Progetto MIUR DM 593 no Vento di Sardegna. Obiettivo Realizzativo n. 1 ORGANIZZAZIONE. Attività 1.3B2

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1 Progeo MIUR DM 593 no Veno di Sardegna Obieivo Realizzaivo n. 1 ORGANIZZAZIONE Aivià 1.3B2 Messa a uno e inegrazione dei diversi sofware er la simulazione! " # CRS4 $% &'%%())%)*,-. 31 Gennaio

2 1. VENTO APPARENTE E STRATO LIMITE ATMOSFERICO 1.1. Veno reale e veno aarene Per veno reale si inende il veno che è misurao da un osservaore in un riferimeno sazionario. Anche nella oale assenza di veno reale, er effeo del moo della barca, un osservaore che si rova a bordo di essa erceisce un veno la cui direzione e inensià coincidono con quelle del moo della barca, ma di verso ooso. È il così deo veno di velocià. In resenza del veno reale, il veno erceio dall osservaore oso sulla barca, sarà la comosizione veoriale del veno reale sesso e del veno di velocià. Tale veno e il veno aarene. Al variare della direzione dalla quale il veno aarene soffia riseo alla direzione di moo della barca, si disinguono le varie andaure della barca sessa. I nomi delle diverse andaure sono riorai nella Figura 1. In Figura 2 è esemlificaa la definizione di veno aarene come comosizione veoriale, in due differeni andaure. Figura 1: nomi delle diverse andaure al variare della direzione del veno aarene riseo alla direzione del moo della barca 2

3 Figura 2: definizione del veno aarene come comosizione veoriale del veno reale e del veno di velocià er due andaure di bolina e di raverso 1.2. Variabilià del veno con la quoa: lo srao limie amosferico Un alro aseo imorane di cui si deve enere cono nello sudio dell aerodinamica delle vele, è che il veno non è cosane al variare dell alezza dalla suerficie dell acqua. In rossimià della suerficie dell acqua, infai, la velocià del veno diminuisce, er annullarsi in corrisondenza del elo libero er effeo delle forze di ario viscoso. Si genera così un vero e rorio srao limie. Il risulao è che la velocià del veno è in generale di diversi nodi maggiore in enna d albero che all alezza del one della barca. Ricordando che il veno aarene alri non è che la combinazione veoriale del veno reale e di quello di velocià, una variazione dell inensià del veno reale alle differeni alezze lungo l albero della barca, ha come effeo la nascia di una variazione dell angolo nella direzione del veno aarene lungo l albero sesso. La legge con la quale varia la velocià del veno con l alezza dalla suerficie dell acqua, è arossimaivamene logarimica [23]. Una delle esressioni di V(z) di iù frequene uilizzo in leeraura è quella dovua a Paulson (1970), valida in condizioni di sabilià neura dell amosfera: * U z V ( z) = ln (Eq. 1.1) k z0 dove: k = 0.42 è la cosane di von Barman e * U e z0 sono riseivamene la velocià di ario e l alezza caraerisica delle onde. Al variare di quesi due arameri, si oengono rofili di velocià del veno diversi. Il valore di suggerisce di uilizzare un valore di * U diende dalla velocià del veno indisurbao e Ruggles (1970) * U ari al 4% della velocià del veno a 10 m sora la suerficie dell acqua. Il valore di z 0 è invece una misura di quano sono grandi le onde che incresano la 3

4 suerficie dell acqua. Ruggles (1970) fornisce una serie di valori di z 0 in funzione delle condizioni marine (scala di Beaufor). La Tabella 1 riora i valori di z 0 suggerii da Ruggles. z Scala di Beaufor Descrizione condizioni mare , 1 Mare calmo e aria sagnane 0.5 2, 3 Mare incresao e brezza leggera Onde medie e brezza moderaa , 6 Onde grandi e brezza sosenua Tabella 1:valori di in funzione delle condizioni marine (scala di Beaufor) Figura 3: rofili del veno calcolai con la legge di Paulson er quaro differeni coie di valori er * U e z 0 La Figura 3 mosra il rofilo di velocia del veno oenuo con la legge di Paulson er diverse dimensioni della rugosia suerficiale (alezza delle onde). Si noi come la velocia di ario debba aumenare er manenere il gradiene refissao. Si è deo che la legge di Paulson è valida in condizioni di sabilià neura dell amosfera. Per la deerminazione delle condizioni di sabilià si fa riferimeno alla sraificazione dell aria in 4

5 rossimià della suerficie dell acqua. Sia in condizioni di amosfera sabile che insabile la legge di Paulson richiede l aggiuna di nuovi ermini a secondo membro. Infine, occorre osservare che anche le vele sesse conribuiscono a defleere la direzione del veno. Figura 4: Effeo di uwash: la resenza delle vele modifica la direzione del flusso incidene su di esse A iolo di esemio in Figura 4 è illusrao l effeo della resenza delle vele sulla direzione del veno incidene. Come raresenao nella Figura 4 si consideri il caso di una barca che si muova in andaura di bolina srea soo un veno aarene di 18. Nella are in alo della Figura 4 sono riorae le racce della randa e del fiocco su un iano di sezione erendicolare all albero. La coia di vele risula ben allineaa con la direzione del veno aarene.. Se erò si esaminano le reali condizioni di lavoro delle singole vele, si uò osservare come nel caso del fiocco, l angolo reale di ingresso del veno vari da circa 40 sino a circa 75 sosandosi dalla base alla sua esa. Comorameno analogo si ha anche nel caso della randa, con l unica eccezione delle sezioni iù basse dove la resenza del fiocco riesce a guidare meglio il flusso d aria che si insaura ra le vele. Muovendosi erò verso la enna dell albero, anche nel caso della randa si ha un considerevole effeo di roazione della direzione del veno incidene. Queso fenomeno, rorio delle vele a iana riangolare, è noo con il ermine anglosassone di uwash [2]. Tale comorameno diende anche dall angolo di aacco uilizzao, iù grande è l angolo iù grande è l effeo di roazione. Inolre, ai iù iccoli angoli di aacco, la differenza nell angolo di roazione della direzione del veno incidene ra il iede e la esa delle vele, è roorzionalmene iù iccola che nel caso di grandi angoli di aacco. 5

6 2. FORZE E MOMENTI GENERATI DAL CARICO AERODINAMICO Una barca a vela che navighi in linea rea e a velocià cosane, si dice essere in condizioni di equilibrio e la somma delle forze e dei momeni (inorno ad un qualsiasi asse) ageni sulla barca deve essere nulla. Le forze di maggiore ineresse sono quelle che agiscono sul iano dell acqua, menre i momeni iù imorani sono quelli che agiscono lungo l asse cenrale della barca, definio come l asse che corre lungo la linea di mezzeria dello scafo, da rua a oa [17]. Nell equilibrio delle forze occorre ovviamene anche enere cono delle forze vericali, generae dal moo della barca, secialmene nel caso in cui si abbia la resenza della chiglia. L equilibrio di dee forze è erò sosanzialmene dominao dalla forza eso della barca e dalla forza di galleggiameno, così da non giocare un ruolo aricolarmene imorane nella deerminazione delle resazioni dell imbarcazione Forze nel iano dell acqua La Figura 5 mosra le forze ageni su una vela in un iano arallelo alla suerficie dell acqua. Se si considera la direzione del veno aarene V A, la forza oale comoneni di oranza (L), agene in direzione erendicolare a lungo la direzione di F TOT uò essere scomosa nelle due vele V A, e di resisenza (D), agene V A [5]. La resisenza (D) comrende ano la resisenza indoa della vela, quano le resisenze di ario e di ressione del comlesso di vele, albero, scoe e scafo. Figura 5: forza oale agene sulla vela e sua scomosizione lungo 6 V A e V B

7 Dal uno di visa dello scafo, è iù ineressane considerare come direzione di riferimeno quella della velocià della barca, definia dal veore veno di velocià direzione del moo la forza oale agene sulla vela, di sina (T), agene lungo la direzione di F TOTvele V B di Figura 5. Riseo alla, uò essere divisa nelle due comoneni V B, e di forza sbandane (H), agene in direzione erendicolare a V B. Se con γ si indica l angolo ra V A e V B, si ossono scrivere semlici relazioni geomeriche di assaggio dal sisema di comoneni (L, D) a quello (T, H): T = Lsenγ D cosγ H = L cos γ Dsenγ (Eq. 2.1) La Figura 6 mosra il sisema di forze ageni su scafo e sarie nel iano dell acqua: la forza di resisenza (R) e la forza laerale (L), ageni riseivamene nella direzione nella direzione del moo della barca e in quella ad essa erendicolare. Si noi come in generale il moo della barca avvenga lungo una direzione non esaamene coincidene con quella dell asse dello scafo, esisendo un angolo ξ, deo angolo di deriva o di scarroccio. Le due comoneni R ed S ossono essere comose nella forza oale agene sullo scafo, F TOT scafo. La resisenza R è in generale la somma delle resisenze di ario dello scafo e delle aendici idrodinamiche (chiglia, imoni, ecc), della resisenza di ressione, di quella indoa e della resisenza dovua al moo ondoso. Per veni leggeri, cioè a bassa velocià della barca, la resisenza di ario è revalene sulle alre, ma al di sora di una cera velocià criica, la così dea hull seed la resisenza d onda aumena raidamene. La velocià criica è raggiuna quando il numero di Froude raggiunge il valore di circa Figura 6: equilibrio delle forze ageni sullo scafo nel iano dell acqua 7

8 Si ricorda che il numero di Froude e; definio come: V Fr =, dove V è la velocià della barca, g, gl l accelerazione di gravià ed L una lunghezza caraerisica, a esemio, la lunghezza dello scafo. Fisicamene il numero di Froude raresena il raoro ra forze inerziali e graviazionali e fornisce una misura del numero di onde lungo la lunghezza dello scafo. In aricolare, er un numero di Froude ari a 0.4, esise una sola onda che core l inera lunghezza dello scafo. Infine, la Figura 7 mosra l equilibrio dei momeni ageni sullo scafo. Per la manovrabilià della barca, il momeno delle forze S ed R già discusse in Figura 6, deve essere conrasao agendo sul imone della barca. Il imoniere, agendo sulla barra del imone, imone ad esso un cero angolo δ riseo alla direzione dell asse della barca, deerminando così l insorgenza di un sisema di forze idrodinamiche del uo analoghe a quelle già esaminae nel caso dello scafo. Per un cero angolo di imone δ il momeno di S ed R risulerà uguale e ooso a quello di S Timone e di R Timone, e il sisema sarà in equilibrio. Figura 7: equilibrio dei momeni dovuo all azione del imone 2.2. Forze in un iano erendicolare al iano di simmeria dello scafo Le forze ageni su un iano erendicolare al iano di simmeria dello scafo, sono quelle riorae nella Figura 8. 8

9 Figura 8: equilibrio di forze e momeni in un iano erendicolare al iano di simmeria dello scafo Le condizioni di equilibrio delle forze e dei momeni ageni in queso iano, ossono essere scrie come: H H = S W B W b = H H h Dove: H H è la comonene orizzonale della forza di sbandameno H, alicaa nel cenro degli sforzi della vela; S è la forza laerale, alicaa nel cenro di resisenza laerale della barca; W è la forza eso della barca, alicaa nel cenro di gravià della barca sessa; B è la forza di galleggiameno; b è la disanza ra il cenro di gravià della barca e il uno di alicazione di B; h è la disanza ra il cenro degli sforzi della vela e il cenro di resisenza laerale della barca. La forza di sbandameno H uò essere scomosa nelle sue comoneni orizzonale e vericale. La comonene vericale di H uò di fao essere rascuraa er il calcolo delle condizioni di equilibrio di forze e momeni. In Figura 8 è riorao l angolo di sbandameno della barca θ. Esso è l angolo generao dall azione della coia sbandane H H S. L angolo di sbandameno θ ende a crescere 9

10 sino a che l azione sbandane di H H S non è equilibraa dalla coia raddrizzane B W, il cui braccio, b, è molo iù iccolo del braccio, h, di H H S. A seconda del io di barca il meccanismo di generazione della coia raddrizzane è diverso. Ad esemio, nel caso di dinghies (Oimis, 4.20, ecc) da comeizione, il momeno raddrizzane è di fao generao dal eso dell equiaggio, nel caso dei caamarani dalla forma e dislocazione degli scafi, negli yachs dal eso della chiglia. Nel caso secifico dei caamarani è necessario rendere in considerazione alre due forze er valuare le condizioni di equilibrio vericali: la oranza e la resisenza dello scafo. La oranza delle suerfici lanani è dovua a due effei disini: il rimo è la reazione osiiva del fluido conro la are inferiore degli scafi in moo su di esso; il secondo effeo che genera la oranza è deo conribuo di galleggiameno, ed è associao alle ressioni saiche che corrisondono alle condizioni di draf e rim vigeni. A basse velocià, l effeo di galleggiameno è redominane, menre ad ale velocià è il rimo conribuo sora descrio, che deermina la oranza. In raica, il conribuo idrodinamico alla oranza deve essere reso in considerazione quando il raoro ra sina e eso è iù grande di 0.1. Quando l imbarcazione sa lanando, accano alla oranza idrodinamica, si genera anche una resisenza idrodinamica. Allorchè la velocià della barca aumena e si insaurano le condizioni di lanaa, la resisenza di ario e quella d onda diminuiscono, menre aumena la resisenza idrodinamica Forze nel iano di simmeria dello scafo Figura 9: le forze ageni sul iano di simmeria della barca 10

11 La Figura 9 mosra le forze ageni nel iano di simmeria della barca. Le condizioni di equilibrio orizzonale e vericale delle forze sono già sae descrie in recedenza. Rimane qui da esaminare la condizione di equilibrio er il momeno affondane, quello cioè che, se non equilibrao, ora la rua ad abbassarsi o ad alzarsi sull acqua. L esame della Figura 9 mosra come in condizioni di equilibrio la coia generaa dalla resisenza dello scafo R, e dalla sina sulle vele, T, sia equilibraa dalla coia generaa dalla forza eso e da quella di galleggiameno. 11

12 3. IL CODICE DI CALCOLO 3.1. Generalià Il codice uilizzao er le simulazioni è un codice CFD arallelo MPI, ai volumi finii, muli-blocco, che risolve le equazioni di Eulero e Navier-Sokes in forma comressibile, in cui ui i ossibili accoiameni ra la dinamica e la ermodinamica sono resi in considerazione. Si raa dunque del modello maemaico iù generale er lo sudio del flusso di un fluido qualsiasi. Il codice risolve il sisema accoiao delle equazioni di coninuià, quanià di moo ed energia er le comoneni della velocià, la ressione e la emeraura. Una vola che i valori di u, v, w, e T sono sai aggiornai, viene fao uso di una legge arbiraria di ermodinamica. I flussi conveivi araverso le inerfacce della discreizzazione saziale ai volumi finii, sono calcolai mediane uno schema TVD di Roe, al secondo ordine. Un algorimo muli-grid con cicli di io a V, in unione con un meodo di avanzameno nel emo di Runge-Kua a cinque sadi, è usao er accelerare la convergenza del meodo verso la soluzione sazionaria. Quesa aricolare formulazione, iica delle alicazioni aerodinamiche, mosra erò un eccellene efficienza anche er flussi incomressibili, come ure er flussi di fluidi incomressibili, una vola accoiaa con un meodo di recondizionameno. A queso scoo è sao scelo il recondizionaore di Merkle, in quano uò essere facilmene formulao er un equazione di sao arbiraria daa come una relazione funzionale di due variabili (soliamene la ressione e la emeraura T), o anche in forma abellare, lea come file di ingresso, e usaa con un inerolazione bilineare. Il codice imlemena alcuni ra i iù oolari modelli di urbolenza, sia a una sia a due equazioni Il modello maemaico Le equazioni di Navier-Sokes Il sisema di Navier-Sokes, in forma comrimibile, si scrive: ρ ρu i ρe ( ρu ) ( ρu u δ τ ) i ρg ( ρhu u τ q ) = ρq i i i i = = 0 i (Eq. 3.1) 12

13 Le re equazioni di coninuià, quanià di moo ed energia, raresenano i rincii di base della meccanica e della ermodinamica, vale a dire la conservazione della massa, la seconda legge di Newon e la conservazione dell energia oale. Le equazioni sono sae scrie in ermini delle così dee variabili conservaive (la densià ρ, l energia oale er unià di volume ρe, e le re comoneni della quanià di moo ρu i ) rese come variabili diendeni. L enalia oale er unià di volume uò quindi essere ricavaa come: ρh ρe. Le relazioni cosiuive sono dae dalle leggi di Newon e di Fourier er la viscosià e la conduivià ermica, che raresenano un modello generale er la maggior are dei fluidi di ineresse ingegnerisico: τ q i u u 2 T k i = µ µδ i i 3 = u k k (Eq. 3.2) Le equazioni di sora legano il ensore degli sforzi viscosi τ i e il flusso ermico conveivo q, al ensore dei gradieni di velocià e al gradiene di emeraura, riseivamene. Essi raresenano due ermini di diffusione fisica, iù esaamene il rasoro molecolare di quanià di moo e di energia, e ermeono una valuazione quaniaivamene correa dei rocessi ermodinamici irreversibili che occorrono nei flussi reali, soddisfacendo al secondo rinciio della ermodinamica. L energia oale er unià di massa, E, include sia l energia inerna sia quella cineica, come ure l energia graviazionale ϕ = un equazione di sao generale della forma: gz. Il sisema è comleamene accoiao ramie l uso di ( T ) a = a, (Eq. 3.3) in cui a raresena una qualsiasi variabile ermodinamica, quale la densià, l enalia o la velocià del suono, esressa in ermini della ressione e della emeraura T Comressibilià di un fluido e di un flusso Il sisema di equazioni recedenemene scrio è il iù generale in quano ermee lo scambio reversibile ra energia cineica ed energia inerna che uò avvenire a sese delle variazioni di densià, includendo cioè la comressibilià del fluido. Queso meccanismo, nascoso nella formulazione delle equazioni, uò uavia essere messo in luce scrivendo un equazione di rasoro er l energia cineica V 2 /2 (molilicando scalarmene l equazione della quanià di moo er il veore velocià) e soraendola all equazione dell energia er oenere un equazione er l energia 13

14 inerna e. Il ermine di scambio è quello resonsabile dell accoiameno ra le equazioni della quanià di moo ed energia. Un alro modo di idenificare la reale comressibilià del flusso fluido, si oiene differenziando l equazione di sao: Dρ ρ = D T Dρ ρ D T DT D (Eq. 3.4) che ermee di meere in relazione le variazioni di densià associae a una aricella di fluido che si muove con il flusso, alle variazioni di ressione e di emeraura, iuoso che a un ermine aricolare nelle equazioni alle derivae arziali del sisema. Le due derivae arziali della densià raresenano i coefficieni di comressibilià del fluido a emeraura e a ressione cosane (sesso indicai con ρχ e ρβ ). Fluidi incomressibili hanno β = χ = 0, il che imlica che la densià è cosane ovunque. Ciò a sua vola inibisce la ossibilià di scambio ra energia cineica ed inerna, cosicchè l equazione dell energia uò essere ralasciaa e scomarire dal sisema. D alro cano, nei iici flussi comressibili rori della gas dinamica, le variazioni di densià avvengono in associazione con variazioni di ressione, araverso i coefficieni di comressibilià a emeraura cosane: ρ T 1 = ρχ 2 c Dρ M ρ 2 (Eq. 3.5) dove c è la velocià del suono ed M il numero di Mach. Ne risula dunque che le variazioni di densià nei flussi di fluidi comressibili avvengono generalmene se la velocià del fluido è sufficienemene elevaa se confronaa con la locale velocià del suono. Una erza classe di flussi di fluidi è raresenaa dai flussi in regime di convezione naurale (buoyancy) di fluidi incomrimibili. Tali flussi si verificano generalmene a velocià molo basse, se aragonae con la locale velocià del suono. Per effeo delle sorgeni volumeriche di calore, le variazioni di densià sono ineramene dovue alle variazioni di emeraura araverso il coefficiene β, e non agli effei di comrimibilià che si verificano alle ale velocià. È er quesa ragione che quesi flussi sono erroneamene chiamai incomressibili, il cui vero significao è quello di flusso a basso numero di Mach. Il risulao, comunque, è che il vero meccanismo di scambio ra energia inerna e cineica, acceso dalla resenza del ermine sorgene graviazionale nell equazione della quanià di moo, è il solo resonsabile del moo del fluido, e l inero sisema è nuovamene comleamene accoiao. Una iica equazione di sao er flussi in convezione naurale, uò essere arossimaa come ρ = ρ(t), rascurando quindi gli effei molo iccoli delle variazioni di ressione. Il modello iù generale er descrivere queso io di flussi è quello di aggiungere la forza 14

15 di volume graviazionale, come ermine sorgene nell equazione della quanià di moo, scrivendola come ρ g i, dove gi è la comonene del veore gravià in direzione i. Il gradiene di ressione idrosaico uò essere searao dal gradiene oale di ressione ed esresso come ρ 0 g i, dove ρ 0 ρ 0 ) i è calcolaa allo sao di riferimeno; quindi il ermine sorgene divena semlicemene: ( ρ g. Assumendo che in uno sreo inervallo di valori il coefficiene di comressibilià β sia cosane, uò essere derivaa un equazione di sao generale nella forma = ρ ( T ) = ρ [ β ( T )] ρ ex T. 0 0 Araverso un esansione in serie di Taylor er iccoli valori dell argomeno dell esonenziale, β ( T T 0 ), uò essere derivaa la cosiddea arossimazione di Boussinesq, nella quale il ermine sorgene divena: ( ρ ρ ) g ρ g β ( T ) 0 i 0 i T0. Con quesa forma modificaa del ermine sorgene, la densià uò manenua cosane in uo il dominio. Tue quese forme alernaive sono disonibili nel codice di calcolo Flussi a bassa velocià e recondizionameno Sebbene il sisema delle equazioni di Navier-Sokes sia arabolico dal uno di visa maemaico, nel regime degli ali numeri di Reynolds i ermini di diffusione viscosa, associai con i fenomeni di rasoro irreversibili dovui alla viscosià e alla conducibilià ermica, giocano un ruolo minore nel ridisribuire energia e quanià di moo ra le linee di correne. Quesi fenomeni sono essenzialmene confinai all inerno degli srai limie, menre il cuore del flusso maniene il caraere ierbolico iico dei flussi conveivi, rorio, come deo, degli ali numeri di Reynolds. Il sisema delle equazioni di Eulero, cioè la are ideale e reversibile dell inero sisema di Navier-Sokes, raresena la ura naura di roagazione di onde, caraerisica dei flussi di fluidi. Gli auovalori della marice delle equazioni di Eulero, idenificano le velocià delle differeni onde che governano la conservazione della massa, della quanià di moo e dell energia, e che sono raresenae dalla velocià delle aricelle (velocià del fluido), e dalla velocià di due onde acusiche. Essi hanno forma: i u, ( c) u i ±. Nei flussi suersonici, ui gli auovalori della marice di Eulero sono dello sesso ordine della velocià locale, ed il sisema è ben condizionao. Nei flussi ransonici, una delle velocià acusiche vale circa zero, menre gli alri auovalori sono ui dello sesso ordine della locale velocià del suono: la marice del sisema divena quindi mal condizionaa. All avvicinarsi a zero del numero di Mach, la velocià delle erurbazioni acusiche è molo iù grande della velocià delle erurbazioni che si roagano con le aricelle di fluido. In ermini maemaici, quando la velocià del fluido 15

16 divena semre iù iccola, gli auovalori della marice del sisema di equazioni divenano semre iù sarsi, dando via ad una marice di Eulero mal condizionaa a velocià del flusso molo basse. Si dice allora che il raoro ra la velocià acusica e la velocià del fluido cresce illimiaamene. Se si vuole alicare la formulazione numerica comleamene comressibile anche al caso dei flussi incomressibili (o a flussi di fluidi incomressibili) ed ai flussi ransonici, deve necessariamene essere usaa una ecnica di recondizionameno. La molilicazione della marice del sisema di Navier-Sokes er una marice di recondizionameno, cambia arificialmene le velocià caraerisiche (gli auovalori della marice) alle quali i segnali si roagano nel fluido: l uso della ecnica del recondizionameno alera la velocià di roagazione delle erurbazioni acusiche, rendendola dello sesso ordine di grandezza della velocià del fluido. In alre arole, il reale mondo incomressibile, è rasformao in uno alamene comressibile, nel quale la formulazione comressibile dell algorimo numerico riacquisa la sua efficienza originale. Il sisema recondizionao delle equazioni di Navier-Sokes, scrio in forma veoriale comaa, è: Q Fx P Fy y Fz z P ( viscous fluxes) = 0 (Eq. 3.6) dove F x = F x, F y ed ρ u 2 ρu ρuv ρuw ρuh F z raresenano le re comoneni del veore dei flussi non viscosi F : F y = ρ v ρuv 2 ρv ρvw ρvh F z ρw ρwu = ρwv 2 ρw ρwh (Eq. 3.7) La ecnica di recondionameno di Merkle [25] è saa scela in quano uò essere facilmene formulaa er un equazione di sao arbiraria. La marice di recondionameno P di Merkle è daa da: P MM m 1 = (Eq. 3.8) nella quale M raresena la marice Jacobiana del veore delle variabili conservaive Q riseo al veore delle cosiddee variabili rimiive viscose Q v : Q M = Q v e dove la marice 1 M m modifiche (cioè quando ρ Q = ρv ρe Q v = V T (Eq. 3.9) raresena una forma modificaa della marice M. Si noi che in assenza di M = e P = I ), si recuera la forma non recondizionaa del sisema. M m 16

17 ρ ρt uρ ρ 0 0 uρt M = vρ 0 ρ 0 vρt (Eq. 3.10) ( ) wρ 0 0 ρ wρt Hρ 1 ρh ρu ρv ρw HρT ρht La marice M coniene ermodinamica arbiraria nei ermini delle derivae della densià e dell enalia riseo alla ressione e alla emeraura ( ρ h h ) coniene la ermodinamica modificaa nei ermini di 17 ρ T T, menre la marice M m m ρ e m ρ T. La riscalaura delle velocià caraerisiche è oenua araverso una scela aroriaa dei valori modificai dei coefficieni di comressibilià del fluido. Allo scoo di manenere il numero di condizionameno di ordine uniario, si uò mosrare [26] che una scela aroriaa dei coefficieni di comressibilià e: m m ρ T = ρt, ρ 1 = 2, dove V r è un aroriaa velocià di riferimeno. Se V r viene faa variare V r araverso il dominio, la marice di condizionameno M m cambia da uno a uno, e di fao viene alicaa una ecnica di recondizionameno locale. Una buona scela di V r è cruciale er la convergenza. V r dovrebbe essere la iù iccola ossibile, ma non iù iccola di ogni velocià di rasoro locale, er considerazioni di sabilià. Per queso moivo V r è scela come la iù iccola ra le segueni velocià: 1. la velocià di convezione locale v 2. la velocià di diffusione della quanià di moo ν x 3. la velocià di diffusione locale del calore ( ν ) ( 1 Pr) Il rimo crierio è quello dominane nei flussi urboleni, ad alo numero di Reynolds. Malgrado ciò, negli srai limie o in flussi laminari a basso numero di Reynolds, i crieri di diffusione ossono giocare un ruolo. Per mealli liquidi, il numero di Prandl ( Pr =ν α, raoro ra la viscosià cinemaica e la diffusivià ermica), è molo minore di 1 (a esemio er sodio liquido Pr 10 3 ) e il crierio basao sulla velocià di diffusione del calore uò divenare imorane. Per di iù, V r non dovrebbe essere iù iccola delle alre velocià caraerisiche, quali: la velocià locale ρ la velocià globale cosiddea velocià di Brun V ( ν D) Gr dove la rima raresena la velocià caraerisica di roagazione delle variazioni di ressione, e la seconda, iica dei flussi in convezione naurale, raresena la massima velocià delle onde di gravià in un flusso urboleno. Il crierio 4 fu inrodoo in [28] e uò essere rovao anche in [36]. L efficacia del crierio 5 è al momeno ancora soo invesigazione. x

18 Se il valore risulane di V r (dai crieri da 1 a 5 di sora), è iù grande della velocià del suono c, allora c è scela come velocià di riferimeno e il coefficiene di comressibilià modificao a emeraura cosane è redefinio come: ρ ρ m T = 1 (Eq. 3.11) Vr ρht Queso è il caso dei flussi suersonici, in cui non vi è necessià di recondizionameno e la marice modificaa m 2 M riacquisa il suo significao fisico ( ρ = γ c = ρ M m = M ), cosicchè il m recondizionameno è localmene ed auomaicamene disaivao. I vanaggi del recondizionameno locale sono sai messi in evidenza da vari auori; er esemio Lee [27] nella sua esi di Ph.D. fornisce un amio excursus sorico delle ricerche in queso camo, e soolinea il fao che le marici della famiglia di Merkle sono sae sviluae a arire dall analisi ed oimizzazione degli auovalori del sisema. Marici di recondizionameno iù efficieni ossono essere oenue onendo maggior aenzione all orogonalià degli auovalori; queso uò risulare imorane secialmene nei uni di sagnazione del flusso. A regime sazionario (cioè er Q = 0 ), il sisema recondizionao condivide la sessa soluzione con l originario sisema non recondizionao. L aggiornameno della soluzione durane il rocesso ieraivo viene fao in ermini delle variabili rimiive viscose Q v, vale a dire ressione, emeraura e comoneni della velocià. Queso viene fao molilicando a sinisra la marice del sisema recondizionao er 1 M : Q 1 F F x y Fz M m M y z 1 m ( viscous fluxes) = 0 (Eq. 3.12) Equazione di sao arbiraria Nel modello maemaico descrio in recedenza, la scelaa del fluido è oalmene arbiraria. Una ermodinamica qualsiasi uò infai essere alicaa araverso la marice M. Più recisamene, devono essere fornie le derivae della densià ρ e dell enalia h, riseo alla ressione e alla emeraura T. Avendo definio: il coefficiene di comressibilià a emeraura cosane χ : ρ 1 ρ χ = ρ ρ T (Eq. 3.13) il coefficiene di comressibilià a ressione cosane β : 18

19 ρt 1 ρ T β = ρ ρ (Eq. 3.14) e il calore secifico a ressione cosane c : c h = ht (Eq. 3.15) T allora er ogni sosanza ura, le derivae richiese sono dae da: ρ = ρχ ρ = ρβ T h T = c βt h = 1 ρ Nel codice sono imlemenae le ozioni segueni: gas ideale le derivae sono definie in ermini della cosane dei gas R e del calore secifico a ressione cosane: ( T ) ρ = ρ, = 1 β = T 1 1 χ = ρ ρrt RT h = 0 h = h( T ) = c ( T ) T liquidi (o fluidi incomressibili) le derivae sono definie in ermini di uno sao di riferimeno (h 0, T 0 e 0 e di rorieà del fluido cosani: = ρ = ρ(, T ) = ρ ex[ β ( T T ) χ ( )] dρ ρ d ρ dt T βt dh = h d ht dt h = h(, T ) = h0 c ( T T0 ) ( ρ ρ0 ) ρ dove β e χ ossono assumere qualsiasi valore, incluso lo zero. Se β = χ = 0, allora la densià e sreamene cosane e volume cosane. c = c c, dove c = c R raresena il calore secifico a v v 19

20 equazione di sao in forma gabellare in queso caso il codice uò leggere un file di ingresso con i valori di densià ed enalia e le loro derivae riseo a e a T, abulai er un inervallo arbirario di valori di ressione e di emeraura. Un inerolazione di io bilineare è quindi uilizzaa er esrarre dalla abella i valori delle variabili di ineresse er valori di e T comunque variabili nell inervallo scelo. Quesa ozione è molo uile, er esemio, quando si vogliano raare casi di fluidi reaivi in equilibrio ermochimica, er i quali equazioni di sao in forma abellare ossono essere oenue da iici codici di equilibrio chimico Il modello numerico Sruura dell algorimo La figura seguene fornisce una schemaica raresenazione della sruura del codice: Figura 10: la sruura dell algorimo numerico imlemenao nel codice di calcolo In un modello maemaico ai volumi finii comleamene eslicio, la soluzione è daa ad ogni ciclo (ierazione) da: m ( RES RES ) 1 Q v = M m inv vis (Eq. 3.16) Ω dove Ω raresena il volume della cella. L algorimo si comone dei quaro assi segueni: calcolo dei residui conservaivi delle equazioni di coninuià, quanià di moo e di energia; 20

21 i residui viscosi non cambiano; i residui non viscosi vengono modificai nel caso sia uilizzao uno schema TVD; recondizionameno di ui i residui; aggiornameno delle variabili in ermini di, V e T; a ogni asso è fornia la correa ed arbiraria ermodinamica Meodi numerici Il codice fa uilizzo di un algorimo muli-grid con ciclo di io a V, accoiao con un meodo di avanzameno nel emo Runge-Kua a 5 sadi, er convergere alla soluzione sazionaria. Quesa formulazione è quella iica er i flussi dell aerodinamica e mosra un eccellene efficienza anche er i flussi incomressibili, allorchè associaa all uso del recondizionaore di Merkle. I flussi conveivi ossono essere calcolai sia araverso l uso di schemi TVD (anche chiamai schemi a marice dissiaiva), o araverso iici schemi a dissiazione scalare, come ad esemio lo schema quick [28], [29], [30]. I rimi sono basai sulla decomosizione delle equazioni di Eulero in onde (decomosizione nelle variabili caraerisiche), cosicchè l informazione ossa essere rasoraa nella giusa direzione in associazione con la relaiva onda, in diendenza del segno della corrisondene velocià dell onda. Queso resuone una decomosizione in auoveori della marice di Eulero (ora in forma recondizionaa), faa alle inerfacce delle celle, idenificae ramie i coseni direori n x, n y ed n z : ( A n B n Cn ) D = PD P (Eq. 3.17) x y z dove: F = x F A Q y F B = C = z (Eq. 3.18) Q Q cosicchè la valuazione numerica del veore flusso F : F F n = F n F n F n è daa da: F x x y * i i 1 1 i 1 2 = P R 1 y z z F F 1 / L ( Qi Qi ) (Eq. 3.19) 2 2 dove R ed L raresenano le marici degli auoveori di desra e di sinisra di D, e raresena la marice diagonale, i cui elemeni sono gli auovalori di D. Tue le marici 21

22 conengono la ermodinamica arbiraria araverso la marice di recondizionameno P. Ancora una vola, se M m = M, allora P = I ed il sisema recuera la sua forma non recondizionaa Modelli di urbolenza Per oer enere nel cono la naura urbolena del flusso dell aria inorno alle vele, è necessario ricorrere alla modellazione fisica. In un flusso urboleno di un fluido, all energia cineica mediamene ossedua dalle aricelle di fluido nel loro moo globale lungo le linee di correne, si deve sommare l energia cineica (urbolena) deerminaa dalle fluuazioni di velocià delle aricelle sesse riseo al suo valore medio. Per l energia cineica urbolena è ossibile scrivere un equazione esaa. Sforunaamene, alcuni dei ermini che comaiono nell equazione dell energia cineica urbolena sono di difficile raazione e richiedo l uilizzo di una qualche forma di modellazione fisica. Queso uò essere fao sia inroducendo nell equazione dell energia cineica urbolena una qualche alra incognia ausiliaria (che richiede quindi l uso di un uleriore equazione aggiuniva), sia sosiuendo l equazione dell energia cineica urbolena con un alra equazione er una ooruna quanià fisica in grado di descrivere l effeo della urbolenza. In ambio RANS ui i modelli di urbolenza forniscono direamene o indireamene un ermine di viscosià aggiunivo (viscosià urbolena) che va ad aggiungersi alla viscosià laminare (caraerisica roria del aricolare fluido uilizzao) nelle equazioni di Navier-Sokes. Per il resene sudio si è scelo di fare uso di due diversi modelli fisici er la urbolenza. Il rimo modello risolve due equazioni aggiunive er l energia cineica urbolena, κ, e er il suo asso di disruzione, ε. Il loro legame funzionale con la viscosià urbolena uò essere scrio come: ν = Cµ 2 κ. Tale modello è universalmene noo in leeraura come modello κ-ε, ed è ε universalmene usao nei codici di calcolo. Il secondo modello fisico revede invece la risoluzione di una sola equazione in una variabile, ~ ν, dea viscosià urbolena modificaa, che è roorzionale alla viscosià urbolena ν. Tale modello, noo come modello di Salar e Allmaras [31], grazie alle sue doi di accuraezza ed economicià comuazionale, si sà rivelendo una valida alernaiva alla classe dei modelli a iù equazioni, come il già ciao κ-ε. I aragrafi segueni conengono una breve descrizione dei due modelli di urbolenza sin qui ciai. Per un uleriore arofondimeno si rimanda alla referenze di leeraura. 22

23 Il modello di Salar e Allmaras Inroduzione Nel corso degli ulimi anni il modello di Salar e Allmaras ha acquisao una semre maggiore oolarià nella comunià della CFD. Il modello, infai, offre diversi vanaggi, sia riseo ai modelli algebrici, sia a quelli a due equazioni. In rimo luogo il modello è locale, e quindi ben si adaa ano ai soluori Navier-Sokes sruurai ano a quelli non sruurai. In secondo luogo è di facile uso e imlemenazione, e richiede condizioni al conorno banali e che non resenano roblemi di insabilià numerica, che sono invece iici della classe dei modelli a due equazione, secialmene nelle formulazioni rorie er i bassi numeri di Reynolds. Il modello risolve un equazione er la viscosià urbolena modificaa, ~ ν, ed è in realà cosiuio da re soomodelli annidai: quello er flusso non confinao (free shear flow), quello er il flusso nella zona rossima alla aree solida, ma ancora caraerizzao da un alo valore del numero di Reynolds (la regione logarimica del rofilo universale di velocià), e infine, quello er la zona vicina alla aree a basso numero di Reynolds, che consene l inegrazione dell equazione fino al soosrao limie laminare. A seconda di quano fia sia la griglia comuazionale in rossimià delle arei solide, uno o iù dei soomodelli cessa di fao di dare conribuo, e il modello fornisce il correo valore della viscosià urbolena er ui i ossibili valori della disanza a-dimensionale y Formulazione del modello Come deo, il modello di Salar e Allmaras risolve un equazione er la viscosià urbolena modificaa, ~ ν. Tale equazione, nella formulazione originaria del modello, uò essere scria come: D ~ ν = c D b1 ~ 1 Sν σ ~ ( ν ν ) ~ ν c b2 ~ ν ~ ν c k k w1 f w ~ ν d 2 (Eq. 3.20) I re ermini al secondo membro dell equazione ne raresenano riseivamene, il ermine sorgene, il ermine di diffusione e quello di disruzione. Si uò inolre noare la resenza nel ermine di disruzione, di un ermine in forma non conservaiva. Per un imlemenazione del modello in un codice ai volumi finii, è iù conveniene riscrivere l equazione in modo diverso. Molilicando uo er ρ e doo qualche assaggio, si oiene: ρ ~ ρν~ ν u ~ 2 ν c ~ b = c b S ~ 1 2 ν ν cw ρf w ρν~ 1 1 (Eq. 3.21) x d σ x 23

24 σ ~ ν c b µ ρν~ σ 1 2 ~ ν µ Il valore della viscosià urbolena è quindi calcolao come: ν ~ = f v1ν, dove la funzione f v1 è 3 χ definia come: f v1 =, con: χ 3 3 c v1 χ = ky. La figura () mosra l andameno di f v1 in funzione di y. La forma di v1 l eguaglianza: f è ale che er ali valori di ν = ~ ν. Per iccoli valori di y ( y > 60), v1 y, la forma di v1 f vale circa 1, deerminando così f è invece ale da fornire alla viscosià urbolena ν valori semre correi all arossimarsi alle arei solide. Sulle arei solide, in corrisondenza delle quali si ha y = 0, risula verificaa la condizione fisica er la viscosià urbolena: ν = 0. Gli alri ermini che comaiono nell equazione del modello hanno esressione: ~ ν χ cb 1 1 cb2 S S f 2 2 v2 f v2 = 1 cw 1 = 2 k d 1 χf k σ w 1 c = g 6 g 6 w3 6 cw3 1/ 6 v1 6 f g r cw ( r r) ~ ν 2 r 2 2 Sk d i valori delle cosani del modello sono: σ = 2/3 c b1 = c b2 = c v1 = 7.1 k = 0.41 Inolre, er grandi valori di r, la funzione f w ende ad assumere un valore cosane Il modello κ-ε Inroduzione Il modello κ-ε sandard viene er la rima vola ubblicao in leeraura nel 1974, ad oera di La under e Salding [38]. Si raa dunque di un modello che risale quasi agli albori della CFD, ma che ancora oggi è forse il iù diffuso ed uilizzao. Il modello ha origine da un enaivo di inegrazione direa dell equazione er l energia cineica urbolena. Tale equazione ha un imoranza aricolare, in quano è alla base non solo del modello κ-ε, ma di ua la famiglia dei modelli a due equazioni. Per queso moivo, vale la ena dedicarle qualche commeno. Già nel 1972, e soo l ioesi di flusso incomrimibile, Tennekes e Lumley [39] riuscirono a scrivere un equazione ano er l energia cineica del flusso medio, K, sia er l energia cineica urbolena, κ. Ricordando che 24

25 gli aici si riferiscono a grandezze fluuani e le barre a medie emorali, le equazioni er K e er κ si ossono scrivere riseivamene come: ρk ρku = ' ' ' ' ( u 2µ u ei ρu uiu ) 2µ ei ei ρuiu ei (Eq. 3.22) ρκ ρκu = u ' ' ' ' 1 ' ' ' ' ' 2µ u ei ρ ui uiu 2µ ei ei ρu u 2 ' ' i e i (Eq. 3.23) Le due equazioni hanno forma del uo simile e in esse comaiono see differeni quanià, ciascuna delle quali ha un diverso significao fisico. Se con Q si indica di vola in vola ano l energia cineica del flusso medio quano l energia cineica urbolena, il significao fisico dei ermini che comaiono nelle equazioni recedeni è il seguene: Variazione Trasoro Trasoro Trasoro Trasoro di Q nel di Q er = di Q ad oera di Q ad oera di Q ad oera emo convezione della ressione degli sforzi viscosi degli sforzi di Reynolds ( I ) ( II ) ( III ) ( IV ) ( V ) Tasso di Produzione - disruzione di Q di Q ( VI ) ( VII ) L esame dei singoli ermini che comaiono nelle due equazioni, ermee di fare qualche ineressane osservazione. In aricolare, il ermine ( VII ) a secondo membro, ha sesso modulo, ma segno ooso nelle due equazioni er K e er κ. Nel caso generale di un geo non confinao, descrivibile con un modello bidimensionale o a simmeria assiale, si rova che l unico ermine significaivo degli sforzi di Reynolds, ρu ' v ', è una quanià osiiva allorchè il rinciale ermine u del ensore delle deformazioni,, è osiivo. Ne risula che il ermine ( VII ) è una sorgene er y l energia cineica urbolena, e un ozzo er l energia cineica del flusso medio. Si è così rirovao in forma maemaica il conceo di rasformazione dell energia cineica media del flusso medio, in energia cineica urbolena. Il ermine di dissiazione viscosa ( VI ) nell equazione er κ, è invece semre definio negaivo, in quano è: 2' 2' 2' 2' 2' 2' ( exx e yy ezz exy exz e ) µ µ (Eq. 3.24) ' ' 2 e i ei = 2 yz 25

26 La somma in arenesi è faa ra ue quanià definie osiive, e quindi il ermine ( VI ) non uò che essere negaivo. Tale ermine risula quindi semre essere un ozzo er l equazione di κ. Dividendo il ermine ( VI ) er la densià ρ, si oiene il asso di dissiazione di κ er unià di massa, soliamene indicao con ε. ε = (Eq. 3.25) ' ' 2νε i ε i Esso raresena una misura di quana energia cineica urbolena sia dissiaa dal lavoro fao dai vorici iù iccoli er vincere gli sforzi viscosi. È in definiiva il conceo della cascaa del energia: l energia cineica K del flusso medio è converia in energia cineica urbolena a scale via via iù iccole, fino alla sua dissiazione ad oera degli sforzi viscosi. Bradshaw nel 1981 riuscì a scrivere un equazione er ε, che erò si rivelò di difficile uilizzo raico erchè coneneva mole incognie e ermini di difficile, o imossibile, misurazione serimenale. Nel 1974 Launder e Salding roosero il modello κ-ε sandard, la cui descrizione sarà oggeo del rossimo aragrafo Formulazione del modello Il modello uilizza le grandezze κ ed ε recedenemene inrodoe, er definire due scale caraerisiche della urbolenza di grande scala: una scala di velocià, ξ, definia ramie l energia cineica urbolena come: 1/ 2 ξ = κ (Eq. 3.26) ed una scala di lunghezza,, caraerisica della urbolenza di grande scala, definia come: κ 3 / 2 = (Eq. 3.27) ε Nel aragrafo recedene si è deo come ε rareseni in realà la velocià alla quale l energia cineica urbolena viene dissiaa alle iccole scale ad oera dei vorici iù iccoli. Sembra erciò esserci una conraddizione nell uilizzare ε er la definizione della scala caraerisica di lunghezza, 26

27 , roria della urbolenza di grande scala. Quesa aarene conraddizione è in realà sueraa soo l ioesi di ali numeri di Reynolds. Per Reynolds elevao si rova serimenalmene che il asso al quale l energia cineica del flusso medio è rasferia a vorici di scala semre iù iccola, è esaamene uguale alla velocià alla quale l energia cineica urbolena delle scale iù iccole viene dissiaa dagli sforzi viscosi. L ioesi di alo numero di Reynolds fornisce dunque una validià eorica al modello, ma ne cosiuisce anche un limie. Forunaamene, la maggior are delle alicazioni di inerese ingegnerisico sono ineressae da flussi di fluidi ad alo numero di Reynolds, e ale limiazione eorica non cosiuisce un roblema. Negli ulimi anni comunque, in leeraura sono sai resenae varie versioni del modello, oorunamene modificae er funzionare anche ai bassi regimi di Reynolds. Tramie le due scale caraerisiche ξ ed, è ossibile inrodurre una viscosià urbolena, definia come: 2 κ = Cµ ρξ C ρ (Eq. 3.28) ε µ = µ Le due equazioni di rasoro er κ ed ε, sono quindi scrie come: ρκ ρκu = µ σ k κ 2 µ eie x i ρε ρε ρεu = µ ε ε C1ε 2µ eiei C 2 σ ε x κ ε 2 ε ρ κ (Eq. 3.29) Il cui significao fisico è il seguene: Variazione Trasoro Trasoro Velocià di Velocià di di κ od ε di κ od ε er = di κ od ε er roduzione di - disruzione di nel emo er convezione diffusione κ od ε κ od ε Le cosani che comaiono nel modello valgono: C µ = 0.09; σ κ = 1.00; σ ε = 1.30; C 1ε = 1.44; C 2ε = La sruura del codice Sruura dai 27

28 Il codice fa uso di un veore mono-dimensionale er memorizzare in maniera dinamica ui i dai reali: la rima are del veore è riservaa er i dai che necessiano di essere memorizzai ermanenemene; lo sazio rimanene in fondo alla lisa è invece uilizzao in modo dinamico er memorizzare dai di naura emoranea. Figura 11: la sruura della lisa dai Come è evidenziao nella Figura 11, ad ogni blocco o livello di griglia è assegnaa una orzione dell area di memorizzazione all inerno della lisa, che è organizzaa in modo ale da memorizzare solo i dai che necessiano di memorizzazione ermanene (come mosrao nella are sinisra della figura). L accesso a ui i dai è consenio mediane una lisa di unaori, che è memorizzaa in un blocco COMMON. Due sriscie aggiunive di celle fanasma sono uilizzae er memorizzare le informazioni del camo ra blocchi adiaceni. Anche le dimensioni del blocco o livello di griglia (NI x NJ x NK) sono memorizzae in un blocco COMMON soo forma di lise blocco o livello di griglia. La are libera della lisa è uilizzaa dinamicamene er lise emoranee di variabili di camo. L accesso emoraneo a quesa are di memoria è consenio er mezzo di unaori emoranei, essi ure memorizzai nel blocco COMMON. Quesa area è chiamaa con il nome di sack in quano l allocazione di memoria uò essere allocaa e rilasciaa, occuando e liberando lo sazio di memoria. Queso sisema di gesione dinamica dello sack è usao di vola in vola er ogni singolo blocco o livello di griglia. Accoiao con l ambiene muli blocco, queso aroccio ermee di minimizzare il requisio di memoria oale necessario er una daa simulazione numerica; l uleriore suddivisione del dominio comuazionale in un numero maggiore di blocchi, risula infai in una minor richiesa di sazio di memorizzazione emoraneo Sruura del soluore 28

29 La sruura ad albero del codice è schemaicamene mosraa in Figura 12. La are sueriore dell albero conrolla le re sezioni rinciali di inizializzazione, cuore del soluore e di ouu. Le re sezioni sono cosiuie dalle cosiddee rouine di alo livello. Le rouine di alo livello sono caraerizzae dal fao che esse hanno accesso direo a ui i dai conenui nella lisa work er mezzo delle lise di unaori memorizzae nel blocco di COMMON. All inerno delle rouine di alo livello è consenia la liberà oale all uene di eseguire cicli sui livelli di griglia e/o sui blocchi. L idea diero quesa sruura è di cosruire il codice con il massimo grado di modularià e di flessibilià. Nel caso, infai, sia necessario inrodurre nuovi moduli coneneni nuove funzionalià, è ossibile farlo nella are sueriore della sruura senza modificare alri moduli già esiseni. Le rouine di basso livello raresenano i blocchi cosruivi elemenari del codice: esse svolgono comii molo secifici in un dao blocco o livello di griglia nel modo ridimensionale (ad esemio ui i veori sono visi come veori ridimensionali con gli usuali cicli annidai sui 3 indici i, e k), in conraso con il mondo monodimensionale delle rouine di alo livello dove la sola lisa 1D work è visibile. Figura 12: la sruura ad albero del codice Parallelizzazione del codice Il codice ermee di raare la iù generale sruura muli-blocco, con ogni blocco avene un orienazione degli indici (i,, k) indiendene e dove ogni faccia uò essere cosiuia da iù segmeni. Le condizioni di conneivià ra blocchi sono ermesse ra ogni coia di segmeni di faccia, indiendenemene dalla loro riseiva orienazione. Nel disegno di un codice muli-blocco 29

30 da uilizzarsi su macchine a memoria disribuia, cura aricolare deve essere osa nello sabilire il dove e il come le comunicazioni iner-blocco debbano avvenire. Gli asei di arallelizzazione sono infai connessi con il io di decomosizione del dominio che deve essere uilizzao, e con le condizioni di diendenza dei dai ra sub-domini differeni. Il rimo aseo del roblema è risolo assegnando ciascun blocco (o gruo di blocchi) a un differene rocessore. Per quano riguarda il secondo aseo del roblema, occorre ricordare che esisono re ii differeni di diendenza ra dai: la diendenza eslicia (le informazione dal blocco B al asso emorale recedene sono necessarie al blocco A e viceversa, sulle inerfacce ra i blocchi, si veda la Figura 13). Quese raresenano la grande maggioranza delle condizioni di diendenza in un codice eslicio, e sono raae mediane l uilizzo delle due srisce di celle fanasma. Condizioni di diendenza imlicia si realizzano er esemio all inerno degli algorimi imlicii di rilassameno che sono uilizzai nel lao di redisribuzione del muli-grid. Infine, le diendenze globali sono richiese er la deerminazione delle condizioni di convergenza della soluzione, o, come nel caso di calcolo accurao nel emo, in cui il asso emorale deve essere uniforme in ui i vari soo dominii. Lo scambio delle condizioni di diendenza eslicie ra i vari blocchi è molo localizzao e viene fao all inizio di ogni sadio di Runge-Kua. L idea è quella di consenire a ui i blocchi di accedere a ue le informazioni necessarie rima di iniziare la fase di valuazione del flusso numerico. Lo scambio di dai avviene in due fasi, che sono schemaicamene illusrai nella figura 21, er una configurazione a due blocchi che coinvolge una sola condizione di connessione ra un inera faccia del blocco 1 ed un segmeno di faccia del blocco 2. Durane la rima fase le locazioni di memoria corrisondeni alle due srisce di celle fanasma vengono riemie con i corrisondeni valori inerni delle variabili di camo diendeni. Quesi raresenano ue le informazioni necessarie er il calcolo dei flussi non viscosi araverso i confini connessi. Figura 13: scambio di dai: variabili diendeni e gradieni di boundary 30

31 La seconda fase, necessaria solo nel caso di calcolo viscoso, riguarda il calcolo dei gradieni della variabili diendeni, che sono valuai er mezzo dell inegrazione di Gauss su un volume di conrollo cenrao al cenro delle inerfacce ra celle. Ciò che succede al confine ra blocchi è che solo meà del volume di conrollo è disonibile, in quano la seconda meà mancane fa are del blocco adiacene. A queso scoo, si fa uilizzo nel codice di 6 lise ermaneni di boundary (PBA), uno er ogni faccia del blocco, all inerno della lisa work. Il mezzo conribuo ai gradieni di boundary è calcolao e memorizzao in 6 lise emoranee di boundary (TBA). Il rocedimeno è rieuo er ue le facce e er ui i blocchi. Le informazioni di sora sono quindi rasferie dal TBA al corrisondene segmeno della faccia connessa del PBA, e la memoria occuaa dalle 6 lise TBA uò quindi essere liberaa. Finalmene, durane il calcolo dei flussi viscosi, la are mancane al conribuo dei gradieni di boundary uò essere rovaa nella lisa PBA ed aggiuna. Le frecce solide mosrae nella Figura 13 raresenano i rocessi di comunicazione. Si noi come, usando il meodi descrio, non vi è necessià di uilizzare alcuna informazione geomerica riguardane le celle fanasma. Queso ermee di eviare ui i roblemi connessi con la cosruzione dei volumi e delle normali er le celle fanasma, roblemi che sorgono secialmene quando è usaa una segmenazione delle facce Filosofia di rogrammazione Sebbene il codice sia sao scrio in Forran-77, la sua filosofia di rogrammazione è ienamene orienaa agli oggei, con inenso uilizzo di allocazione dinamica e unaori. L oggeo rinciale è raresenao dal dominio, o semlicemene, dal blocco vlume finio, indiendenemene da quale livello di griglia esso si riferisca. Tui i livelli di griglia uilizzai nella sruura muli-grid, condividono infai lo sesso rango gerarchico. Ogni dominio ossiede i suoi rori dai (araverso i unaori) e le sue rorie funzioni (raresenae dalle rouine di basso livello, descrie in recedenza). Ai dai aroriai viene fornio accesso con l uilizzo dei unaori memorizzai nel blocco COMMON. La orzione di alo livello del codice uò essere visa come una raccola di classi derivae che mee in oera gli algorimi sceli, quali er esemio l avanzameno emorale di Runge-Kua o l aggiuna di equazioni aggiunive er la modellazione della urbolenza. Tui i unaori e di conseguenza ui i dai sono semre disonibili a queso livello. La facile imlemenazione di nuove caraerisiche, funzionalià, come ure di nuove equazioni di rasoro, ha dimosrao nel corso degli anni, rorieà di facilià di manuenzione e di facilià di arendimeno della sua sruura, che cosiuiscono elemeni chiave della rogrammazione orienaa ad oggei. 31