Gestione della produzione e della supply chain Logistica distributiva. Paolo Detti Dipartimento di Ingegneria dell Informazione Università di Siena

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1 Gesione della produzione e della supply chain Logisica disribuiva Paolo Dei Diparimeno di ngegneria dell nformazione Universià di Siena

2 Programmazione della produzione e gesone delle score: Pianificazione a lungo ermine

3 Programmazione della produzione e gesone delle score: Pianificazione a lungo ermine l modello del loo economico (EOQ si basa sulle segueni assunzioni: asso della domanda noo e cosane nel empo (ad es. unià vendue all anno Ogni prodoo indipendene dagli alri Gesione coninuos review Lead ime noi e cosani Capacià del magazzino infinia

4 Programmazione della produzione e gesone delle score: Pianificazione a lungo ermine Nella praica la domanda ed i cosi di produzione e/o approvvigionameno e di immagazzinameno possono essere soggei a fluuazioni sagionali, o ad oscillazioni dovue all imprevedibilià del mercao.

5 Programmazione della produzione e gesone delle score: Pianificazione a lungo ermine Descrizione del problema Un azienda produce palloni da calcio, e vuole decidere per i prossimi sei mesi quan palloni produrre ogni mese. Da La domanda previsa e i cos di produzione per i prossimi sei mesi sono: Mese Domanda previsa (migliaia Coso uniario di produzione 2,5 2,55 2,7 2,8 2,85 2,95 l massimo numero di palloni che può essere prodo@o in un mese è l coso di soccaggio ed il coso di immobilizzo del capiale, per unià di prodo@o, alla fine di ogni mese è dao dal 5% (sma del coso di produzione. l magazzino ha una capacià massima di 0000 palloni, e ne conene a@ualmene Obie3vo L azienda vuole decidere quan palloni produrre ogni mese, in modo da soddisfare la domanda e minimizzare i cos di produzione e di magazzino.

6 Una formulazione di Programmazione Lineare Definizione delle variabili: P i numero di palloni confeziona nel mese i, i,,6 i palloni giacen in magazzino alla fine del mese i, i,,6 Funzione obieovo: Mese Domanda previsa (migliaia Coso uniario di produzione 2,5 2,55 2,7 2,8 2,85 2,95 min2,5 P min ( 2,55 2,7 2,8 2,85 2,95 0,05 2,5 6 ( cipi 0,05cii i 2,55P 2 2 2,7 P 3 3 2,8 P 4 4 2,85 P 5 5 2,95P 6 6

7 Vincoli sulla capacià produova e di soccaggio: P i i i,...,6 i,...,6 Lower bound sulle variabili: P i, i 0 i,...,6

8 Vincoli sulla domanda nei sei mesi considera: P P 2 P D 0000 D D60000 i Pi Di i i,...,6 2 3 P 2 P 2 P P P P

9 Formulazione complessiva: (,...,6 i 0,,...,6 0000,..., o subjec 2,95 2,85 2,8 2,7 2,55 0,05 2,5 2,95 2,85 2,8 2,7 2,55 min2, i i i i P i i P P P P P P P P P P P P P

10 Programmazione della produzione e gesone delle score: Pianificazione a lungo ermine l problema della programmazione della produzione e delle score (Lo Sizing nasce dalla necessià di conemperare a due esigenze conrasani: minimizzare i cosi fissi di produzione ed i cosi di immagazzinameno. primi sono cosi indipendeni dall'enià della produzione sessa (cosi necessari all'arezzaggio, alla riconfigurazione, ed all'accensione delle macchine e devono essere sosenui ogni vola che si aiva la produzione. cosi di immagazzinameno sono legai all immobilzzo del capiale: il maeriale presene in produzione (maeriale grezzo, semilavorai, prodoi finii non produce profio prima del momeno in cui è venduo (capiale immobilizzao.

11 Programmazione della produzione e gesone delle score: Pianificazione a lungo ermine Nella praca esisono una serie di vanaggi che giusficano l immobilizzo di quoe di capiale a@raverso la creazione di score: Avvalersi di economie di scala (aumenando i volumi produivi o le quanià ordinae ai forniori diminuisce il coso marginale L aumeno dei volumi produivi riduce l incidenza dei cosi fissi di produzione Le score disaccoppiano le diverse fasi di produzione

12 Programmazione della produzione e gesone delle score: Pianificazione a lungo ermine Consideriamo un orizzone emporale suddiviso in periodi,, Cos di produzione e di soccaggio: coso fisso di produzione nel periodo : s coso variabile di produzione nel periodo (funzione della quanià prodoa nel periodo: q ( coso fisso di soccaggio nel periodo : h coso variabile di soccaggio nel periodo (funzione della quanià in magazzino nel periodo: c ( Domanda variabile nel empo: Supponiamo noa la domanda d in ogni periodo, con,,

13 Programmazione della produzione e gesone delle score: Pianificazione a lungo ermine Cosi variabili coso variabile di produzione : q ( coso variabile di soccaggio: c ( Le funzioni q ( e c ( si assumono concave (diminuzione del coso marginale all aumenare delle quanià prodoe o immagazzinae q (,c (,

14 Pianificazione a lungo ermine e gesone delle score: il modello di Wagner Whin E un modello dinamico per la gesone del magazzino nel caso di domanda variabile nel empo Consene di deerminare la dimensione dei loo di produzione in ogni periodo produ3vo (Lo sizing Si considera un singolo prodo@o Si assume una capacià produova e di immagazzinameno infinia in ogni periodo

15 Programmazione della produzione e gesone delle score: una formulazione di Programmazione Maemaca Si indichi con: l livello di magazzino alla fine del periodo la quanà prodo@a durane il periodo Ricordando che d è la domanda nel periodo Si ha la seguene relazione: - - d

16 Programmazione della produzione e gesone delle score: una formulazione di Programmazione Maemaca - - d - d

17 Programmazione della produzione e gesone delle score: una formulazione di Programmazione Maemaca - - d d d 2 d

18 Programmazione della produzione e gesone delle score: una formulazione di Programmazione Maemaca Cosi fissi Coso fisso di produzione: s δ( (presene solo se produco in Cos fisso di immagazzinameno: h δ ( (presene solo se ho magazzino in Dove δ( per 0 per > 0 0 e δ( per 0 per > 0 0 Coso fisso oale su uo i periodi: ( s δ( h δ(

19 Programmazione della produzione e gesone delle score: una formulazione di Programmazione Maemaca Cosi variabili Coso variabile di produzione: q ( Coso variabile di immagazzinameno: c ( Coso fisso e variabile oale su u9 i periodi: ( ( s δ( q ( ( h δ( c (

20 Programmazione della produzione e gesone delle score: una formulazione di Programmazione Maemaca Coso oale su u9 i periodi: ( ( s δ( q ( ( h δ( c ( l problema decisionale: deerminare quando e quano produrre in modo da soddisfare la domanda di ogni periodo e minimizzare il coso oale.

21 ObieOvo da oomizzare: minimizzazione dei cos di immagazzinameno e di produzione ( ( ( c h q s ( ( ( ( min δ δ Programmazione della produzione e gesone delle score: una formulazione di Programmazione Maemaca

22 Programmazione della produzione e gesone delle score: una formulazione di Programmazione Maemaca Funzione obieovo: min ( ( s ( δ( q ( hδ ( c ( Vincoli di bilanciameno dei maeriali: d,..., (con 0 0 e 0 Vincoli di non negavià: 0,..., 0,...,

23 ( ( (,..., 0,..., 0 0 2,..., ( ( ( ( min d d d c h q s δ δ Programmazione della produzione e gesone delle score: una formulazione di Programmazione Maemaca

24 delle soluzioni oome,..., 0,..., 0 0 2,..., d d d P l poliedro P è un poliopo (poliedro limiao. nfao, sommando i vincoli di uguaglianza si ooene: Che vincola le ad assumere valori fini. d

25 ( ( ( P c h q s, ( ( ( ( min δ δ Sru@ura delle soluzioni oome Vale il seguene risulao eorema Se il problema amme@e una soluzione ooma, esise una soluzione ooma che è anche verce del poliedro P.

26 delle soluzioni oome Vale il seguene risulao eorema Se il problema min, P (( s δ ( q ( ( h δ ( c ( amme@e una soluzione ooma, esise una soluzione ooma che è anche verce del poliedro P. Dao che il problema è in forma sandard: minf ( y Ay b y 0 per il eorema precedene esise una soluzione di Base (che corrisponde ad un verce ooma.

27 delle soluzioni oome ( ( (,..., 0,..., 0 2,..., ( ( ( ( min d d d c h q s δ δ La marice dei coefficien dei vincoli di bilanciameno ha dimensione *(2-: una base della marice è quindi una marice *. n ogni soluzione ammissibile di base ( verce di P, variabili sono in base e - fuori base. Le - variabili fuori base sono 0 in ogni soluzione ammissibile di base.

28 Poiché deve essere: delle soluzioni oome d > 0 d > 0 2,..., almeno una delle variabili, - deve essere diversa da 0 per ogni 2,,. Poiché in ogni soluzione ammissibile di base almeno - variabili devono essere a 0, si ha: Proprieà Esa@amene una delle variabili (, - deve essere diversa da 0 per ogni periodo 2,,.

29 delle soluzioni oome Proprieà n ogni soluzione ammissibile di base esa@amene una delle variabili (, - deve essere diversa da 0 per ogni periodo 2,,. La soluzione o9ma del problema è da ricercarsi nelle soluzioni in cui: > 0 in ogni periodo 2,,, esa@amene una delle variabili e - è diversa da 0

30 delle soluzioni oome Proprieà n ogni soluzione ammissibile di base esa@amene una delle variabili (, - deve essere diversa da 0 per ogni periodo 2,,. La soluzione o9ma del problema è da ricercarsi nelle soluzioni in cui: > 0 in ogni periodo 2,,, esa@amene una delle variabili e - è diversa da 0 Nella soluzione ammissibile di base o9ma, la domanda in ogni periodo deve essere soddisfada o solo dalla produzione oppure solo dal magazzino.

31 delle soluzioni oome τ k d k La proprieà precedene implica che in una soluzione ooma le quanà prodo@e sono solo della forma Esempio: si consideri un problema con 3 e le relave domande d d 2 d 3 Le possibili soluzioni di base sono: 0; 0,, 0;,, ; 0,, ;,, d d d d d d d c d d d b d d d a

32 delle soluzioni oome l problema di deerminare il dimensionameno dei loo di produzione (lo sizing equivale ad individuare quali sono i periodi produovi ( > d d 2 d 3 d, 2 d 2 d 3, 3 0 0, 2 d 3

33 Un algorimo per il calcolo della soluzione ooma: il meodo di Wagner Whin Definiamo con M(j,k il coso di produzione e di immagazzinameno che deve essere sosenuo per soddisfare la domanda dal periodo j al periodo k producendo solo nel periodo j ( j >0, r 0 con rj,,k

34 j d j j d k k- d j ( k r p p r k j r r r r k j r r j j d dove c h d q s k j M ( (, ( j k j Un algorimo per il calcolo della soluzione ooma: il meodo di Wagner Whin

35 Un algorimo per il calcolo della soluzione ooma: il meodo di Wagner Whin Supponiamo di conoscere il valore della soluzione ooma F(k relava all orizzone emporale {,,k} Sia J k {j, j 2,, j n } l insieme dei periodi produovi (cioè, >0 se è un periodo in J k nella sol. ooma l suo valore è F( k M( j, j2 M( j2, j3... M( jn, k

36 Un algorimo per il calcolo della soluzione ooma: il meodo di Wagner Whin F( k M( j, j2 M( j2, j3... M( jn, k j d j d j2 d j2- j2 d j2 d j22 d j3- j j j j 2 j 2 j2 j 2 j 2 2 d j d j d j2 d j2 d j2 d j22

37 Un algorimo per il calcolo della soluzione ooma: il meodo di Wagner Whin E facile dimosrare che la soluzione cosuia dai periodi produovi J k \{j n } è ancora ooma nell orizzone emporale {,, j n -}, ovvero che F( jn M( j, j2 M( j2, j3... M( jn, jn

38 Un algorimo per il calcolo della soluzione ooma: il meodo di Wagner Whin nfao, se J k \{ j n } non fosse la soluzione ooma nell orizzone emporale {,, j n -} Si avrebbe: F( jn < M( j, j2 M( j2, j3... M( jn, jn

39 Un algorimo per il calcolo della soluzione ooma: il meodo di Wagner Whin E quindi si porebbero scegliere alri periodi produovi J { j,, j q } nell orizzone emporale {,, j n -} ali che: Z(J ' M( j ', j ' 2 M( j ' 2, j ' 3... M( j ' q, j n < M( j, j 2 M( j 2, j 3... M( j n, j n Z(J k \ { j n } considerando la soluzione J' j n si avrebbe Z( J' M( j, k < Z( J \ { j } M( j, k F( k n k n n Conraddicendo la definizione di F(k

40 Un algorimo per il calcolo della soluzione ooma: il meodo di Wagner Whin Si ha quindi: F( jn M( j, j2 M( j2, j3... M( jn, jn Ed in parcolare: F( k F( jn M( jn, k

41 Un algorimo per il calcolo della soluzione ooma: il meodo di Wagner Whin Di conseguenza in generale si ha: F( k F( j M( j, k per ogni j {,..., k} E quindi una formula ricorsiva per F(k è: { F( j M( j, } F( k min k j k

42 Un algorimo per il calcolo della soluzione ooma: il meodo di Wagner Whin Una soluzione ooma del problema può essere calcolaa impiegando la funzione ricorsiva { F( j M( j, } F( k min k j k Ponendo F(00 possono essere calcola successivamene i valori F(, F(2,, F(

43 Esempio Periodo Domanda s q c cos variabili sono lineari, non esisono cos fissi di immagazzinameno: h 0 ( s δ ( q c { F( j M( j, } F( k min k j k

44 Esempio Calcolo della marice degli M(j,k Ponendo F(00, F( è dao da: { F( j M( j, } F( min j F(0 M(, 90

45 Esempio (segue M(j,k F(00 F(4 min j { F( j M( j, } F(0 M(, 90 min{ F(0 M(,2;F( M(2,2 } min{ 240;90 30} 220 min{ F(0 M(,3;F( M(2,3;F(2 M(3,3 } { ;220 90} 40 min{ F(0 M(,4;F( M(2,4;F(2 M(3,4;F(3 M(4,4 } { 50; ;40 70} 560 F( F(2 F(3 min 520;90 min 760;90

46 Pianificazione a lungo ermine: modello con backlogging E possibile generalizzare il modello ed il meodo di Wagner Whin nel caso in cui la domanda in un dao periodo possa essere soddisfa@a con la produzione nei periodi fuuri (siuazione di backlogging. ale generalizzazione è dovua a W.. Zangwill (966.

47 l modello del economico (EOQ con backlogging n caso di backlogging il livello del magazzino può essere negavo Q

48 Pianificazione a lungo ermine: gesone delle score con domanda variabile, il modello di Zangwill Di conseguenza nel modello di Programmazione Maemaca le variabili possono assumere valori negavi - - d Una variabile non risre@a in segno può essere espressa come la differenza di due variabili non negave: 0 0

49 Pianificazione a lungo ermine: gesone delle score con domanda variabile, il modello di Zangwill Di conseguenza il vincolo di bilanciameno al mese divena d d La variabile rappresena la quanà prodo@a nei periodi successivi a per soddisfare la domanda in. La variabile rappresena la giacenza che si avrebbe in magazzino se la quanà fosse saa prodo@a in.

50 Pianificazione a lungo ermine: gesone delle score con domanda variabile, il modello di Zangwill d 2 d d 2 d

51 ( ( ( ( c h c h q s ( ( ( ( ( ( min δ δ δ ObieOvo da oomizzare: minimizzazione dei cos di immagazzinameno e di produzione per i cos di immagazzinameno, disnguiamo il coso per il magazzino posivo e negavo: Funzione obieovo: Pianificazione a lungo ermine: gesone delle score con domanda variabile, il modello di Zangwill ( ( ( ( c h c h δ δ

52 Un modello di Programmazione Maemaca (( ( h δ( c ( ( h δ( c ( min s δ( q ( d d 2,..., d 0,..., 0,..., 0,..., d 2 2 d d

53 P delle soluzioni oome d d d 2,..., d 0,..., d d,..., 0,...,,..., 0,..., 2,..., Anche in queso caso il poliedro P è un poliopo (poliedro limiao. eorema Se il problema amme@e una soluzione ooma, esise una soluzione ooma che è anche verce (soluzione ammissibile di base del poliedro P.

54 delle soluzioni oome ( h δ( c ( min s δ( q ( ( ( h δ( c ( ( d d 2,..., d 0,..., 0,..., 0,..., La marice dei coefficien dei vincoli di bilanciameno ha dimensione *(3-2: una base della marice è quindi una marice *. n ogni soluzione ammissibile di base ( verce di P, variabili sono in base e 2-2 fuori base. Le variabili fuori base sono 0 in ogni soluzione ammissibile di base.

55 Poiché deve essere: delle soluzioni oome d d > 0 d > 0 > 0 2,..., n ogni soluzione ammissibile di base, vale la seguene proprieà. Proprieà Esa@amene una delle variabili (, ogni periodo,, (con, 0 0 0, 0 deve essere diversa da 0 per La domanda produzione d è soddisfa@a o dalla giacenza di ciascun periodo produovo è soddisfa@a dalla e la domanda di ciascun periodo non produovo o dal backlogging ( 0

56 delle soluzioni oome Quindi, daa una sol. amm. di base, è possibile decomporre l orizzone emporale,, in inervalli di produzione {j,,k} ali che: esise un solo periodo produovo (j,k all inerno dell inervallo la domanda di uo i periodi dell inervallo {j,,k} è soddisfa@a dalla produzione del periodo produovo (j,k Si no che nel caso di backlogging il periodo produ3vo non è necessariamene il primo periodo del relavo inervallo di produzione

57 Una sol. amm. di base, è compleamene specificaa dall insieme J k {j,j 2,, j n } dei periodi iniziali degli inervalli di produzione. nfao: Sru@ura delle soluzioni oome gli inervalli di produzione sono {j,,j 2 -}, {j 2,,j 3 -} {j n-,,j n -}, {j n,,k} in ogni inervallo di produzione {j,,k} il periodo produovo (j,k è dao da quel periodo che minimizza il coso di produzione e di soccaggio nell inervallo considerao.

58 Sia M(j,K il coso oale di produzione e di soccaggio relavo all inervallo di produzione {j,,k}. Ossia: l periodo produovo è dao dall indice che definisce M(j,k Sru@ura delle soluzioni oome ( ( ( r j l l r k r l l r k j l l j r r r r r k r r r r r k j d d d dove c h c h q s k j M ( ( ( ( ( ( min, ( },..., { δ δ δ

59 Un algorimo per il calcolo della soluzione ooma: il meodo di Zangwill Come nel modello di Wagner Whin, sia F(k la soluzione ooma del problema relava all orizzone emporale {,,k} Anche in queso caso, è possibile mosrare che vale la seguene formula ricorsiva di programmazione dinamica: { F( j M( j, } F( k min k j k

60 Esempio Periodo Domanda s q c c cos variabili sono lineari, non esisono cos fissi di immagazzinameno: h ( ( s δ ( q c c h 0 { F( j M( j, } F( k min k j k d

61 Esempio Periodo Domanda s q c c M( j,k min { j,...,k } s δ( q ( k ( ( h r δ( r c r ( r M(, 90;M(2,2 30;M(3,3 90;M(4,4 70 { } 230 { } 330 { } 430 M(,2 min 80 60;90 40 M(2,3 min ;30 30 M(,3 min 520;30 20; * 20 h r δ( r c r ( r r r j ( 760;40 20 * 3 2 * * 20; M(,4 min * * 2;50 20 * * { } min{ 50;490;550 } 490 { } min{ 340;370} 340 M(2,4 min 50; ; M(3,4 min ;

62 Esempio Periodo Domanda s q c c M(, M(,2 M(2, ; M(2, ; M(3, ; M(2,2 30; M(3,3 90; M(4, ; M(, ; M(,4 60 F( 90 F(2 min{f( M(2,2;M(,2} 220 F(3 min{f( M(2,3;F(2 M(3,3;M(,3} 40 F(4 min{f(0m(,4;f( M(2,4;F(2 M(3,4;F(3 M(4,4} 560

63 Programmazione della produzione a lungo ermine e gesione delle score: caso con capacià Coneso. l problema della gesione delle score consise nel pianificare e conrollare i processi di approvvigionameno dei magazzini di un sisema produivo, siano essi magazzini di maerie prime, magazzini di semilavorai o di prodoi finii. Ogni processo di approvvigionameno ha lo scopo di produrre/ acquisare beni (maerie prime, semilavorai, prodoi finii per soddisfare la domanda ad un livello successivo (produzione di semilavorai, assemblaggio, domanda finale. Nei sisemi di produzione manifauriera, il problema della programmazione della produzione consise nel deerminare la dimensione dei loi di produzione in un dao orizzone emporale, ed è, quindi, un paricolare aspeo del problema di gesione delle score.

64 Programmazione della produzione a lungo ermine e gesione delle score: caso con capacià Coneso (segue L impiego delle score nei sisemi produivi ha una serie di vanaggi: usufruire delle economie di scala derivani dall aumeno dei volumi di produzione o delle quanià ordinae, con conseguene minor incidenza dei cosi fissi di produzione o del lancio di un ordine; rendere più flessibile la produzione disaccoppiando le diverse fasi produive; riparire in modo uniforme i carichi di lavoro sull inero orizzone produivo. D alra pare le score cosiuiscono per l azienda un immobilizzo di capiale e quindi un coso.

65 Programmazione della produzione a lungo ermine e gesione delle score: caso con capacià l caso reale. l sisema di produzione che consideriamo è un azienda manifauriera che produce ceninaia di prodoi differeni. Consideriamo un solo prodoo A. l prodoo A ha la seguene domanda mensile che deve essere soddisfaa: mese Gen Feb Mar Apr Mag Giu Lug Ago Se Domanda (on cosi vivi di avvio produzione non sono rascurabili. Prima della produzione, infai, l impiano deve essere porao in uno sao di esercizio che cosa, in ermini di personale, maeriali, energia elerica ecc, circa 2000 Euro, a cui va aggiuno il coso uniario delle maerie prime impiegae per la produzione. Da uno sudio dei dai sorici aziendali si sima che ale coso varia mensilmene secondo la seguene abella: mese Gen Feb Mar Apr Mag Giu Lug Ago Se Coso per on Si supponga che all inizio del mese di gennaio il magazzino sia vuoo e che il coso di soccaggio sia pari a 25 Euro al mese per ogni onnellaa di prodoo finale immagazzinao.

66 Programmazione della produzione a lungo ermine e gesione delle score: caso con capacià l problema decisionale. Considerando che la capacià produiva del sisema è limiaa, si chiede di rovare un piano produivo, in modo ale che la domanda mensile sia soddisfaa, e che il coso oale di produzione e di soccaggio sia minimo.

67 Programmazione della produzione a lungo ermine e gesione delle score: caso con capacià Dai i periodi del prossimo orizzone emporale: {,,} (9 la domanda nel periodio : d i cosi di magazzino variabili e i cosi fissi e variabili di produzione: Coso fisso di produzione nel periodo : s Coso variabile di produzione nel periodo : q Coso variabile di soccaggio nel periodo : c La capacià produiva nel periodo : K La capacià del magazzino nel periodo : F

68 Programmazione della produzione a lungo ermine e gesione delle score: caso con capacià Obieivo rovare un piano di produzione (quando e quano produrre in modo da minimizzare i cosi di immagazzinameno e di produzione.

69 Una formulazione di PL per il problema Definizione delle variabili: l livello di magazzino alla fine del periodo la quanià prodoa durane il periodo y se si produce nel periodo 0 alrimeni e sono legae dalla relazione - - d - d

70 - - d d d 2 d

71 Una formulazione di PL per il problema Funzione obieivo Cosi di produzione: Cosi di immagazzinameno: s y q c min (( s y q c

72 Vincoli di capacià produiva: Una formulazione di PL per il problema K y,..., Vincoli di bilanciameno di maeriali nel magazzino: d,..., Upper bound sulle variabli : F,..., Vincoli di non negaivià: 0, 0,...,

73 Una formulazione di PL per il problema Formulazione complessiva min (( s y q c K y,..., d,..., 0 F, 0,..., y { 0,},...,

74 Programmazione della produzione a lungo ermine e gesione delle score: caso con capacià Complessià del problema l problema è NP-compleo * Diversi sono i meodi, sia esai che eurisici, proposi in leeraura (sudio di formulazioni per il calcolo di lower bound, algorimi eurisici per il calcolo di buone soluzioni ammissibili. * Florian M, Lensra JK, Rinnooy Kan AHG. Deerminisic producion planning algorihms and compleiy. Managemen Science 980;26(7:669 79