FUNZIONI DI UTILITÀ IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA Le funzioni di utilità in condizioni di incertezza sono strumenti utilizzati per l analisi di scelte dei soggetti economici nel caso in cui le scelte determinano risultati che sono condizionati dalla realizzazione di uno stato di natura. Si è soliti descrivere tali tipologie di scelta come selezione tra prospetti. Un prospetto y è univocamente definito da: y = {π, π,, π N ; x, x,, x N } dove π i è la probabilità di realizzazione dello stato di natura i-esimo (con Σ i π i =) e x i il corrispondente payoff. Un prospetto proprio presenta per ogni π i valori interni all intervallo [, ]. Il valore atteso di un prospetto è definito come E(y) = Σ i π i x i. Un prospetto può naturalmente essere definito anche su un intervallo continuo di una variabile k ed allora assume nel caso più generale la forma: y = {π (k); x (k)} oppure, analogamente, y = {f (x); x} dove E(y) = x f (x) dx Un prospetto composto z è univocamente definito da: z = {p, p,, p N ; y, y,, y N } dove le p i sono ancora probabilità e gli y i a loro volta prospetti. Si noti tra l altro che anche un prospetto semplice in questo senso può essere considerato come composto da prospetti impropri. Sia Y l insieme di prospetti tra cui scegliere. All interno dell insieme Y ogni decisore definisce una relazione binaria che rappresenta un ordine di preferenza tra i prospetti. È ragionevole assumere che tale relazione binaria possieda le seguenti proprietà: riflessività (cioè y i y i i) transitività (cioè se y y e y y, allora y y ) completezza (cioè (y, y ) Y, allora y y e/o y y ) Una funzione di utilità in condizioni di incertezza U ( ) è una funzione che associa ad ogni prospetto dell insieme Y un valore U (y) tale da descrivere la relazione binaria sopra illustrata. Svolge quindi correttamente il suo ruolo nella misura in cui: y y U (y ) U (y ) y, y Y. Ne consegue che è possibile descrivere la scelta razionale da parte di un individuo i del prospetto che egli preferisce nell ambito dell insieme Y come una procedure di massimizzazione della propria funzione di utilità U i (y).
Von Neumann e Morgenstern (953) hanno proposto un insieme di assiomi che specificano ulteriormente le preferenze degli individui al fine di ottenere famiglie di funzioni di utilità sufficientemente generali e analiticamente trattabili. È evidente che quanto maggiori sono le restrizioni che si pongono alle proprietà della relazione binaria di preferenza, tanto minori sono i gradi di libertà nella descrizione del comportamento reale degli individui. Assioma di continuità y, y, y 3 Y se y y y 3, α α y + ( α) y 3 y (con α ) dove α y = {π, π,, π N ; α x, α x,, α x N } L assioma di continuità dice che sottostante al sistema ordinale di preferenze è implicito un sistema cardinale caratterizzato da continuità. È l assioma considerato più discutibile. A titolo di contro esempio si consideri y, prospetto improprio che garantisce cento lire con certezza, e analogamente y che garantisce una lira con certezza e y 3 che corrisponda a morte certa: l assioma di continuità dice che il nostro decisore sarebbe disposto a pagare una lira per affrontare una lotteria nella quale vi è una probabilità positiva di morire in alternativa a vincere cento lire. Assioma di composizione (no fun in gambling) x = (x, x ), π = (π, π ), π = (π, π ), α (con α ) se y = {α, ( α); (π; x), (π ; x)} y {p, ( p); x} con p = α π + ( α) π. L assioma di composizione dice che il decisore è sempre indifferente tra un prospetto composto ed il suo corrispondente prospetto semplice. L assioma esclude cioè che il fatto di affrontare un prospetto composto (gamble) dia utilità per sé. Assioma di indipendenza (proprietà di monotonicità) i) y, y Y y y e α (con < α < ) vale la seguente: α y + ( α) y α y + ( α) y y Y ii) y, y Y y y e α (con < α < ) vale la seguente: α y + ( α) y α y + ( α) y y Y
L assioma di indipendenza dice che il sistema di preferenze non viene alterato dalla composizione con un qualsiasi prospetto. Anche questo assioma può essere talvolta considerato restrittivo. TEOREMA DI VON NEUMANN MORGENSTERN (Expected Utility Theorem) Il teorema VNM afferma semplicemente che se un sistema di preferenze ha tutte le caratteristiche fin qui esposte, allora esiste sempre ed è unica (a meno di una trasformazione lineare) una funzione di utilità U ( ) definita su Y tale per cui: y y sse U (y ) > U (y ), e tale che la funzione (definita dalla relazione di ordinamento) è del tipo: U (y) = U (π, π,, π N ; x, x,, x N ) = Σ i π i u (x i ) con u ( ) >. La funzioni che appartengono a questa famiglia prendono il nome di funzioni di utilità attesa. Giova sottolineare che il teorema VNM non richiede la consapevolezza da parte dell individuo sottoposto alla scelta della propria funzione di utilità; semplicemente afferma che, se l individuo presenta un sistema di preferenze ben descritto dalle proprietà sopra illustrate, quando sceglie egli si comporta come se stesse massimizzando quella specifica funzione di utilità. Le proprietà della funzione u ( ) consentono di qualificare l attitudine al rischio dei decisori, suddividendoli in tre famiglie a seconda che: Σ i π i u (x i ) u (Σ i π i x i ), (a) cioè a seconda che l utilità del valore atteso si maggiore, uguale o minore della utilità attesa. È peraltro facile dimostrare che la disuguaglianza (a) equivale alla seguente u ( ). In particolare se u ( ) > Σ i π i u (x i ) > u (Σ i π i x i ) si parla di atteggiamento di propensione al rischio, se u ( ) = Σ i π i u (x i ) = u (Σ i π i x i ) si parla di atteggiamento di indifferenza al rischio, se u ( ) < Σ i π i u (x i ) < u (Σ i π i x i ) si parla di atteggiamento di avversione al rischio.
L avversione al rischio, in altri termini, caratterizza quei decisori che preferiscono strettamente ottenere con certezza il valore atteso di un prospetto piuttosto che affrontare il prospetto stesso e analogamente negli altri Si consideri casi. il quadro (a) nella figura qui sotto: sia OA il valore atteso E (y) del generico prospetto y = {π, π; x, x }, pari a π x + ( π) x. L utilità del valore atteso del prospetto u (π x + ( π) x ) è misurata da AC, mentre l utilità attesa U (y) = π u (x ) + ( π) u (x ) è misurata da AB. AC è maggiore di AB coerentemente con la concavità di u (x) e con il principio di avversione al rischio (la cosiddetta disuguaglianza di Jensen ). C u(x) E u (x) B D O x A (a) x O x h z x (b) x + h MISURE DI ARROW PRATT DI AVVERSIONE AL RISCHIO Per comprendere ancor meglio la natura del comportamento del soggetto avverso al rischio, si consideri il quadro (b) della figura, e in particolare il prospetto y = {½, ½; x h, x + h} rispetto al prospetto improprio che assegna x con certezza. Il soggetto avverso al rischio chiaramente preferisce la seconda alternativa alla prima (considerato che OD < OE). Se u ( ), come nel caso, è strettamente concava e due volte differenziabile, allora esiste ed è unico z (con z < x ) tale per cui: ½ u (x h) + ½ u (x + h) = u (z ).
z viene chiamato certo equivalente in quanto rappresenta il prezzo massimo che il decisore è disposto a pagare per poter affrontare il prospetto y = {½, ½; x h, x + h} che ha valore atteso x. Data la u ( ), si definiscono allora ρ (x, h) = x z e ρ* (x, h) = (x z ) / x che prendono rispettivamente il nome di premio per il rischio e premio per il rischio relativo. ρ può essere espresso in un intorno piccolo di x con espansione in serie di Taylor h u (x ) h ρ( x, h) = R a(x ) u (x ) Arrow e Pratt hanno introdotto il coefficiente R a (x) che prende il nome di coefficiente di avversione al rischio assoluta. Esso qualifica la natura dell avversione al rischio implicita in una generica funzione di utilità: si può infatti dimostrare che date due generiche funzioni u ( ) e u ( ), in un intorno sufficientemente piccolo di x ρ (x, h) ρ (x, h) sse R a (x) R a (x) Il coefficiente di avversione al rischio assoluta è indice dell entità (in valore assoluto) del premio per il rischio richiesto dal decisore. Tra due soggetti, chi presenta il coefficiente di avversione al rischio assoluta più elevato è quello che è disposto a valutare di meno una specifica lotteria: ad esempio, si può affermare che a fronte di una lotteria nella quale si vince con probabilità,5 e nulla con probabilità,5, i soggetti avversi al rischio non compreranno il biglietto se esso costa non meno di 5 e che fissato un prezzo P inferiore a 5 tutti quelli che sono disposti ad acquistarlo hanno coefficiente di avversione al rischio assoluta minore di tutti quelli che non sono disposti ad acquistarlo. Arrow (963) e Pratt (964) hanno poi proposto una seconda misura dell avversione al rischio introducendo il coefficiente di avversione al rischio relativa definito come Infatti: u u ( z ) = u( x h) + u( x + h), ( x + h) u( x ) + h u ( x ) + u ( x ), u( x h) u( x ) h u ( x ) + u ( x ) u h ( z ) u( x ) + u ( x ) e quindi, siccome u ( x ) h ( x ) u( z ) u x z u ( x ) u( z ) ρu ( x ) h
u (x) R r (x) = x = x R a(x) u (x) Si dimostra analogamente al caso precedente che ρ* (x, h) ρ* (x, h) sse R r (x) R r (x) Per il coefficiente di avversione al rischio relativa valgono le stesse valutazioni introdotte per il coefficiente di avversione al rischio assoluta, pur di sostituire al premio per il rischio misurato in termini assoluti ρ il premio per il rischio ρ* misurato in termini percentuali rispetto alla ricchezza attesa del decisore. Considerati i comportamenti abituali dei decisori economici, si ritiene ragionevole assumere che R a (x) (cioè più si è ricchi e più alto è il prezzo che si è disposti a pagare per il biglietto della lotteria) mentre è plausibile che R r (x). ALCUNE TIPICHE FUNZIONI DI UTILITÀ ATTESA Nei modelli economici si assume, salvo indicazione contraria, che i soggetti economici siano avversi al rischio. Benché in linea di principio qualsiasi u (x) con u > e u < possa essere presa in considerazione, si modellizza abitualmente la condotta del decisore attraverso le seguenti funzioni, non tutte, comunque, ugualmente accettabili: u (x) = a + b x + c x con b >, c <, x b / c Si ricava che: R a (x) = c / (b + c x) e R a (x) > R r (x) = c x / (b + c x) e R r (x) Per le ragioni sopra espresse riguardo R a (x), la funzione quadratica non rappresenta bene le caratteristiche di avversione al rischio dei soggetti economici. u (x) = a + b ln (x + c) con b >, c Si ricava che: R a (x) = / (x + c) e R a (x) < R r (x) = x / (x + c) e R r (x)
Per le ragioni sopra espresse, la funzione logaritmica può rappresentare le caratteristiche di avversione al rischio dei soggetti economici. Funzione CARA (Constant Absolute Risk Aversion) u (x) / u (x) = γ = cost con γ >, da cui u (x) = e γ x Si ricava che: R a (x) = γ e R a (x) = R r (x) = γ x e R r (x) > Per le ragioni sopra espresse, la funzione CARA può rappresentare le caratteristiche di avversione al rischio dei soggetti economici. Funzione CRRA (Constant Relative Risk Aversion) x u (x) / u (x) = λ = cost con λ >, da cui x per < λ < u(x) = ln(x) per λ = x per λ > Si ricava che: R a (x) = λ / x e R a (x) < R r (x) = λ e R r (x) = Per le ragioni sopra espresse, la funzione CRRA può rappresentare le caratteristiche di avversione al rischio dei soggetti economici.
APPLICAZIONE : L atteggiamento degli investitori verso i rischi finanziari Si consideri un mercato composto da investitori caratterizzati da avversione al rischio di tipo CRRA con λ > (come l evidenza empirica tende a suggerire). Supponiamo che l investitore rappresentativo abbia un ammontare di risparmio da investire pari a W e che sia disponibile un titolo rischioso il cui rendimento atteso sul periodo di investimento sia r, distribuito in modo tale che: ln ( + r) N (µ, σ ) Ne discende che W è un prospetto : W = {f(r); W ( + r)} con <r<+, da cui, poiché + () ln(+ r) = W = W ( + r) = W e U(W ) = u(w ) f(r)dr e u(w ) si ottiene che U(W ) + () µ+ () σ () ln(+ r) = W e f(r)dr = W e Le linee di livello della U(W ) nel piano (µ, σ) sono allora tali per cui: W e () µ+ () σ ( λ) µ + ( λ) σ = U U = ln ( W ) µ = µ + ( λ ) σ che è la forma funzionale della classica mappa di funzioni di iso-utilità nel piano rischio-rendimento qui sotto rappresentata µ µ µ µ σ
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI Arrow K.J. (963) Uncertainty and welfare economics of medical care, American Economic Review, 53, 94-73. Pratt J.W. (964) Risk aversion in the small and in the large, Econometrica, 3, -36. Von Neumann J. e Morgenstern O. (953) Theory of games and economic behavior, 3 rd ed., Princeton, NJ, Princeton University Press.