Corso di fisica generale con elementi di fisica tecnica Aniello (Daniele) Mennella Dipartimento di Fisica Secondo modulo Parte prima (fondamenti di elettromagnetismo)
Lezione 2 Circuiti elettrici
Sommario La corrente elettrica Capacità e condensatori Resistenza e resistori
Circuiti elettrici La corrente elettrica
La corrente elettrica Una lampadina è, forse, l'esempio più semplice e immediato di circuito elettrico La corrente elettrica è il fenomeno fisico alla base del funzionamento di qualsiasi circuito elettrico. La corrente si ha quando vi sono delle cariche in movimento, generalmente all'interno di un conduttore
La corrente elettrica Immaginiamo di avere delle cariche positive che si muovono attraversando una superficie A Immaginiamo anche di misurare la quantità di carica, Q, che attraversa A in un intervallo di tempo t Possiamo definire corrente elettrica media il rapporto Nel limite per t 0 possiamo definire la corrente istantanea come la derivata della carica rispetto al tempo
La corrente elettrica Per convenzione si assume che la corrente scorra nella direzione delle cariche positive Anche se consideriamo una direzione, la corrente è una quantità scalare, non vettoriale L'unità di misura della corrente è il Coulomb al secondo [C/s] definita anche Ampere [A] Il tipo di cariche che effettivamente si muovono dipendono dal mezzo. Per esempio nei conduttori la corrente è trasportata dagli elettroni, e quindi scorre nel verso opposto al loro movimento.
Circuiti elettrici Capacità elettrica e condensatori
Elementi di un circuito - Capacità Consideriamo due piastre parallele di materiale conduttore Applichiamo una differenza di potenziale V, ad esempio collegandole a una batteria Sulle superfici delle due piastre si accumulerà la stessa quantità di carica (di segno opposto sulle due piastre), Q Poiché la differenza di potenziale è proporzionale alla carica, possiamo scrivere: dove C è la costante di proporzionalità Possiamo quindi definire la capacità come:
Elementi di un circuito - Capacità Un sistema costituito da due conduttori sui quali sia possibile accumulare carica elettrica è detto condensatore. In un circuito elettrico un condensatore è indicato mediante il simbolo La capacità esprime la quantità di carica che possiamo accumulare su due conduttori separati da un isolante per unità di differenza di potenziale L'unità di misura della capacità elettrica è il coulomb per volt [C/V] definito anche farad [F]. Il farad esprime una capacità molto elevata. I condensatori normalmente utilizzati nei circuiti elettrici hanno capacità dell'ordine del micro-farad ( F) fino al pico-farad (pf).
Esercizio: Il condensatore a piatti paralleli Calcolare la capacità di un condensatore formato da due piatti piani a e paralleli di sezione quadrata di area A, posti a distanza d fra loro. Si supponga che la distanza sia molto minore del lato dei piatti e che lo spazio fra i piatti sia vuoto. Se le due piastre sono molto vicine (d << A) possiamo considerare la carica Q distribuita uniformemente sulla superficie. La densità di carica superficiale, σ, è definita da σ = Q/A. L'intensità del campo elettrico (vedere esercizio in fondo alle slide) è data da E = σ / ε0, dove ε0 è la costante dielettrica del vuoto. Quindi si ha che:
Esercizio: Il condensatore a piatti paralleli Calcolare la capacità di un condensatore formato da due piatti piani a e paralleli di sezione quadrata di area A, posti a distanza d fra loro. Si supponga che la distanza sia molto minore del lato dei piatti e che lo spazio fra i piatti sia vuoto. La differenza di potenziale, ΔV, è data da ΔV = E x d, pertanto
Esercizio: Il condensatore a piatti paralleli Calcolare la capacità di un condensatore formato da due piatti piani a e paralleli di sezione quadrata di area A, posti a distanza d fra loro. Si supponga che la distanza sia molto minore del lato dei piatti e che lo spazio fra i piatti sia vuoto. La capacità di un condensatore a piatti piani paralleli: Aumenta all'aumentare della superficie dei piatti (possiamo accumulare più carica) Aumenta al diminuire della distanza fra i piatti (a parità di carica abbiamo una minore differenza di potenziale) Aumenta inserendo un materiale isolante (dielettrico) fra le piastre (con una costante dielettrica ε > ε0)
Circuiti elettrici Circuiti con condensatori
Condensatori in parallelo Immaginiamo di avere un condensatore di capacità C1 collegato ad una batteria che fornisce una differenza di potenziale ΔV ai capi del condensatore Sui piatti del condensatore si accumulerà una carica Q1 = C1 x ΔV Colleghiamo un secondo condensatore di capacità C2 agli stessi terminali della batteria Al secondo condensatore verrà applicata la stessa differenza di potenziale, ΔV, applicata al primo Sui piatti del secondo condensatore si accumulerà una carica Q2 = C2 x ΔV
Condensatori in parallelo Sui piatti dei due condensatori abbiamo accumulato una carica totale pari a Q = Q1 Q2 La differenza di potenziale applicata è ΔV Quindi possiamo scrivere:
Condensatori in parallelo Sui piatti dei due condensatori abbiamo accumulato una carica totale pari a Q = Q1 Q2 La differenza di potenziale applicata è ΔV Quindi possiamo scrivere: Il circuito è equivalente ad un circuito con un singolo condensatore di capacità C = C1 C2 Le capacità di condensatori collegati in parallelo si sommano
Condensatori in serie Se i condensatori sono collegati in serie, come nella figura, la differenza di potenziale si ripartisce fra i due condensatori in modo che ΔV = ΔV1 ΔV2 Quando colleghiamo la batteria, una carica positiva, Q, si accumula sul piatto a sinistra del condensatore più a sinistra, mentre una carica negativa, Q, si accumula sul piatto a destra del condensatore più a destra Analogamente sui piatti interni si accumuleranno cariche Q e Q, rispettivamente Su ciascuno dei condensatori abbiamo, quindi, la stessa carica Q
Condensatori in serie Il circuito è equivalente ad un circuito avente un condensatore di capacità C e carica totale Q Possiamo scrivere, quindi: da cui risulta che Quando i condensatori sono collegati in serie si sommano gli inversi delle capacità
Circuiti elettrici Condensatori con materiali dielettrici
Condensatori con un dielettrico I materiali isolanti come la gomma, la cera, il vetro, ecc, vengono anche chiamati dielettrici Quando un materiale dielettrico viene posto fra le piastre di un condensatore la capacità del condensatore aumenta di un fattore κ, che viene definita costante dielettrica del materiale. Vediamo come si presenta l'effetto di un dielettrico con il seguente esperimento concettuale
Condensatori con un dielettrico Carichiamo un condensatore di capacità C0 collegandolo ad una batteria che fornisce una differenza di potenziale ΔV, ad esempio 2 V. Sulle piastre si accumulerà una carica Q = C0 x ΔV0
Condensatori con un dielettrico Carichiamo un condensatore collegandolo ad una batteria che fornisce una differenza di potenziale ΔV, ad esempio 2 V Sulle piastre si accumulerà una carica Q = C0 x ΔV0 Stacchiamo la batteria e colleghiamo un multimetro per misurare la tensione. Sul display leggeremo 2 V 2.00 V
Condensatori con un dielettrico Riempiamo ora lo spazio fra le piastre di un materiale dielettrico. Noteremo che la lettura del multimetro scenderà di un fattore κ. Ad esempio, leggeremo 1 V invece che 2 V Poiché la carica è la stessa (Q) e la differenza di potenziale è diminuita ne consegue che la capacità deve essere aumentata. Infatti: senza diel. con diel. 1.00 V Possiamo quindi ricavare la capacità C1 Questo è uguale a C0 dove κ è la costante dielettrica del materiale
Condensatori con un dielettrico Perché la capacità aumenta? Cosa succede a livello microscopico nel dielettrico? In un dielettrico le molecole hanno una certa polarità ovvero uno sbilanciamento nella distribuzione di carica che le rende simili ad un dipolo elettrico. Le molecole sono orientate in tutte le direzioni, così che il campo elettrico all'interno del materiale è globalmente nullo Inseriamo ora il dielettrico fra le piastre di un condensatore carico
Condensatori con un dielettrico Perché la capacità aumenta? Cosa succede a livello microscopico nel dielettrico? distribuzione di cariche ai bordi del materiale Fra le piastre si instaura un campo elettrico E0 generato dalle due distribuzioni di carica Il campo elettrico polarizza il materiale, ovvero orienta i dipoli nella direzione del campo In prossimità dei bordi del dielettrico troviamo ora due distribuzioni di cariche di segno opposto di quelle presenti sulle piastre. Queste cariche generano un campo indotto nel dielettrico, Eind che si oppone al campo generato dalle piastre
Condensatori con un dielettrico Perché la capacità aumenta? Cosa succede a livello microscopico nel dielettrico? La presenza di un dielettrico riduce il campo elettrico fra le piastre e, conseguentemente, la differenza di potenziale Per accumulare una certa quantità di carica, quindi, è necessaria una differenza di potenziale inferiore. Da un altro punto di vista si ha che data una certa differenza di potenziale è possibile accumulare una maggior quantità di carica su un condensatore con dielettrico
Costanti dielettriche di vari materiali La rigidità elettrica di un materiale corrisponde al valore del campo elettrico oltre il quale il materiale, benché isolante, permette il passaggio di carica elettrica
Circuiti elettrici Resistenza elettrica e resistori
Resistenza e legge di Ohm Abbiamo visto che se applichiamo ai due capi di un conduttore una differenza di potenziale si instaura al suo interno un campo elettrico che determina un movimento di cariche (generalmente elettroni) e, quindi, si genera una corrente elettrica Tanto maggiore è il campo elettrico (e quindi la differenza di potenziale, dal momento che le due quantità sono legate) tanto maggiore è la corrente
Resistenza e legge di Ohm Per molti materiali conduttori a condizioni ambientali standard vi è una relazione lineare fra la differenza di potenziale applicata e la corrente che si instaura, ovvero La costante di proporzionalità è detta resistenza che, pertanto, è legata a corrente e differenza di potenziale dalla relazione (detta anche legge di Ohm):
Resistenza e legge di Ohm La resistenza ha l'unità di misura di Volt / Ampère [V/A], ed è definita convenzionalmente Ohm [Ω] In altre parole, in un conduttore avente la resistenza di 1 Ω, se applichiamo la differenza di potenziale di 1 V misuriamo una corrente di 1 A Da un punto di vista microscopico la resistenza è legata alle collisioni degli elettroni con gli atomi del conduttore; dipende, pertanto, dal tipo di materiale e dalle condizioni di temperatura (la resistenza tende a diminuire con la temperatura, perché diminuisce l'agitazione termica degli atomi e, quindi la probabilità di collisione)
Resistenza e legge di Ohm I materiali che hanno una dipendenza lineare della corrente dalla tensione sono detti Ohmici. Fanno parte di questa categoria la maggior parte dei conduttori e dei componenti utilizzati nei materiali elettrici I materiali per cui il comportamento non è lineare (e quindi per i quali non vale la legge di Ohm), sono detti non Ohmici. Fanno parte di questa categoria i semiconduttori e, in generale, componenti elettronici quali diodi, transistor, ecc.
Resistenza e resistività Sperimentalmente si vede che la resistenza di un conduttore, ad esempio di un filo, è direttamente proporzionale alla lunghezza e inversamente proporzionale alla sezione (area) In altre parole la corrente fluisce più facilmente in cavi corti e di grande sezione. Possiamo quindi scrivere: dove ρ è la costante di proporzionalità, chiamata resistività, A è la sezione del filo e ℓ la lunghezza L'unità di misura della resistività è l'ohm per metro [Ω m]
Resistività di alcuni materiali a 20 C La resistività è una proprietà intrinseca dei materiali e non dipende dalla forma, lunghezza, ecc. L'inverso della resistività è la conducibilità, σ, definita quindi La resistività dipende, oltre che dal materiale, anche da condizioni ambientali come, in particolare, la temperatura
Resistività e temperatura La resistività diminuisce con la temperatura, generalmente in modo lineare. Possiamo scrivere la dipendenza della resistività dalla temperatura come dove T0 è una temperatura di riferimento (generalmente 20 C), ρ0 è la resistività misurata alla temperatura T0 e α è il coefficiente termico di resistività
I superconduttori Per alcuni materiali, detti superconduttori, esiste una temperatura critica, Tc, al di sotto della quale la resistività si riduce improvvisamente a valori molto bassi, praticamente nulli La superconduttività è stata osservata per la prima volta nel 1911 sul mercurio, che diventa superconduttore a temperature inferiori a 4.15 K In un superconduttore al di sotto della temperatura critica una volta che viene instaurata una corrente questa può essere mantenuta senza il bisogno di fornire una differenza di potenziale Oggi sono noti migliaia di materiali superconduttori. Molti sono di natura ceramica e hanno temperature critiche relativamente alte, al livello dell'azoto liquido.
Circuiti elettrici Circuiti con resistori
La forza elettromotrice Simbolo per generatore di f.e.m. In un circuito elettrico è necessaria una sorgente di energia (ad esempio una batteria) che fornisca la differenza di potenziale necessaria ad attivare i dispositivi di interesse La differenzia di potenziale esistente ai capi della batteria è detta forza elettromotrice, ed è indicata con l'acronimo f.e.m. o il simbolo Nota bene: malgrado il nome la forza elettromotrice non è una forza! ma una differenza di potenziale La f.e.m. rappresenta una differenza di potenziale che sarebbe disponibile da un generatore o accumulatore ideale. Nella realtà esiste una certa resistenza interna, r, che riduce la differenza di potenziale effettivamente disponibile al circuito
La forza elettromotrice Consideriamo un circuito formato da un generatore di f.e.m. e un resistore di resistenza R
La forza elettromotrice Generatore di f.e.m. Comprende anche la resistenza interna, r I I Consideriamo un circuito formato da un generatore di f.e.m. e un resistore di resistenza R Come abbiamo visto, dobbiamo anche considerare la resistenza interna al generatore, r, che limita la differenza di potenziale effettivamente disponibile al circuito Se I è la corrente nel circuito, la differenza di potenziale ai capi del generatore di f.e.m. sarà ΔV = E Ir D'altra parte ai capi del resistore abbiamo la stessa differenza di potenziale, che sarà data da ΔV = I R Combinando le due equazioni otteniamo una relazione per la f.e.m.: E = I (R r). Alternativamente possiamo scrivere: I = E / (R r)
Energia e potenza in un circuito a b I I d c Consideriamo un circuito formato da un generatore di f.e.m. e un resistore di resistenza R. La differenza di potenziale ai capi del resistore è ΔV Analizziamo ora come viene trasportata l'energia dalla sorgente al resistore. La variazione di energia potenziale data dalla differenza di potenziale ΔV è ΔU = Q ΔV. L'energia potenziale viene prodotta convertendo l'energia chimica presente nella batteria in energia elettrica. Parte di questa energia viene convertita nel resistore in energia termica e dispersa nell'ambiente La variazione di energia nel tempo (ovvero la potenza) è data, quindi, da: Definizione di corrente
Energia e potenza in un circuito a b I La potenza in un circuito elettrico in cui fluisca una corrente a una differenza di potenziale ΔV è quindi data da: Se il circuito è composto da un generatore e un resistore, come in figura, allora ΔV = I R, quindi possiamo anche scrivere I d c Oppure anche
Esercizio: lampadine in parallelo Nel circuito indicato in figura determinare quale delle due lampadine ha una resistenza maggiore e in quale scorre una corrente maggiore La potenza della lampadina A è PA = (ΔV)2 / RA La potenza della lampadina B è PB = (ΔV)2 / RB Poiché PB > PA si ha necessariamente RB < RA Entrambe le lampadine sono soggette alla stessa differenza di potenziale, ΔV Inoltre si ha anche PA = ΔV IA e PB = ΔV IB. Poiché PB > PA si ha necessariamente IB > IA
Resistori in serie I I Consideriamo il circuito in figura, costituito da due resistori collegati in serie In questo caso abbiamo che la stessa quantità di carica passa, in un dato tempo, sia nel resistore R1 che in R2. Se così non fosse avremmo, nel tempo, un accumulo di carica in uno dei due resistori Questo equivale a dire che la stessa corrente, I, passa per i due resistori. La differenza di potenziale, invece, si ripartisce fra i resistori in modo che ΔV1 = I R1 e ΔV2 = I R2. Poiché la differenza di potenziale totale è ΔV = ΔV1 ΔV2, si ha che ΔV = I R1 I R2 = I (R1 R2) I Req
Resistori in serie Il circuito è equivalente ad un circuito con un singolo resistore avente, per resistenza, la somma delle due resistenze: Req = R1 R2 Per N resistori in serie:
Resistori in parallelo I1 I2 Consideriamo ora il circuito costituito da due resistori collegati in parallelo In questo caso abbiamo che ai capi di entrambi i resistori vi è applicata la stessa differenza di potenziale, ΔV La corrente, invece, viene ripartita fra i due resistori in modo che: I1 = ΔV / R1 e I2 = ΔV / R2 La corrente totale che scorre nel circuito è data da I = I1 I2. Questa corrente possiamo anche scriverla in funzione della resistenza, Req di un resistore equivalente sottoposto alla stessa differenza di potenziale: I = ΔV / Req =
Resistori in parallelo Il circuito è equivalente ad un circuito con un singolo resistore per il quale l'inverso della sua resistenza è uguale alla somma degli inversi delle due resistenze: 1 / Req = 1 / R1 1 / R2 Per N resistori in parallelo:
Esercizio: campo elettrico generato da un piano infinito carico Consideriamo un piano infinito carico positivamente. Supponiamo che la carica sia distribuita uniformemente con densità di carica superficiale σ0 Poiché il piano è infinito e la carica è distribuita uniformemente il campo elettrico sarà necessariamente orientato in direzione ortogonale al piano. Inoltre l'intensità del campo sarà la stessa in qualunque direzione parallela al piano, in quanto non c'è ragione in cui sia più intenso che in un'altra (sempre perché il piano è infinito e la carica è distribuita uniformemente)
Esercizio: campo elettrico generato da un piano infinito carico Quello che dobbiamo fare è calcolare il campo a una distanza generica z dal piano
Esercizio: campo elettrico generato da un piano infinito carico Calcoliamo i campi elettrici de1 e de2 generati dalle cariche dq1 = dq2 = σ da presenti su due areole da opposte in una corona circolare di raggio r e spessore dr (vedi figura) Il campo corrispondente de sarà la somma vettoriale di de1 e de2. Poiché possiamo considerare la carica dq puntiforme, si ha che dove d è la distanza fra da e il punto a distanza z
Esercizio: campo elettrico generato da un piano infinito carico Calcoliamo ora il modulo del vettore de. Lo possiamo fare semplicemente, utilizzando il teorema di Pitagora È un rombo Poiché de1 e de2 sono uguali in modulo (non in direzione, naturalmente) abbiamo che il parallelogramma che costruiamo per calcolare de è un rombo. La diagonale maggiore e la diagonale minore si intersecano perpendicolarmente a metà Metà della diagonale maggiore corrisponde, pertanto a de / 2 ed è uguale a de1 cosθ Possiamo quindi scrivere
Esercizio: campo elettrico generato da un piano infinito carico Calcoliamo la carica, dq, presente in ciascuna areola da, che è data da dq = σ da dove σ è la densità superficiale di carica (costante). L'area da è data dal prodotto di r dφ (la lunghezza del pezzettino di circonferenza che costituisce la base di da) per dr (che è l'altezza di da). La carica dq è, quindi:
Esercizio: campo elettrico generato da un piano infinito carico Esprimiamo ora la distanza, d, e il raggio, r, in funzione di z e dell'angolo θ Il raggio r = z tan θ Il differenziale dr = (z / cos2θ) dθ (ricordiamo che la derivata di tanθ è 1/cos2θ) Quindi il prodotto r dr = (z2 tanθ / cos2θ) dθ La distanza al quadrato, d2, è d2 = z2 r2 = z2 (1 tan2θ) Sostituiamo nell'espressione di de1
Esercizio: campo elettrico generato da un piano infinito carico Esprimiamo ora la distanza, d, e il raggio, r, in funzione di z e dell'angolo θ Il raggio r = z tan θ Il differenziale dr = (z / cos2θ) dθ (ricordiamo che la derivata di tanθ è -1/cos2θ) Quindi il prodotto r dr = (z2 tanθ / cos2θ) dθ La distanza al quadrato, d2, è d2 = z2 r2 = z2 (1 tan2θ) Il campo non dipende dalla distanza dal piano!
Esercizio: campo elettrico generato da un piano infinito carico Con della semplice algebra e un po' di trigonometria si può vedere che (ricordare che tanθ = sinθ / cosθ e che sin2θ cos2θ = 1) Quindi il campo de è dato da
Esercizio: campo elettrico generato da un piano infinito carico Fino ad ora abbiamo calcolato il campo generato dalle due areole che sono indicate nella figura. Per calcolare il campo generato dall'intero piano dobbiamo sommare i contributi di tutte le areole θ deve andare da 0 a 90 (π/2) Poiché la distribuzione di carica è continua dobbiamo fare due integrali. Il primo per φ che va da 0 a π (in modo da considerare tutta la carica che c'è nell'anello circolare) Il secondo per θ che va da 0 a π/2 (in modo da coprire tutto il piano) φ deve andare da 0 a 180 (π) 1
Esercizio: campo elettrico generato da un piano infinito carico Quindi il campo generato da un piano infinito carico uniformemente è diretto in direzione ortogonale al piano e in qualunque punto dello spazio la sua ampiezza è
Esercizio: campo elettrico generato da un condensatore a piatti piani e paralleli Se aggiungiamo un secondo piano carico, con la stessa densità di carica, ma con cariche di segno opposto l'ampiezza del campo risulta esattamente doppia rispetto a quella di un piano singolo Ecco che, per un condensatore a piatti piani e paralleli di dimensioni molto superiori alla distanza dei piatti, il campo fra le piastre è A questo punto definiamo la costante dielettrica del vuoto come Da cui si ottiene