Modelli socasici er i rendimeni finanziari Alcuni rocessi socasici lineari Y Processo MA() μ con ε ~ WN(0, σ ε ) = + ε + θε. Esemio di generazione di un MA() e sima con R
Caraerisiche di un rocesso MA() Media e varianza non sono funzioni del emo rocesso sazionario La funzione di auocorrelazione ha lo sesso segno del aramero e decade a zero doo il rimo lag (cu off). P k ha una forma iù comlessa. Decade gradualmene (ail off). Se il aramero è osiivo decade a segni alerni alrimeni è semre negaiva. Esemi di ACF e PACF er rocessi MA() θ = 0.8 θ 0. 8 = Y Il P.S. MA(q) = μ + ε + θ... ε Y = μ + θ ( L) ε q ε + θ ε + + θ q q con ε WN(0, σ ε ) Esemio di generazione di un MA() e sima con R
Caraerisiche di un MA(q) Nella funzione di auocorrelazione si ha un cu off er k > q. La funzione di auocorrelazione arziale resena invece un ail off (a segni alerni o meno a seconda delle relazioni fra i arameri). N.B.: Un rocesso MA(q) è semre sazionario Il P.S. AR() = c + φ Y + ε con ε ~ WN(0, σ ε ) Y Si uò scrivere ( φ L) Y = c + ε φ L = 0 L = φ Il rocesso è sazionario se > φ φ < Esemio di generazione di un AR() e sima con R 3
Caraerisiche di un AR() Il P.S. Random Walk come caso aricolare di un AR() Si ioizza, senza erdia di generalià che c = 0. Processo AR() con φ = Random walk Y = + ε con ε ~ WN(0, ) Y σ ε Esemio di generazione di un RW e sima con R 4
Il P.S. Random Walk () -Caso aricolare di efficienza informaiva -Buona arossimazione del rocesso generaore dei rezzi nell ambio dei modelli lineari Sosiuendo ricorsivamene Y con la sua esressione si oiene: Y = Y 0 + εi i= N.B.: gli shock εi i =,,..., hanno lo sesso eso su Y. Shock ermaneni Nell AR() sazionario con φ < si ha invece Y = c j + φ φ j= 0 ε j er cui gli shock endono ad annullarsi er j shock ransiori Il P.S. Random Walk () = + Media E( Y ) E( Y0 ) E εi = Y0 i= media arimeica dei valori della serie non è un buono simaore del valore aeso di un RW. Varianza Poiché il valore aeso è ari a Y 0 si ha Auocovarianza γ ( 0) = E εi = σ i= Si uò dimosrare che γ ( k) E( Y, Y ) = ( k) σ = k N.B.: varianza e covarianza crescono nel emo RW rocesso non sazionario in varianza. Auocorrelazione γ ( k) k ρ( k) = = γ (0) k =,, Se ρ( k) 5
P.S. RW: esemio su ENI Ved. R Schema di auocorrelazione che orebbe ricordare un AR(): Sima di un AR() sui rezzi (Es. MIDEX) coef s.e..sa.value ar 0.9986 0.00 84.4503 0 inerce 7.9668 3.4497 5.539767 3.58E-08 sigma loglik aic 0.05633 5.595-45.039 6
Alcune considerazioni sul RW -Quindi se T è sufficienemene elevao la funzione di auocorrelazione simaa è rossima ad uno er k =,, -La funzione di auocorrelazione arziale ha un cu-off doo k = -La sima di un AR() ora alla sima di un aramero rossimo all unià radice sul cerchio uniario iico delle serie non sazionarie Δ Y = Differenziazione ( L) Y = Y Y Il RW è anche non sazionario in varianza rasformazione logarimica. Δ ln( ) = ln( P ) ln( P ) = P = r Dai rezzi ai rendimeni: sazionarieà 7
Processi AR() Y = c + Y + φy +... + φ Y con ε ~ WN(0, φ + ε σ ε ) Polinomio auoregressivo corrisondene φ ( L) = φ L φ L... φ L er cui φ ( L) Y = c + ε Processo sazionario se ue le radici del olinomio auoregressivo sono eserne al cerchio di raggio uniario. Processi AR() () Esemio di generazione di un AR() 8
Processi AR() (3) L ACF ende ad annullarsi al divergere di k, con comorameno miso ra l esonenziale e lo seudo-eriodico. P k è diversa da zero er k e si annulla er k >. Funzione di auocorrelazione er un AR() simulao L inveribilià dei P.S. Processo socasico sazionario γ k e ρ k definie in modo univoco. E vero il conrario? (Daa una funzione di auocovarianza, è unico il P.S. sazionario che la ossiede?) Si uò dimosrare che esisono iù P.S. sazionari con la sessa funzione di auocovarianza. Uno solo, erò, è inveribile. Un P.S. è deo inveribile se è ossibile ricosruire il valore dello shock sulla base dei soli valori delle osservazioni y y, y,..., Tui i rocessi AR sono inveribili, menre ciò non è semre vero er i rocessi MA. Tui gli MA sono invece sazionari, ma ciò non è vero er gli AR Affinché un rocesso MA sia inveribile è necessario che ue le radici del olinomio MA siano eserne al cerchio di radice uniaria, cioè che ue le radici siano in modulo sueriori ad uno. La condizione di inveribilià serve er idenificare in maniera univoca un P.S. a arire dalle funzioni di auocorrelazione simae. ε 9
Processi ARMA(,) Y = c + φ Y + ε + θε, ε ε ~ WN(0, σ ) che si uò anche scrivere come ( L) Y = c + ( + θ φ L) ε Processo sazionario se φ < Processo inveribile se θ < Esemio di generazione di un ARMA(,) e sima con R Caraerisiche di un ARMA(,) Si uò dimosrare che er k= l ACF ha una forma iuoso comlessa, funzione dei due arameri φ e θ Per k > si ha ρ = φ k k ρ er cui ende a decadere con legge esonenziale o sinusoidale. La PACF P k ende ad annullarsi al crescere di k senza alcuna aricolare sruura 0
Processi ARMA(,q) φ ( L) Y = c + θ q ( L) ε ε ~ WN (0, σ ε ) φ ( L) = φ L φ L... φ L θ ( L) = + θ L + θ L +... + θ L q Verifica sazionarieà e inveribilià del rocesso sui due olinomi. Il modello ARMA soliamene consene di eviare la sovraaramerizzazione crierio della arsimonia q q Le esressioni della funzione di auocovarianza e di auocorrelazione di un ARMA(,q) sono iuoso comlesse. Le caraerisiche del correlogramma si ossono sineizzare come segue: Fino al riardo q l ACF ha un comorameno miso ; da q+ in oi il comorameno è quello iico di un MA(q). Decadimeno graduale della PACF senza un aricolare aern. Comorameno delle ACF e PACF er rocessi ARMA Processo ACF PACF AR() MA(q) ARMA(,q) Tende ad annullarsi Nulla doo il lag q Tende ad annullarsi doo il lag q Nulla doo il lag Tende ad annullarsi Tende ad annullarsi