Analisi Matematica II - 7 Gennaio ) Determinare il baricentro di un materiale di densità δ(x, y, z) = x +y di forma cilindrica con base (sul piano z = ) data dal disco di centro (,,) e raggio r ed altezza h. ) Dobbiamo costruire un recipente per conservare mc di acqua a forma di parallelepipedo e senza coperchio. Siccome il materiale è costoso dobbiamo costruire questo contenitore in modo che la sua superficie sia la più piccola possibile. Quanto devono misurare gli spigoli del parallelepipedo? ) Determinare, se esistono, le soluzioni del seguente problema ai limiti: { x y + xy + y = y() =, y(e) = e Svolgimento ) La figura ha come asse di simmetria l asse z, anche la funzione densità è simmetrica rispetto a questo asse, dunque il baricentro si troverà su tale asse. Il cilindro C in coordinate cilindriche è dato da: [, r] [, π] [, h] e dunque: h π r m = δ(x, y, z)dxdydz = dz dt ρ dρ = C πhr4, z G = h π r zdz dt ρ dρ = h m. ) Denotiamo con x, y gli spigoli della base e con z l altezza del contenitore. La funzione da minimizzare è la funzione superficie S(x, y, z) = xy + xz + yz, soggetta al vincolo xyz =, con x, y, z numeri positivi. Ricaviamo xz e yz dal vincolo e sostituiamoli nella funzione superficie. Otterremo G(x, y) = xy + y + x. Calcoliamone i minimi liberi nel primo quadrante aperto. Siccome la funzione G è definita in un aperto e in tale insieme è di classe almeno C i minimi liberi annulleranno il gradiente di G. Risulta: G x = y x = x y = G = x y y = xy =.
Dunque dovrà risultare x = y, se imponiamo tale condizione nella prima equazione otteniamo x = y =. Studiamo la natura di questo punto utilizzando il metodo della matrice Hessiana: Pertanto G 4 (x, y) = x x, G x (, ) = G (x, y) = x y G 4 (x, y) = y y, G x (, ) =. H(, ) = =, G x (, ) = >. Il punto dato è allora l unico punto di minimo per G, ne segue che (,, 5) sarà il punto di minimo vincolato cercato per S. quadrata di lato m ed altezza 5 m. Il contenitore dunque avrà base ) Si tratta di una equazione differenziale del tipo di Eulero. Se imponiamo la sostituzione x = e z otteniamo l eqnazione lineare a coefficienti costanti y (z) + y (z) + y(z) =, y(z = ) =, y(z = ) = e. L equazione caratteristica associata alla eq. omogenea è a +a+ =. L integrale generale della equazione omogenea è dato da: y(z) = c e z + c ze z. Se imponiamo il primo dato iniziale otteniamo c =. Se deriviamo y(z) = c ze z ed imponiamo il secondo dato otteniamo c =, dunque la soluzione cercata è: y(z) = ze z, y(x) = ln x x.
Analisi Matematica II - 4 Febbraio ) Calcolare il seguente integrale triplo: A x(y + z )dxdydz, quando A = {(x, y, z) : x + y + z, x y + z, x }. ) Determinare volume e baricentro del solido omogeneo E di densità ottenuto per rotazione intorno all asse z della regione piana C = { (x, z) : x z (x ), x }. ) Determinare, se esistono, le soluzioni del seguente problema di Cauchy: { x y + xy y = x y() =, y () = ) Sia la funzione integranda che l insieme A sono funzioni di y + z. Passiamo allora a coordinate cilindriche: y = r cos t z = r sin t r x r dove I è individuato dalla catena di disequazioni: y = r cos t z = r sin t r x t [, π], r I, r y + z x (y + z ) (y + z ) = r. Pertanto I = [, / ]. Risulta allora A x(y + z )dxdydz = = π / / π r dr r dt xdx = r r ( r )dr = π 48. Per disegnare l insieme A facendo uso di maple basta eseguire i comandi: addcoords(x cylindrical, [x, r, t], [x, r*cos(t), r*sin(t)]);
Figura : grafico dell insieme A plotd([r, sqrt(-rˆ )], r =.. /sqrt(), t =.. *Pi, coords = x cylindrical); Il grafico che si ottiene è il seguente: ) Il volume dell insieme E si ottiene usando il teorema di Guldino: V (E) = π xdxdz = π C (x ) xdx dz = 4π x (x x )dx = π. Per ragioni di simmetria x E = y E =, basterà quindi calcolare solo la terza coordinata: z E = zdxdydz. V (E) Per calcolare questo integrale multiplo come un integrale triplo dobbiamo scrivere l insieme E in una forma diversa. Osserviamo intanto che z [, ]. Se z [, ] allora x = r(z) = z +, pertanto x = z + cos t E := y = z + sin t z = z E t [, π], z. Mentre se z [, ] allora risulta x x + z = x = ± z. Delle due l unica soluzione accettabile è x = z e dunque x = ( z) cos t E := y = ( z) sin t t [, π], z. z = z 4
Pertanto ( ) z E = zdxdydz + zdxdydz = V (E) E E ( ) = zdz dxdy + zdz dxdy = V (E) x +y z+ x +y ( z) ( = πz( + z)dz + πz( ) z) dz = V (E) = ( (z + z)dz + (z z ) z + z)dz = ( [z = ] [ + z z + 4 ] ) 5 z z + z = 5. Il grafico dell insieme E con maple si ottiene con i comandi: p := plotd(sqrt(z+), t=.. *Pi, z = -.., coords = cylindrical, scaling = constrained): p := plotd(-sqrt(z), t=.. *Pi, z =.., coords = cylindrical, scaling = constrained): display({ p, p}); Figura : grafico dell insieme E ) L equazione differenziale che compare nel problema di Cauchy è del tipo di Eulero. Con la sostituzione x = e z si ottiene l equazione differenziale a coefficienti costanti: y (z) y(z) = e z. 5
L equazione caratteristica associata a tale equazione (a = ) ha come soluzioni a = ± e pertanto l integrale generale della equazione omogenea è dato da: y(z) = c e z + c e z. Per determinare una soluzione particolare dell equazione completa osserviamo che a = è soluzione caratteristica della equazione omogenea con molteplicità e dunque cerchiamo una soluzione del tipo: Dunque h(z) = aze z. h (z) = a( + z)e z, h (z) = a( + z)e z L integrale generale della equazione completa è: e z [a( + z) az] = e z a = 4. y(z) = c e z + c e z + 4 zez. Se imponiamo il dato iniziale y(z = ) =, y (z = ) = e poniamo z = ln x otteniamo: y(x) = 8 x + 4 x ln x + 8x. 6
Analisi Matematica II- Giugno ) Calcolare il seguente integrale curvilineo facendo uso del Teorema di Stokes: Σ + (z + y)dx + zdy + ydz dove Σ = {(x, y, z) : z = x y, x + y }. ) Sia V : R R il campo vettoriale e γ la curva individuata dal bordo di V (x, y, z) = (y + z, x + z, x + y) D = {(x, y, z) : x + y + z, x + y + z = }. Dire se V è conservativo, se si calcolare un potenziale di F e l integrale di V lungo la curva γ. ) Determinare i punti di massimo e di minimo assoluti della funzione f(x, y, z) = z e xy nell insieme A = {(x, y, z) R : x + y + z }. Svolgimento ) La forma differenziale (z +y)dx+zdy +ydz è di classe C (R ), ma non è esatta. Infatti, posto F = ((z + y), z, y), risulta: i j k rotf = x y z + y z y z = z j k = (, z, ). n = (x, y, ) e dunque Σ + (z + y)dx + zdy + ydz = = = n rotf Σ n ds = π x +y 4y( x y ) )dxdy = dt [4r( r ) sin t ]rdr = π. 7
) Risulta V C (R ) e rotv = i j k x y z y + z x + z x + y = (,, ). Ne segue che il campo è irrotazionale e dunque conservativo (visto che è definito in un convesso). Calcoliamo ora un potenziale di V. Se U è un potenziale dovrà risultare: U(x, y, z) = x dt + y xdt + z (x + y)dt = xy + xz + yz + c. Siccome la curva γ è chiusa: (x = cos t, y = sin t, z = cos t sin t, t π) ne segue che l integrale cercato è nullo. ) A è un compatto, f C(A) e dunque tali punti esistono per il teorema di Weierstrass. I punti del tipo: (x, y, ) con x + y sono tutti punti di minimo assoluto per la funzione f che in tali punti assume valore nullo. Risulta poi f C (A ) e dunque possiamo studiare i punti interni di A con il teorema di Fermat. f x = yz e xy f y = xz e xy f z = zexy = (,, ) z =, x + y <. Questi punti li abbiamo già studiati con la regola del segno. Cerchiamo allora i punti di massimo e di minimo assoluti sulla frontiera di A: Fr(A) = {(x, y, z) : x +y +z = } utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Sia G(x, y, z, a) = z e xy a(x + y + z ). Risulta: G = x yz e xy ax G = y xz e xy ay G = zexy az z G = a x + y + z = (,,, ) Dalla terza equazione otteniamo z = oppure e xy = a. Se z = allora dalla quarta equazione (x = cos t, y = sin t) e dunque dalle prime due equazioni risulta a =. I punti stazionari di G sarebbero (cos t, sin t,, ). (Le terne (cos t, sin t, ) le abbiamo già studiate, sono di minimo assoluto per f). Se invece a = e xy allora a e dunque dalla prima equazione se y = allora x = e dunque z = ±, se invece imponiamo x = dalla seconda equazione otteniamo ancora y =, z = ±. Nei punti (,, ±) la funzione assume il valore. Per il teorema di Weierstrass questi sono i punti di 8
massimo assoluto per f. Riepilogando i punti di minimo assoluto sono i punti (x, y, ) con x + y, quelli di massimo assoluto sono (,, ±). Proviamo a visualizzare con maple i punti di A di massimo e di minimo assoluti per f. Non possiamo disegnare direttamente il grafico di f perchè si troverebbe in R 4, disegniamo allora i punti della sfera che si trovano nel primo ottante associando ad ogni punto P il colore individuato dal valore della funzione f valutata in P. (Non riusciamo a disegnare la palla piena perché le opzioni filled=true e color= f(x, y, z(x, y)) non sono compatibili tra di loro in Maple ) plotd(sqrt( x y ), x =.., y =..sqrt( x ), color = ( x y ) exp(x y), axes = boxed); Il grafico che si ottiene è il seguente: i punti di minimo risultano colorati in arancione, quelli di massimo in rosso. Figura : grafico dell insieme A contenuto nel I ottante, con i punti colorati secondo la legge f(x, y, z(x, y)) 9
Analisi Matematica II - 4 Giugno ) Calcolare il seguente integrale curvilineo facendo uso delle formule di Green 9 x y dx + ydy dove C = +F r(a), con A = {(x, y) : x + y 4}. ) Sia F : R R il campo vettoriale C F (x, y) = (e x [sin(x + y) + cos(x + y)], e x cos(x + y)) e sia γ n : [, π] R la curva parametrica di equazioni γ n (t) = (cos nt, sin nt), n N. Dire se F è conservativo ed in caso affermativo calclare un potenziale e calcolare l integrale di F lungo γ n. ) Studiare gli estremi vincolati della funzione f(x, y) = x xy + y lungo la retta x + y = 8. Svolgimento ) Il campo vettoriale F = (x y, y) C (R ), ma non è conservativo perché non è irrotazionale. L integrale dunque dipende dal percorso scelto. 9 x y dx + ydy = 9 y x x y y dxdy = 9 C ) Risulta F C (R ) e = A π cos t sin tdt r 5 dr = X y = Y x = ex [cos(x + y) sin(x + y)]. x y dxdy = A π [ r sin 6 tdt 6 Ne segue che il campo è irrotazionale e dunque conservativo (visto che è definito in un convesso). Calcoliamo ora un potenziale di F. Se U è un potenziale dovrà risultare: U = e x cos(x + y) y U(x, y) = e x cos(x + y)dy = e x sin(x + y) + g(x) U x = ex [sin(x + y) + cos(x + y)] + g (x) = e x [sin(x + y) + cos(x + y)] ] = 7 8 π.
se e solo se g(x) = c. La famiglia dei potenziali di F è data da e x sin(x + y) + c. Calcoliamo ora l integrale curvilineo di F lungo γ n. Se n è pari la curva è chiusa e dunque l integrale è nullo; se n è dispari ) Innanzitutto f C(R ) essendo γ n Xdx + Y dy = U(, ) U(, ) = (e + e ) sin. x xy + y = (x y 4 ) + 7 8 y, (x, y) R. Se sostituiamo il vincolo y = 8 x nella legge f otteniamo g(x) = f(x, 8 x) = x 6x + 6 (x 6x + 6 > sempre perché < ). Siccome lim g(x) = + x ± ne segue che f non può avere massimi vincolati. Inoltre g (x) x. Il punto x = è dunque di minimo per la g, ed è assoluto perché la funzione g è decrescente in ], [, mentre è crescente in ], [. Ne segue che il punto (, 5) è il punto di minimo vincolato per la f.
Analisi Matematica II - 8 Luglio ) Calcolare il seguente integrale facendo uso del teorema della divergenza: F n e ds Fr(D) quando F = (x, y, z ) e D = {(x, y, z) : x + y + z, z }. ) Calcolare il baricentro del solido omogeneo posto nel primo ottante e delimitato dalla superficie cilindrica z = x / e dai piani di equazione z =, y =, x + y 6 =. ) Tra tutti i cilindri iscritti nella sfera di raggio R trovare quello di volume massimo. Svolgimento ) Per il teorema della divergenza risulta: F n e ds = divf dxdydz = Fr(D) = D π dϕ π/ sin tdt D (x + y + z )dxdydz = r 4 dr = 6 5 π. ) Visto che il solido è omogeneo le coordinate del suo baricentro dipendono solo dalla forma del solido. Risulta e dunque C = {(x, y, z) R : x, y x x, z } V (C) = x C = y C = z C = V (C) V (C) V (C) x dx dy xdx dx dx x x x x dz = x dy dz = 9 5 ydy dy x x dz = 5 zdz = 5.
) Sia x + y = r un cilindro iscritto nella sfera. Dovrà risultare r < R e z = R r. Nel risulta che l area di base del cilindro è pari a πr mentre la sua altezza è data da R r. Il volume del cilindro iscritto nella sfera è pari a: V (r) = πr R r, V (r) = π ( r R r < r R. r R r ) = πr R r (R r ) Dunque il volume massimo si ottiene quando il raggio r del cilindro è pari a R.
Analisi Matematica II - 9 Settembre Sia α( ) = se il numero delle lettere che compongono la parola ( ) è dispari, altrimenti vale. Poniamo a = α(nome), b = α(cognome), c = α(nome) α(cognome) +. ) Si consideri un filo disposto lungo il perimetro del triangolo i cui vertici sono A = (, ), B = (L, ), C = (L, L). La densità del filo è data dalla formula: ax x L, y = δ(x, y) = by x = L, y L c (x L ) + (y L ) y = x Calcolare il baricentro del filo e il momento di inerzia del filo rispetto all asse passante per AC. ) Calcolare il flusso del campo vettoriale F = (x + y, y + z, z) uscente dalla superficie Σ definita da x + y =, z. ) Provare che la serie n= ( ) n x + n n converge uniformemente su ogni intervallo limitato, ma non converge assolutamente in ogni punto x R. Svolgimento ) La massa del filo C = AB BC CA è data da: m = δ(x, y)ds. C 4
Visto che si tratta di un integrale in ds non è rilevante il verso di percorrenza del filo e quindi: L L L m = atdt + btdt + c (t L O ) dt = L = L (a + b) + c t L L dt = (a + b + c); 4 x G = xδ(x, y)ds = ( L L at dt + Lbtdt + c m C m { = L ( a m + b L/ ( ) L L ) + c t t dt + c t L/ L ( t L 4 = L (a + b + c) L ( a + b + c 8a + b + c ) = 8 6(a + b + c) L y G = yδ(x, y)ds = ( L L bt dt + c t m C m t L ) dt = ( 4 b = L (a + b + c) L + c ). 8 t t L ) dt ) } dt = Calcoliamo infine il momento di inerzia del filo rispetto all asse AC. Sia d((x, y), I) la distanza del punto (x, y) C dall asse I, risulta: d((t, ), AC) = t, I AC = = a C d((l, t), AC) = L t, d((t, t), AC) = t [, L] d ((x, y), I) δ(x, y)ds = [ t 4 4 ] L + b [ L t L + t4 4 Lt t L atdt + (L t) btdt = ] L ( = L4 a + b ). 8 ) Possiamo calcolare il flusso del vettore F uscente dalla superficie cilindrica direttamente o facendo uso del teorema della divergenza. Calcolandolo direttamente si ottiene: x = cos t Σ := y = sin t t [, π], z [, ], ds = dtdz, n e = (cos t, sin t, ) z = z e dunque F n e ds = Σ = dz dz π π (cos t + sin t, sin t + z, z) (cos t, sin t, )dt = ( + sin t cos t + z sin t) dt = 4π. 5
Se invece vogliamo calcolarlo facendo uso del teorema della divergenza in R dobbiamo considerare la regione chiusa T = {(x, y, z) : x + y, z }. Risulta Fr(T ) = Σ Σ dove Σ = {(x, y, ±), x + y }. Dunque F n e ds = divf dxdydz F n e ds. Σ T Σ Risulta divf = + =, la normale esterna ai punti (x, y, ) è (,, ), quella ai punti (x, y, ) è (,, ). Pertanto F n e ds = F n e ds = (x + y, y +, ) (,, )ds + Σ Σ (x,y,):x +y (x + y, y, ) (,, )ds = 4π. (x,y, ):x +y ) Sia A un insieme limitato e sia k = sup x A x. La serie data converge uniformemente se e solo se lim sup R n (x) =. n La serie è a segni alterni e dunque, per il criterio di Leibnitz, A lim sup x + n + k + n + R n (x) lim sup lim =. n A n A (n + ) n (n + ) Per quanto riguarda la serie dei valori assoluti n= x + n n osserviamo che il termine generale della serie è un infinitesimo di ordine e dunque diverge per il criterio del confronto asintotico. 6
Analisi Matematica II - Novembre ) Calcolare il volume della regione E = {(x, y, z) R : x + y z x + y, x + y + z }. ) La temperatura di un corpo è data dalla funzione f(x, y) = 4 + x 6x + y 8 + x x + 4y. Determinare, se esiste, la temperatura minima. ) Calcolare il baricentro dell arco di cicloide r(t) = (t sin t, cos t), t π, di densità uguale ad uno. Svolgimento ) L insieme E = {(x, y, z) R : x + y z x + y, x + y + z }. è la parte dello spazio che risulta interna alla sfera di centro l origine e raggio e compresa fra i semiconi z = x + y e z = x + y. Questa figura è ottenuta ruotanto intorno all asse z l insieme D (contenuto nel I quadrante del piano y = ) dato da: D = {(x, z) R : x z x, x + z, x }. 7
L insieme D in coordinate polari diventa: D = [, ] [ π 4, π ]. Guldino risulta allora: π/ vol(e) = π xdxdz = π r dr cos tdt = D π/4 [ ] r = π [sin t] π π = π ( ). 4 Per il teorema di ) Osserviamo innanzitutto che f è un rapporto di polinomi ed il denominatore non si annulla mai. Se infatti proviamo a risolvere l equazione 8 + x x = 4y possiamo notare che l equazione di secondo grado in x ha < e dunque assume sempre il segno del coefficiente di x : (+), mentre il secondo membro è sempre non positivo. Dunque f C (R ), per determinare, se esiste il minimo di f applichiamo allora il teorema di Fermat. f x = (x ) (8 + x x + 4y ) = f y = 8y (x =, y = ). (8 + x x + 4y ) = Pertanto l unico candidato è il punto (, ). Studiamolo con il metodo della matrice Hessiana. f = (4 + 6x x + 4y ) x (8 + x x + 4y ) f (x )y = x y (8 + x x + 4y ) f = 8( + x + x y ) y (8 + x x + 4y ) La matrice Hessiana in (, ) vale ( 49 8 49 ). Questo ci dice che f ha un minimo relativo in (, ), ora dobbiamo provare che è anche assoluto. Proviamo allora che f(x, y) f(, ) in tutti i punti di R. Osserviamo che il denominatore di f assume valori solamente positivi: infatti la funzione a denominatore è continua e, per il teorema di conservazione della connessione, manda R in un connesso. Se assumesse sia valori positivi che negativi, allora dovrebbe anche annullarsi e questo 8
non è possibile. In (, ) il denominatore assume valore 8 e dunque il denominatore è sempre positivo. 4 + x 6x + y 8 + x x + 4y 7 7(4 + x 6x + y ) (8 + x x + 4y ) ( + x x + 4y ) (x ) + 4y e questa ultima disuguaglianza è vera sempre. ) La curva è di calsse C e x (t) = cos t, y (t) = sin t. Siccome la densità è uguale ad risulta: π π m = L C = cos t dt = sin t [ dt = cos t ] π = 4 x G = π (t sin t) cos t dt = { π t sin t π m dt sin t sin t } dt = = {[ t cos t ] π π + cos t } π o dt sin t cos t dt = [ = sin t ] π (sin t =v) v dv = = 4 y G = m π ( cos t) cos t dt = 4. 9
Analisi Matematica II - Gennaio 4 ) Si calcoli la serie di Fourier della funzione f(x) = x sin x, nell intervallo [ π, π]. [Sugg.: si rammenti che, per n, si ha π sin nx sin xdx = π cos nx cos xdx =.] ) E data nello spazio R la forma differenziale ω = x A dx + y A dy + (z A + x)dz, dove A è il numero delle lettere del cognome. Dopo aver osservato che ω xdz è una forma esatta, si calcoli l integrale curvilineo ω lungo la curva chiusa C (detta curva di Lissajous) C di equazioni x = sin(t) cos(t) y = sin(t) sin(t) z = cos(t), per t [, π]. ) Si consideri, nel piano (x, y), la regione limitata E la cui frontiera è la curva regolare definita dalle seguenti equazioni parametriche: { x = cos θ + sin θ, y = sin θ cos θ, θ [, π]. Dopo aver calcolato l area di E, si trovi l area della superficie piana ottenuta intersecando il piano di equazione z = x + y + con il cilindro di equazione (x y) 4 + (x+y) 9 =. Svolgimento ) Poiché la funzione assegnata è pari, si avrà uno sviluppo di soli coseni. Si ha ora, facilmente: π π x sin xdx = x sin xdx = π, da cui a =. π Inoltre, ancora facilmente si trova π π e, per n, sfruttando il suggerimento: π π x sin x cos xdx = π, da cui a =, x sin x cos nxdx = ( ) n+ π n, da cui a n = ( ) n+ n.
Pertanto, lo sviluppo richiesto è x sin x = cos x + + n= ( ) n+ n cos nx. ) La forma differenziale ω è somma di una forma esatta (x A dx+y A dy +z A dz) e della forma xdz. Pertanto, poiché la curva C è chiusa, basterà calcolare C π π xdz = sin cos(t) (t) cos(t)dt = cos(t)dt = π cos (t)dt. Con la sostituzione u = t, avremo dt = du e e quindi π cos (t)dt = 4π ω = π = π. C cos udu = π ) Per calcolare l area di E ci si può servire delle formule di Green: per esempio, denotata con Γ la frontiera di E, si ha Area(E) = = Γ π xdy = π ( + 4 (cos θ + sin θ)( cos θ + sin θ)dθ = sin θ cos θ)dθ = π dθ = π. Quanto alla seconda domanda, osserviamo innanzitutto che la curva Γ non è altro che l intersezione del cilindro con il piano xy: infatti, da x = cos θ + sin θ e y = (x y) sin θ cos θ si ricava subito + (x+y) =. Allora basterà evidentemente calcolare 4 9 l integrale ds, dove ds é l elemento di superficie del piano di equazione z = x+y+: E una semplice applicazione delle formule fornisce ds = dxdy. In conclusione, l area richiesta è uguale a Area(E) = π.
Analisi Matematica II - Febbraio 4 Civile, Meccanica ) Si calcoli la serie di Fourier della funzione f(x) = x x, nell intervallo [ π, π]. ) Si consideri, nel suo dominio di definizione, la forma differenziale ω = x x + y + z dx + y + x + y + z dy + z x + y + z dz, e si calcoli l integrale curvilineo della forma differenziale lineare ω lungo la curva C avente la seguente parametrizzazione: x = cos t, y = sin t, z = sin t cos t, ) Detta S la semisfera definita da t [, π ]. S := {(x, y, z) : x + y + z =, z y x}, si calcoli, mediante il teorema di Stokes, il flusso del rotore del campo F = (x + y, y, z) uscente da S. [Sugg.: si osservi che l equazione del bordo di S è equivalente a: X + Y =, ove X = y x e Y = y...] ) Poiché f è dispari, il suo sviluppo sarà di soli seni, e quindi del tipo ove x x = + b n sin(nx), n= π π b n = x x sin(nx)dx = π π π per n. Ora, procedendo per parti, si ottiene, per n : x sin(nx)dx, π x sin(nx)dx = ( )n π n + n π x cos(nx)dx,
e, ancora per parti: π In conclusione, si otterrà x cos(nx)dx = n π sin(nx)dx = ( )n n. π e quindi la serie di Fourier cercata è x sin(nx)dx = ( )n π n + ( )n n, x x = π + n= + ( ) n ( π n ) n sin(nx), per x ] π, π[. ) La forma differenziale, che è definita in R \ {(,, )}, non è esatta, in quanto non è chiusa. Tuttavia, è esatta la forma ω := ω dy x + y + z, in quanto un potenziale di ω è F (x, y, z) = x + y + z. Pertanto, l integrale curvilineo richiesto, tenendo conto anche del fatto che lungo C risulta x + y + z =, si può calcolare come segue: dy π/ ω = ω + x + y + z = + sin t cos tdt = C C C = sin ( π ) = 4. ) Usando il teorema di Stokes, basta calcolare l integrale curvilineo della forma differenziale (x + y)dx + ydy + zdz lungo la circonferenza C ottenuta intersecando la sfera unitaria con il piano z = y x. (Osserviamo che tale circonferenza ha raggio, in quanto il piano passa per l origine). Tuttavia, prima di calcolare l integrale curvilineo, osserviamo che la forma differenziale (x + y)dx + ydy + zdz è somma di una forma esatta e della forma ω = ydx, per cui basterà limitarsi a calcolare l integrale curvilineo di quest ultima. Per ricavare l equazione della circonferenza C suddetta, osserviamo che, sostituendo z con y x nell equazione della sfera, si ottiene x +y xy =, equazione equivalente
a quella della frontiera di E. Dunque, le equazioni parametriche della circonferenza cercata sono le seguenti: Si ha allora S rot( F ) nds = x = sin t 6 cos t y = sin t z = y x = sin t 6 + cos t. = π ydx = sin t( cos t + sin t )dt = 6 E π sin t dt = π, il segno meno essendo dovuto al verso di percorrenza, e avendo trascurato il termine in sin t cos t che dà contributo nullo all integrale. Il calcolo si sarebbe potuto effettuare più rapidamente, sempre grazie al teorema del rotore, calcolando direttamente il flusso uscente dal disco contenuto nel piano di equazione z = y x e delimitato dalla circonferenza C: infatti, in tal caso avremmo trovato n = (,, ), rot( F ) = (,, ), e quindi rot( F ) n =, costante. L area del disco è ovviamente π, in quanto C è un cerchio massimo nella sfera unitaria. In conclusione, il flusso cercato è dato dal prodotto di tale area per, concordemente con quanto già trovato in precedenza. 4
Analisi Matematica II - Aprile 4 Civile, Meccanica ) tra tutti i triangoli isosceli di perimetro assegnato p, qual è quello di area massima? ) Calcolare ove J = [, a] [, b]. J x cos(xy) dxdy ) Dato il campo vettoriale f = (x log (x + y ), y log (x + y )), si calcoli l integrale curvilineo fds, ove C è l arco di curva y = cos x, per x [, π/]. C ) Denotiamo con x, x, y i lati del triangolo, e pertanto l equazione del vincolo è: ϕ(x, y) = x+y p =. L espressione dell area è fornita dalla Formula di Erone. Noi massimizzeremo il quadrato dell area, perché il calcolo è più semplice: la funzione da massimizzare è dunque f(x, y) = p(p x) (p y) valutata nei punti del segmento che congiunge (p, ) e (, p) (dunque un compatto). (vincolo), otteniamo Se effettuiamo la sostituzione y = p x g(x) = p(p x) (x p), x p. Risulta g (x) = p(x 5px + p ) se e solo se x = p/. (L area massima è ottenuta dal triangolo equilatero di lato p/.) ) Usando il teorema di riduzione di Fubini, si ottiene J x cos xydxdy = a { b = ( cos ab). b } x cos xydy dx = a [sin xy] b dx = a sin bxdx = 5
) Poniamo X(x, y) = x log (x + y ), Y (x, y) = y log (x + y ), in modo da ricondurre l integrale richiesto a quello della forma differenziale ω = Xdx + Y dy. Notiamo ora che ω è un differenziale esatto in R \ {(, )}: infatti, U(x, y) = x log (x + y )dx = log (x + y )d(x + y ) = = [(x + y ) log (x + y ) (x + y )] + h(y) U y(x, y) = y log (x + y ) + h (y) = Y h(y) = c U(x, y) = [(x + y ) log (x + y ) (x + y )] + c; fds = U(π/, ) U(, ). C 6
Scritto di Analisi II - 9 Giugno 4 ) Studiare la convergenza puntuale ed assoluta della serie ( ) n (n )x. + x n= Studiarne la convergenza totale in [,] e calcolare n= (n )x ( ) n +x dx. ) Sia F = x+y+z (x, y, z). Calcolare la circuitazione di F lungo la poligonale triangolare determinata dai punti A = (,, ), B = (,, ), C = (,, ), orientata nel verso ABC. Calcolare il flusso di rot( F ) attraverso la superficie determinata dai punti precedenti, orientata in modo che la terza componente del versore normale sia positiva. ) Sia A = {(x, y, x) R : x + y + z <, x + y < z}. Calcolare (x + y + z )dxdydz. A ) La serie converge banalmente in x =, se x, per il criterio del rapporto applicato alla serie dei valori assoluti, si ottiene f n+ (x) lim n f n (x) ( ) ( ) n = lim = < n n + x + x e quindi la serie converge assolutamente e puntualmente su tutto R. Nell intervallo [,] risulta: f n (x) (n ) n = L n e la serie L n converge per il criterio del rapporto. Dunque la serie data converge totalmente in [,] e pertanto vale il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale di Riemann: ( ) n ( (n )x dx = (n ) x + x n= n= + x = (n ) 5 w n dw = [ ] w n 5 n= ( n) = n n= = [ ] /5 = / 8. ) n dx +x =w = n= [ 5 ] = n n
) Sia F : Ω R, dove Ω = {(x, y, z) : x + y + z > }. Risulta F C (Ω) ed Ω convesso. Osserviamo che sulla poligonale e sulla superficie racchiusa dalla poligonale risulta sempre x + y + z =. Inoltre i j k rot( F ) = x y z x x+y+z y x+y+z z x+y+z = (y z, z x, x y) (x + y + z) Dunque il campo F per le ipotesi fatte non è né irrotazionale, né conservativo in Ω. La circuitazione va dunque calcolata direttamente. Parametrizziamo innanzitutto la poligonale γ: γ F τds = AB : x = t, y = t, z = t γ : BC : x =, y = t, z = t t CA : x = t, y =, z = t t. γ xdx x + y + z + ydy x + y + z + zdz x + y + z = (t )dt =. Calcoliamo ora il flusso del rot( F ) uscente dalla faccia superiore della superficie S. Intanto rot( F ) S = (y z, z x, x y), inoltre il versore normale alla superficie è il vettore n = (,, ) e pertanto rot( F ) S n = (y z + z x + x y) =. Pertanto è nullo il flusso del rot( F ) uscente da S. ) L nsieme A è la porzione di spazio compresa tra la sfera di centro l origine e raggio r = ed il paraboloide z = x + y. Se lo esprimiamo in coordinate cilindriche otteniamo: dxdydz = ρdρdθdz e = = A π π Ω = {(ρ, θ, z) : ρ, θ π, ρ z ρ }. (x + y + z )dxdydz = dθ dθ π [ ρ (ρ )z + ] z= z dθ ρ z=ρ dρ = ρ ρdρ (ρ + z )dz = ρ (ρ ρ ρ ρ + ρ ( ρ ) ρ 5 + ρ ρ7 )dρ = = π (ρ ρ ρ ρ + ρ ( ρ ) ρ 5 + ρ ρ7 )dρ = ( ) 4 9 = π. 5 6 8
Scritto di Analisi II - Giugno 4 ) Determinare i punti estremanti della funzione f(x, y) = (x y) x + y, (x, y) R. Dopo averne giustificato l esistenza, determinare il massimo ed il minimo assoluti di f sul triangolo di vertici A = (, ), B = (, ), C = (, ). ) Posto E = {(x, y) R : x, y x, x + y 4} e considerata γ = F r E, calcolare γ x x y + ds. ) Assegnato D = {(x, y) R : x, y, x + y, x + y x }, calcolare y x dxdy. D ) Risulta f C(R ). Studiamone la differenziabilità nel triangolo T di vertici A,B,C. Innanzitutto f ammette derivate parziali nell origine: infatti: ed è differenziabile nell origine: ε(x, y) = f x(, ) = lim x f(x, ) x f y(, ) = lim y f(, y) y = lim x x = = lim y y = f(x, y) = (x y) quando (x, y) (, ) x + y ( L origine che non risulta né di massimo, né di minimo relativo in tutto R poiché in un qualunque intorno di (,) assume sia valori positivi (quando x > y) che valori negativi (quando x < y). In T risulta invece f(x, y), e dunque tutti i punti in cui f si annulla saranno di massimo assoluto.) Risulta inoltre f C (T ) perché prodotto e composizione di funzioni di classe C (T )
e dunque i punti di massimo o di minimo assoluti interni a T dovranno soddisfare il teorema di Fermat. Risulta: f x = x + y + x x(x y) = +y f y = x + y + y(x y) { y = ±x 4x = (x, y) = (, ). x +y = { x + y xy = x y + xy = Pertanto la funzione non ha punti di massimo e di minimo assoluto in T. Siccome T è un compatto e la funzione è continua per il teorema di Weierstrass i punti di massimo e di minimo assoluti dovranno necessariamente trovarsi su F r(t ). Lungo il segmento AC ((, y), y [, ]) risulta g(y) := f(, y) = y. Lungo questa restrizione dunque la funzione f ha in (, ) un punto di massimo mentre (, ) è un punto di minimo. Lungo il segmento BC ((x, ), x [, ]) risulta h(x) := f(x, ) = (x ) x +. Siccome la funzione h risluta crescente, allora la funzione f ha in (, ) un punto di minimo mentre (, ) è un punto di massimo. Lungo il segmento AB ((x, x), x [, ]) la funzione si annulla. Risulta allora (, ) punto di minimo assoluto per f in T (f(, ) = = min T f(x, y)), mentre tutti i punti del segmento AB sono di massimo assoluto e max T f(x, y) =. ) Osserviamo innanzitutto che essendo l integrale in ds non è rilevante il verso di percorrenza. Risulta γ := γ γ γ con γ := (t, ), t [, ](ds = dt); γ := ( cos t, sin t), t [, π/4](ds = dt); γ := (t, t), t [, ], (ds = dt). γ x x y + ds = = t π/4 + t dt + ( t + )dt + = [t ln(t + )] + cos t cos t sin t dt + tg π 8 z +z z z +z + t + t dt + + +z = ( ln ) + [arctan z + ln( + z )] = ( ln ) + π 4 + log ( ) +. + tdt = + z dz + = = ) L insieme D è costituito dai punti del I quadrante che sono esterni alla circonferenza di centro l origine e raggio ed interni alla circonferenza di centro (,) e raggio.
Trasformiamo il nostro insieme D in coordinate polari. Siccome le due circonferenze si intersecano nel punto (/, /) (oltre all origine), risulta t [, π/]. Per quanto riguarda r dovrà risultare r inoltre scrivendo la seconda circonferenza in coordinate polari si ottiene r cos t. Per cui D D := {(r, t) : t [, π/], r cos t}. Risulta allora: = y D π/ x dxdy = π/ sin tdt sin t cos t dt π/ cos t = π 4 4 [tan t t]π/ = π 4 rdr = π/ tan tdt = [t sin t cos t] π/ sin t cos t [r ] cos t dt = π/ ( + tan t )dt =
Scritto di Analisi II - 4 Luglio 4 ) Calcolare (x xy )dx + (y xy)dy γ dove γ è la frontiera del quadrato Q = [, ] [, ] percorsa in senso antiorario. ) Tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato p determinare quello di area massima. ) Scrivere la figura generatrice (nel piano zy) del solido di rotazione A (ruotato intorno all asse y) definito da: A := {(x, y, z) R : x + y + z, x y + z, y }. Calcolare poi A x x + z dxdydz. ) La curva γ è la F r(q) percorsa nel suo verso positivo, pertanto per le formule di Gauss- Green risulta: (x xy )dx + (y xy)dy = γ = = Q [ x (y xy) ] y (x xy ) dxdy = dx ( y + xy )dy = (8x 4)dx = 8. [ y + xy ] y= y=dx = ) Denotiamo con x, y la base e l altezza del rettangolo rispettivamente. Il vincolo risulta x + y = p mentre la funzione da massimizzare è a(x, y) = xy. Se ricaviamo y dal vincolo risulta y = p x e a(x, y(x)) = x(p x). Siccome x, y rappresentano delle lunghezze x, y [, p] [, p]. Esisterà pertanto il massimo assoluto per il teorema di Weierstrass nel punto x = y = p/. Tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato, quello che massimizza l area è il quadrato. c) Se proiettiamo A nel piano zy otteniamo A zy := {(z, y) R : y + z, z y, y }.
Figura 4: grafico dell insieme A zy Quindi A zy è la figura ottenuta intersecando la corona circolare di centro l origine e raggi e con le bisettrici dei due quadranti ( z y). La figura E che genera il solido A è pertanto data da: E := {(z, y) (R + ) : z y z, y, z y}. Scriviamo E in coordinate polari denotanto con t la colatitudine (mettiamo l asse y in ordinata): (E) { y = r cos t z = r sin t r [, ], t [, π/4] Ruotando E intorno all asse y si ottiene l insieme A: x = r sin t sin θ (A) y = r cos t r [, ], t [, π/4], θ [, π] z = r sin t cos θ A := {(r, t, θ) : r, t π/4, θ π}. Calcoliamo ora il determinante della matrice Jacobiana della trasformazione per calcolare l integrale triplo per sostituzione: sin t sin θ cos t sin t cos θ r cos t sin θ r sin t r cos t cos θ = r sin t cos θ r sin t sin θ = r sin t cos θ r cos θ(cos t + sin t) + r sin t sin θ r sin θ(sin t + cos t) = = r sin t cos θ + r sin t sin θ = r sin t
(Allo stesso risultato si perviene se osserviamo che la matrice Jacobiana di questa trasformazione è ottenuta a partire dalla matrice Jacobiana della matrice delle coordinate sferiche invertendone l ordine delle colonne: z con y e poi x con y). A x x + z dxdydz = = = [ r dr r dr ] π/4 π/4 π dt sin tdt [ cos t] π/4 r sin t sin θ r sin r sin t dθ = t π sin θdθ = [θ sin θ cos θ]π = π 6 (5 6). 4
Scritto di Analisi II - 8 Settembre 4 ) Denotato con γ l arco della circonferenza di centro (, ) e raggio contenuto nell intersezione tra il I quadrante e la regione di piano y x, calcolare l integrale curvilineo γ x(x + y + ) ds. ) Studiare continuità, derivabilità parziale e differenziabilità della funzione xy, x + y > x + y f(x, y) =, x + y =. ) Determinare l insieme di convergenza assoluta della serie di funzioni + n= n(x ) n n (n ), x R. Stabilire quindi se in tale insieme la serie converge totalmente. ) Consideriamo la parametrizzazione di γ data da r(θ) = ( + cos θ, sen θ), θ [, π] (essendo π = arctg ( )), da cui ds = dθ. Si ha quindi ds x(x + y + ) γ = π dθ ( + cos θ)( + cos θ) = 4 5 5 arctan( 5 5 )
) Innanzitutto f è una funzione pari in entrambe le variabili e f(x, y) = f(y, x). Basta allora studiarla in (R + ). Nei punti di (R + ) \ {(, )} la funzione è continua come composizione di funzioni continue. In (, ) si ha: lim ρ + { ρ cos θ sen θ = ρ, θ = k π, k Z +, θ k π, k Z ; poiché f(, ) =, deduciamo che la funzione è continua separatamente nell origine, ma non globalmente. Questo ci permette anche di dire che non è differenziabile in (,). Nell origine la funzione è derivabile in quanto sugli assi essa vale costantemente (e dunque f(, ) = (, )). La funzione è sicuramente derivabile nei punti di (R + ) come composizione di funzioni derivabili. Restano da studiare i punti del tipo (x, ) con x e (, y ) con y ; data la simmetria di f ci limitiamo al primo tipo. Come già osservato, sull asse x la funzione è costante, quindi f x (x, ) = ; studiamo la derivata rispetto ad y nel punto: R(k) = f(x, k) f(x, ) k = { x k +, k > (x + k )k k, k < ; ne segue che non esiste f y (x, ) e dunque la funzione non è derivabile parzialmente nel punto considerato. Questo ci dice anche che in tali punto f non è differenziabile non ammettendo gradiente. Resta da studiare la differenziabilità nei punti (x, y) (R + ). Si può osservare che la funzione in tale insieme è di classe C ed è quindi differenziabile. ) Osserviamo che per ogni n N si ha f n (x) = n(x )n n (n ) = n n Determiniamo l insieme di convergenza assoluta. ( ) n x, x R. Se x = il termine generale della serie è sempre nullo e la serie converge sia semplicemente che assolutamente. Se x, applichiamo il criterio del rapporto alla serie assoluta: f n+ (x) n + n = x f n (x) (n + ) n x n + ; 6
dunque per x < < x < la serie converge assolutamente, mentre per x > x < x > la serie non converge assolutamente. Se x = x =, la serie si riduce a + n= n, la quale diverge essendo a termini n positivi con termine generale non infinitesimo (infatti lim n + a n = ). Se x = x =, la serie si riduce a ( ) n n, la quale è indeterminata n n= essendo a segni alterni con termine generale decrescente ma non a. Concludendo, l insieme di convergenza assoluta è I =], [. Studiamo ora la convergenza totale in I. Si ha poiché la serie totalmente in I. sup x I + n= f n (x) = sup x n n < + ( ) n n x = n n n ; non converge, la serie di funzioni assegnata non converge 7
Analisi Matematica II - appello straordinario 4 Novembre 4 ) Determinare massimi e minimi assoluti della funzione f(x, y) = x 4 + y 4 8(x + y ) nell insieme M = {(x, y) R : x + y 9}. ) Calcolare ω dove ω = γ x y dx + ydy e γ è una parametrizzazione della frontiera dell insieme A = {(x, y) R : x + y 4} orientata positivamente. Svolgimento ) Risulta f C (R ), l insieme M è un compatto, pertanto f ammette massimi e minimi assoluti in M. Cerchiamo i punti di massimo e di minimo di f in M = {(x, y) R : x + y < 9}. Risulta: f x = 4x 6x, f y = 4y 6y. I punti interni ad M che annullano tale sistema sono (, ), (, ±), (±, ), (±, ±). La matrice Hessiana vale: ( ) x 6. y 6 Risulta allora che: H(, ) = H(, ±) = H(±, ) = H(±, ±) = ( 6 6 ), deth(, ) >, f xx(, ) < = (, ) massimo relativo ( ) 6, deth(, ±) < = (, ±) punti sella ( ), deth(±, ) < = (±, ) punti sella 6 ( ), deth(±, ±) >, f xx(, ) > = (±, ±) punti di minimo relativo. 8
Cerchiamo ora i punti di massimo e di minimo nella frontiera di M: F r(m) = {( cos t, sin t), t [, π]}. Risulta: g(t) = f( cos t, sin t) = 9(9(cos 4 t + sin 4 t) 8) = 9( sin 4 t sin t 7) g (t) = 6 sin t cos t( sin t ). Dallo studio del segno di g (t) si ottiene: t =, π/, π, π/, massimi vincolati (±, ), (, ±) t = π/4, π/4, 5π/4, 7π/4 minimi vincolati (± /, ± /). Per determinare i massimi ed i minimi assoluti in M osserviamo che: f(, ±) = f(±, ) = 9 > f(, ) =, f((± /, ± /) = 6/ > f(±, ±). Si ha allora che (±, ) e (, ±) sono i punti di massimo assoluto, mentre (±, ±) sono i punti di minimo assoluto di f in M. Il grafico della funzione f ristretto ai punti di M è il seguente: ) La forma differenziale lineare ω è di classe C (R ) ma non è esatta, infatti R è convesso e risulta y (x y ) = x y = x y. 9
Calcoliamo l integrale usando le formule di Green: [ ω = x y ] y (x y ) dxdy = γ = = 68 A π cos t sin tdt [ (t sin t cos t) 4 r 5 dr = 4 ] π A π = 68 π. x y dxdy = [ r sin 6 tdt 6 ] = 4
Analisi Matematica II - Gennaio 5 ) Determinare massimi e minimi assoluti della funzione f(x, y) = x + y nell insieme K = {(x, y) R : x 4 x + y 6 }. ) Calcolare il seguente integrale facendo uso del teorema di Stokes: (z y)dx + zdy ydz, Σ = {(x, y, z) R : z = x y, x + y } Σ ed il bordo è orientato positivamente. ) Calcolare il volume ed il baricentro del solido omogeneo E = {(x, y, z) R : z, (z ) x + y }. ) Esaminiamo innanzitutto l insieme K = {(x, y) R : x 4 x + y 6 }. La disuguaglianza x 4 x + y 6 si può scrivere nella forma: (x ) + y 5. 4 Dunque K = {(x, y) R : (x ) + y 5 }. Ne segue che K è limitato: 4 K [, ] [ 5/, 5/]. K è anche chiuso (teorema di continuità globale) in quanto K = h ([, 5/4]), con h(x, y) = (x ) + y. (h continua) Dunque f C(K) e quindi ammette massimi e minimi assoluti per il teorema di Weierstrass. In K risulta f = (4x, y) = (, ) solo nell origine. Esaminando il segno della funzione f si osserva che (, ) è un minimo assoluto, visto che la funzione è a valori non negativi. Studiamo ora i punti frontiera. In questo caso conviene ricavare y = 6 + x x 4 e studiare la funzione g : [, ] R definita da: g(x) = f(x, ± 6 + x x 4 ) = x + 6 + x x 4 = 6 + x x 4. Risulta g (x) x / oppure x /. Quindi risultano minimi relativi x = ±, x = e ci sono massimi relativi in x = ± /. Per Weierstrass (± /, ± 6 + / 9/4) = (± /, ± /) saranno 4 punti di massimo assoluto. I punti (±, ) e (, ± 6) non sono di minimo assoluto in quanto f(±, ) = f(, ± 6) = 6 > f(, ). 4
) La forma differenziale lineare ω = (z y)dx + zdy ydz è di classe C su R. Risulta i j k F (x, y, z) = x y z = i + z j + k. z y z y Ne segue che il campo non è conservativo e ω non è esatta. La superficie Σ è la porzione di paraboloide (superficie regolare ed orientabile) che si trova nel semispazio z. La normale alla superficie è n := (x, y, ). Ne segue che F Σ n = (, ( x y ), ) (x, y, ) = 4x + 4y( x + y ) +. Il bordo della superficie, percorso nel verso positivo, + Σ è costituito dai punti {(cos t, sin t), t π}. Pertanto (z y)dx + zdy ydz = Σ ) Calcoliamo il volume dell insieme E V (E) = = E dxdydz = = = = π n F Σ n ds = [ 4x + 4y( x + y ) + ]dxdy = {x +y } π rdr rdr = π. dz dxdy = A z π(z ) dz = π [(z ) ] = π. [ 4r cos t + 4r sin t( r ) + ]dt = dz dxdy = x +y (z ) Per ragioni di simmetria, essendo il solido omogeneo, risulterà: x E = y E =, mentre z E = = V (E) E zdxdydz = π (z z + z)dz = 4. dz zdxdy = A z 4
Analisi Matematica II - Febbraio 5 ) Studiare i vari tipi di convergenza della serie di funzioni n= ( x ) n n n. ) Sia A il solido generato dalla rotazione intorno all asse z della regione piana C = {(x, z) : x z (x ), x }. Determinare il volume ed il baricentro di A. ) Posto E = {(x, y, z) R : x > }, sia F : E R il campo vettoriale definito da F (x, y, z) = ( + z + y + log x, x, x). Provare che F è conservativo su E e determinarne la famiglia dei potenziali. Calcolare quindi il lavoro compiuto dal campo vettoriale lungo la curva r(t) = (,, t), t. ) La serie data è una serie di potenze. Effettuiamo la sostituzione x = z e calcoliamone il raggio di convergenza utilizzando il criterio del rapporto applicato alla serie dei valori assoluti. { f n+ (x) r = sup z : lim n f n (x) n } n = lim n (n + ) n + z < =. Risulta allora z < se e solo se x < < x <, cioè < x <, x. + Se x = ±, la serie si riduce a n, la quale diverge per il criterio del confronto n n= asintotico (con la serie armonica). + Se x =, la serie si riduce a ( ) n n, la quale converge semplicemente per il n n= criterio di Leibniz, ma non assolutamente (vedi caso precedente). Concludendo, l insieme di convergenza assoluta è I =], [ ], [. Inoltre converge puntualmente in ], [. Per i teoremi noti sulle serie di potenze la serie data converge totalmente e quindi uniformemente in ogni insieme A chiuso strettamente contenuto in I. Inoltre converge uniformemente, per il teorema di Abel in ogni insieme [ a, a] con < a <. Non converge uniformemente in ], [ né in I: infatti se se per assurdo convergesse 4
uniformemente in questi insiemi allora, per il Criterio di Cauchy dovrebbe risultare che: per ogni ε > esiste n(ε) tale che per ogni n > n(ε) e per ogni p N allora In particolare allora, risulterebbe f n (x) +... f n+p (x) ε, per ogni x I. lim f n(x) +... + f n+p (x) = f n () +... + f n+p () ε x e quindi la serie assegnata convergerebbe in x = (assurdo). La serie data quindi non può convergere totalmente in I. ) Applicando il teorema di Guldino risulta V (A) = π dx (x ) x Per simmetria x A = y A =, mentre z A = V (A) A xdz = 4π (x x )dx = π. zdxdydz = zdxdydz. π A Spezziamo ora l insieme A nei due sottoinsiemi A +, A. A + = {(x, y, z) R : x + y + z, z } A = {(x, y, z) R : x + y ( z), z }. Pertanto z A = dz zdxdy + dz zdxdy = π A π A + = ( (z + z)dz + (z z ) z + z)dz = ( [z = ] [ + z z + 4 ] ) 5 z z + z = 5. ) Il campo F è irrotazionale; infatti F C (E) e F y = = F x ; F z = = F x ; F z = = F y. Essendo poi con E aperto e convesso, possiamo concludere che F è anche conservativo su E. Per determinare la famiglia dei potenziali consideriamo il sistema di equazioni differenziali U x (x, y, z) = + z + y + log x U y (x, y, z) = x U z (x, y, z) = x. 44
Integrando la terza equazione rispetto a z abbiamo U(x, y, z) = xz + c(x, y). () Derivando parzialmente questa rispetto ad y possiamo scrivere U y (x, y, z) = c y (x, y). Sostituendola nella seconda equazione del sistema, otteniamo c y (x, y) = x c(x, y) = xy + k(x). Allora la () si riscrive U(x, y, z) = xz + xy + k(x). () Derivando ora parzialmente rispetto ad x abbiamo U x (x, y, z) = z + y + k (x). Sostituendo questo nella prima equazione otteniamo z + y + k (x) = + z + y + log x k (x) = + log x k(x) = x + x log x x + c k(x) = x log x + c, c R. Da questa e dalla () possiamo allora concludere che la famiglia dei potenziali del campo vettoriale assegnato è data da U(x, y, z) = x(z + y + log x) + c, c R. La curva r congiunge (,, ) con (,, ), quindi il lavoro è dato da r(t) F ds = U(,, ) U(,, ) =. 45
Analisi Matematica II - 8 Giugno 5 ) Data la serie di funzioni + n= ( x ) n ln n, x R, determinarne l insieme di convergenza assoluta e stabilire se converge totalmente in tale insieme. ) Calcolare il volume dell insieme E = { (x, y, z) R : x, z, x + y + 4x }. ) Studiare continuità, derivabilità e differenziabilità della funzione x+y (x + y) arctan, (x, y) (, ) x +y f(x, y) =, (x, y) = (, ). ) Determiniamo l insieme di convergenza assoluta. Se x = x = ± la serie converge assolutamente in quanto si riduce alla serie nulla. Consideriamo quindi la serie assoluta + n= x n ln n, x R. Per il criterio del rapporto applicato a tale serie, abbiamo che: se x < < x < x la serie converge assolutamente; se x > x < x > la serie non converge assolutamente. Se x = x = ± la serie si riduce alla serie numerica + n= ln n la quale diverge per confronto con la serie + n=. n 46
Se x = x = la serie si riduce alla serie numerica + n= ( ) n ln n la quale converge semplicemente per il criterio di Leibnitz, ma non assolutamente per il caso precedente. Dunque l insieme di convergenza assoluta è I =], [ ], [. C.T. Studiamo la convergenza totale in I. Si ha + n= sup x I ( x ) n + ln n = n= ln n e quest ultima non converge (vedi sopra), pertanto la serie data non converge totalmente in I. ) L insieme E è la parte del cilindro retto compresa tra i piani z =, z = ed avente per base l insieme D = {(x, y) R : x + y + 4x, x }, cioè la parte del cerchio di centro (, ) e raggio 4 contenuta nel semipiano delle x non positive. Il suo volume è dunque V (E) E dx dy dz = dz D dx dy = area(d) L area dell insieme D si può calcolare per differenza tra l area del cerchio di centro (-,) e raggio 4 e la porzione del disco stesso che si trova nel semipiano delle x positive. Denotiamo con D questa parte e calcoliamo l area di D che è simmetrico rispetto all asse x. 47
D = {(x, y) R : x, y 6 (x + ) }. Trasformiamolo in coordinate polari. Innanzitutto A = (, ) e dunque l angolo ÂCO = π e dunque t [, π ]. Consideriamo ora il triangolo rettangolo BCO: BO = e quindi OB = tan t e l ipotenusa CB =. Pertanto cos t D = {(t, r) : t [, π ], cos t r 4}. π area(d ) = area(d ) 4 = dt rdr = cos t Dunque = 6π 4[tan t] π = 6π 4 π [ r ] 4 dt = cos t π V (E) = area(d) = (6π area(d )) = (6π 6π + 4 ) = = 64π + 8. (6 4 cos t )dt = ) Continuità. Nei punti (x, y) (, ) la funzione è continua come composizione di funzioni continue. In (, ) si ha lim (x + y) arctan (x,y) (,) x + y x + y = = f(, ) (il prodotto di una funzione infinitesima per una limitata è ancora una funzione infinitesima). Possiamo allora concludere che f è continua globalmente su tutto R. Derivabilità. Studiamo la derivabilità nell origine: f(h, ) f(, ) lim h h h arctan = lim h h h h = π = f x(, ) ; analogamente (per la simmetria f(x, y) = f(y, x)) anche f y (, ) = π. Allora Df(, ) = ( π, π ). Nei punti per cui x + y =, cioè del tipo (x, x ), si ha f(x + h, x ) f(x, x ) lim = h ± h (h + ) arctan = lim h ± h 48 h (x +h) +( x ) = ±
pertanto non esiste derivata rispetto ad x nei punti (x, x ), che dunque non sono di derivabilità per f. Nei punti rimanenti f è derivabile come composizione di funzioni derivabili. Differenziabilità. Nei punti (x, x ) la funzione non è differenziabile venendo a mancare una delle condizioni necessarie. Nell origine si ha f(h, k) f(, ) Df(, ) (h, k) lim = (h,k) (,) h + k = lim (h,k) (,) (h + k) arctan h + k h+k h +k π/(h + k) ] h + k h + k = lim [arctan π (h,k) (,) h + k h + k Usando la caratterizzazione del limite con le coordinate polari si ha [ ] ρ(cos θ + sen θ) lim(cos θ + sen θ) arctan π = ; ρ ρ il limite poi è uniforme rispetto a θ in quanto si ha [ ] ρ(cos θ + sen θ) (cos θ + sen θ) arctan π ρ ρ arctan π ρ ρ +. Segue che la funzione è differenziabile nell origine. Nei punti rimanenti la funzione è differenziabile in virtù della condizione sufficiente.. 49
Analisi Matematica II - Giugno 5 (Civile Meccanica). Calcolare la circuitazione del campo vettoriale F := (x + 4y + z, x + z, x + y) lungo la frontiera del triangolo di vertici (,, ), (,, ), (,, ) orientata positivamente.. Verificare se la forma differenziale lineare [ x ω := y x + y + ln ] x + y dx + x [ y x + y + ln ] x + y è esatta nel suo insieme di definizione e, in caso positivo, calcolarne le primitive.. Data la funzione f(x, y) = 4x 4 7x y + y, provare che (,) è un punto critico e studiarne la natura. dy. Il campo di forze F non è irrotazionale, infatti i j k F = x y z x + 4y + z x + z x + y = (,, ). Siccome F C (R ) allora F non ammette potenziale e quindi l integrale va calcolato. Possiamo farlo o direttamente oppure utilizzando il teorema di Stokes. Innanzitutto il triangolo si trova nel piano x + y + z = e dunque z = x y, con (x, y) T := {(x, y) : x, y, x + y } e con normale (,, ). Posto ω := (x + 4y + z)dx + (x + z)dy(x + y)dz risulta ω = T F ndxdy = T (,, ) (,, )dxdy = T Calcoliamolo ora direttamente con il verso positivo che è A := (,, ) B := (,, ) C := (,, ) (,, ). ω = ω + ω + ω. T AB BC CA 5
Risulta: AB = CA = x = t, y = t, z = x = t, y =, z = t x =, t ; CB = y = t, z = t t t ; e dunque T ω = 4 = ( t)dt + ( t)dt ( t)dt + ( t)dt =. ( t)dt =. Risulta ω C (R \ {(, )}. Inoltre X y = + ln(x + y ) x y (x + y ) = Y x Dunque la forma differenziale lineare è chiusa, ma la regione R \ {(, )} ha un buco. Per provarne l esattezza o meno è sufficiente (grazie al teorema di Green) calcolare un integrale curvilineo lungo una curva generalmente regolare, chiusa, con sostegno in che racchiude il buco. Prendiamo ad esempio la circonferenza di centro l origine e raggio (x = cos t, y = sin t, t π). π [ cos t ω = sin t + ln ] = π ( sin t cos t + sin t cos t)dt =. [ sin t ( sint)dt + cos t + ln ] cos tdt = Dunque, la forma è esatta. Calcoliamone ora un potenziale. Partiamo dal punto (,). x y [ t U(x, y) = dx + x x + t + ln ] x + t dt + c = y ) y = x ( x dt + x ln x x + t + t dt + c = y = xy x arctan y x + x ln(x + t )dt + c = = xy x arctan y x + xy ln(x + y ) xy + x arctan y x + c = = xy ln(x + y ) + c 5
. La funzione f(x, y) = 4x 4 7x y + y è di classe C (R ). Inoltre facilmente si prova che f(, ) = (, ) e H(, ) =. Non possiamo dunque utilizzare la condizione sufficiente per studiare la natura del punto (,). Scriviamo la f in questo modo: f(x, y) = x 4 6x y + y + x 4 x y = (x y) + x (x y) = = (x y)[(x y) + x ] = (x y)(4x y); f(, ) =. Risulta allora f(x, y) (x y)(4x y) Dunque se prendo un intorno U di (,) per tutte le coppie (x, y) U tali che y < x allora la funzione assume valore positivo, mentre se prendo (x, y) U tale che x < y < 4/x allora la funzione assume valore negativo. Dunque ho trovato due restrizioni in cui (,) ha natura diversa e quindi (,) è un punto sella, come si può anche vedere dal grafico: 5
Analisi Matematica II - 6 Luglio 5 (Civile Meccanica) ) Calcolare la massa della lamina piana D = {(x, y) R : x y, x + y, x + y y } di densità δ(x, y) = xy x + y. ) Dimostrare che l equazione f(x, y) = x y arctan y = definisce implicitamente una funzione y = y(x) in un intorno di (,). Studiare la natura di tale punto. ) Siano U = (x, x + y, z) un campo vettoriale ed S la porzione di superficie parabolica, di equazione z = x + y, z. Si calcoli il flusso del rotore del campo U uscente da S e l area di S. ) L insieme D si trova nel secondo ottante (al disopra della retta y = x) ed è costituito dai punti interni alla circonferenza di centro (,) e raggio ed esterni alla circonferenza di centro (,/) e raggio /. L immagine della lamina piana è la seguente: Scriviamo la regione piana D in coordinate polari: D = {(r, t) : π 4 t π, sin(t) r }. 5