ESERCITAZIONE: FUNZIONI GONIOMETRICHE

ESERCITAZIONE: FUNZIONI GONIOMETRICHE e-mail: tommei@dm.unipi.it web: www.dm.unipi.it/ tommei

Circonferenza goniometrica La circonferenza goniometrica è una circonferenza di raggio unitario centrata nell origine di un sistema di assi cartesiani ortogonali. OP=1 C y B P α O P P(x P, y P) A x = cos P y = sin P x α α C y B Ο P α y = tan T x Q= cot Q α T A x α α D D

Funzioni goniometriche - Valori Principali valori delle funzioni goniometriche per angoli compresi tra 0 e π/; ND sta per non definita. cos α sin α tan α cot α 0 1 0 0 ND π/6 3/ 1/ 3/3 3 π/4 / / 1 1 π/3 1/ 3/ 3 3/3 π/ 0 1 ND 0

Funzioni goniometriche - Grafici cos(x) 1, cos( x) = cos x x R sin(x) 1, sin( x) = sin x x R

Funzioni goniometriche - Grafici Il grafico di sin x è spesso chiamato sinusoide e qualunque altra curva ottenuta da una sinusoide tramite traslazioni, o più in generale tramite affinità, si chiama curva sinusoidale, grafico di una funzione sinusoidale. Una funzione sinusoidale f : R R è caratterizzata da quattro grandezze, espresse da numeri reali: il periodo T (per seno e coseno vale T = π); l ampiezza A, data da A = (M m)/, dove M è il valore massimo e m il valore minimo assunto da f (per seno e coseno vale A = 1); il valor medio y, dato da y = (M + m)/, che rappresenta il punto centrale dell intervallo di variazione di f (per seno e coseno si ha y = 0); la fase x 0, che è l ascissa positiva del primo punto di massimo (il coseno ha fase x 0 = 0, mentre il seno ha fase x 0 = π/). Una generica funzione sinusoidale f(x) con periodo T, ampiezza A, valor medio y e fase x 0 si può scrivere ( ) π f(x) = A cos (x x0) + y T

Esercizio 1 Determina una funzione sinusoidale che descriva la quantità di una certa sostanza nella corteccia di un albero, che varia nel tempo periodicamente con periodo 48 ore, con valore minimo 60 mg alle ore 8 e valore massimo 10 mg alle ore 16.

Esercizio 1 Sappiamo che il periodo T è uguale a 48 ore, l ampiezza vale A = M m 10 60 = = 30 il valor medio è dato da y = M + m 10 + 60 = = 90 mentre la fase è x 0 = 16. Quindi, tenendo conto dell espressione (??), la funzione cercata è ( ) π f(x) = 30 cos (x 16) + 90 48

Esercizio Calcola il periodo e disegna il grafico delle seguenti funzioni a partire dai grafici di y = sin x e y = cos x: a) y = sin 4 x b) y = cos x c) y = 4 sin( x + 1) d) y = + sin x

Funzioni goniometriche - Grafici Sinistra: grafico della funzione y = tan x. Destra: grafico della funzione y = cot x.

Funzioni goniometriche inverse - Grafici Sinistra: grafico della funzione y = arccos x. Destra: grafico della funzione y = arcsin x.

Funzioni goniometriche inverse - Grafici Grafico della funzione y = arctan x. Tale funzione presenta due asintoti orizzontali, ovvero due rette orizzontali, y = π/ e y = π/, alle quali la funzione si avvicina indefinitamente quando la variabile indipendente x cresce verso + o descresce verso rispettivamente.

Formule varie - Addizione e sottrazione cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin(α β) = sin α cos β cos α sin β tan(α + β) = tan(α β) = tan α + tan β 1 tan α tan β tan α tan β 1 + tan α tan β

Formule varie - Duplicazione e bisezione cos α = cos α sin α sin α = sin α cos α tan α = tan α 1 tan α ( α ) cos ( α ) sin ( α ) tan 1 + cos α = ± 1 cos α = ± 1 cos α = ± 1 + cos α

Formule varie - Parametriche Le formule parametriche permettono di esprimere il seno, il coseno e la tangente di un angolo α (α π + k π) come funzione razionale della variabile t = tan(α/). cos α = 1 t 1 + t sin α = t 1 + t tan α = t 1 t

Formule varie - Prostaferesi e Werner Le formule di prostaferesi permettono di trasformare somme di funzioni goniometriche in prodotti. ( ) ( ) α + β α β cos α + cos β = cos cos ( ) ( ) α + β α β cos α cos β = sin sin ( ) ( ) α + β α β sin α + sin β = sin cos ( ) ( ) α + β α β sin α sin β = cos sin Le formule di Werner si utilizzano per trasformare prodotti di funzioni goniometriche in somme. cos α cos β = 1 [cos(α + β) + cos(α β)] sin α sin β = 1 [cos(α β) cos(α + β)] sin α cos β = 1 [sin(α + β) + sin(α β)]

Esercizio 3 Risolvi le disequazioni a) sin x 1 3 b) sin x d) cos x e) cos x 1 3 g) tan x 1 h) tan x 3 c) sin 3 x 3 f) cos x i) tan x 3

Esercizio 4 Risolvi l equazione cos x 5 cos x + = 0 L equazione contiene solo la funzione goniometrica cos x, la quale compare al grado, al grado 1 e al grado 0. Operando la sostituzione t = cos x si ottiene un equazione di secondo grado in t che sappiamo facilmente risolvere t 5 t + = 0 t = 5 ± 5 16 4 = 5 ± 3 4 ottenendo le due soluzioni t 1 = 1/ e t =. Per trovare quindi le soluzioni dell equazione di partenza dobbiamo adesso risolvere cos x = 1 e cos x = La seconda non ammette soluzioni in quanto 1 cos x 1, mentre la prima ha come soluzioni x = π 3 + k π x = 5 3 π + k π k Z

Esercizio 5 Risolvi la seguente equazione tan x = cos x 1 + sin x

Esercizio 5 L equazione da risolvere contiene tre funzioni goniometriche distinte che è possibile ridurre a due esprimendo la tangente come rapporto tra seno e coseno: sin x cos x = cos x 1 + sin x Poiché abbiamo delle frazioni dobbiamo imporre che i denominatori siano diversi da zero: cos x 0 x π + k π 1 + sin x 0 sin x 1 x 3 π + k π Quindi l insieme di esistenza della nostra equazione è {x R : x π + k π} Riducendo allo stesso denominatore le due frazioni e portando tutto a primo membro si ottiene cos x + sin x + sin x = 0 (1 + sin x) cos x Quest ultima equazione è equivalente a cos x + sin x + sin x = 0 in quanto abbiamo già escluso i casi in cui il denominatore si annulla. Utilizzando la relazione fondamentale ( cos x = sin x 1) si ottiene sin x 1 + sin x + sin x = 0 sin x + sin x 1 = 0

Esercizio 5 Ci siamo così ricondotti ad un equazione di un tipo già visto: operando la sostituzione t = sin x si ha l equazione di secondo grado in t t + t 1 = 0 che ammette le soluzioni t = 1 e t = 1/. Per trovare quindi le soluzioni dell equazione in x dobbiamo adesso risolvere sin x = 1 e sin x = 1 La prima ha come soluzioni x = 3 π + k π ma tali soluzioni non appartengono all insieme di definizione dell equazione e pertanto non sono accettabili; infatti se sin x = 1 si annulla il denominatore del secondo membro dell equazione di partenza. La seconda equazione ha come soluzioni x = π 6 + k π x = 5 6 π + k π k Z che appartengono all insieme di definizione e sono quindi accettabili.

Esercizio 6 Risolvi la seguente equazione lineare in sin x e cos x 3 sin x + cos x = 1 In questa equazione sono presenti, al grado 1, due funzioni goniometriche dello stesso angolo x (seno e coseno). Ci sono almeno due possibili metodi per ridursi ad un equazione elementare: utilizzando le formule di addizione e sottrazione; utilizzando la relazione fondamentale.

Esercizio 7 Risolvi le seguenti equazioni in R: a) sin x = 1/(4 cos x) b) 4 sin x 1 = 0 c) 3 sin x cos x = 1 d) sin x + cos x = 1 e) sin( x) 3 tan x = 0 f) sin x/x = 0 g) sin x cos x cos( x) = 0 h) tan 3 x 1 = 0 i) cos x + 4 sin x cos x + sin x = 1 l) 3 sin x sin x cos x 3 = 0

Esercizio 8 Risolvi le seguenti disequazioni in R: a) cos x 1 b) 4 sin x > 3 c) cos x + 5 sin x 3 0 d) sin x < cos x e) 1 sin x cos x f) cos x 1 0 g) cos x/(1 + sin x) > 0 h) 3 cos x/x 0 i) cos x cos x + 1 > 0 l) (1 sin x )/( sin x + 1) > 0