Modelli di Ricerca Operativa per il Lot Sizing

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1 Modelli di Ricerca Oeraiva er il Lo Sizing Corso di Modelli di Sisemi di Produzione I Sommario Inroduzione La gesione delle score (Problema e modelli) Parameri Fondamenali (cosi di e soccaggio) Aroccio Classico: EO Wagner-Whiin (senza bacogging) Zangwill (con Baclogging) Inroduzione La Gesione delle Score è uno dei rinciali domini alicaivi della Ricerca Oeraiva ed i rimi conribui in queso seore risalgono agli anni del secolo scorso. I modelli classici di Gesione delle Score hanno avuo una enorme diffusione nel emo. La naurale evoluzione di ali roblemi ha orao ad inegrare la fase roduiva e quella di gesione delle score all inerno di La gesione delle score Il magazzino diviene il cenro dell ineresse. Produzione: rocesso di arovvigionameno dei magazzini. Di vola in vola il ermine Produzione indicherà: ) Arovvigionameno er il magazzino maerie rime. ) Produzione di semilavorai er il magazzino inermedio. ) Rifornimeno del magazzino rodoi finii. sisemi di io MRP. La gesione delle score La gesione delle score forniori Sisema di di Sisema di di magazzino maerie rime magazzino semilavorai magazzino rodoi finii Sisema di di Sisema di di clieni uali sono i vanaggi nell immobilizzare caiale soo forma di score? ) Possibilià di sfruare le Economie di Scala (nella e negli arovvigionameno) er ridurre l incidenza di cosi fissi ed oenere sconi. ) Rendere iù flessibile la disaccoiando le diverse fasi roduive. ) Equiarare i carichi di lavoro sull inero orizzone roduivo. ) Ragione seculaiva. 5 6

2 7 forniori Sisema di di La gesione delle score Riduzione dei cosi di arovvigionameno Robusezza agli imrevisi Disaccoiameno delle fasi roduive Robusezza ai guasi Sisema di di Sisema di di Il roblema di gesione delle score Daa la domanda si vuole rogrammare la soddisfacendo i vincoli del roblema minimizzando una funzione di coso daa magazzino domanda Sisema di di Robusezza a domanda variabile Riduzione dei cosi di clieni 8 domanda vincoli Modelli er la gesione delle score funzione obieivo deerminisica socasica magazzino domanda emo coninuo emo discreo eriodica/aeriodica con caacià/senza rodoo singolo/mulilo Con baclogging/senza Con cosi fissi/senza cosane variabile Parameri Fondamenali Coso di Produzione: esrime l andameno della somma del rezzo di acquiso e del coso di rasoro uniario nel caso di acquiso merce da un forniore, menre nel caso di effeiva di un bene ale coso ha una sruura iù comlessa. In queso secondo caso diende dai cosi direi (maerie rime, ore di rogeazione, lavorazione e mareing) e cosi indirei (cosi di amminisrazione, sese di comuni ad alri rodoi ). La funzione coso di c() ha un andameno concavo moivao dagli effei dell economia di scala. 9 Parameri Fondamenali Coso fisso di Produzione A: raresena il coso sosenuo dall azienda er aivare una fase roduiva ed è indiendene dai volumi di. ali cosi fissi ossono essere di varia naura come ad es. : ) Coso di gesione dell ordine ) Sese osali e elefoniche ) Conrolli di ricezione e di qualià ) Ore di rogeazione 5) Cosi di seu riseo alla recedene 6) Messa a uno di macchinari e formazione del ersonale. Parameri Fondamenali E imorane noare come ne coso fisso di non rienrino i salari o le alre sese fisse che l azienda deve comunque sosenere ma solo le sese che debbono essere sosenue a causa della decisione di aivare la.

3 Parameri Fondamenali Coso di :c() Parameri Fondamenali Coso fisso di Coso di :c()a δ - ()+ν Coso uniario c() c() A ν funzione obieivo Con cosi fissi/senza funzione obieivo Con cosi fissi/senza Parameri Fondamenali Coso di Soccaggio: è il coso di immagazzinameno delle merci rodoe o acquisae. Diende da moli faori, ra quesi: ) Coso di oorunià er valore moneario dei beni immagazzinai ) Coso di gesione del magazzino ) Coso di deeriorameno e obsolescenza dei beni immagazzinai ) asse ed assicurazioni 5 Parameri Fondamenali Il coso di immagazzinameno è oenuo sommando il coso fisso di soccaggio π indiendene dalla giacenza al coso h() funzione concava (ma iù sesso lineare) della giacenza di magazzino. h() viene esressa come rodoo del coso uniario di soccaggio () er la giacenza comlessiva nell orizzone emorale [, ]. 6 Parameri Fondamenali In caso di conrollo coninuo si uò calcolare come: () d In caso di conrollo discreo invece: () Parameri Fondamenali Per ciò che riguarda il coso uniario di soccaggio esso è sesso cosane o oso er ioesi semlificaiva ari a r *C()/ er > e ari a er. r è il minimo asso di ineresse acceabile cioè la minima ercenuale alla quale si riiene adeguaamene remunerao il rorio caiale. Per oer adeguaamene considerare i cosi di obsolescenza, deeriorameno, asse ed assicurazioni si aumena una ooruna quanià il valore r. π è invece la are del coso di soccaggio che indiendene dalla quanià giacene in magazzino ed è cosiuio da ui quei cosi che devono venir affronai solo quando la giacenza è non nulla. 7 8

4 9 Parameri Fondamenali Con il ermine Baclogging si indica una quanià negaiva giacene in magazzino. Si ha baclogging ogni vola che soddisfiamo la domanda auale mediane la fuura. Il coso imuabile al Baclogging è essenzialmene dovuo al lavoro amminisraivo non reviso er la gesione urgene dell ordine e agli sconi da alicare al cliene er il riardo nella consegna dell ordine. ϕ() Parameri Fondamenali Coso di :c()a δ - ()+ν Coso di soccaggio: H()π δ - ()+β δ - (-) + ϕ() ν() er < H() ν() h() β h() er > π Cosi fissi di soccaggio funzione obieivo Con cosi fissi/senza Parameri Fondamenali Scora minima: livello di giacenza minimo er uno secifico bene raggiuno il quale si decide di rilasciare un ordine di o arovvigionameno. Lead ime: è il emo che inercorre ra l isane in cui are un ordine e quello in cui effeivamene queso consegnao al magazzino. Il lead ime nel modello uò essere considerao deerminisico o aleaorio. Non ue le merci del magazzino hanno la sessa imoranza anzi generalmene l 8% del valore moneario riguarda un % circa dei codici di magazzino. Gli algorimi ed i modelli che reseneremo conribuiscono a migliorare la gesione del magazzino se alicai a ale %. Aroccio Classico: EO domanda deerminisica socasica vincoli magazzino domanda funzione obieivo emo coninuo cosane emo discreo variabile eriodica/aeriodica con caacià/senza rodoo singolo/mulilo Con erdia/senza Con baclogging/senza Con cosi fissi/senza Aroccio Classico: EO domanda deerminisica socasica vincoli magazzino domanda funzione obieivo emo coninuo cosane emo discreo variabile eriodica/aeriodica con caacià/senza rodoo singolo/mulilo Con erdia/senza Con baclogging/senza Con cosi fissi/senza Aroccio Classico: EO domanda deerminisica emo coninuo cosane singolo rodoo cosi fissi di caacià roduiva infinia orizzone infinio La avviene in isani discrei PROBLEMA Deerminare:. Isani di (,,...). uanià,,... da rodurre in ciascun isane di ali da: - soddisfare la domanda e - minimizzare i cosi di e immagazzinameno

5 5 Aroccio Classico: EO Singolo bene Domanda uniforme D (D unià er anno, D/ al mese,... ) Coso fisso di Coso di : C()A δ - () + v Coso variabile C ( ) Coso di soccaggio: h ( ) r uanià rodoa Giacenza funzione del emo asso di ineresse Coso fisso di soccaggio nullo Lead ime nullo (il bene rodoo è immediaamene disonibile) rodoo nell isane Aroccio Classico: EO rodoo nell isane Poichè i arameri non variano nel emo, la quanià oima da rodurre sarà semre la sessa (* ) in ogni isane e verrà dea loo di o loo di riordino o economic order quaniy (EO) Baclogging non consenio 6 Aroccio Classico: EO rodoo nell isane rodoo nell isane Il coso di immagazzinameno è dao dal mancao ineresse sul caiale invesio, e quindi è roorzionale alla quanià immobilizzaa e al emo di immagazzinameno. eorema All oimo la avviene solo quando il magazzino è vuoo 7 Dimosrazione Aroccio Classico: EO δ δ Rinviando la di da a non cambiano i cosi di e neanche i cosi di soccaggio rima di e doo. ra e le quanià immagazzinae si riducono e con loro i cosi di immagazzinameno. uindi la seconda soluzione ha un coso di soccaggio inferiore, e erano la rima non uò essere oima. 8 Aroccio Classico: EO Score nulle all isane (necessaria: all isane ) uanià rodoe uguali nei diversi isani di Domanda da servire fino all isane : D()D con [,..,] (asso di domanda cosane) D domanda comlessiva nell orizzone emorale [,..,] Primo isane nel quale la scora si annulla secondo isane di : D - /D /D /D Numero isani roduivi in [,]: D/. /D 9 Aroccio Classico: EO /D /D /D AD Coso di Produzione C() D/ (A+v) D/ + vd C ( ) A + v A Coso di Soccaggio h( ) r r ( ) r + v invenario in coso oale di soccaggio er un riangolo:... D/ quanià rodoa negli isani di r D D A r D A + v In [,]: h( ) d r + v ( A + v )

6 Aroccio Classico: EO D Coso oale C O () h( ) d + c( ) r AD A + v + + C O () dc O ( ) d * ( ) vd dc ( ) AD v AD O r r + d v Aroccio Classico: EO * AD r v EO Economic Order uaniy *... D/* */D */D */D L inervallo ra due ordini successivi è: AD r v AD r v * D AD r v D EO A r Dv Aroccio Classico: EO * AD r v EO A r Dv Aroccio Classico: EO Domanda: D scaole annue Coso uniario del bene: v. Euro Coso fisso di : A. Euro ESEMPIO: Domanda: D scaole annue Coso uniario del bene: v. Euro MARR: r % (.) Coso fisso di : MARR: r % (.) A. Euro... 6 * AD r v... A EO mesi r Dv 6 Gennaio Marzo Maggio Luglio AD A v C O (*) + vd + r * * Novembre ( ) Aroccio Classico: EO Aroccio Classico: EO Il meodo è efficace soo ioesi meno resriive di quelle vise: caacià roduiva finia C > D emi di aronameno (lead ime) non nulli λ baclogging DL λ Lead ime > C Baclogging C < C-D D 5 Produzione non isananea (asso di cosane) 6

7 7 { C z Aroccio Classico: EO C-D D y {{ x Baclog { /D Invenario C x D C C D y C C D C D ) Area riangolo y ( + x) ( ) C D CD ( y z )( + x ) ) Area invenario C D C D z z ( ) C D CD D Aroccio Classico: EO ) Area baclog area riangolo area invenario C D CD C D CD + z D z D ) Coso soccaggio h ( ) h Coso baclog B ( ) b Coso C ( ) A + v 5) Coso oale D min, C D z z A + v + h + b CD D D z C O ( ) : C D z C 8 Wagner-Whiin (958) domanda deerminisica emo discreo variabile caacià roduiva infinia singolo rodoo cosi fissi di e immagazzinameno orizzone emorale finio senza baclogging Deerminare:. uanià x,x,... x da rodurre in ciascun eriodo. uanià s,s,... s da immagazzinare in ciascun eriodo ali da: soddisfare la domanda d,d,... d, i vincoli su disonibilià iniziale s e Wagner-Whiin (958) Modello Deerminisico Conrollo Discreo [,,,..., ] Singolo bene Domanda Variabile nel emo [d,d,d,...,d ] d i > d d d Funzioni Coso (Produzione e Soccaggio) Variabili nel emo (es: Produrre nel eriodo cosa meno che nel eriodo h) Lead ime nullo (il bene rodoo è immediaamene disonibile) d d 5 5 d finale s, minimizzare i cosi di e immagazzinameno 9 s Wagner-Whiin (958) x x x s s s s - s - d d d d d s Giacenza di magazzino all inizio dell orizzone emorale s Giacenza di magazzino alla fine dell orizzone emorale x s x s Wagner-Whiin (958) Coso di Produzione nel eriodo C ( x )A δ - ( x )+ c ( x ) Coso di Soccaggio nel eriodo H ( s ) π η( s )+β η( -s )+ h ( s ) h ( s ) h ( s ) A c ( x ) x β π s

8 s x x Wagner-Whiin (958) x x x s s s s - s - d d d d d min f ( x, s) ( C ( x ) + H ( s )) s s min f ( x, s) x + s - s d Wagner-Whiin (958) ( C ( x ) + H ( s )),...,Τ,...,Τ min f ( x, s) Funzione concava x + s - s d,...,τ x A b x,s >,...,Τ s f ( u v ) u f ( v ) x s > no baclogging Forma sandard s u u x,s > Problema di Programmazione Concava con Vincoli Lineari Wagner-Whiin (958) 7 x + s - s d,...,τ Soluzioni ammissibili erché verificano i vincoli 5 min f ( x, s) P Wagner-Whiin (958) x y s { y R Ay b, y } : min f ( y) x A b Ay b s y x s eorema: L insieme delle soluzioni ammissibili del roblema di Programmazione della Produzione: è un oliedro limiao (olioo). 6 P Wagner-Whiin (958) { y R Ay b, y } : y è un verice di P se e solo se è una soluzione di base ammissibile (SBA) By B + Ny N b, yb, yn y y B N B b Una SBA ha al iù comoneni diverse da zero Polioo SBA definia da una soomarice quadraa nonsingolare B di A SBA definia da B y 7 Wagner-Whiin (958) eorema: Un roblema con funzione obieivo concava f(y) e regione ammissibile cosiuia da un olioo (non vuoo) ha semre una soluzione oima su un verice. Dimosrazione: y* soluzione oima ( f(y*)< f(y) er ogni y P) Ex(P){v,v,...,v } verici di P (v*: f(v*)< f(v) er ogni v Ex(P)) y* u v ; u ; u f ( y*) f ( u v ) u f ( v ) u f ( v*) concavià f ( v*) 8 v* soluzione oima CVD.

9 9 Wagner-Whiin (958) Possiamo limiare la ricerca della soluzione oima alle SBA! 7 Soluzione ammissibile non di base Soluzione ammissibile di base (SBA) y y B N B Wagner-Whiin (958) b SBA definia da B Una SBA ha al iù comoneni diverse da zero In ogni eriodo deve essere: x +s - > s - Una soluzione ha almeno comoneni diverse da zero Una SBA ha esaamene comoneni diverse da zero x d s 5 Wagner-Whiin (958) Una SBA ha esaamene comoneni diverse da zero In ogni eriodo deve essere: x +s - > In ognuno dei eriodi esaamene una delle variabili x,s - è diversa da zero (x s - ) Se (x,s) è una SBA, in ogni eriodo abbiamo uno dei due casi:. Produzione osiiva (x > ) e Score nulle (s - ). Produzione nulla (x ) e Score osiive (s - >) s - x d s 5 Wagner-Whiin (958) Se (x,s) è una SBA, in ogni eriodo abbiamo uno dei due casi:. Produzione osiiva (x > ) e Score nulle (s - ). Produzione nulla (x ) e Score osiive (s - >) [,...,Τ ] è un eriodo roduivo se x > 5 7 La domanda di un eriodo non roduivo h è soddisfaa dalla nell ulimo eriodo roduivo <h. L insieme di eriodi (non roduivi) la cui domanda è soddisfaa da uno secifico eriodo roduivo viene deo inervallo di All inizio e alla fine di un inervallo di la giacenza è 5 nulla Wagner-Whiin (958) I vincoli individuano un roblema di flusso Le soluzioni di ale roblema sono ui alberi ricoreni j d r r j Wagner-Whiin (958) Definii gli esremi di un inervallo di [j,...,] è ossibile calcolare le quanià rodoe e immagazzinae x s d r r + j, j +,..., x x - d i +s -s x j x x... j s s j s - s s d -s d d j d - d + s 5 e il coso di e immagazzinameno er servire la domanda dei eriodi conenui in [j,...,] M ( j, ) C j + ( x j ) j H ( s ) Sabilii gli esremi dell inervallo di il calcolo di M(j,) uò essere facilmene auomaizzao 5

10 55 Wagner-Whiin (958) Deo F il coso minimo di e soccaggio er soddisfare la domanda sull orizzone emorale [,..,] è ossibile calcolare ricorsivamene F. Infai: (, j ) + M ( j, j ) +... M ( j ) F M + q, F F j q Cosi dei eriodi roduivi recedeni { F M ( j )} min j,..., j +, C ( x ) + c x Esemio Diende direamene da J 56 Il roblema divena rovare il miglior valore di F j- Periodo ( x ) Aδ Domanda A 5 c h H ( s ) h s M 9 Es. : M(,) +*(++)+(*(+)+*) +*9+* C ( x ) Aη( x ) + c x Periodo Domanda A c h M 9 F 5 { j } { j } { j } j { j } F min F + M( j,) F + M(,) 9 j F min F + M( j, ) F + M(,) j Esemio F min F + M ( j,) F + M (,) F min F + M( j, ) F + M(, ) 56 j H s ) h ( s ) ( Zangwill (966) Deerminare:. uanià x,x,... x da rodurre in ciascun eriodo. uanià s,s,... s (ev. negaive) da immagazzinare in ciascun eriodo ali da: soddisfare la domanda d,d,... d e minimizzare i cosi di e soccaggio Coso di : C (x )A δ - (x )+c (x ) Coso di immagazzinameno: H (s )α δ - (s )+β δ - (-s )+ γ (s ) H(s) 58 s x Zangwill (966) s s s s - d x d x b b b b - d Riseo al modello senza baclogging qui le variabili s non sono risree in segno e erano ossono venir raresenae con la differenza ra due variabili non negaive: s s b x d 59 Zangwill (966) Come er il modello senza baclogging anche in queso caso l insieme delle soluzioni è ancora un olioo e erano la soluzione oimale corrisonde ad uno dei suoi verici. E ossibile dimosrare che esaamene una variabile ra {s -,b,x } è diversa da zero. La domanda è soddisfaa o dalle score o dal baclogging o dalla. Si ossono individuare ancora dei eriodi roduivi e eriodi non roduivi. 6

11 6 Zangwill (966) s s - j d j b j b - x d { ( )} F min j,..., F j + M j, M ( j, ) min j,..., d + Br( br) + H r( sr) j r j r d Zangwill (966) Come er il modello senza baclogging anche qui è ossibile calcolare ricorsivamene la soluzione oima arendo da F. La differenza maggiore consise nel fao che M(j,) è di er sé un semlice roblema di minimizzazione in cui fissai gli esremi dell inervallo di si sceglie qual è il eriodo roduivo. 6