descivono la conduzione elettica nei metalli o nelle soluzioni elettolitiche. uttavia non tutti i conduttoi elettici seguono la legge di Ohm: esistono impotanti eccezioni quali la conduzione elettica nei gas ionizzati ed il compotamento delle giunzioni ta semiconduttoi a diveso dogaggio utilizzate nei dispositivi elettonici. Conduzione temica nei gas utte le leggi che espimono fenomeni di taspoto (legge di Newton, di Fouie, di Fic, di Ohm) iguadano popietà macoscopiche di sistemi complessi e fuono fomulate a patie da ossevazioni speimentali. utti i modelli che ambiscono a descivee a livello micospocico questi fenomeni devono essee in gado di compotae come conseguenza e quindi di giustificae queste leggi macoscopiche. Inolte devono anche essee in gado di pedie un valoe pe le costanti che entano in queste leggi, quali la viscosità, le conducibilità temica, etc. Abbiamo dedotto la legge di Newton pe i fenomeni viscosi nei gas e nei liquidi. Adesso, con agomenti identici a quelli usati pe la viscosità, ci poponiamo di espimee la legge di Fouie sul taspoto di caloe nel caso dei gas, utilizzando il modello cinetico pe i gas ideali. Consideiamo un ecipiente contenente un gas descivibile come gas ideale. Supponiamo che vi sia un flusso di caloe in una diezione, che individuiamo come diezione (e veso) dell asse delle di una tena catesiana. Abbiamo visto a poposito della viscosità nei gas che, se indichiamo con N il numeo di molecole pe unità di volume e con v la loo velocità media, il numeo di molecole pe unità di volume che in ogni momento si muovono nella diezione e veso dell asse è, pe l ipotesi di caoticità del moto molecolae, pai a N N. Il numeo di molecole che in un secondo 3 6 attavesano una supeficie unitaia paallela al piano coodinato yz, situata ad una coodinata abitaia muovendosi nel veso delle cescenti (e vicevesa) è pai a quello contenuto in un cilindo di base unitaia ed altezza v : N v (numeo di molecole pe unità di supeficie pe unità 6 di tempo). L enegia associata a questo flusso di molecole è Φ A N v K( λ) (6) 6 M. Masea Complementi di Fisica A.A. 6/7 57
dove K ( ) è l enegia cinetica taslazionale media di una molecola valutata alla coodinata e λ è il libeo cammino medio. L enegia cinetica media è valutata alla coodinata λ in quanto le molecole che attavesano la sezione consideata hanno subito l ultimo uto popio a quella coodinata. Pe il flusso nel veso delle decescenti si tova un espessione analoga alla (6): Φ B N v K( + λ) (7) 6 Se non c è flusso di caloe la (6) e la (7) sono uguali: infatti la tempeatua è l espessione macoscopica dell enegia cinetica media delle molecole e se non c è gadiente temico non c è flusso di caloe e non c è neppue vaiazione dell enegia cinetica. In pesenza di flusso di caloe invece, c è un gadiente temico e quindi l enegia cinetica vaia con. Dato che la tempeatua non vaia appezzabilmente sulla distanza di qualche libeo cammino medio, possiamo usae la elazione seguente (appossimazione lineae): K K( ± λ) K( ) ± λ La densità di flusso di enegia netto nella diezione delle cescenti è petanto: N vλ K N vλ K J Φ A Φ B (8) 3 3 L enegia intena del gas è è data semplicemente dal podotto ta l enegia cinetica taslazionale molecolae media pe il numeo di molecole pesenti nel sistema : NK Pe un gas ideale, l enegia intena è legata al caloe specifico a volume costante dalla elazione N K K M c c (9) M M N Combinando la (8) e la (9) si ottiene: N vλ M J c ρvλc () 3 N 3 Questa espessione è popio la legge di Fouie. Se vogliamo esplicitae la dipendenza della conducibilità temica dalla tempeatua dobbiamo espimee in funzione di questa vaiabile sia la velocità media delle molecole che il loo libeo cammino medio. Pe questi paameti il modello cinetico pevede le seguenti espessioni (che abbiamo dedotto quando abbiamo intodotto il modello cinetico): 8B v π m λ N πd Se si sostituiscono nella () si tova: mb c 3 3 π d Quindi la conducibilità temica cesce con la adice quadata della tempeatua e non dipende dalla pessione. Pe quanto il calcolo che abbiamo svolto non sia completamente igooso, esso è in gado di fonie la dipendenza coetta di dalle vaiabili di stato del gas. Questo è coetto pe i gas monoatomici. Pe i gas poliatomici concoono a definie l enegia intena gadi di libetà molecolai non taslazionali (otazionali e vibazionali) M. Masea Complementi di Fisica A.A. 6/7 58