Appendice C Segnali passa-banda ed equivalenti passa-basso C.1 Segnali deterministici Un segnale deterministico u(t) con trasformata di Fourier U(f) è un segnale passa-banda se f 0, W, con 0 < W < f 0, t.c. f R : f f 0 W U(f) = 0. (C.1) Se, in aggiunta, è verificata la condizione f 0 W, il segnale u(t) è detto a banda stretta. La definizione di segnale passa-banda appena introdotta si estende facilmente ad un sistema LTI, infatti, un sistema LTI con risposta impulsiva h(t) è detto essere un sistema LTI passa-banda se la sua risposta in frequenza H(f) è un segnale passa-banda. Esempio C.1.1. sinusoidale Un primo esempio di segnale passa-banda è dato dal segnale u(t) = A cos(2πf 0 t + θ), a cui corrisponde una trasformata di Fourier pari a U(f) = A 2 [ ] e jθ δ(f f 0 ) + e jθ δ(f + f 0 ) ; in questo caso, la trasformata di Fourier del segnale è formata da due impulsi di Dirac, ovvero due righe, e, quindi, la larghezza di banda è nulla. Esempio C.1.2. Un segnale DSB-SC AM, ottenuto dalla modulazione di un segnale deterministico m(t), rigorosamente limitato nella banda [ B, B], è un 105
106APPENDICE C. SEGNALI PASSA-BANDA ED EQUIVALENTI PASSA-BASSO secondo esempio di segnale passa-banda se f c > B. Infatti, dall espressione del segnale nel dominio del tempo u(t) = A c m(t) cos(2πf c t + φ c ), t R, (C.2) si ricava immediatamente la sua trasformata di Fourier U(f), i.e. U(f) = A c 2 [ ] e jφc M(f f c ) + e jφc M(f + f c ) dove M(f) denota la trasformata di Fourier di m(t). Il segnale u(t) è quindi passa-banda come risulta evidente ponendo f 0 = f c e W = B nella definizione (C.1). Dato un segnale passa-banda e reale si definisce segnale analitico ad esso associato, e si indica con z u (t), il segnale in uscita ad un filtro LTI con risposta in frequenza H(f) = 2δ 1 (f), dove δ 1 (f) è la funzione gradino unitario, sollecitato da u(t). Quindi l operazione che permette di passare dal segnale passa-banda u(t) al corrispondente segnale analitico z u (t) consiste nell eliminare i contributi nella Trasformata di Fourier di u(t) alle frequenze negative e nel moltiplicare per due quelli alle frequenze positive, i.e. Z u (f) 2δ 1 (f)u(f), dove U(f) e Z u (f) denotano, rispettivamente, le Trasformate di Fourier di u(t) e z u (t). La risposta impulsiva del filtro che permette di estrarre il segnale analitico z u (t) dal segnale passa-banda u(t) può essere calcolata come segue [3] h(t) = F 1 {H(f)} = F 1 {2δ 1 (f)} = F 1 {1 + sgn(f)} = δ(t) + j πt, (C.3) dove sgn(f) denota la funzione segno. Pertanto, l espressione del segnale analitico nel dominio del tempo è dove il segnale z u (t) = [h u](t) = u(t) + j û(t), û(t) 1 πt u(t) = + u(θ) t θ dθ, è, per definizione, la Trasformata di Hilbert del segnale u(t). Si noti che il sistema che consente di passare dal segnale u(t) alla sua Trasformata di Hilbert û(t) ha risposta in frequenza data da H(f) = jsgn(f),
C.1. SEGNALI DETERMINISTICI 107 e non è né BIBO stabile né causale. Infine, l equazione (C.3) suggerisce che è possibile estrarre il segnale passabanda u(t) dal segnale analitico z u (t) tramite la relazione u(t) = R {z u (t)}. La precedente relazione non caratterizza il segnale analitico con ciò intendendo che un segnale che soddisfa alla precedente relazione non è necessariamente il segnale analitico associato ad u(t). Vale, invece, il seguente risultato di facile dimostrazione. Teorema C.1.1 Sia u(t) un segnale passa-banda reale e z(t) un segnale (a valori complessi) la cui parte reale coincida con u(t) e la cui Trasformata di Fourier sia identicamente nulla per frequenze negative. Allora z(t) = z u (t), ovvero z(t) è il segnale analitico associato ad u(t). Si definisce inviluppo complesso o equivalente in banda base del segnale passa-banda u(t), e lo si denota con ũ(t), il seguente segnale ũ(t) z u (t)e j2πf 0t, (C.4) a cui corrisponde la Trasformata di Fourier Ũ(f) = Z u (f + f 0 ) = 2δ 1 (f + f 0 )U(f + f 0 ). Si osservi che ũ(t) è, in generale, un segnale complesso di tipo passa-basso e che la sua trasformata di Fourier coincide con la parte positiva dello spettro di u(t) traslata dall intorno della frequenza f 0 all intorno della frequenza zero. Combinando insieme le precedenti relazioni è possibile ricavare il legame tra il segnale u(t) ed il suo inviluppo complesso { } u(t) = R ũ(t) e j2πf 0t, (C.5) ũ(t) = [u(t) + j û(t)] e j2πf 0t. (C.6) Esempio C.1.1: continuazione. ha Trasformata di Fourier data da Il segnale analitico associato al segnale u(t) Z u (f) = Ae jθ δ(f f 0 ). Inoltre, è possibile scegliere come inviluppo complesso del segnale u(t) il segnale ũ(t) = Ae jθ,
108APPENDICE C. SEGNALI PASSA-BANDA ED EQUIVALENTI PASSA-BASSO la cui trasformata di Fourier è data da Ũ(f) F[ũ(t)] = Ae jθ δ(f). Quindi il segnale analitico e l inviluppo complesso di un segnale sinusoidale coincidono, rispettivamente, con le definizioni di vettore rotante, i.e. z u (t) = Ae j(2πf 0t+θ), e di fasore introdotte in Teoria dei Circuiti [4]. Dal fatto che la parte immaginaria del segnale analitico è la Trasformata di Hilbert di u(t), segue che la trasformata di Hilbert del segnale cosinusoidale è il segnale sinusoidale, i.e. û(t) = A sin(2πf 0 t + θ). Esempio C.1.2: continuazione. Il segnale analitico associato ad un segnale DSB-SC AM ha la seguente Trasformata di Fourier quindi, esso è dato da Inoltre, ponendo f 0 = f c si ottiene Z u (f) = A c e jφc M(f f c ); z u (t) = A c e jφc m(t)e j2πfct. Ũ(f) = Ae jφc M(f). Quindi, come era naturale aspettarsi, l inviluppo complesso del segnale passabanda (C.2) è proporzionale al segnale modulante m(t). Poiché, come appena accennato, l inviluppo complesso ũ(t) è un segnale complesso, può essere utile rappresentarlo in termini della sua parte reale u c (t) e della sua parte immaginaria u s (t), ovvero nella forma ũ(t) u c (t) + j u s (t); i segnali u c (t) e u s (t) sono denominati, rispettivamente, componente in fase (o componente in coseno) e componente in quadratura (o componente in seno) del segnale passa-banda; infatti, con facili passaggi algebrici, si può dimostrare che valgono le seguenti relazioni u(t) = u c (t) cos(2πf 0 t) u s (t) sin(2πf 0 t), u c (t) = u(t) cos(2πf 0 t) + û(t) sin(2πf 0 t), u s (t) = û(t) cos(2πf 0 t) u(t) sin(2πf 0 t).
C.2. SEGNALI ALEATORI 109 Analogamente, si può rappresentare ũ(t) in termini di modulo e fase ũ(t) v u (t)e jφu(t), dove i segnali v u (t) e φ u (t) sono detti, rispettivamente inviluppo reale e fase di ũ(t) e sono definiti come segue v u (t) u 2 c(t) + u 2 s(t) φ u (t) = arctg [ ] us (t) u c (t) dove l arcotangente va intesa come riportato in [3]. Utilizzando la (C.5) si può, infine, ricavare u(t) = v u (t) cos [2πf o t + φ u (t)], che evidenzia come un generico segnale passa-banda possa essere pensato come una sorta di generalizzazione di un segnale sinusoidale. Esempio C.1.3. Mostrare che il segnale u(t), ottenuto a partire dal segnale modulante m(t) deterministico, con Trasformata di Fourier M(f), attraverso la modulazione della portante in SSB-SC AM è dato da p(t) = A c cos(2πf c t) u(t) = m(t) cos(2πf c t) ± m(t) sin(2πf c t), dove il segno positivo si riferisce alla LSSB mentre quello negativo alla USSB. C.2 Segnali aleatori La definizione di processo aleatorio a banda stretta è analoga a quella data per i segnali deterministici a patto di sostiuire la Trasformata di Fourier del segnale con la sua PSD. Analogamente si estendono le definizioni di segnale analitico ed inviluppo complesso di un segnale aleatorio passa-banda e reale; ad esempio, il segnale analitico associato al segnale aleatorio u(t) ha come realizzazioni i segnali analitici associati alle realizzazioni di u(t). È inoltre evidente che la PSD del segnale analitico z u (t) è data da S zu (f) = 4δ 1 (f)s u (f).
110APPENDICE C. SEGNALI PASSA-BANDA ED EQUIVALENTI PASSA-BASSO Inoltre, la funzione di autocorrelazione in tempo-ritardo dell inviluppo complesso ũ(t) si calcola immediatamente a partire dalla equazione (C.4), ed è data da Rũ(t, τ) = E[ũ(t)ũ (t τ)] = E[z u (t)e j2πf 0t z u(t τ)e j2πf 0(t τ) ] = E[z u (t)z u(t τ)]e j2πf 0τ = R zu (t, τ)e j2πf 0τ. Quindi, l autocorrelazione media dell inviluppo complesso del segnale u(t) è data da Rũ(τ) = R zu (τ)e j2πf 0τ, e, di conseguenza, la PSD di ũ(t) è Sũ(f) = S zu (f + f 0 ) = 4δ 1 (f + f 0 )S u (f + f 0 ). La precedente relazione, tenuto conto del fatto che u(t) è un segnale reale e, quindi, la sua PSD è pari, consente di dimostrare con facili passaggi il seguente risultato notevole. Teorema C.2.1 La PSD del segnale (aleatorio) passa-banda reale u(t) è data da S u (f) = 1 4 [S ũ(f f 0 ) + Sũ( f f 0 )] dove Sũ(f) è la PSD del corrispondente inviluppo complesso. Il precedente teorema può essere utilizzato per calcolare la PSD di un segnale aleatorio passa-banda a patto di conoscere la PSD del corrispondente inviluppo complesso. A tal fine può essere necessario determinare preliminarmente il segnale analitico associato ad u(t) e, a partire da questo, l inviluppo complesso. È, quindi, importante evidenziare che per i segnali aleatori vale, con le ovvie modifiche del caso, la caratterizzazione del segnale analitico fornita con riferimento ai segnali deterministici, ovvero il Teorema 1.1. L esempio che segue illustra l utilizzo di tale caratterizzazione con riferimento ai segnali aleatori. Mostrare che l inviluppo complesso del segnale PAM in banda- Esempio C.2.1. passante u(t) = = R + { + c k 2g(t kt ) cos(2πfc t) } c k 2g(t kt )e j2πf ct, (C.7)
C.2. SEGNALI ALEATORI 111 è dato da ũ(t) = + c k 2g(t kt ) (C.8) se g(t) è un segnale di energia con trasformata di Fourier G(f) rigorosamente limitata nella banda [ B, B] ed f c > B. Mostrare, inoltre, che la (C.8) è un uguaglianza approssimata anche quando g(t) è un impulso rettangolare di durata T se f c 1/T. Dimostrazione. È sufficiente dimostrare che il segnale z(t) + c k 2g(t kt )e j2πf ct, ha una PSD nulla per f < 0. A tal fine si osservi che il segnale x(t) = z(t)e j2πfct = + c k 2g(t kt ) ha una PSD rigorosamente limitata in [ B, B]; infatti, la PSD di x(t) è data da S x (f) = 2 T S c(ft ) G(f) 2 ed è quindi limitata dalla ESD (dall inglese Energy Spectral Density) del segnale g(t). Inoltre, la funzione di autocorrelazione statistica in tempo-ritardo di z(t) è R z (t, τ) = E[z(t)z (t τ)] = E[x(t)e j2πfct x (t τ)e j2πfc(t τ) ] = R x (t, τ)e j2πfcτ ; di conseguenza, le autocorrelazioni medie di z(t) ed x(t) sono legate dalla relazione R z (τ) = R x (τ)e j2πfcτ, da cui si evince che la PSD di z(t) è data da S z (f) = S x (f f c ) e risulta evidentemente nulla per f < 0 se f c > B. Ovviamente tale conclusione continua a valere in modo approssimato se g(t) non è rigorosamente limitato nella banda [ B, B], ma è un impulso rettangolare di durata T ed f c 1/T. Se si considera un processo aleatorio passa-banda n(t) almeno SSL è facile dimostrare che sia il segnale analitico z n (t) che l inviluppo complesso ñ(t) ad esso associati sono almeno SSL. Infatti, il segnale analitico è l uscita di un filtro LTI sollecitato da un segnale almeno SSL. Per quanto riguarda l inviluppo complesso la dimostrazione necessiterebbe di calcolare la funzione di autocorrelazione statistica in tempo-ritardo di ñ(t) in termini di quella del corrispondente segnale analitico z n (t), ma su questo non ci si sofferma. Inoltre, se n(t) è a media nulla anche i processi derivati ñ(t), z n (t), n c (t), n s (t) hanno media nulla. Vale, inoltre, il seguente teorema per la cui dimostrazione si rimanda a [5].
112APPENDICE C. SEGNALI PASSA-BANDA ED EQUIVALENTI PASSA-BASSO Teorema C.2.2 Sia n(t) un processo aleatorio passa-banda almeno SSL e con media nulla. La componente in fase n c (t) e la componente in quadratura n s (t) sono congiuntamente SSL; inoltre n c (t) ed n s (t) hanno la stessa funzione di autocorrelazione media, i.e. R nc (τ) = R ns (τ); la funzione di mutua correlazione tra n c (t) e n s (t) e quella tra n s (t) e n c (t) sono l una l opposta dell altra R ncn s (τ) = R nsn c (τ); la funzione di autocorrelazione dell inviluppo complesso ñ(t) è data da Rñ(τ) = 2 [R nc (τ) + jr nsn c (τ)]. Inoltre, R nsn c (τ) = 0 (come è facile verificare tenuto conto del fatto che la potenza dell invilupo complesso deve essere reale) e, quindi, la potenza di ñ(t) è pari a due volte la potenza della componente in fase (quadratura), ovvero a due volte quella di n(t), i.e. E[ ñ(t) 2 ] = 2E[n c (t) 2 ] = 2E[n s (t) 2 ] = 2E[n(t) 2 ]. Infine, se la PSD di n(t) è simmetrica intorno a ±f 0, i.e. S n ( f + f 0 ) = S n (f + f 0 ), f f 0, l autocorrelazione di ñ(t) è una funzione reale; di conseguenza, n c (t) e n s (t) sono incoerenti, ovvero R ncn s (τ) = 0, τ, e, quindi, vale la seguente relazione di additività tra le PSD di ñ(t), n c (t) ed n s (t) Sñ(f) = 2S nc (f) = 2S nc (f). È anche evidente che se n(t) è un processo aleatorio gaussiano, ñ(t), z n (t), n c (t) ed n s (t) sono processi gaussiani. In particolare, n c (t) ed n s (t) sono congiuntamente gaussiani. Esempio C.2.2. Utilizzando il precedente teorema determinare le espressioni delle PSD di n c (t), n s (t) e ñ(t) nell ipotesi che n(t) sia rumore bianco nella banda [ f c W, f c + W ] [f c W, f c + W ] ovvero ottenuto dal filtraggio di un rumore gaussiano bianco con PSD di livello pari a N 0 /2 attraverso un filtro rettangolare con risposta in frequenza ( ) ( ) f + fc f fc H(f) = Π 2W + Π 2W.